二元一次方程式的解： 將 x ＝ m 、

二元一次方程式的解：

將 x ＝ m 、y＝ n 代入二元一次方程式y＝ ax ＋b後，等號兩邊數值相等時，我們稱這 一組 x 、y值為二元一次方程式y＝ ax ＋b的解。並可以用數對( m ， n )來表示描繪在 直角座標平面上。

有一個二元一次方程式為 x －2y＝1，把 x ＝3、y＝1 代入此方程式，

可得 3－2×1＝3－2＝1 與方程式符合，

所以 x ＝3、y＝1 稱為方程式 x －2y＝1 的一組解。

利用以前學過的等量公理，我們也可將 x －2y＝1 改寫成y＝  2  1 

x － 

2 

1 的形式

這樣找二元一次方程式的解會比較簡單方便。 

x ＝1 

y＝0 

x ＝2 

y＝ 

2  1 

x ＝3 

y＝1 

x ＝4 

y＝1  2  1 

x ＝5 

y＝2 所以一組方程式可以找到很多組的解。

注意：二元一次方程式的解會有無限多組解，例如： x ＝1、y＝0 或 

x ＝－1、

y＝－1 等，都是方程式 x －2y＝1 的解。

【範例】：有一個二元一次方程式為 2 x ＋y＝2，請找出五組此方程式的解？

解 ：先將方程式 2 x ＋y＝2 改寫成y＝－2 x ＋2 的形式 取不同的 x ，我們會有以下的解： 

x 

－1 0 1 2 3 

y  4 2 0 －2 －4

我們可以把解寫成有序數對為(－1，4)、(0，2)、(1，0)、(2，－2)、(3，－4)，

接著把五組解一一描到直角座標平面上，結果如下圖：

我們發現這五個點，在座標平面上像是一條直線，如果我們再找多一點解圖形 會如何呢？

我們在多找幾組 2 x ＋y＝2 的解，在把它描到直角座標平面上看看結果為何？

下面每一組 x 、y的值，都是 2 x ＋y＝2 的解： 

x 

－1 －  2 

1  0 

2 

1  1 1 

2 

1  2 2 

2 

1  3 3 

2  1 

y  4 3 2 1 0 －1 －2 －3 －4 －5

把它描到直角座標平面上的結果如下圖所示：

比較上面兩個圖的結果，圖形越來越像一條直線，這樣將方程式的點描在平面 座標上，所得的圖形就稱為這個方程式的圖形。

所以方程式 2 x ＋y＝2 所有的解，都會落在直角座標平面的這條直線上。

注意：由上圖可知連接兩點就可以決定一條直線，以後作圖可以只取兩個點就 可以了。

二元一次方程式的圖形：

二元一次方程式的標準式為 ax ＋ by ＝ c ，我們可以透過直角座標平面將方程式 的圖形描繪出來，根據二元一次方程式的不同，我們將圖形分為下列幾個類型。

1.  y＝k的圖形：

二元一次方程式y＝k的圖形是一條平行 x 軸的水平直線，而y＝0 是代表 x 軸。

如下圖所示： 

x  y 

o 

x  y 

o

【範例】：請在座標平面上，試描繪出方程式y＝3 的圖形。

解 ：因為平面上兩點可以畫一條直線，所以我們先找出兩組解  y＝3 的解為： 

x 

0 2 

y  3 3

將方程式的解描到座標平面上，再分別 將兩點連接成一條直線，如右圖所示。

2.  x ＝b的圖形：

二元一次方程式 x ＝b的圖形是一條平行y軸的水平直線，而 x ＝0 是代表y軸。

如右圖所示：

【範例】：請在座標平面上，試描繪出方程式 x ＝－3 的圖形。

解 ：因為平面上兩點可以畫一條直線，所以我們先找出兩組解 

x ＝－3 的解為： 

x 

－3 －3 

y  －2 0

將方程式的解描到座標平面上，再分別 將兩點連接成一條直線，如右圖所示。 

(0，k) 

x  y 

o 

y＝k 

x  y

o 

(2，3)  y＝3 

(b，0) 

x  y

o  x＝b 

x  y

o  (－3，0) 

x＝－3 

(－3，－2)

