觀幾何，唯圖造-從多元智慧融入數學實作造見數學之美

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類別：創新教學活動設計類

作品名稱：

觀幾何，唯圖造-從多元智慧融入數學實作造見數學之美

作者姓名：林鳳美

服務機關：臺北市立成淵高級中學

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摘要

本研究在高中數學專題課程進行「數學實作」教學，傳遞「欲觀幾何性，一切唯圖造」的重要概念，而融入美國哈佛大學心理學家迦納(Howard Gardner)的多元智慧理論內涵架構，結合其所強調其中的七項智慧，採取多元教學主題活動，再配合不同教學策略下，學生在小組加速教學學習歷程中，擁有豐富的多元靈感，同時促進了培養學生充分發揮多元智慧的機會，也獲得教學主題活動的多元能力培養的歷程。

本研究採量與質的研究方式，分析結果得以數學史脈絡開端，學生有了另一個思考的機會，也對概念與理論更好的瞭解，而「做中學、學中評」的數學實作活動，配合小組合作，使學生很容易以圖像化將抽象觀念具體化，也獲得解決問題的能力，同時也將數學知識融會貫通至應用，而生活中幾何應用課程活動也學會思辨歸納能力，壯觀了幾何的藝術賞析與創作，也慢慢地造見數學之美。

關鍵詞：多元智慧理論、小組加速教學、數學實作

壹、緒論

一、設計緣起

有感小川洋子《博士熱愛的算式》「永恆的真實是肉眼看不到的，也不會受到物質、自然現象和感情的影響，但數學可以解開真實的奧秘，也可以用數學來表現真實，任何東西都無法阻擋」。在 2010 年公佈的國際學生能力評量計畫(PISA) 結果中，台灣在「閱讀素養」、「數學素養」、「科學素養」排名都大幅下滑，身為教學現場者得我重新思考，該如何提升學生「數學素養」呢？又如何讓「數學」

成為「體驗學習」最深刻的科目，以重回學生學習數學的興趣，相信這和數學課程的設計有很大的關係，所以這是本課程設計的主要原因之一。

本課程設計選用「幾何」為教材，主因是幾何屬於應用科學，回溯新石器時代，選用幾何圖形-圓形或方為器具、版築或泥磚疊層方式建造，可見幾何圖形緣於生活與科學，更進而影響其審美觀與宇宙觀。達文西曾說：「繪畫就是科

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學」，而人造物製造歷程中，常常配合幾何圖形之描繪，繪畫常扮演科學發現的紀錄或新事物的描繪，例如世界地圖、生物圖鑑、或天文紀錄。因此就藝術本質其與科學間存有微妙的互動，也常常發現藝術研發著重於分析、對稱、排列與節奏的表現，正與數學思考歷程不謀而合，因此設計幾何課程脈絡是即為必要與重要的。

於是在高二下數學課程上到的「空間向量」教學內容活動時，同步引進「平面至立體幾何」的「數學實作」教學，讓幾何的建構更加完備，同時也把 Gardner 提出的多元智慧的概念融入，進行統整課程、教學情境與日常生活相結合，學生因實作獲得解決問題，也從操作的過程中學習不只是科學知識的傳授，而是結合理論與實務，也讓學生的想像力及好奇心能充分地發揮，而學生也能從抽象的思考運算中跳脫具體的概念的歷程，拓展學生對生活及科技藝術應用的視野。

二、設計目的

本課程設計的目的就是希望學生能從生活中處處可見的幾何形體中，體驗到真實的立體感，並藉由幾何實作來體驗、觀察、發現形體的組成要素與性質及其形體之間的關係，進而建構出簡單的基本空間概念與引導出理論應用，同時也開發學生的想像力、創意思考與多元智慧，也期待透過科技、藝術與生活的連結應用，體驗幾何創作之藝術作品賞析，更能豐富生命與文化生活的世界觀。

換句話說，簡單來說就是六個具體的目的能力指標如下說明：

1.增進學生的數學素養 2.培養自主探索解決問題 3.訓練學生的創意思考 4.空間結構概念建構能力 5.培養幾何推演論證能力 6.幾何創作藝術賞析能力

貳、課程設計理念

本課程設計是在「幾何圖形探索」為主題設計內涵核心，學生先自主學習與實作，配合不定時教師從旁引導，教學歷程中師生不斷地互動與檢視進行，慢慢

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加深幾何概念至融會貫通為止，其課程內涵融入多元智慧理論來開發學生潛力與培養多元能力，以及科技藝術知識的連貫應用。

在課程活動潛移默化中，同步開發七項多元智慧-語文智慧、邏輯-數學智慧、

空間智慧、肢體─動覺智慧、人際智慧、內省智慧與自然觀察智慧，此歷程學生能夠獲得教科書以外，結合「數學史」、「科技」、「人文」、「藝術」等各方面的能力學校課程，是多元角度學習的歷程，其所學經驗是無價之寶，其課程設計研究架構如圖一：

圖一：課程設計研究架構

參、文獻探討

一、多元智慧理論基礎

本研究是採用美國哈佛大學心理學家迦納(Howard Gardner)於提出「多元智慧理論」認為每個人至少都具有八種智慧：語文智慧、邏輯數學智慧、視覺空間智慧、肢體動覺智慧、音樂智慧、人際智慧、內省智慧與自然觀察者智慧，其內涵說明如圖二：

