• 沒有找到結果。

二元一次方程式的解: 將 x = m 、

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "二元一次方程式的解: 將 x = m 、"

Copied!
21
0
0

加載中.... (立即查看全文)

全文

(1)

二元一次方程式的解:

將 x = m 、y= n 代入二元一次方程式y= ax +b後,等號兩邊數值相等時,我們稱這 一組 x 、y值為二元一次方程式y= ax +b的解。並可以用數對( m , n )來表示描繪在 直角座標平面上。

有一個二元一次方程式為 x -2y=1,把 x =3、y=1 代入此方程式,

可得 3-2×1=3-2=1 與方程式符合,

所以 x =3、y=1 稱為方程式 x -2y=1 的一組解。

利用以前學過的等量公理,我們也可將 x -2y=1 改寫成y=  2 

x - 

1 的形式

這樣找二元一次方程式的解會比較簡單方便。 

x =1 

y=0 

x =2 

y= 

x =3 

y=1 

x =4 

y=1  2 

x =5 

y=2 所以一組方程式可以找到很多組的解。

注意:二元一次方程式的解會有無限多組解,例如: x =1、y=0 或 

x =-1、

y=-1 等,都是方程式 x -2y=1 的解。

【範例】:有一個二元一次方程式為 2 x +y=2,請找出五組此方程式的解?

解 :先將方程式 2 x +y=2 改寫成y=-2 x +2 的形式 取不同的 x ,我們會有以下的解: 

-1 0 1 2

4 2 0 -2 -4

我們可以把解寫成有序數對為(-1,4)、(0,2)、(1,0)、(2,-2)、(3,-4),

接著把五組解一一描到直角座標平面上,結果如下圖:

(2)

我們發現這五個點,在座標平面上像是一條直線,如果我們再找多一點解圖形 會如何呢?

我們在多找幾組 2 x +y=2 的解,在把它描到直角座標平面上看看結果為何?

下面每一組 x 、y的值,都是 2 x +y=2 的解: 

-1 -  2 

1  0 

1  1 1 

1  2 2 

1  3 3 

4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5

把它描到直角座標平面上的結果如下圖所示:

比較上面兩個圖的結果,圖形越來越像一條直線,這樣將方程式的點描在平面 座標上,所得的圖形就稱為這個方程式的圖形。

所以方程式 2 x +y=2 所有的解,都會落在直角座標平面的這條直線上。

注意:由上圖可知連接兩點就可以決定一條直線,以後作圖可以只取兩個點就 可以了。

二元一次方程式的圖形:

二元一次方程式的標準式為 ax + by = c ,我們可以透過直角座標平面將方程式 的圖形描繪出來,根據二元一次方程式的不同,我們將圖形分為下列幾個類型。

1.  yk的圖形:

二元一次方程式yk的圖形是一條平行 x 軸的水平直線,而y=0 是代表 x 軸。

如下圖所示: 

o

(3)

【範例】:請在座標平面上,試描繪出方程式y=3 的圖形。

解 :因為平面上兩點可以畫一條直線,所以我們先找出兩組解  y=3 的解為: 

0

3 3

將方程式的解描到座標平面上,再分別 將兩點連接成一條直線,如右圖所示。

2.  x =b的圖形:

二元一次方程式 x =b的圖形是一條平行y軸的水平直線,而 x =0 是代表y軸。

如右圖所示:

【範例】:請在座標平面上,試描繪出方程式 x =-3 的圖形。

解 :因為平面上兩點可以畫一條直線,所以我們先找出兩組解 

x =-3 的解為: 

-3 -3 

-2 0

將方程式的解描到座標平面上,再分別 將兩點連接成一條直線,如右圖所示。 

(0k) 

y

y

(23)  y=

(b0) 

y

x

y

(-30) 

x=-3 

(-3-2)

(4)

3.  y= ax ( ¹ 

a  0)的圖形:

二元一次方程式 ax + by = c ,當 c =0 時 ax + by =0,我們可以移項化簡為  y= 

- a 的形式。

【範例】:請在座標平面上,試描繪出方程式 3 x -y=0 的圖形。

解 :當 3 x -y=0 時可以移項化簡成y=3 x y=3 x 的圖形:

先找出兩組方程式的解為: 

0

0 3

再將兩點描到座標平面上,再將兩點連接成 一條直線,則此直線即為y=3 x 的圖形。

注意:在座標平面上,二元一次方程式y= ax ( a >0)的圖形是一條通過原點的 直線,而且這條直線會經過第一象限與第三象限。

【範例】:試比較方程式y= x 、y=2 x 、y=3 x 在座標平面上的圖形。

解 :因為平面上兩點可以畫一條直線,所以我們先找出兩組解  y= x 的解為: 

0

0

y=2 x 的解為: 

0

0

y=3 x 的解為: 

0 -1 

0 -3

將方程式的解描到座標平面上,結果如右圖所示: 

x 項係數越大,直線圖形越陡,也就是直線圖形的

斜率越大,且圖形都通過一、三象限。 

y= 3x  (13) 

(00) 

y= x  y= 2x  y= 3x 

o

(5)

【範例】:請在座標平面上,試描繪出方程式 2 x +y=0 的圖形。

解 :當 2 x +y=0 時可以移項化簡成y=-2 x y=-2 x 的圖形:

先找出兩組方程式的解為: 

-1

2 -2

再將兩點描到座標平面上,再將兩點連接成一條直線,

則此直線即為y=-2 x 的圖形。

注意:在座標平面上,二元一次方程式y= ax ( a <0)的圖形是一條通過原點的 直線,而且這條直線會經過第二象限與第四象限。

【範例】 :試比較方程式y=- x 、y=-2 x 、y=-3 x 在座標平面上的圖形。

解 :因為平面上兩點可以畫一條直線,所以我們先找出兩組解  y=- x 的解為: 

0

0 -2 

y=-2 x 的解為: 

0

0 -4 

y=-3 x 的解為: 

0 -1 

0 3

將方程式的解描到座標平面上,結果如右圖所示: 

x 項係數負的越大,直線圖形越陡也就是直線圖形

的斜率越大,且圖形都通過二、四象限。 

y= -2x 

(1-2)  (-12) 

y= -2x  y= -x 

y= -3x 

o

(6)

結論:在座標平面上,二元一次方程式y= ax ( a >0)以及y= ax ( a <0)的圖 形是一條通過原點的直線,如下圖。

0< a <b< c ,  khl<0,

此直線通過一、三象限。 此直線通過二、四象限。

4.  y= ax ± b  ( ¹ 

a  0、

b>0)的圖形:

二元一次方程式 ax + by = c ,我們可以移項化簡為y=  - a + 

的形式。

【範例】:試在座標平面上,試描繪出方程式 x +y=2 的圖形。

解 :當 x +y=2 時可以先移項化簡成y=- x +2 y=- x +2 時的圖形:

先找出兩組方程式的解為: 

0

2 0

再將兩點描到座標平面上,再將兩點連接成 一條直線,則此直線即為y=- x +2 的圖形。

描繪直線的小技巧:先將方程式 ax + by = c ,移項化簡為y=  - a + 

取 x =0 求出y= 

- a ;再取y=0 求出 x =  即可快速找出兩點,在連接此兩點即為一條直線。 

y

y= -x+2 

(20)  (02) 

y= ax  y= bx  y= cx 

y= hx  y= lx 

y= kx 

o

(7)

【範例】:試在座標平面上,試描繪出方程式 x -y=2 的圖形。

解 :當 x -y=2 時可以先移項化簡成y= x -2 y= x -2 時的圖形:

先找出兩組方程式的解為: 

0

-2 0

再將兩點描到座標平面上,再將兩點連接成 一條直線,則此直線即為y= x +2 的圖形。

【範例】:請在座標平面上,繪出方程式y= x 、y= x -2 與 y= x +2 的圖形。

解 :因為平面上兩點可以畫一條直線,所以我們先找出兩組解。 

y= x 的解為: 