3.  y＝ ax ( ¹ 

a  0)的圖形：

二元一次方程式 ax ＋ by ＝ c ，當 c ＝0 時 ax ＋ by ＝0，我們可以移項化簡為  y＝  x 

b 

- a 的形式。

【範例】：請在座標平面上，試描繪出方程式 3 x －y＝0 的圖形。

解 ：當 3 x －y＝0 時可以移項化簡成y＝3 x  對y＝3 x 的圖形：

先找出兩組方程式的解為： 

x 

0 1 

y  0 3

再將兩點描到座標平面上，再將兩點連接成 一條直線，則此直線即為y＝3 x 的圖形。

注意：在座標平面上，二元一次方程式y＝ ax ( a ＞0)的圖形是一條通過原點的 直線，而且這條直線會經過第一象限與第三象限。

【範例】：試比較方程式y＝ x 、y＝2 x 、y＝3 x 在座標平面上的圖形。

解 ：因為平面上兩點可以畫一條直線，所以我們先找出兩組解  y＝ x 的解為： 

x 

0 2 

y  0 2 

y＝2 x 的解為： 

x 

0 2 

y  0 4 

y＝3 x 的解為： 

x 

0 －1 

y  0 －3

將方程式的解描到座標平面上，結果如右圖所示： 

x 項係數越大，直線圖形越陡，也就是直線圖形的

斜率越大，且圖形都通過一、三象限。 

x  y 

o 

y＝ 3x  (1，3) 

(0，0) 

y＝ x  y＝ 2x  y＝ 3x 

x  y 

o

【範例】：請在座標平面上，試描繪出方程式 2 x ＋y＝0 的圖形。

解 ：當 2 x ＋y＝0 時可以移項化簡成y＝－2 x  對y＝－2 x 的圖形：

先找出兩組方程式的解為： 

x 

－1 1 

y  2 －2

再將兩點描到座標平面上，再將兩點連接成一條直線，

則此直線即為y＝－2 x 的圖形。

注意：在座標平面上，二元一次方程式y＝ ax ( a ＜0)的圖形是一條通過原點的 直線，而且這條直線會經過第二象限與第四象限。

【範例】 ：試比較方程式y＝－ x 、y＝－2 x 、y＝－3 x 在座標平面上的圖形。

解 ：因為平面上兩點可以畫一條直線，所以我們先找出兩組解  y＝－ x 的解為： 

x 

0 2 

y  0 －2 

y＝－2 x 的解為： 

x 

0 2 

y  0 －4 

y＝－3 x 的解為： 

x 

0 －1 

y  0 3

將方程式的解描到座標平面上，結果如右圖所示： 

x 項係數負的越大，直線圖形越陡也就是直線圖形

的斜率越大，且圖形都通過二、四象限。 

x  y 

o  y＝ －2x 

(1，－2)  (－1，2) 

y＝ －2x  y＝ －x 

y＝ －3x 

x  y 

o

結論：在座標平面上，二元一次方程式y＝ ax ( a ＞0)以及y＝ ax ( a ＜0)的圖 形是一條通過原點的直線，如下圖。

0＜ a ＜b＜ c ，  k＜h＜l＜0，

此直線通過一、三象限。 此直線通過二、四象限。

4.  y＝ ax ± b  ( ¹ 

a  0、

b＞0)的圖形：

二元一次方程式 ax ＋ by ＝ c ，我們可以移項化簡為y＝  x  b  - a ＋ 

b 

c 的形式。

【範例】：試在座標平面上，試描繪出方程式 x ＋y＝2 的圖形。

解 ：當 x ＋y＝2 時可以先移項化簡成y＝－ x ＋2 對y＝－ x ＋2 時的圖形：

先找出兩組方程式的解為： 

x 

0 2 

y  2 0

再將兩點描到座標平面上，再將兩點連接成 一條直線，則此直線即為y＝－ x ＋2 的圖形。

描繪直線的小技巧：先將方程式 ax ＋ by ＝ c ，移項化簡為y＝  x  b  - a ＋ 

b  c ， 取 x ＝0 求出y＝ 

b 

- a ；再取y＝0 求出 x ＝  b  c ， 即可快速找出兩點，在連接此兩點即為一條直線。 

x  y

o  y＝ －x+2 

(2，0)  (0，2) 

