1 數學遊戲的第一堂課
每一種活動都有學習它的第一堂課，例如理財有《理財的第一堂課》，修行有《修行的 第一堂課》，上學有《開學的第一堂課》，跳舞有《跳舞的第一堂課》。“入門”跟“第 一堂課”是有相當差別的，入門是指基礎的訓練，從零開始的學習；而第一堂課則是告 訴你這整個歷程的精髓在哪兒。所以第一堂課常常也是最後一堂課，因為重點都已經隱 含在第一堂課的內容裡了，剩下的只是領悟與不斷的練習。一位好的老師或優秀的同學 應該秉持著“入門”就是“第一堂課”，“第一堂課”就是“最後一堂課”的學習與教 學的精神，這樣才能帶領你到那清涼的境界。
一道好的數學遊戲就是把嚴肅的數學思想﹑概念或公式，藏在誘人又容易掌握的外在形 式的技巧。這個技巧就是以遊戲的形式來呈現，透過遊戲的過程，達到永生難忘的高度。
現在就讓我們進入本章的題目，也是第一道遊戲：
題目：牛郎必須找到一條通向織女的道路，在抵達織女所在位置之前，他必須通過所有 的格子各一次，而且僅能採取上﹑下﹑左﹑右的移動方式。牛郎如何辦到呢？
是與非，對與錯，黑與白，輸與贏，愛與恨，情與仇 是存在理性頭腦裡的兩端，就像銅板的正面與反面一樣。
人的頭腦就在這樣的兩極擺盪，很難止於中間。當停止於 中間的時刻發生時，一種清涼的瞥見就顯現了，但它依然 只是一種可有可無的瞥見。
數學符號 與，1與1，數字的奇數與偶數，跟 黑與白一樣，都是文明的語言，也是頭腦的語言，所有受 過邏輯訓練的人，都用這些符號來思考。當我們把心情與 頭腦放鬆，超然﹑不做判斷的站在中線，且無時無刻的觀 察這兩端所呈現的變化，就是進入數學遊戲的第一堂課。
「旁觀者清﹑當局者迷」是棋藝遊戲的至理名言。在數學遊戲裡，當旁觀者或觀察者，
也就是中立的第三者，是至為重要的。當你想成為那個玩的人，你就跟先玩者或後玩者 有了認同，就容易陷入當局者迷的囚牢裡。所以跳脫出玩的人，而當超然﹑不做判斷的 旁觀者，且無時無刻的觀察先玩者與後玩者出手後所呈現的變化，就是進入數學遊戲的 第一堂課。現在就讓我們進入數學遊戲的第一堂課：
1.1 人生是彩色的，但頭腦卻是黑白的…思考黑﹑白相間的棋盤
大家從小到大，無論是親身經驗，電腦螢幕上看到或電視轉播，想必見識過很多種遊戲 的棋盤。如中國象棋棋盤，圍棋棋盤，跳棋棋盤，西洋棋棋盤…等，這些棋盤中，又以 西洋棋棋盤與眾不同，因為它是由黑﹑白兩種顏色組成。也就是說，西洋棋的棋盤就是 由黑﹑白兩種顏色的方格相間而成的棋盤。讓我們將這道遊戲的棋盤塗成西洋棋的棋盤 形式：棋盤上有 32 塊黑色方格與 32 塊白色方格，牛郎與織女都站在白色方格上。
1.2 串起黑﹑白兩色的念珠
牛郎從自己所在的白色方格出發，因為白色方格的上﹑下﹑左﹑右都是黑色方格，所以 牛郎的下一站肯定是黑色方格，再下一站又回到白色方格，…，如此白﹑黑方格交錯出 現，最後走到織女所在的白色方格。
如果將白色方格想成白色念珠，黑色方格當成黑色念珠，那麼牛郎依序走過的黑﹑白方 格所串起的黑﹑白念珠將是如下的形狀：
仔細瞧瞧這串黑﹑白兩色相間的念珠，在牛郎與織女的位置卻是同樣的白色，其餘的位 置都是黑﹑白兩色相間。顯然這串念珠的白色比黑色念珠多一粒，但這與黑﹑白兩色念 珠都是 32 粒不合。因此，牛郎是不可能找到通往織女所在位置的路徑。
1.3 再一次的接受考驗
如果你能讀到這裡，且有所得，那很好。接下來給一則心靈與理性頭腦都受用的啟示：
「每個人的腦中儲存了很多思想，每個思想就像一粒念珠，而思考就像線，有正向思考
的人會拋棄沒用的念珠，而將有用的念珠用那條看不見的線串在一起。」
例題 1 如下圖所示，它是由七粒黑色珠子與八粒白色珠子所串起的念珠：
黑﹑白或白﹑黑念珠間的空隙稱為“槃涅空隙”。
給任意的黑﹑白兩色珠子（個數可以不一樣），無論以何種方式串起念珠，都會有偶數 個槃涅空隙。