知識概念的連 結應用

數學史、

科技、藝術、人文領域連結幾何

圖形探索

學生學得學以致用的教學策略 改善其教師教學

教師專業成長

創意思考、分析與驗證、多元智慧的能力培養增進學生的數學素養培養自主探索解決問題訓練學生的創意思考空間結構概念建構能力培養幾何推演論證力幾何創作藝術賞析能力

幾何實作

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圖二：多元智慧內涵

二、小組加速教學

小組加速教學是學生小組學習法中的一種，而本研究採取小組加速教學，是融合了個別化學習與合作學習的理論，發揮「多元化、個別化及適性化」的教學精神，以滿足學生個別學習需求，同時也應用每堂課不同的教學方法，開發不同種類心智的學生，已達多元智慧潛能的實踐。本研究其實施流程圖如圖三：

圖三：進行小組加速教學的實施流程圖多元智慧

涵義語文智慧：有效運用口頭

語言或書面文字的能力。

肢體動覺智慧：善於運用肢體來表達想法和感覺，運用雙手靈巧地生產或改造事物。

視覺空間智慧：準確地感覺視覺空間，並把所知覺到的表現出來。

邏輯數學智慧：有效運用數字和推理的能力。

自然觀察者智慧：對自然景物有誠摯的興趣、強烈關懷及敏銳觀察與辨認的能力，也擅於某種察覺彼此之間的關係。

內省智慧：有自知之明，並

據此做出適當行為的能力。

人際智慧：覺察並區分他人的情緒、意向動機及感覺的能力，即察言觀色、善解人意。

音樂智慧：能察覺、辨別、

改變和表達音樂的能力。

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肆、教學活動設計

一、研究對象與實施期程

本研究在本校 102 學年度高二上學期時，先以二個班(人數分別 38 與 42 人) 先行來初步進行幾何實作的探索課程，以「自主學習」為學習中心，但未採小組加速教學，至高二下學期時重新設計與實施課程共 8 堂課(每次二堂課且連排)，

而研究對象為有修數學科學研究進階課程同學，共 11 位同學進行，並分五組進行實作課程。

本課程重視每個學生的獨特性，依照學生的強項智慧給予鼓勵與引導，也提供多元的學習情境去學習，而評量的多元化與自主性，讓學生有展現個人長才的機會，已達到學生能夠激發多元智慧的潛力，以傳達學術實質深層價值。

二、教材來源與實作學習方式

本研究題材為高中數學第四冊平面與立體幾何，而數學實作學習方式有其三：一為透過「多面體摺紙入門」此書摺紙方式，讓學生自主閱讀學習；二為動手用Zome模型-幾何頂珠自主且引導學習；三為透過GeoGebra電腦繪圖軟體教學相長學習。

三、教學活動設計

本課程活動設計為每 2 節課(連排且每節課 50 分鐘)進行一個教學主題活動課程，共四個教學主題分別為「微觀入理」、「按圖索驥」、「明察秋毫」與「壯 觀世界」等教學主題活動課程，其活動的單元具體目標與能力培養說明如表一：