0

0

y= x -2 的解為: 

0

-2

y= x +2 的解為: 

0

2 4

將三個方程式的解描到座標平面上,再分別將兩點連接成一條直線,如圖所示。

在右圖中,y= x 、y= x -2 與y= x +2 的圖形都是直線,而且三條直線兩兩 互相平行。 

y= x

(02)  (0-2) 

y= x+2 

y= x-2  y= x

(8)

【範例】:請在座標平面上,繪出方程式y=-2 x 、y=-2 x -4 與 y=-2 x +4 的圖形。

解 :因為平面上兩點可以畫一條直線,所以我們先找出兩組解  y=-2 x 的解為: 

0

0 -4 

y=-2 x -4 的解為: 

0 -2 

-4

y=-2 x +4 的解為: 

0

4 0

將三個方程式的解描到座標平面上,再分別將兩點連接成一條直線,

如圖所示。在下圖中,y=-2 x 、y=-2 x -4 與 y=-2 x +4 的 圖形都是直線,而且三條直線兩兩互相平行。

結論:方程式y= ax +by= ax -b的圖形都是一條直線(其中 ¹ 

a  0、

b>0)。 

y= ax ± b的圖形可看成是方程式y= ax 的圖形,沿著y軸方向移動而 得,如下圖所示:

當 a >0、b>0 當 a <0、b>0 

(0,-b)  (0,b) 

y=ax+b 

y=ax-b  y=a

(0,-b)  (0,b)  y=ax+b 

y=ax-b  y=ax 

y= -2x  y= -2x-4 

y= -2x+4 y

(9)

二元一次聯立方程式的幾何圖形:

由上面的一些範例可以知道,二元一次方程式 ax + by = c 的圖形,在座標平面上 是一條直線,只要找出方程式的兩組解,就可以描繪出二元一次方程式的圖形。

當兩條直線相交於一點的時候,它們的交點座標即為二元一次聯立方程式的解。

【範例】:請在座標平面上描繪出二元一次聯立方程式 î í ì

= +

-

= - 

2  1  3 

的圖形,並

求出其交點座標。

解 :我們先利用之前學過的代數運算方法求出解

î í ì

= +

-

= - 

­(2) 

­ 

­ 

­ 

­ 

­  2 

(1) 

­ 

­ 

­  1  3 

將(1)-2×(2)可得:-5y=-5  y=1

y=1 代入(1)式或(2)式中可得 x =1 所以我們可得聯立方程式解( x ,y)=(1,1)

現在我們可以利用幾何圖形的方法,了解聯立方程式解的幾何意義:

先找出兩組方程式 2

-  y 3  = - 1 的解 

-2

-1 3

畫出通過點(-2,-1)、(4,3)的直線 L。

再找出兩組方程式 

+ y = 2 的解 

-1

3 -1

畫出通過點(-1,3)、(3,-1)的直線 M。

如下圖所示:

聯立方程式 î í ì

= +

-

= - 

2  1  3 

的解(1,1),即為兩直線的交點。

結論:給定一組二元一次方程式 ax + by = c ,我們可以在座標平面上描繪出 一條直線,因此,我們也稱 ax + by = c 為一組直線方程式。 

y

(43) 

(3,-1)  (11)  (2,-1) 

(13)

(10)

【範例】:試在座標平面上,試描繪出方程式 

-  2  1  = 

3 的圖形。

解 :先將方程式 

-  2  1  = 

等號兩邊同乘以 8,將其改為 x -  y 4  =12 再將 x -  y 4  =12 移項簡化成y= 

4  3  -3 對方程式y= 

-3 我們可以找出兩點為: 

0

-3 0

再將方程式的解描到座標平面上,分別將兩點連接成一條直線,

如下圖所示。

【範例】:在座標平面上,直線 x + y =20 的圖形與 x 軸相交於 A 點,與 y軸相交 於 B 點,設原點為 O,則:(1)求出 A、B 兩點的座標。

(2) 

AOB 的面積為多少?