y＝ ax  y＝ bx  y＝ cx 

x  y 

o 

y＝ hx  y＝ lx 

y＝ kx 

x  y 

o

【範例】：試在座標平面上，試描繪出方程式 x －y＝2 的圖形。

解 ：當 x －y＝2 時可以先移項化簡成y＝ x －2 對y＝ x －2 時的圖形：

先找出兩組方程式的解為： 

x 

0 2 

y  －2 0

再將兩點描到座標平面上，再將兩點連接成 一條直線，則此直線即為y＝ x ＋2 的圖形。

【範例】：請在座標平面上，繪出方程式y＝ x 、y＝ x －2 與 y＝ x ＋2 的圖形。

解 ：因為平面上兩點可以畫一條直線，所以我們先找出兩組解。 

y＝ x 的解為： 

x 

0 2 

y  0 2 

y＝ x －2 的解為： 

x 

0 2 

y  －2 0 

y＝ x ＋2 的解為： 

x 

0 2 

y  2 4

將三個方程式的解描到座標平面上，再分別將兩點連接成一條直線，如圖所示。

在右圖中，y＝ x 、y＝ x －2 與y＝ x ＋2 的圖形都是直線，而且三條直線兩兩 互相平行。 

x  y 

o 

y＝ x－2 

(0，2)  (0，－2) 

x  y 

o 

y＝ x+2 

y＝ x－2  y＝ x

【範例】：請在座標平面上，繪出方程式y＝－2 x 、y＝－2 x －4 與 y＝－2 x ＋4 的圖形。

解 ：因為平面上兩點可以畫一條直線，所以我們先找出兩組解  y＝－2 x 的解為： 

x 

0 2 

y  0 －4 

y＝－2 x －4 的解為： 

x 

0 －2 

y  －4 0 

y＝－2 x ＋4 的解為： 

x 

0 2 

y  4 0

將三個方程式的解描到座標平面上，再分別將兩點連接成一條直線，

如圖所示。在下圖中，y＝－2 x 、y＝－2 x －4 與 y＝－2 x ＋4 的 圖形都是直線，而且三條直線兩兩互相平行。

結論：方程式y＝ ax ＋b跟y＝ ax －b的圖形都是一條直線(其中 ¹ 

a  0、

b＞0)。 

y＝ ax ± b的圖形可看成是方程式y＝ ax 的圖形，沿著y軸方向移動而 得，如下圖所示：

當 a ＞0、b＞0 當 a ＜0、b＞0 

x  y 

o 

(0，－b)  (0，b) 

y＝ax+b 

y＝ax－b  y＝ax 

x  y 

o 

(0，－b)  (0，b)  y＝ax+b 

y＝ax－b  y＝ax  o  x 

y＝ －2x  y＝ －2x－4 

y＝ －2x+4 _y

二元一次聯立方程式的幾何圖形：

由上面的一些範例可以知道，二元一次方程式 ax ＋ by ＝ c 的圖形，在座標平面上 是一條直線，只要找出方程式的兩組解，就可以描繪出二元一次方程式的圖形。

當兩條直線相交於一點的時候，它們的交點座標即為二元一次聯立方程式的解。

【範例】：請在座標平面上描繪出二元一次聯立方程式 î í ì

= +

-

= - 

2  1  3  2 

y  x 

y 

x 

的圖形，並

求出其交點座標。

解 ：我們先利用之前學過的代數運算方法求出解

î í ì

= +

-

= - 

­(2) 

­ 

­ 

­ 

­ 

­  2 

(1) 