表一：教學主題活動的單元具體目標與能力培養

主題 單元具體目標 能力培養

微觀入理

促進學生自主學習動機、瞭解數學史的因果關係、

展現數學概念發展歷程、探究視野增廣數學思考

增進學生的數學素養、培養自主探索解決問題按圖

索驥

初探幾何圖形的世界、發展到抽象操弄層次訓練學生的創意思考、空間結構概念建構能力明察真實地探究幾何世界、幾何概念模式的應用、基本培養幾何推演論

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秋毫概念延伸與創新證能力壯觀

世界

洞察幾何的生活應用、揭開幾何的人文智慧、拓展藝術與數學思考

幾何創作藝術賞析能力

而每教學主題活動課程均採不同教學策略，教學策略有其連貫共同目標，其教學主題活動，進行教學的策略與發展多元智慧的說明如圖四：

圖四：教學主題活動進行教學的策略與發展多元智慧策略：自主探索教學

1.學生自主學習探索建立知識的認知。

2.教師提出正確概念、讚美與分享。

3.開發語文、邏輯-數學與人際智慧。

教學策略與發展多元智慧教學主題活動

微觀入理-數學史揭開概念脈絡

按圖索驥-實作開啟初探幾何圖形真相

明察秋毫-論證推論探究幾何世界緣由

壯觀世界-開拓視野與幾何創作的藝術賞析

1.增強以圖像深化學習印象與抽象觀念具體化。

2.訓練解決問題的能力與完備幾何思維的能力。

3.開發邏輯-數學、空間、肢體-動覺、內省與人際智慧。

策略：實物操作與電腦繪圖教學

1.真實地探究幾何世界與幾何概念模式的應用 2.基本概念延伸與創新與論證推理解題的能力 3.開發邏輯-數學、語文、內省與人際智慧。

策略：創意思考教學法

策略：問思導賞法

1. 洞察幾何的生活應用與人文智慧。

2. 拓展人文與數學思考與幾何創作的藝術賞析。

3. 開發邏輯-數學、語文、音樂與人際與自然觀察智慧。

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而其實踐內涵為四點說明如下：

1.內容描述：先讓學生直觀性地描述所觀察到的幾何圖形，進而培養有平面至立體思維，是觸動創意思考與教學相長的學習的歷程。

2.形式分析：教師引導學生探究真實幾何，也發展到抽象操弄層次與幾何概念模式的應用，促進基本概念延伸與創新。

3.內容解釋：透過多元脈絡去完備幾何思維，進階象徵意涵作分析、探討。

4.價值判斷：整體階段歷程中，試著建立起自己對該作的價值判斷及看法。

四、幾何課程意涵

五、評量工具

本課程設計評量工具－問答評量、小組團隊合作、創意思考評量、實作評量、互評學習表、上台報告評量、簡報ppt製作，其研究檢核方式如下說明：

(一)包括量的研究

1.學習單：依據學習單的設計和學生填寫內容進行分析。

2.學生歷程學習成果、評分表、檢核表與實作評量：

就學生的學習階段歷程進行資料分析。

(二)包括質的研究方面：

1.各組訪談：在教學實施前後，不定時約談各組學生，進行訪談。

2.現場觀察：教學現場觀察學生整體反應進行。

1.真實地探究幾何概念 2.對複合形體

構成要素有連貫性

1. 基本概念延伸如 (1) 尤拉公式的推廣 (2)慕比斯環的理論 (3)正多面體的推廣

2. 洞察幾何的生活應用如磁磚的連續圖形、古埃及金字塔、松果上螺旋紋方向、

3.幾何延伸與創新基本幾何概念進階幾何應用

初略認識平面及立體的幾何圖形

背景知識

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3.教師歷程檔案：進行資料分析。

4.簡報檔、學習單、學習成果量表與回饋單：進行資料分析。

5.不定時傳達主題訊息：

透過 facebook 或簡訊傳達主題訊息，激發學生的靈感與思考。

6.發表、上台報告、他評與自評：進行資料分析。

7.具體創作成果

五、課程設計教學流程

本課程設計每2節課(連排且每節課50分)進行一個教學主題單元課程，共四個教學主題單元課程分別為「微觀入理」、「按圖索驥」、「明察秋毫」與「壯觀世界」等單元課程，首先先進行『微觀入理』單元課程，其教學流程說明如下：

『微觀入理』單元課程教學流程 ^時間

教學資源

教學評量

※課堂前準備

一、教師：製作探究數學史學習單與簡報教學檔案，並且準備計時用具、筆電與單槍等投影設備。

二、學生：自製作數學史簡報檔，並於上課前一天前寄至老師信箱。

【註】老師開放 facebook 網路資源，引導學生製作簡報檔內涵與協助解決問題。

※主要內容／活動

一、引起動機與幾何重要脈絡

1.說幾何七賢泰利斯-騾子的故事，並談到古希臘的泰利斯利用相似三角形的方法測量金字塔的高度概念。

2.說明 The History of Geometry-幾何觀念的來源有其三：

(1)幾何學的發展 (2)航海與天文學 (3)日常生活的測積。

3.簡介幾何聖經─Elements《幾何原本》，這一著作對於幾何學、數學和科學的未來發展都有極大的影響。

4.數學名言的觸動二、探究數學史

1.10 位同學事前先自製簡報檔，並且與自主選定某主題數學史，並上台報告 6 分鐘，以下是他們上台揮灑的情境如下圖(有遇到下課鐘聲，有讓學生休息 10 分鐘)

14 分鐘

60 分鐘

簡報教學檔案與書籍

學生自製簡報

問答評量

上台報告評量

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2.(1)進行自評與他評項目有組織架構、語言表達、簡報製作、史料完備與創意有趣等五項口語評分，