解(1):因為直線 x +  y 3  =20 與 x 軸的交點會落在 x 軸上,所以y軸座標為 0 令y=0 代入直線方程式 x +  y 3  =20 可得 x =5,即 A(5,0)。

因為直線 x +  y 3  =20 與y軸的交點會落在y軸上,所以 x 軸座標為 0 令 x =0 代入直線方程式 x +  y 3  =20 可得y= 

20 ,即 B(0, 

3  20 )。

所以 A(5,0)、B(0, 

20 )如下圖所示。

解(2):因為 A 座標為(5,0),與原點的距離為 5; 

B 座標為(0, 

20 ),與原點的距離為  3  20 ,

而且 x 軸、y軸與直線 x +  y 3  =20 相交成直角三角形。

所以 

AOB 的面積:

= 5 ×  3  20  ÷ 2

=  3 

50 (平方單位) 

y=  x-3 

y

A(5,0)  B(0, 

20

(11)

【例題 1】

請找出五組方程式 3 x -2y=6 的解。

答: (-2,-6)、(0,-3)、(2,0)、(4,3)、(6,6)。

【例題 2】

請找出五組方程式 2 x +y=-2 的解。

答: (-2,2)、(-1,0)、(0,-2)、(1,-4)、(2,-6)。

【例題 3】

請找出下列哪些點在直線y=-4 上?

(-1,-4)、(-4,-3)、(-1,0.2)、(0,4)、(-1,1)、(2,0)、(3,-4)。

答:(-1,-4)、(3,-4)。

【例題 4】

請找出下列哪些點在直線 x =2 上?

(-2,2)、(2,-2)、(2,0)、(0,2)、(3,1)、(2,5)、(-3,2)、(2,-4)。

答:(2,-2)、(2,0)、(2,5)、 (2,-4)。

(12)

【例題 5】

在直角座標平面上,畫出下列各組二元一次方程式的圖形。

(1) 2 x +3y=6 (2)  y-3 x =-1

【例題 6】

在直角座標平面上,畫出下列各組二元一次方程式的圖形。

(1) 5 x +4y=20 (2)  x -2y=6

【例題 7】

在直角座標平面上,畫出下列兩個方程式的圖形,檢驗看看它們是否平行?

(1)  x +2y=4 (2)  x +2y=-6

【例題 8】

在直角座標平面上,畫出下列兩個方程式的圖形,檢驗看看它們是否平行?

(1) -3 x +y=-1 (2)  y-3 x =4 

1 ( ,0) 3 (0,-1) 

(0,2)

(3,0) 

y

(0,5) 

(4,0) 

(6,0) 

(0,­3) 

(0,2) 

(4,0) 

(­6,0) 

(0,­3) 

(      ,0)  (0,­1) 

(0,4) 

(­    ,0)

(13)

【例題 9】

若直線 L 為 y= ax +b通過兩點 A(1,-3)與 B(-1,1),請算出 a 與b的值,並 寫出此直線 L 的方程式。

解:將 A(1,-3)代入 y= ax +b,得到 -3= a +b……○ 1 將 B(-1,1) 代入 y= ax +b,得到 1=- a +b……○ 2 將○ 1 +○ 2 ,得到 -2=2 ∴ b=-1 代入○ 1 ,得到 a =-2

y=-2 x -1

答:直線 L 的方程式為y=-2 x -1。

【例題 10】

若直線 L 為 y= ax +b通過兩點 A(2,3)與 B(4,0),請算出 a 與b的值,並寫出 此直線 L 的方程式。

解:將 A(2,3)代入 y= ax +b,得到 3=2 a +b……○ 1 將 B(4,0) 代入 y= ax +b,得到 0=4 a +b……○ 2 將○ 1 -○ 2 ,得到 3=-2 a  ∴  a =- 

3 ,代入○ 2 ,得到  b=6

y=- 

x +6

答:直線 L 的方程式為y=- 

x +6。

【例題 11】

如果有兩條直線方程式分別為 3 x + a y=-6 跟

x -2

y=8,它們的交點為 

P(2,3),請問:(1)請求出 a 與b的值。(2)直線方程式

x -2

y=8 通過哪些象限?