【解】因為黑色與黑色珠子間的空隙及白色與白色珠子間的空隙不是“槃涅空隙”，所 以可以將相鄰的黑色珠子綁在一起，視為一粒黑色珠子，也將相鄰的白色珠子綁在一起，
視為一粒白色珠子。以上圖為例，經過整理之後變成黑﹑白相間的一串念珠：
因為念珠黑﹑白相間，而且偶數個，所以產生偶數個“槃涅空隙”（槃涅空隙等於黑﹑
白念珠的總數）。
有了這經驗之後，請完成中興大學的推甄試題：
練習 1 在線段 AB 的兩端之間任意取 n 個點，則 AB 被分割成n1小段。將這 n 點任意 標示為 A或 B ，如圖所示。試證在這n1小段中，被標示為 AB 或 BA 的小段共 有奇數個。
1.4 對拆數進行觀察
甲﹑乙兩人輪流拆數字，規則如下：甲先將 100 拆成兩個正整數的和，接下來乙從這兩
個數字中，選取一數，並將其拆成兩個正整數的和；接著甲再從乙拆的兩數中，選取一 數，並將其拆成兩個正整數的和，…，一直繼續下去，直到有一方無法拆數，遊戲才停 止。無法拆數的人輸。下圖是甲﹑乙兩人輪流拆數字的一個流程圖：
這流程圖代表的拆數過程為
① 甲將 100 拆成 49 與 51 的和；
② 乙選取 51，並將它拆成 6 與 45 的和；
③ 甲選取 6，並將它拆成 3 與 3 的和；
④ 乙選取 3，並將它拆成 1 與 2 的和；
⑤ 甲選取 2，並將它拆成 1 與 1 的和；
⑥ 乙僅能選取 1，但此時已不能拆了，故乙輸。
這道拆數遊戲在有限步驟下一定可以玩完，而且不會雙方平手。像這樣的遊戲常常是不 公平的遊戲，也就是說，不是先玩者就是後玩者有必勝的策略，而這必勝的策略經常是 需要用數學來呈現的：
練習 2 找個對手一起玩，並思索到底是先玩者或者是後玩者有必勝的策略，而且此必 勝策略為何？
1.5 可怕的對稱…捨就是得的考驗
雖然「對稱」是很優美且容易的概念，但是「對稱」使用得當的話，它的威力是無窮且 可怕的。就讓我們欣賞幾道與「對稱」沾上邊的數學遊戲，並欣賞「對稱」產生的美學。
流傳久遠的造房子遊戲，遊戲規則如下：在下圖的 16 個黑點中，兩人輪流在左右或上 下相鄰的兩個黑點中間畫一筆。如果正好有 4 筆圍成一個小正方形（稱它為一間房子），
這房子是屬於畫第四筆的人所有。佔有最多房子的人勝。
因為水平有 12 筆，鉛直也有 12 筆，共計 24 筆，所以 12 回合後遊戲結束，且一定有一 人佔有比較多的房子，也就是說不會平手。
練習 3 試問：先畫或者後畫的人有必勝的策略，其策略又是什麼。
再來玩一道遊戲：
練習 4 如下圖所示，直線上有 15 個點，甲、乙兩個人輪流每次只能選取一個點（甲先 玩、乙後玩），而且每次所新選取的點，不能在之前已選過的點的旁邊。最後 當有人不能選取點的時候，那個人就輸了。
例如下圖是甲﹑乙選點的過程：
甲﹑乙兩人在經過三輪的選點後，甲已經無法再選點了，故乙贏得這遊戲。
試問：甲或乙有必勝的策略，其策略又是什麼。
1.6 需要更細微觀察的遊戲
最後我們介紹一道需要細心觀察的遊戲：
甲、乙兩人輪流選數字的遊戲，甲先選並遵守下列規則：遊戲者必須輪流從 1 2 3 4 5
中選擇一數，但不可重複對方剛選的數。如此下去，將兩人所選的數字累加起來，當累 加至一個給定的正整數 20 者算贏（動彈不得或故意讓累加的數字超過 20 者算輸）。下 表是甲、乙兩人玩這遊戲的過程：
① 甲選 3；剩下數字為 17 ② 乙選 4；剩下數字為 13
③ 甲選 2；剩下數字為 11 ④ 乙選 5；剩下數字為 6
⑤ 甲選 3；剩下數字為 3 ⑥ 乙選 1；剩下數字為 2
⑦ 甲選 2；剩下數字為 0，故甲贏。
例題 2 試問：甲或乙有必勝的策略，其策略又是什麼。
【解】分析如下：