請就其表現，由以上四等第中擇一給予評分。

(2)學生各自寫下探究數學史回饋，寫完後學生說出探究數學史歷程最大收穫與大家分享。

三、教師總結

1.師生共同回顧上台報告的內涵，與讚許同學特色或補強的部分，也將有些數學脈絡連貫，讓學生更明瞭其意涵。

2.老師說明數學史可帶動情意、認知與文化活動三方面的價值，同時舉例說明極有趣且簡易的數學等式，引導數學史與數學概念的緣由關連性，又如何聯結到許多數學思考，

將其數學領域應用於自然科學上。

20 分鐘

6 分鐘

檔案

學習單

簡報教學檔案

與簡報評量

互評學習評量與回饋評量

問答評量

接著進行『按圖索驥』單元課程，其教學流程說明如下：

『按圖索驥』單元課程教學流程 ^時間

教學資源

教學評量

※課堂前準備一、教師：

1.準備柱體、正多面體與錐體的實物與幾何教具。

2.製作立體幾何圖形探索學習單與印製「多面體摺紙入門」「Zome Geometry」二本書內容為教材，並且放置網路上。

3.製作簡報教學檔案，同時也準備筆記型電腦數台(灌好 GeoGebra 軟體) 與單槍等投影設備。

4. 製作簡報教學檔案與數張色紙與牛皮紙。

二、學生：學生可先行上網閱讀上課資料。

【註】老師開放 facebook 網路資源，讓學生發問問題。

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※主要內容／活動一、腦力激盪時刻

學生說出他們所認識的平面或立體圖形的名稱，教師引導讓學生說出它們屬什麼平面或立體圖形，學生就依照各立體形狀列出和它生活上與它相似的東西。

二、幾何初探

1. 老師先說明何謂正多面體，再透過幾何圖形教具引導至學生明瞭為止。

2.利用腦力激盪與小組討論方式，加速學生辨認與驗證立體圖形，確切說出其幾何的特性，並完成學習單部分。

三、揭開尤拉公式的秘密

1. 腦力激盪時刻：教師利用以下問題引導學生 (1)頂角的數目與錐體底部圖形有什麼關係﹖

(2)稜的數目與錐體底部圖形有什麼關係﹖

(3)面的數目與錐體底部圖形有什麼關係﹖

2. 理論時刻：老師說明尤拉公式的形式為對於一個擁有 F 個面、V 個頂角和 E 條棱（邊）的單連通多面體，必存 在F  V E 2(Euler’s Formula)，且共同完成學習單。

教師尤拉公式的解說

5 分鐘

10 分鐘

20 分鐘

幾何圖形教具、

學習單

、簡報教學檔案

問答評量

問答評量與創意思考評量

圓錐體

六角柱體

四角錐體

圓柱體

三角錐體

六角錐體五角柱體三角柱體

四角柱體

五角錐體

四角錐體

三角錐體

三角柱體

四角柱體

五角錐體立體圖形

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3.討論時刻：教師與學生討論以下問題：

(1)若有一個n角錐體，它的頂角、稜、面的數目會是多少﹖

(2)圓錐體可否適用於以上的推論，為什麼？

(3)足球的模型是由 12 個正五邊形 20 個正六邊形所組成請算出它的邊數與頂點數是否符合尤拉

公式呢？

(4)透過幾何探索認識尤拉公式：V   E F 2 其符合條件限制為何呢？

教師回應討論時刻的概念與答案，並預留部分問題於實作後再回應。

三、透過 GeoGebra 電腦軟體繪出幾何創作圖形

學生透過下列提供的幾何圖形找尋其規律，並動手繪圖，採小組合作方式進行繪圖與探究。

同時學生進行討論發言，老師引導正確答案！

四、教師總結

說明透過 GeoGebra 電腦軟體繪出幾何創作圖形是以

「多項式定理」為主體發想精神，可建構了多項式定理的幾何圖形-正k邊形，描述多項式定理展開係數間的關係，

串聯起代數與幾何間的橋樑，充份展現數與形的完美搭配，也呈現頂點與邊微妙的幾何價值，師生一起共享此規律性的幾何美。

---教學主題活動：按圖索驥第一節課結束--- 6 分鐘

5 分鐘

4 分鐘

電腦繪圖教學

簡報教學檔案

實作評量

---教學主題活動：按圖索驥第二節課開始--- 一、幾何實作時刻-摺紙或幾何頂點珠方式製作正多面體 1.提供製作資料，學生自主學習加上小組合作學習，其努力畫面如下：

25 分鐘

色紙

、幾何頂點珠與書籍

實作評量

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二、幾何實作分享時刻

1.請學生畫出正多面體的展開圖。

2.討論時刻：正多面體的展開圖僅是為一種嗎？

學生針對此問題各組自主探索討論並畫下其他的情形。

三、慕比斯環(Möbius strip)實作時刻

學生製作慕比斯環(Möbius strip)實作的畫面如下圖：

創意思考時刻：看了慕比斯環(Möbius strip)發現了哪些獨特的性質呢？或聯想到甚麼數學概念呢？學生針對此問題各組討論並畫下其他的情形，下次上課公布答案！

四、教師總結

在幾何實作後，學生全數都可畫出正多面體的展開圖，

相當不錯。期盼學生能洞察生活中處處可見的形體中多方瞭解立體的性質及其形體之間的關係，也要有平面轉立體，立體轉平面的想法，開發想像力與創造力，甚至論證推論幾何問題。