解:(1)將 P(2,3)代入 3 x + a y=-6,得到 6+3 a =-6 ∴  a =-4 將 P(2,3)代入  bx-2y=8,得到 2b-6=8 ∴  b=7

(2)∴ 直線方程式 7 x -2y=8 通過一、三、四象限 答:(1)  a =-4,b=7。(2) 通過一、三、四象限。

【例題 12】

兩條直線  ax +y=-4 跟 2 x -b  y=6 的交點為 A(-2,-4)

請問:(1)請求出 a 與b的值。(2)直線方程式 a  x +y=-4 通過哪些象限?

解:(1)將 A(-2,-4)代入  ax +y=-4,得到 -2 a -4=-4 ∴  a =0 將 A(-2,-4)代入 2 x - by =6,得到-4+4b=6 ∴  b= 

2  5 

(2)∴ 直線方程式y=-4 通過 三、四象限。

答:(1)  a =0,b=  2 

5 。 (2) 通過 三、四象限。

(14)

【例題 13】

設有四個二元一次方程式為 L:2 x +ay=-6,M:2 x +y=7,  N:bx+2y=5, 

O:3 x +2

y=11 相交於同一個點,請求出 a 與b的值為何?

解: 2 x +y=7……○ 1 將○ 1 ×2,得到, 4 x +2y=14……○ 3 3 x +2y=11……○ 2

3 -○ 2 得到  x =3 代入○ 1 ∴  y=1 將  x =3,  y=1 代入 L:2 x +ay=-6 得到 6+ a =-6 ∴  a =-12

將  x =3,  y=1 代入 N:

x +2

y=5 得到 3b+2=5 ∴  b=1

答:  a =-12,b=1。

【例題 14】

如果有四個二元一次方程式為 a  x +2y=3, x -b  y=1,2 x +y=2,2 x -y=2,

請求出 a 與b的值為何?

解:  a  x +2y=3……○

x -

b  y=1……○ 2 2 x +y=2……○ 3 2 x -y=2……○ 4

將○ 3 +○ 4 ,得到 4 x =4 ∴ x =1 代入○ 3 ,得到y=0 將 x =1,y=0 代入○ 1 ,得到  a =3

將 x =1,y=0 代入○ 2 ,得到 1-b×0=1 ∴  b為任意數 答: a =3,b為任意數。

【例題 15】

(1)通過點(4,-2)且平行y軸的直線方程式為何?

(2)通過點(3,-1)且平行 x 軸的直線方程式為何?

答:(1)  x =4。 (2)  y=-1。

【例題 16】

(1)通過點(-5,-1)且平行 x 軸的直線方程式為何?

(2)通過點(-1,9)且平行y軸的直線方程式為何?

答:(1)  y=-1。 (2)  x =-1。

(15)

【例題 17】

兩條直線方程式 3 x -2y=5 與  ax +y=7 之交點在 x =1 上,請求出 a 之值?

解:將 x =1 代入 3 x -2y=5,得到 -2y=2 ∴  y=-1

將 x =1,y=-1 代入  ax +y=7,得到  a -1=7 ∴  a =8 答: a =8。

【例題 18】

兩條直線方程式 2 x -3y=1 與 x +ay=4 之交點在y=1 上,請求出 a 之值?

解:將y=1 代入 2 x -3y=1,得到 2 x -3=1 ∴  x =2 將 x =2,y=1 代入 x +ay=4,得到 2+ a =4 ∴  a =2 答: a =2。

(16)

在上一節已經學過二元一次方程式的作圖,只要在直角座標平面上,給定到兩個點就 能決定一條直線;也學過二元一次聯立方程式的解,為兩條直線的交點座標。想一想,

是不是每一組聯立方程式都會有交點座標呢?