­ 

­ 

­  1  3  2 

y  x 

y  x 

將(1)－2×(2)可得：－5y＝－5  y＝1

將y＝1 代入(1)式或(2)式中可得 x ＝1 所以我們可得聯立方程式解( x ，y)＝(1，1)

現在我們可以利用幾何圖形的方法，了解聯立方程式解的幾何意義：

先找出兩組方程式 2

x 

-  y 3  = - 1 的解 

x 

－2 4 

y  －1 3

畫出通過點(－2，－1)、(4，3)的直線 L。

再找出兩組方程式 

x 

+ y = 2 的解 

x 

－1 3 

y  3 －1

畫出通過點(－1，3)、(3，－1)的直線 M。

如下圖所示：

聯立方程式 î í ì

= +

-

= - 

2  1  3  2 

y  x 

y 

x 

的解(1，1)，即為兩直線的交點。

結論：給定一組二元一次方程式 ax ＋ by ＝ c ，我們可以在座標平面上描繪出 一條直線，因此，我們也稱 ax ＋ by ＝ c 為一組直線方程式。 

x  y

o 

L 

M  (4，3) 

(3，－1)  (1，1)  (－2，－1) 

(－1，3)

【範例】：試在座標平面上，試描繪出方程式  x  8 

3  －  y  2  1  ＝ 

2 

3 的圖形。

解 ：先將方程式  x  8 

3  －  y  2  1  ＝ 

2 

3 等號兩邊同乘以 8，將其改為 3 x －  y 4  ＝12 再將 3 x －  y 4  ＝12 移項簡化成y＝  x 

4  3  －3 對方程式y＝  x 

4 

3  －3 我們可以找出兩點為： 

x 

0 4 

y  －3 0

再將方程式的解描到座標平面上，分別將兩點連接成一條直線，

如下圖所示。

【範例】：在座標平面上，直線 4 x ＋ 3 y ＝20 的圖形與 x 軸相交於 A 點，與 y軸相交 於 B 點，設原點為 O，則：(1)求出 A、B 兩點的座標。

(2) 

AOB 的面積為多少？

解(1)：因為直線 4 x ＋  y 3  ＝20 與 x 軸的交點會落在 x 軸上，所以y軸座標為 0 令y＝0 代入直線方程式 4 x ＋  y 3  ＝20 可得 x ＝5，即 A(5，0)。

因為直線 4 x ＋  y 3  ＝20 與y軸的交點會落在y軸上，所以 x 軸座標為 0 令 x ＝0 代入直線方程式 4 x ＋  y 3  ＝20 可得y＝ 

3 

20 ，即 B(0， 

3  20 )。

所以 A(5，0)、B(0， 

3 

20 )如下圖所示。

解(2)：因為 A 座標為(5，0)，與原點的距離為 5； 

B 座標為(0， 

3 

20 )，與原點的距離為  3  20 ，

而且 x 軸、y軸與直線 4 x ＋  y 3  ＝20 相交成直角三角形。

所以 

AOB 的面積：

＝ 5 ×  3  20  ÷ 2

＝  3 

50 (平方單位) 

x  y 

o 

y＝  3 x－3  4 

x  y

o 

A(5，0)  B(0，  ) 