5 分鐘

18 分鐘

2 分鐘

學習單

牛皮紙

、剪刀

、雙面膠

回饋評量

實作評量與創意思考評量

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接著進行『明察秋毫』單元課程，其教學流程說明如下：

『明察秋毫』單元課程教學流程 ^時間

教學資源

教學評量

1.確認教學的主要內容與收集資料含書籍、期刊資料、網路資料。

2.準備柱體、正多面體與錐體的幾何教具示範。

3.製作簡報教學檔案與學習單。

二、學生：完成上次上課幾何實作作品。

一、辨認多面體-統整時刻

問題一：以下哪些是多面體？哪些是正多面體呢？

問題二：如何辦別柏拉圖多面體與阿基米德多面體呢？

學生分組討論與上台報告結果

學生會認為柏拉圖多面體，就是每個面都是正凸多邊形的多面體。

理論時刻：教師說明正多面體的定義

問題三：請任意畫出正六面體展開圖至少兩個以上…

學生小組討論與上台報告畫出與寫至學習單。

問題四：請任意畫出正八面體展開圖至少兩個以上…

學生小組討論與上台報告畫出與寫至學習單。

二、尤拉公式-統整時刻

正多面體有且僅有五種，可用簡單多面體的尤拉公式導出。

腦力激盪時刻：

問題一：(1)V 是否隨 F 增大呢？

(2)V 與 F 是否為一致地隨著 E 的增大而增大呢？

(3)FV是否隨著 E 的增大而增大呢？

(4)一般多面體都符合尤拉公式嗎？

25 分鐘

20 分鐘

學習單

、幾何圖形教具與簡報教學檔案

學習單

、幾何圖形教具與簡報教學

問答評量、

上台報告與創意思考評量

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問題二：右下圖為凹中空立方體，

試求V   E F 。學生進行討論發言，老師引導正確答案！

四、教師總結

利用幾何圖形創作歷程活動中，讓學生完全明暸體認以平面幾何的認知來擴展立體幾何的知識，進而直接分析立體圖形，期盼進一步再擴充其應用與理論，至完全融會貫通為止。

---教學主題活動：明察秋毫第一節課結束--- 5 分鐘

檔案

---教學主題活動：明察秋毫第二節課開始---

※主要內容／活動一、理論時間

1.證明：平面上任一凸邊形的頂點數V ，邊數 E ，區域數 R 滿足下列等式：1 V   E R 1。

2.證明：空間中凸多面體的頂點數V ，邊數 E ，面數 F ， 則V   E F 2。

學生進行論證推論並發言，老師引導正確答案！

二、慕比斯環(Möbius strip)的探究 1

2處剪一周、在寬度1

4處剪一周看看有何變化？

學生進行論證推論並發言，老師引導正確答案！並推廣…

三、透過 GeoGebra 電腦軟體繪出幾何創作圖形理論時間 建構出幾何圖形-正k邊形是以「多項式定理」為思考中心，學生完成為三次七項式建構出幾何圖形-七邊形與三次九項式建構出幾何圖形-九邊形。

四、透過 GeoGebra 電腦繪圖黃金三角形與黃金五角星

10 分鐘

15 分鐘

12 分鐘

10 分鐘

學習單與簡報教學檔案

學習單

數台筆記電腦

書面評量

實作評量與創意思考評量

電腦實作評量

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四、教師總結

回饋說明羅巴切夫斯基 (Lobachevesky)：「數學不管多抽象，總有一天可以用在外在的真實世界。」幾何體認只要透過實作歷程，即可從抽象至具體是幾何微妙之處。

3 分鐘

接著進行『壯觀世界』單元課程，其教學流程說明如下：

『壯觀世界』單元課程教學流程 ^時間

教學資源

教學評量

1.確認教學的主要內容與收集資料含書籍、期刊資料、網路資料。

2.製作簡報教學檔案與學習單。

二、學生：完成上次上課學習單。

一、欣賞松果上螺旋紋方向如下圖

二、幾何元素探究活動

提供世界各國 LOGO 賞析--幾何篇，探究幾何元素意涵。

以簡單幾何元素為主軸，幾何元素包含圓形、橢圓形、四方形、菱形、多邊形、箭頭、曲線與三角形等，帶動生活幾何圖形蘊藏人文智慧探討。

5 分鐘

15 分鐘

簡報教學檔案

、學習單與有線上網

問答評量

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三、幾何元素腦力激盪時刻：

各組同步上網搜集生活幾何，而其基本的設計要素不外乎會提到點、線、面這三種要素而生，對應著幾何元素而生。教師引導學生思考生活上標誌或建築物是由哪些幾何元素而生，並共同討論其隱藏著人文智慧價值。

四、古建築探究活動：

(1)介紹與探討金字塔、巴黎愛飛爾鐵塔、希臘的衛城與帕德嫩神殿的幾何結構藏著數學概念，學生共同思考與上網搜尋資料。

老師分享回饋：

1.若金字塔高度h的平方等於外部三角形面積ab，則a

b為黃金比例。

2.巴黎愛飛爾鐵塔第二層以下和第二層以上的高度比為黃金比=0.618。

3.希臘的衛城，其正面的長方形正是黃金長方形。

4.介紹與探討帕德嫩神殿的幾何結構內藏黃金分割比例。

五、柏拉圖立體與黃金分割美的饗宴分享

六、教師總結

幾何之源—古希臘“調和”之精神，數學的美，使我們與大自然更為接近，大自然的美開闊了我們的胸襟，加深了我們的視野。美與善可以調和，數學家喜歡平靜與天真…

---教學主題活動：壯觀世界第一節課結束--- 15 分鐘

8 分鐘

3 分鐘

2 分鐘

簡報教學檔案與有線上網

簡報教學檔案

問答評量與創意思考評

量

問答評量

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正三角形、正方形與正六邊形的組合地磚圖案

---教學主題活動：壯觀世界第二節課開始---

※主要內容／活動一、引起動機：

用同樣大小且同一種的正多邊形鋪地板的方法有幾種？

同學思考與共同討論發言！

二、美麗的連續圖形

在日常生活中，常常可以見到各式各樣的包裝紙、壁紙、磁磚、拼花地板、衣服、窗簾布等圖案，這些圖案覆蓋在平面上，既不留空隙也沒有重疊，這種圖形就是一般所稱的連續圖形要設計連續圖形，必須先設計基本圖案，