兩直線相交:

設二元一次方程式為 î í ì

= +

= + 

,當 

≠ 

時,此聯立方程式只有一組解,

且圖形為相交於一點的兩條直線。

【範例】 :請在座標平面上描繪出二元一次聯立方程式 î í ì

= +

-

= - 

2  1  3 

的圖形。

解 : 我們先利用之前學過的代數運算方法求出解

î í ì

= +

-

= - 

­(2) 

­ 

­ 

­ 

­ 

­  2 

(1) 

­ 

­ 

­  1  3 

將(1)-2×(2)可得:-5y=-5  y=1

y=1 代入(1)式或(2)式中可得 x =1 所以我們可得聯立方程式解( x ,y)=(1,1) 先找出兩組方程式 2

-  y 3  = - 1 的解 

-2

-1 3

畫出通過點(-2,-1)、(4,3)的直線 L。

再找出兩組方程式 

+ y = 2 的解 

-1

3 -1

畫出通過點(-1,3)、(3,-1)的直線 M,如下圖所示:

∴ 此聯立方程式 î í ì

= +

-

= - 

2  1  3 

有唯一解為(1,1),即為兩直線的交點。 

y

(43) 

(3,-1)  (11)  (2,-1) 

(13)

(17)

兩直線重合:

設二元一次方程式為 î í ì

= +

= + 

,當 

= 

= 

時,此聯立方程式有無限多解,

且圖形為重合的兩條直線。

【範例】 :請在座標平面上描繪出二元一次聯立方程式 î í ì

= +

= + 

12  6  4 

6  3 

的圖形。

解 : 我們先利用之前學過的代數運算方法求出解

î í ì

= +

= + 

­(2) 

­ 

­ 

­ 

­ 

­  12  6  4 

(1) 

­ 

­ 

­  6  3 

先找出兩組方程式 2

+  y 3  = 6 的解: 

0

2 0

畫出通過點(0,2)、(3,0)的直線。

再找出兩組方程式 4

+  y 6  = 12 的解: 

0

2 0

畫出通過點(0,2)、(3,0)的直線,如下圖所示:

我們發現兩條直線是重合的,且在直線上的每一個點座標,都是此 聯立方程式的解。所以此聯立方程式

î í ì

= +

= + 

12  6  4 

6  3 

有無限多解,

而且兩條直線重合。

兩直線平行:

設二元一次方程式為 î í ì

= +

= + 

,當 

= 

≠ 

時,此聯立方程式為無解,

且圖形為平行的兩條直線。 

(0,2)  (3,0)

(18)

【範例】 :請在座標平面上描繪出二元一次聯立方程式 î í ì

= +

= + 

12  3  2 

6  3 

的圖形。

解 : 我們先利用之前學過的代數運算方法求出解

î í ì

= +

= + 

­(2) 

­ 

­ 

­ 

­ 

­  12  3  2 

(1) 

­ 

­ 

­  6  3 

先找出兩組方程式 2

+  y 3  = 6 的解 

0

2 0

畫出通過點(0,2)、(3,0)的直線。

再找出兩組方程式 2

+  y 3  = - 6 的解 

0 -3 

-2 0

畫出通過點(0,-2)、(-3,0)的直線,如下圖所示:

我們發現兩條直線是平行的,所以兩條直線沒有共同的解。也就是說,

此聯立方程式的沒有交點座標。

所以此聯立方程式 î í ì

= +

= + 

12  3  2 

6  3 

為無解。

【範例】 :判斷下列各組聯立方程式,何者為無解、何者為無限多組解、何者只有一組解。

(1) î í ì

= -

= - 

12  2  4 

(2)

î í ì

= - -

= - - 

0  10  8  6 

0  5  4 

(3)

î í ì

= +

= - 

12  4  5 

9  2 

解 : (1) ∵  4  2 = 

2  1 - - ≠ 

12 

4  , ∴ 此方程式為無解。

(2) ∵  6  3 = 

8  4 - - = 

10 

5  , ∴ 此方程式有無限多組解。

(3) ∵  5  3 ≠ 

4  2

- , ∴ 此方程式只有一組解。 

(0,2)  (3,0) 

(0,-2)  (-3,0)

(19)

【例題 1】 【例題 2】

若兩直線 ax -3y=4 與 6 x +4y-9=0 相 交於一點,請問 a ≠?