3  20

【例題 1】

請找出五組方程式 3 x －2y＝6 的解。

答： （－2，－6）、（0，－3）、（2，0）、（4，3）、（6，6）。

【例題 2】

請找出五組方程式 2 x ＋y＝－2 的解。

答： （－2，2）、（－1，0）、（0，－2）、（1，－4）、（2，－6）。

【例題 3】

請找出下列哪些點在直線y＝－4 上？

(－1，－4)、(－4，－3)、(－1，0.2)、(0，4)、(－1，1)、(2，0)、(3，－4)。

答：(－1，－4)、(3，－4)。

【例題 4】

請找出下列哪些點在直線 x ＝2 上？

(－2，2)、(2，－2)、(2，0)、(0，2)、(3，1)、(2，5)、(－3，2)、(2，－4)。

答：(2，－2)、(2，0)、(2，5)、 (2，－4)。

【例題 5】

在直角座標平面上，畫出下列各組二元一次方程式的圖形。

(1) 2 x ＋3y＝6 (2)  y－3 x ＝－1

【例題 6】

在直角座標平面上，畫出下列各組二元一次方程式的圖形。

(1) 5 x ＋4y＝20 (2)  x －2y＝6

【例題 7】

在直角座標平面上，畫出下列兩個方程式的圖形，檢驗看看它們是否平行？

(1)  x ＋2y＝4 (2)  x ＋2y＝－6

【例題 8】

在直角座標平面上，畫出下列兩個方程式的圖形，檢驗看看它們是否平行？

(1) －3 x ＋y＝－1 (2)  y－3 x ＝4 

x  y 

o 

1 ( ,0) 3 (0,-1) 

x  y 

o 

(0,2)

(3,0) 

x  y

o  (0,5) 

(4,0) 

(6,0) 

(0,­3) 

x  y 

o 

x  y 

o 

(0,2) 

(4,0) 

x  y 

o 

(­6,0) 

(0,­3) 

x  y 

o 

(      ,0) 1  3  (0,­1) 

x  y 

o 

4  3 

(0,4) 

(­    ,0)

【例題 9】

若直線 L 為 y＝ ax ＋b通過兩點 A(1，－3)與 B(－1，1)，請算出 a 與b的值，並 寫出此直線 L 的方程式。

解：將 A(1，－3)代入 y＝ ax ＋b，得到 －3＝ a ＋b……○ ¹ 將 B(－1，1) 代入 y＝ ax ＋b，得到 1＝－ a ＋b……○ ² 將○ ¹ ＋○ ² ，得到 －2＝2b  ∴ b＝－1 代入○ ¹ ，得到 a ＝－2

∴y＝－2 x －1

答：直線 L 的方程式為y＝－2 x －1。

【例題 10】

若直線 L 為 y＝ ax ＋b通過兩點 A(2，3)與 B(4，0)，請算出 a 與b的值，並寫出 此直線 L 的方程式。

解：將 A(2，3)代入 y＝ ax ＋b，得到 3＝2 a ＋b……○ ¹ 將 B(4，0) 代入 y＝ ax ＋b，得到 0＝4 a ＋b……○ ² 將○ ¹ －○ ² ，得到 3＝－2 a  ∴  a ＝－ 

2 

3 ，代入○ ² ，得到  b＝6

∴y＝－ 

2 

3 

x ＋6

答：直線 L 的方程式為y＝－ 

2 

3 

x ＋6。

【例題 11】

如果有兩條直線方程式分別為 3 x ＋ a y＝－6 跟b 

x －2

y＝8，它們的交點為 

P(2，3)，請問：(1)請求出 a 與b的值。(2)直線方程式b 

x －2

y＝8 通過哪些象限？

解：(1)將 P(2，3)代入 3 x ＋ a y＝－6，得到 6＋3 a ＝－6 ∴  a ＝－4 將 P(2，3)代入  bx－2y＝8，得到 2b－6＝8 ∴  b＝7

(2)∴ 直線方程式 7 x －2y＝8 通過一、三、四象限 答：(1)  a ＝－4，b＝7。(2) 通過一、三、四象限。

【例題 12】

兩條直線  ax ＋y＝－4 跟 2 x －b  y＝6 的交點為 A(－2，－4)

請問：(1)請求出 a 與b的值。(2)直線方程式 a  x ＋y＝－4 通過哪些象限？

解：(1)將 A(－2，－4)代入  ax ＋y＝－4，得到 －2 a －4＝－4 ∴  a ＝0 將 A(－2，－4)代入 2 x － by ＝6，得到－4＋4b＝6 ∴  b＝ 