再利用平移、鏡射或旋轉伸縮將基本圖案擴展到整個平面。經過匠心巧思設計的連續圖形有美感的效果或趣味，

在藝術創作與商業活動有應用價值。

美的饗宴分享：

理論時刻：

兩個或兩個以上圖案的組合、基本圖案不一定為正多邊形：圖形說明如下：

分析說明：

15 分鐘

簡報教學檔案

、學習單

簡報教學檔案

、學習單

問答評量

地磚圖案

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三、曼陀羅的藝術和創作理論時刻：曼陀羅的藝術與圓

1. 教師說明圓形結構的藝術與科學上的價值。

2. 教師說明曼陀羅多元性象徵意義。

3. 教師分享侯俊明說：「圓形的曼陀羅像一面鏡子…

4. 教師分享曼陀羅與生命的流動…成就一個更大、更完整的圓。

美的饗宴分享：學生完成曼陀羅的藝術和創作的學習單

1.列出一小部分曼陀羅的藝術和創作作品

2.生活上的曼陀羅 - 在許多文化中的迷宮遊戲也是某種的曼陀羅。

學生活動：學生書寫曼陀羅的藝術和創作的回饋單四、教師總結

數學與藝術常被視為人類知識理性思維的產物與感性認知的結晶。在人類歷史的發展上，數學與藝術著時有著密切的關聯。就從古至今歷經數千年，蘊藏著藝術仍洗鍊屹立不墜的原因為數學密碼 — 幾何和比例。然而在文藝復興時期藝術家對於幾何比例的重視，產生了所謂「透視法」，至十六世紀「透視法」的發展更激發了後來「射影幾何」的誕生，可見幾何與藝術微妙不可分與知識學問。

15 分鐘

5 分鐘

伍、實施成效與結果

本研究在高中數學專題課程進行「數學實作」教學，設計四個教學主題活動，

以傳遞「欲觀幾何性，一切唯圖造」的重要概念，傳神幾何從抽象至具體的歷程，

而融入美國哈佛大學心理學家迦納(Howard Gardner)的多元智慧理論內涵架構，

配合不同教學策略下，小組加速教學學習歷程中，促進了培養學生充分發揮多元智慧的機會，也獲得教學主題活動的多元能力培養的歷程，其結果如下：

(20)

一、「微觀入理-探究數學史」單元課程 (一)學生自製探究數學史的簡報檔

A 同學-數學靈魂下的跳躍音符-畢達格拉斯

B 同學-解析幾何之父笛卡兒

老師分享回饋：學生自主製作主題數學史的簡報檔，可見學生數學知識快速成長，

歷程學生有了另一個思考的機會，也對概念與理論更好的瞭解，再由教師的引導，更能深入主題核心，是共享知識的殿堂。

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(二)探究數學史他評與自評評量

學生進行自評與他評，請就依如下五項項目表現

組織架構語言表達簡報製作史料完備創意有趣以表現優良(4)、表現良好(3)、表現尚可(2)、尚待加強(1)，由以上四等第中擇一給予評分。

口語評分結果分析：學生能以很客觀態度評分，就其同學的表現給予真實的回饋，統計結果與老師心中評分名次完全符合。而學生自主探究數學史且自製簡報檔，其內涵都有實質的呈現，整體表現不錯。

(三)探究數學史學習成果量表

項目是否

探究數學史讓你更清楚研究主題內涵 100% 0%

探究數學史可提高研究主題的動機 90% 10%

探究數學史更瞭解數學家的多元人文面向 100% 0%

探究數學史可幫助你去釐清數學概念與數學發展脈絡 100% 0%

探究數學史後相信數學是推進人類文明的要素 90% 10%

探究數學史提升你的數學思考 70% 30%

探究數學史後你會更願意使用較深的思考與應用較抽象的數學 90% 10%

探究數學史更相信數學規律有其道理 60% 40%

探究數學史後更激發你去解決或論證數學問題 50% 50%

探究數學史學習成果量表結果分析：學生在探究數學史歷程後，學習成果量表分析百分比如上表，其中有二項：提升你的數學思考與更激發你去解決或論證數學問題百分比較低，可見這二項是無法從此主題達到高水準的層次，相對性更需要經過更多數學探究或改變教學策略而提升。