① 先考慮哪些數字是乙（後玩者）會贏的數字，顯然 1,2,3,4,5 都是甲會贏；你可能以 為 6 是乙會贏，其實不對，當甲先選 3 時，乙沒辦法選 3，只能選 1 或 2，故數字 6 還是甲會贏。
② 數字 7 是乙會贏的第一個數字（甲選 2,3,4,5 時，乙選 5,4,3,2；但是甲選 1 時，剩下 的數字為 6，利用①的方法，乙可選 3 獲勝）。
③ 數字 8,9,10,11,12 是甲會贏的數字（甲分別選取 1,2,3,4,5 時，剩下的數字為 7，由② 知道，甲會贏）。
④ 數字 13 是乙會贏的第二個數字。當甲選 1,2,4,5 時，乙選 5,4,2,1，此時剩下數字為 7，
由②知道乙會贏；當甲選 3 時，剩下數字為 10，乙選 5，此時剩下數字為 5，因為甲 不能選 5，故在甲選其餘數字之後，乙可以將剩下的數字取完。
⑤ 數字 14,15,16,17,18 是甲會贏的數字（甲分別選取 1,2,3,4,5 時，剩下的數字為 13，由
④知道，甲會贏）。
⑥ 數字 19 是甲會贏的數字（甲選取 3 時，剩下的數字為 16，此時乙不能選 3，故乙選 1,2,4,5 時，甲選 2,1,5,4，剩下的數字為 13 或 7，由④或②知道甲會贏）。
⑦ 數字 20 是乙會贏的第三個數字。當甲選 2,3,4,5 時，乙選 5,4,3,2，此時剩下數字為 13，由④知道乙會贏；當甲選 1 時，剩下數字為 19，由⑥知道乙會贏。
由①②③④⑤⑥⑦的分析得知：在限定數字是 20 的情形下，乙（後玩者）會贏。
〔註〕乙（後玩者）會贏的數字依小到大分別為
7,13 7 6,20 7 6 7,26 7 6 7 6,33 7 6 7 6 7, .
旁觀者或者觀察者除了享有「旁觀者清」的好處外，他還可以兩邊思考，看出兩邊的優 缺點或破綻。但是瞭解觀察者的心思又是更高深的藝術了，我們不僅要當個「觀察者」， 更要「觀察那個觀察者」，從中得到最奧妙的知識。這也就是克里希納穆提的洞見「千 萬別錯過觀察那個觀察者的機會」。
數學遊戲的第一堂課的練習解答
練習 1
因為 AA A或 BB B 相連的部分不會產生 AB 或 BA 小段，所以將相鄰的 A 字母綁在一 起，將相鄰的 B 字母也綁在一起（如下圖所示）。
這時產生 ABABAB B 的排列。因為開頭為 A ，尾巴為 B ，所以產生的 AB 或 BA 小段共 計是奇數小段。
練習 2
對正整數來說，每一個正偶整數都可以表成兩個正奇數的和，例如 2 1 1,4 1 3,6 1 5,8 1 7, ;
而正奇數表成兩個正整數的和，其中必有一數是偶數，一數是奇數。
這拆數遊戲甲（先玩者）若將 100 拆成兩個正奇數的和，然後乙無論選那個奇數，其分 解的數必有一正偶數，另一是正奇數：甲只需選那個正偶數，再將其分解成兩個正奇數 的和，便立於不敗之地。
故甲（先玩者）有必勝的策略，其策略就是選取偶數，並將它分解成兩個正奇數的和。
練習 3
這是一則很奇怪的遊戲，原因是後玩者有必勝的策略。這策略跟數學裡的對稱性相關：
就以下圖作解說，假設下圖中的白色圓圈是棋盤的中心點，除中心點所在的房子之外，
旁邊一共圍繞著 8 個房子。每當先玩者畫下一線段時，後玩者就跟著在此線段對稱於棋 盤中心點的位置畫下對應的線段（如圖所示），就這樣玩到結束。
(1) 因為對稱的關係，先玩者與後玩者在中心點外圍的 8 個房子中，各佔一半，即各佔 4 個房子。
(2) 中心點所在的房子會被後玩者佔去（因為對稱關係，後玩者會劃下那房子的最後一 筆）。
由此知道：後玩者一定可以擁有 5 個房子，所以必勝。
練習 4
甲有必贏的策略。因為甲選取中間點，就把這些點等分成兩個部份。而乙選取其中一個 部份的某點時，那麼甲只要對稱中間點來選取另外一部份的那點即可。這樣下去，乙一 定先遭遇到不能選取的情況（如下圖所示），那麼甲就贏定了。