2  5 

(2)∴ 直線方程式y＝－4 通過 三、四象限。

答：(1)  a ＝0，b＝  2 

5 。 (2) 通過 三、四象限。

【例題 13】

設有四個二元一次方程式為 L：2 x ＋ay＝－6，M：2 x ＋y＝7，  N：bx＋2y＝5， 

O：3 x ＋2

y＝11 相交於同一個點，請求出 a 與b的值為何？

解： 2 x ＋y＝7……○ ¹ 將○ ¹ ×2，得到， 4 x ＋2y＝14……○ ³ 3 x ＋2y＝11……○ ²

○ ³ －○ ² 得到  x ＝3 代入○ ¹ ∴  y＝1 將  x ＝3，  y＝1 代入 L：2 x ＋ay＝－6 得到 6＋ a ＝－6 ∴  a ＝－12

將  x ＝3，  y＝1 代入 N：b 

x ＋2

y＝5 得到 3b＋2＝5 ∴  b＝1

答：  a ＝－12，b＝1。

【例題 14】

如果有四個二元一次方程式為 a  x ＋2y＝3， x －b  y＝1，2 x ＋y＝2，2 x －y＝2，

請求出 a 與b的值為何？

解：  a  x ＋2y＝3……○ ¹ 

x －

b  y＝1……○ ² 2 x ＋y＝2……○ ³ 2 x －y＝2……○ ⁴

將○ ³ ＋○ ⁴ ，得到 4 x ＝4 ∴ x ＝1 代入○ ³ ，得到y＝0 將 x ＝1，y＝0 代入○ ¹ ，得到  a ＝3

將 x ＝1，y＝0 代入○ ² ，得到 1－b×0＝1 ∴  b為任意數 答： a ＝3，b為任意數。

【例題 15】

(1)通過點(4，－2)且平行y軸的直線方程式為何？

(2)通過點(3，－1)且平行 x 軸的直線方程式為何？

答：(1)  x ＝4。 (2)  y＝－1。

【例題 16】

(1)通過點(－5，－1)且平行 x 軸的直線方程式為何？

(2)通過點(－1，9)且平行y軸的直線方程式為何？

答：(1)  y＝－1。 (2)  x ＝－1。

【例題 17】

兩條直線方程式 3 x －2y＝5 與  ax ＋y＝7 之交點在 x ＝1 上，請求出 a 之值？

解：將 x ＝1 代入 3 x －2y＝5，得到 －2y＝2 ∴  y＝－1

將 x ＝1，y＝－1 代入  ax ＋y＝7，得到  a －1＝7 ∴  a ＝8 答： a ＝8。

【例題 18】

兩條直線方程式 2 x －3y＝1 與 x ＋ay＝4 之交點在y＝1 上，請求出 a 之值？

解：將y＝1 代入 2 x －3y＝1，得到 2 x －3＝1 ∴  x ＝2 將 x ＝2，y＝1 代入 x ＋ay＝4，得到 2＋ a ＝4 ∴  a ＝2 答： a ＝2。

在上一節已經學過二元一次方程式的作圖，只要在直角座標平面上，給定到兩個點就 能決定一條直線；也學過二元一次聯立方程式的解，為兩條直線的交點座標。想一想，

是不是每一組聯立方程式都會有交點座標呢？

兩直線相交：

設二元一次方程式為 î í ì

= +

= + 

2  2  2 

1  1  1 

c  b  x  a 

c  b  x 

a  ，當 

2  1 

a  a 

≠ 

2  1 

b 

b 

時，此聯立方程式只有一組解，

且圖形為相交於一點的兩條直線。

【範例】 ：請在座標平面上描繪出二元一次聯立方程式 î í ì

= +

-

= - 

2  1  3  2 

y  x 

y 

x 

的圖形。

解 ： 我們先利用之前學過的代數運算方法求出解

î í ì

= +

-

= - 

­(2) 

­ 

­ 

­ 

­ 

­  2 

(1) 

