不等式 4x －（ 2x － 12 ）＜ x ＋ 的解中

自我評量

不等式圖解的應用 應用問題

上一節，我們學習了如何在數線上圖 示不等式的解。將一個不等式的解以圖示表示時

，除了可以給人較具體的感覺之外，假如問題中 還有其他的限制條件時，藉由畫出不等式的圖解

，可以幫助我們解決問題，請看下面的例題。

1

利用圖示法求最大整數

不等式 4x －（ 2x － 12 ）＜ x ＋ 的解中

，最大的整數是多少？

10

解解

4x －（ 2x － 12 ）＜ x ＋ 4x － 2x ＋ 12 ＜ x ＋ 2x ＋ 12 ＜ x ＋

1 2 10

1 2 10 1 2 1

1 2

10

其解圖示如下：

由上圖可看出，滿足不等式 4x －（ 2x － 1 2 ）

＜ x ＋　　的解中，最大的整數為 － 2 。 10 1 2

不等式 2x －（－ 3x ＋ 1 ）＞ 4x ＋ 1 的解中

，最小的整數是多少？

2x ＋ 3x － 1 ＞ 4x ＋ 1 5x － 1 ＞ 4x ＋ 1

x ＞ 2 滿足 x ＞ 2 的最小整數

上學期，我們學習了將一個數記成科學 記號 a×10

整數） 。不等式「 1≦a ＜ 10 」的意義是「 1

≦a 且 a ＜ 10 」 ，也就是說，它的解必須使

「 1≦a 」與「 a ＜ 10 」同時成立。

2 圖解含有兩個不等號的不等式

在數線上圖示不等式 2≦x ＜ 6 的解。

解解

2≦x ＜ 6 就是「 2≦x 且 x ＜ 6 」。

在同一條數線上分別圖示 2≦x 的解與 x

＜ 6 的解，重疊的部分就是不等式 2≦x ＜

6 的解。圖示如下：

1. 在數線上圖示－ 2 ＜ x 3 ≦ 的解。

2. 在數線上圖示

的解。

2 1

2

3 圖解含有兩個不等號的不等式

解一元一次不等式－ 1 ＜ 2x － 3 5 ≦ ，並圖示其

解。

解解

－ 1 ＜ 2x － 3 5 ≦ 表示「－ 1 ＜ 2x － 3 且 2x

3 5 ≦ 」。

由－ 1 ＜ 2x － 3 　 得 x ＞ 1………

由 2x － 3 5 ≦ 　 得 x 4……… ≦  分別畫出、兩式的圖解，

重疊的部分就是不等式－ 1 ＜ 2x － 3 5 ≦ 的解。

圖示如下：

不等式－ 1 ＜ 2x － 3 5 ≦ 的解為 1 ＜ x 4 ≦

解一元一次不等式－ 5 3 ≦ x ＋ 1 10 ≦ ，並圖示其

。 解

≦x

由 3x ＋ 1 10 ≦ 得 x 3

≦

所以其解為－ 2≦x 3≦

要打好數學基礎有兩個必經過程：先學習、接受

「由薄到厚」；再消化、提煉「由厚到薄」。

—— 華羅庚（ 1910-1985 ）

在日常生活情境中，某些數量的大小

關係可用一元一次不等式表達，但是求出不等式

的解，並不見得就是原問題的解。這是因為真實

環境中有一些我們習以為常的「條件」，這些條

件並不見得會在問題中被強調出來，例如：長度

為正數、人數是正整數、 ⋯⋯ 。因此，當我們解

應用問題時，這些隱含的限制條件必須自行列入

考慮，並寫成不等式。

4

最小整數的應用題

煌奇想買一輛價格 3200 元的腳踏車，已知他

現有存款 1000 元，他計畫從這個月起每月存

款 250 元，問至少要幾個月後他才有足夠的錢

可買這輛腳踏車？

解解

設煌奇存了 x 個月，

則總存款為（ 1000 ＋ 250x ）元，

依題意可列出不等式　 1000 ＋ 250x 3200 ≧ 解不等式　 1000 ＋ 250x 3200 ≧

250x 2200 ≧

5

8

其解圖示如下：

由圖可知滿足不等式的最小整數解為 9 ，

所以至少要存款 9 個月。

綺貞的父親今年 56 歲，六年前父親的年齡小 於綺貞年齡的 4 倍，問綺貞今年至少多少歲？

19 歲

5

圖示解不等式的應用

已知一個長方形的長為（ x － 2 ）公分、寬為 6 公分，若此長方形的面積不大於 48 平方公 分，求

x 的範圍。

解解

因為面積不大於 48 平方公分，可列出不等 式 6 （ x － 2 ）≦ 48

x － 2 8

≦ 　 得 x 10 ≦

在數線上圖示其解，可得

又因為邊長必大於 0 ，所以可列出不等式 x － 2 ＞ 0 ，解得 x ＞ 2

在上面的數線圖加上這個解，可得

所以原問題的解為 2 ＜ x 10 ≦

6

圖示解不等式的應用

已知一個三角形的底長為 5 公分，高為（ x －

5 ）公分，若此三角形的面積不小於 20 平方公

分，求 x 的範圍。

解解

因為面積不小於 20 平方公分，

可列出不等式　 5× （ x － 5 ） × 20 ≧

≧ 　 得 x 13…….. ≧ 

又因為高必大於 0 ，

所以列出不等式 x － 5 ＞ 0 ，解得 x ＞ 5

…... 