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(四)探究數學史歷程最大收穫學

生回答

學生回答

學生回答學生回答

二、「按圖索驥」單元課程

(一)透過 GeoGebra 電腦軟體繪出幾何創作圖形與展開圖

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(二)幾何實作成品

(三)按圖索驥-幾何實作的檢核表

幾何實作已達

到

部分達到

未達到 1.釐清辨認、分類、描述、命名幾何形體。 70% 30% 0%

2.學會描繪、仿製、建造幾何形體。 70% 30% 0%

3.理解辨認、描述形體之屬性及其部分。 50% 50% 0%

4.理解形體的組成要素及其關係。 60% 40% 0%

分析幾何形體之特徵及

其性質 5.理解垂直、平行等性質及其關係。 70% 30% 0%

1.使用適當方位語詞或座標系統描述物體在空間中的位置及關係。

50% 50% 0%

2.依空間中物體的位置關係，描述物體移動路徑及方向。

50% 50% 0%

空間方位的描述與表徵

3.判別並計算物體在空間位置中的距離關係。 50% 50% 0%

1.探究形體間的轉換、變形、合成與分解，以建立幾何性質之推測及檢驗。

40% 60% 0%

2.辨識、描述圖形的翻轉、旋轉、平移等幾何變換及其在平面上的組合。

50% 40% 10%

3.探究形體之全等、相似、放大與縮小，並運用其性質推理解題。

40% 60% 0%

幾何形體間關係及其論證

4.根據形體性質與關係之推測，發展邏輯的推論並驗證結果。

50% 50% 0%

1.辨識、理解立體形體在平面上之表徵關係，並運用其推理解題。

40% 60% 0%

2.利用形體之特徵與性質解決問題。 60% 40% 0%

3.使用尺規工具測量與繪製圖形。 50% 50% 0%

幾何模式化推理解題

4.連結幾何、數與測量的概念，並利用幾何模式化解決問題。

40% 60% 0%

(24)

5.利用視覺化與空間推理解決問題。 50% 50% 0%

幾何實作的檢核表結果分析：

從平面概念到空間概念，學生不容易用直觀的空間圖像來處理問題，所以本課程設計是想透過「幾何實作」活動，直觀地探究及構想平面及立體圖形的幾何性質，更細膩察覺圖形的構成要素和全等之間的關係，並將圖形內化為心像，從具體的實物操弄進展到抽象操弄的層次。在整個過程中採小組合作自主

學習完成幾何立體圖形，而老師從旁指引與提供創意思考的學習單，試圖讓學生能真正融會貫通，檢核表四大項平均百分比統計表如下說明：

幾何實作檢核表

0%

50%

100%

150%

未達到部分達到已達到

未達到 0% 0% 3% 0%

部分達到 36% 50% 50% 53%

已達到 64% 50% 47% 47%

分析幾何形體之特徵及性質

空間方位的描述與表徵

幾何形體間關係及其論證

幾何模式化推理解題

很明顯此活動最有利於「分析幾何形體之特徵及其性質」的學習，就是幾何初探，而其中「幾何形體間關係及其論證」部分第 2 項仍有未達到 10%，這仍需進階課程去引導，幫助釐清應用此概念。最後深信「幾何實作」活動能直觀地澄清數學知識的概念，空間迷失能有效的解決，也提供多元思維的聯結，能對學習及解題的反省能力，增進後設認知能力，將數學知識融會貫通與應用。

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(四)慕比斯環(Möbius strip)實作探索：以下是學生回饋

慕比斯環(Möbius strip)實作探索老師回饋：

莫比烏斯帶（Möbius strip 或者 Möbius band）是一種拓撲學結構，它只有

一個面，和一個邊界。它是由德國數學家、天文學家莫比烏斯和約翰·李斯丁在 1858 年獨立發現的。這個結構可以用一個紙帶旋轉半圈再把兩端粘上之後輕而易舉地製作出來。莫比烏斯帶本身具有很多奇妙的性質，剪一剪可得出下表結果：

剪一剪 1

2處剪一周在寬度 1/3 處剪一周在寬度 1/4 處剪一周剪後的

圖形

看看有何變化？

變成 2 倍長且1 2倍寬的一個圈。

此圈扭轉了兩次再結合的環，但並不是莫比烏斯帶。

變成 2 倍長且1

3倍寬的一大圈與 1 倍長一個旋轉了兩次再結合的環且

1

3倍寬的一小圈的莫比烏斯帶。

變成 2 倍長且1 4倍寬的 2 個大圈。此圈為扭轉了兩次兩個環。

數學家斷言：莫比烏斯帶只有一邊。如果你不相信，就請剪開一個驗證，帶子分離時候卻還是相連。這是實作可傳達『觀看平面幾何，壯觀立體幾何』的數學意境。

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(五)尤拉公式深入探討：學生創意思考哪些圖形符合尤拉公式與論證歷程

三、「壯觀世界」單元課程

(一)學生曼陀羅的藝術和創作

老師分享回饋：

義大利文藝復興藝術家達文西曾說：「繪畫就是科學」。科學通常給人的感覺是理性的化身，而藝術則為感性的代表，就藝術本質其與科學間存有微妙的互動，從這些幾何形式呈現的藝術作品，我們可視其為科學方式的創作，其作品內涵中含有著重於分析、對稱、排列與節奏的表現，正亦與數學思考歷程不謀而合。

深信「只要用心觀察身邊事物，都能發現有趣的事」，美的饗宴在於用心去感受與體驗。

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(二)曼陀羅的藝術和創作回饋單：

學生回答

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伍、結論、建議、反思與未來展望

本研究理念如同英國數學家 Keith Devlin 說：「數學讓不可見變成可見。」

一樣，此乃數學實作的精神從抽象至具體學習歷程，同時愛因斯坦說：「數學作為人類思想的產物，獨立於經驗之外，怎麼可能和現實世界配合得如此天衣無縫？」如同印證了幾何與生活藝術有著隱藏深層的知識殿堂般，課程引導就是希望學生能從生活中處處可見的幾何形體中，體驗到真實的立體感，建構出簡單的基本空間概念，進而導引出理論應用，同時也開發學生的想像力、創意思考與多元智慧，進而體驗由幾何創作之藝術作品賞析，更能豐富生命與壯觀世界觀。從學生回饋及教學者之課程省思中列出點說明：