­ 

­ 

­  1  3  2 

y  x 

y  x 

將(1)－2×(2)可得：－5y＝－5  y＝1

將y＝1 代入(1)式或(2)式中可得 x ＝1 所以我們可得聯立方程式解( x ，y)＝(1，1) 先找出兩組方程式 2

x 

-  y 3  = - 1 的解 

x 

－2 4 

y  －1 3

畫出通過點(－2，－1)、(4，3)的直線 L。

再找出兩組方程式 

x 

+ y = 2 的解 

x 

－1 3 

y  3 －1

畫出通過點(－1，3)、(3，－1)的直線 M，如下圖所示：

∴ 此聯立方程式 î í ì

= +

-

= - 

2  1  3  2 

y  x 

y 

x 

有唯一解為(1，1)，即為兩直線的交點。 

x  y

o 

L 

M  (4，3) 

(3，－1)  (1，1)  (－2，－1) 

(－1，3)

兩直線重合：

設二元一次方程式為 î í ì

= +

= + 

2  2  2 

1  1  1 

c  b  x  a 

c  b  x 

a  ，當 

2  1 

a  a 

＝ 

2  1 

b  b 

＝ 

2  1 

c 

c 

時，此聯立方程式有無限多解，

且圖形為重合的兩條直線。

【範例】 ：請在座標平面上描繪出二元一次聯立方程式 î í ì

= +

= + 

12  6  4 

6  3  2 

y  x 

y 

x 

的圖形。

解 ： 我們先利用之前學過的代數運算方法求出解

î í ì

= +

= + 

­(2) 

­ 

­ 

­ 

­ 

­  12  6  4 

(1) 

­ 

­ 

­  6  3  2 

y  x 

y  x 

先找出兩組方程式 2

x 

+  y 3  = 6 的解： 

x 

0 3 

y  2 0

畫出通過點(0，2)、(3，0)的直線。

再找出兩組方程式 4

x 

+  y 6  = 12 的解： 

x 

0 3 

y  2 0

畫出通過點(0，2)、(3，0)的直線，如下圖所示：

我們發現兩條直線是重合的，且在直線上的每一個點座標，都是此 聯立方程式的解。所以此聯立方程式

î í ì

= +

= + 

12  6  4 

6  3  2 

y  x 

y 

x 

有無限多解，

而且兩條直線重合。

兩直線平行：

設二元一次方程式為 î í ì

= +

= + 

2  2  2 

1  1  1 

c  b  x  a 

c  b  x 

a  ，當 

2  1 

a  a 

＝ 

2  1 

b  b 

≠ 

2  1 

c 

c 

時，此聯立方程式為無解，

且圖形為平行的兩條直線。 

x  y 

(0，2)  (3，0)

【範例】 ：請在座標平面上描繪出二元一次聯立方程式 î í ì

= +

= + 

12  3  2 

6  3  2 

y  x 

y 

x 

的圖形。

解 ： 我們先利用之前學過的代數運算方法求出解

î í ì

= +

= + 

­(2) 

­ 

­ 

­ 

­ 

­  12  3  2 

(1) 

­ 

­ 

­  6  3  2 

y  x 

y  x 

先找出兩組方程式 2

x 

+  y 3  = 6 的解 

x 

0 3 

y  2 0

畫出通過點(0，2)、(3，0)的直線。

再找出兩組方程式 2

x 

+  y 3  = - 6 的解 

x 

0 －3 

y  －2 0

畫出通過點(0，－2)、(－3，0)的直線，如下圖所示：

我們發現兩條直線是平行的，所以兩條直線沒有共同的解。也就是說，

此聯立方程式的沒有交點座標。

所以此聯立方程式 î í ì

= +

= + 

12  3  2 

6  3  2 

y  x 

y 

x 

為無解。

【範例】 ：判斷下列各組聯立方程式，何者為無解、何者為無限多組解、何者只有一組解。

(1) î í ì

= -

= - 

12  2  4 

4  2 

y  x 

y 

x 

(2)

î í ì

= - -

= - - 

0  10  8  6 

0  5  4  3 

y  x 

y 

x 

(3)

î í ì

= +

= - 

12  4  5 

9  2  3 

y  x 

y  x 

解 ： (1) ∵  4  2 ＝ 

2  1 - - ≠ 

12 

4  ， ∴ 此方程式為無解。

(2) ∵  6  3 ＝ 

8  4 - - ＝ 

10 

5  ， ∴ 此方程式有無限多組解。

(3) ∵  5  3 ≠ 

4  2

- ， ∴ 此方程式只有一組解。 

x  y 

(0，2)  (3，0) 