由式、式可以畫出以下的圖形：

1 2

故 x 13 ≧

1. 已知一個長方形的長為 （ x － 1 ）公分，寬 為 5

公分，若此長方形的面積不小於 30 平方公 分，

求 x 的範圍。 x 7

－ 3 ＜ x 6≦

2. 已知一個三角形的底長為 ( x ＋ 3 ) 公分，高 為

4 公分，若此三角形的面積不大於 18 平方 公

分，求 x 的範圍。

7

圖示解不等式的應用

純美買了每本 15 元的筆記本 5 本，每枝 7 元的原子筆 3 枝，及每枝 24 元的鋼珠筆若干 枝（至少買 3 枝），總共花費不超過 240 元

，請問純美可能買了幾枝鋼珠筆？

解解

設純美買了 x 枝鋼珠筆，

因為總共花費不超過 240 元，可列出不等式 　 15×5 ＋ 7×3 ＋ 24x 240 ≦

24x ＋ 96 240 ≦

24x 240 ≦ － 96 24x 144 ≦

x 6………

≦ 

又因為至少買 3 枝，故 x 3……. ≧ 

將、式圖示在同一數線上，可得

又 x 為整數，所以純美可能買了 3 枝、 4 枝

、 5 枝或 6 枝鋼珠筆。

2 個、 3 個、 4 個、 5 個或 6 個

志祥買了每個 15 元的麵包 5 個，每個 20

元的蛋糕若干個（至少買 2 個），總共花費不

超過 200 元，請問志祥可能買了幾個蛋糕？

1. 利用圖示法求最大（或最小）整數：

例如：求 x ＜－ 中， x 的最大整數 圖示如下：

1

由圖知最大整數為－ 2

2. 圖示兩個不等號的圖形：

例如：圖示 1≦x ＜ 4 ，求出 x 的整數解

由圖知整數解為 1 、 2 、 3

3. 解一元一次不等式的應用問題步驟：

(1) 設定一個未知數。

(2) 依題意列一元一次不等式。

(3) 解一元一次不等式。

(4) 求出與題意相符的解。

5-2 自我評量

1. 不等式 2 （ x － 4 ）－ 6 ＞ x － 11 的解中，

最小的 整數是多少？

4

2. 在數線上，圖示－ 2 ＜ x≦7 的解。

3. 解一元一次不等式－ 12 ＜ 3x － 7

－ ＜ x 6

3 5

4. 有一梯形的上底為 5 公分，已知下底比上底 長，若高為 4 公分，面積不大於 40 平方公 分，求下底的範圍。

5 ＜下底≦ 15

5. 某人欲購買價值 30000 元的電腦，已知他有 積

蓄 7500 元，若他每週可儲蓄 450 元，則最 少還

需幾週後，才可以買到他想買的電腦？

不等號的介紹

不等號（ Sign of Inequality ）是用以 表示兩數（或兩量）之間大小關係的符號。除 了課本中介紹過的「＞、＜、≧、≦、≠」外

，在數學上，也會用「＞」來表示不大於，用

「＜」來表示不小於。

1629 年，法國數學家笛卡兒 ( René Descartes

， 1596-1650 ) 在其代數教程裡，用「 A ff B 」 代表 A 大於 B ，以及用「 BξA 」代表 B 小 於 A 。

1631 年，英國著名的代數學家哈里奧特（ T

homas Harriot ， 1560-1621 ）在其出版的數學著

作中，首先創用了「＞」（大於）及「＜」（小

於），但未被廣泛採用。

同時期的英國數學家奧特雷德（ William Oughtre d

， 1574-1660 ）以「 」表示大於，以「 」表示 小於，這兩種符號至十八世紀仍被採用。

1655 年，沃利斯（ John Wallis ， 1616-1703

，英國）曾以「 」表示「等於或大於」；到了 1

670 年，他以「 」、「 」分別表示「等於或大

於」和「等於或小於」。

而根據哥德巴赫（ Christian Goldbach

， 1690-1764 ，俄羅斯）於 1734 年 1 月寫給

尤拉（ Leonhard Euler ， 1707-1783 ，瑞士）的

一封信所述，現今通用之「≧」與「≦」符號則

為法國人布蓋（ Pierre Bouguer ， 1698-1758 ）

所首先採用，然後再逐漸流行。

到了近代，「＞」、「＜」分別表示 大 於 及 小 於 的 符 號 ， 逐 漸 被 廣 泛 採 用 ， 並 以

「＞」、「＜」、及「≠」來表示不大於、不小 於及不等於。

而在 1901 年，法國數學家龐加萊（ J

ules Henri Poincare ， 1854-1912 ）與波萊爾（ B

orel ， 1871-1956 ）則引入了符號「》」表示遠

大於，「《」表示遠小於。