一、人間處處有數學

從數學史可很清楚的知道數學是一種信念想法，而數學教育並不是一種幻想，乃是實踐。黃敏晃教授曾講：「人間處處有數學」，數學概念應融於生活環境中去落實，而生活美感的體驗，亦發生於生活中，「能察覺生活中與數學相關的情境。」為本課程欲達到的學習目標，透過數學史探究與幾何實作歷程裡，引導學生去體會、去觀察與思考，主動探究環境中幾何圖形與數學脈絡如何連結，自然從平面概念延伸至立體概念，也從抽象延伸至具體，得到實質生活經驗的學習，同時也培養出審美認知與鑑賞的能力。

二、啟發學生主動思考

Ellen J. Langer 表示：「尊重學生的答案，讓他們為自己的經驗下定義，產生屬於他們的假說，讓他們發現界定這個世界的新方法。不要太早為學生錯誤答案下定論，或許我們可以傾聽他們的答案，學生產生的問題，多少會有一些具有創意的觀念或發現。」在課程學習歷程主要是以師生問答互動及小組討論方式進行，對話建立在師生平等互惠上，提高學生自主性與學習興趣，而腦力激盪時刻，

讓學生提出不同看法，重視學生主動思考與學習，自行連結主題脈絡，以培養後設認知的能力。

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三、提升的藝術素養

漢寶德(2004)在其《漢寶德談美》中表示，培養藝術鑑賞之教育，第一步即是張開眼睛。本課程提供很多幾何形體或圖片增強情意部分，即是啟發學生主動探索週遭環境，學生回饋中，在此活動後學生在認知與技能部分，更有興趣深入探索，甚至應用與論證。

四、開發多元智慧的潛力

本課程重視正視每個學生的獨特性，依照學生的強項智慧給予鼓勵與引導，

也提供多元的學習情境去學習，而評量的多元化與自主性，讓學生有展現個人長才的機會，已達到學生能夠激發其多元智慧的潛力，傳達學術實質深層價值。

五、加強探究多元領域課程設計

在課程融入跨領域設計中，在觀察、實驗、論證之中，在嘗試錯誤的過程中，

逐步認識數學規律與思維體系，寬廣地視野去看待學問內涵，分析地接受和分析地批判之，進而將數學內化於一己之知識結構中，體驗一切宇宙奧祕，誠如數學家華羅庚先生所言：「宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，

生物之謎，日月之繁，無處不用數學」。六、紮根學生創意的修養：

創意雖是一種擴散性思維，但並非天馬行空，而是必須能在已有的問題上，

發想出新的問題，或是產生新的問題解決模式。而其問題解決模式能符合敏覺力、流暢性、變通性、精進性與獨創性。這並非與生俱來的能力，而是能經過長時間的訓練所培植出來的。因此我們希望透過課程讓創意的種子，慢慢發芽滋長。

七、多元智慧教學的建議

(一)教材適當與教學時間掌握

進行多元智慧教學要克服的問題是教材適當與教學時間掌握，教學者希望提供學生最豐富的資源教材，在教學中，學生課堂上內容討論熱切時，適當中斷有時難取捨。教學者的思考是：為傳遞課程內容及顧及學生發言權利，教師不妨先評估課程主要內容，針對重點教材，教師可於課堂上深入探討，而對於延伸性題

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材，則可以上網瀏覽方式進行，雖然在進行瀏覽時無法做詳細的討論，但學生亦可從中增廣多元的視野。

(二)主題的掌握

本課程主要內涵是傳達幾何概念，因此在課程進行中，教師需作比重的拿捏，是否會不自覺脫離數學課程外的主軸，關於該點教師應於教學中時時自我提醒。

八、教師專業成長與未來展望

教育的理念旨在提供協助個人的潛能朝最大可能性發展，讓不同稟賦的學生有的揮灑舞台及管道發展自我有利的學習。Gardner認為：「對人類極為重要的是認識並培養各式各樣智慧和以各種形式結合起來的智慧。我們每個人是如此地不同，這是因為我們每個人都擁有不同形式結合起來的智慧。如果認識到這一點，我想我們至少將更能處理在世上所面臨的問題」。一個成功的教學必須要能引導學生充分發揮潛能，開發學習者多元智慧。因此有效教學強調的不僅是教學的過程，它亦強調其結果。

本課程主要是探究幾何圖形，傳遞「欲觀幾何性，一切唯圖造」的重要概念，

這歷程中教師更體會一段話「幾何是土，形是光，教師引導是火，而幾何應用是 水，相互搭配孕育了無窮的數學發明，從多元方向揭開神秘面紗，將幾何、形與 圖緊密連結，說出幾何無窮盡微妙之處」的數學價值。

從課程回顧可得，洞察生活幾何世界與體會生活經驗的知識，實作歷程在潛移默化下引導學生，透由觀察、理解、思考、討論與論證歷程，不僅只是知識層面上的傳遞，因為那是表面的，亦是基本的，更應要想辦法讓學生留下美好的回憶，或是帶給他們延續自發自主探索的動力，期待能朝這個目標繼續努力邁進，

繼續散播數學的種子，等待師生共同發芽，看到更寬闊得數學價值，看盡壯觀世界豐富人生。

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陸、參考文獻

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