(0，－2)  (－3，0)

【例題 1】 【例題 2】

若兩直線 ax －3y＝4 與 6 x ＋4y－9＝0 相 交於一點，請問 a ≠？

解：

∵ 兩直線相交於一點，只有一組解。

∴  6  a ≠ 

4  3

- Þ 4 a ≠－18

Þ  a ≠  2 

9 -

若兩直線 2 x －4y＝7 與 3 x ＋ay＝13 相 交於一點，請問 a ≠？

解：

∵ 兩直線相交於一點，只有一組解。

∴  2  3 ≠ 

4 - 

a Þ 2 a ≠－12 Þ  a ≠－6

【例題 3】 【例題 4】

若兩直線 2 x ＋y＝10 與 3 x －ay＝3 互相 平行，請問 a ＝？

解：

∵ 兩直線互相平行，則為無解。

∴  3  2 ＝ 

a - 

1 Þ －2 a ＝3

Þ  a ＝－ 

2  3 

若兩直線－ ax ＋2y＝6 與 3 x －6y＝7 互相 平行，請問 a ＝？

解：

∵ 兩直線互相平行，則為無解。

∴  3  a - ＝ 

6  2

- Þ 6 a ＝6 Þ  a ＝1

【例題 5】

座標平面上，若兩直線 2 x ＋y＝ a 與 3 x － by ＝12 之交點座標為(－1，2)，則 a ＋2b＝？

解： 將(－1，2)代入兩直線方程式。

2 x ＋y＝ a Þ 2．(－1)＋2＝ a Þ  a ＝0

3 x － by ＝12 Þ 3．(－1)－b．2＝12 Þ －2b＝15 Þ  b＝－ 

2  15 

∴  a ＋2b＝0＋2．(－ 

2 

15 )＝－15。

【例題 6】

方程組 î í ì

= - +

= + - 

0  )  (2  3 

0  2 

y  a  x 

y 

x 

，除了( x ，y)＝(0，0)這組解之外，還有其它的解，求 a 之値。

解： 有兩組以上之解，所以此方程式有無限多解。

∴  3  1 - ＝ 

a -  2 

2 Þ －2＋ a ＝6 Þ  a ＝8。

答： a ＝8。

【例題 7】

若 4 x －3y＝－12 與 x 軸之交點為( a ，0)，與y軸之交點為(0，b)，則 a ＋b＝？

解：將y＝0 代入 4 x ＝－12 ∴  x ＝－3＝ a  將 x ＝0 代入 －3y＝－12 ∴  y＝4＝b 

∴  a ＋b＝－3＋4＝1 答： a ＋b＝1。

【例題 8】

設直線 ax ＋y＋ c ＝0 通過 A 點(－4，3)且垂直y軸，則 a ＋b＝？

解：∵ 通過 A 點(－4，3)且垂直 y軸 ∴  y＝3 即y－3＝0

∴  a ＝0，

b

＝－3

∴  a ＋b＝－3

【例題 9】

在座標平面上，畫出下列兩組直線方程式的圖形，並說明此兩條直線之間的關係。

(1) L： 

2 

x ＋y＝3。 (2) M： 

4  x ＋  y 

2 

1  ＝1。

解：(1)

(2) 

y 

x  0

2 0

4

O 

x  y 

M： 4  x ＋  y 

2  1  ＝1。 

L： 2 

x ＋ y ＝3。 

y  x  0

3 0 6

O 

x  y

【例題 10】

在座標平面上，畫出下列兩組直線方程式的圖形，並說明此兩條直線之間的關係。

(1) L：2 x －y＝3。 (2) M： x ＋y＝4。

解：(1)

(2) 

y  x  0

4 0 4

O 

x  y 

M：x ＋ y ＝4。 

y  x  0

-3 1 2

O 

x  y 

L ：2 x － y ＝3。