解:

∵ 兩直線相交於一點,只有一組解。

∴  ≠ 

4  3

- Þ 4 a ≠-18

Þ  a ≠ 

9 -

若兩直線 2 x -4y=7 與 3 x +ay=13 相 交於一點,請問 a ≠?

解:

∵ 兩直線相交於一點,只有一組解。

∴  2  3 ≠ 

4

a Þ 2 a ≠-12 Þ  a ≠-6

【例題 3】 【例題 4】

若兩直線 2 x +y=10 與 3 x -ay=3 互相 平行,請問 a =?

解:

∵ 兩直線互相平行,則為無解。

∴  3  2 = 

a

1 Þ -2 a =3

Þ  a =- 

2  3 

若兩直線- ax +2y=6 與 3 x -6y=7 互相 平行,請問 a =?

解:

∵ 兩直線互相平行,則為無解。

∴  a - = 

6  2

- Þ 6 a =6 Þ  a =1

【例題 5】

座標平面上,若兩直線 2 x +y= a 與 3 x - by =12 之交點座標為(-1,2),則 a +2b=?

解: 將(-1,2)代入兩直線方程式。

2 x +y= a Þ 2.(-1)+2= a Þ  a =0

3 x - by =12 Þ 3.(-1)-b.2=12 Þ -2b=15 Þ  b=- 

2  15 

∴  a +2b=0+2.(- 

15 )=-15。

【例題 6】

方程組 î í ì

= - +

= + - 

0  )  (2  3 

,除了( x ,y)=(0,0)這組解之外,還有其它的解,求 a 之値。

解: 有兩組以上之解,所以此方程式有無限多解。

∴  3  1 - = 

a -  2 

2 Þ -2+ a =6 Þ  a =8。

答: a =8。

(20)

【例題 7】

若 4 x -3y=-12 與 x 軸之交點為( a ,0),與y軸之交點為(0,b),則 a +b=?

解:將y=0 代入 4 x =-12 ∴  x =-3= a  將 x =0 代入 -3y=-12 ∴  y=4=

∴  a +b=-3+4=1 答: a +b=1。

【例題 8】

設直線 ax +y+ c =0 通過 A 點(-4,3)且垂直y軸,則 a +b=?

解:∵ 通過 A 點(-4,3)且垂直 y軸 ∴  y=3 即y-3=0

∴  a =0,

b

=-3

∴  a +b=-3

【例題 9】

在座標平面上,畫出下列兩組直線方程式的圖形,並說明此兩條直線之間的關係。

(1) L: 

y=3。 (2) M: 

x + 

1  =1。

解:(1)

(2) 

0

2 0

4

M:  +  y 

=1。 

L: 

+ y =3。 

0

3 0 6

y

(21)

【例題 10】

在座標平面上,畫出下列兩組直線方程式的圖形,並說明此兩條直線之間的關係。

(1) L:2 x -y=3。 (2) M: x +y=4。

解:(1)

(2) 

0

4 0 4

M:x + y =4。 

0

-3 1 2

L :2 x - y =3。

參考文獻

相關文件

[r]

甲、乙兩間通訊行,各以相同的成本買入一款新手機。甲通訊行按成本

索隆目前蒐集了5個玩具公仔,魯夫目前蒐集了25個玩具公仔,從下個

Ctrl+N 建立一個新的 VI Ctrl+B 將程式方塊圖中所有壞線移除 Ctrl+R 執行目前的的 VI Ctrl+T 將人機介面與程式方塊圖左右並列 Ctrl+W 關閉目前的的 VI Ctrl+E

明龍計算一題兩個數相加的數學題目,不小心算成了相減,所得到的答

天霖到水果店買水果,已知水果店只有蘋果和梨子兩種水果,且1顆蘋果

天霖到水果店買水果,已知水果店只有蘋果和梨子兩種水果,且1顆蘋果

一階隨機差分方程式.