二元一次方程式的解：
將 x ＝ m 、y＝ n 代入二元一次方程式y＝ ax ＋b後，等號兩邊數值相等時，我們稱這 一組 x 、y值為二元一次方程式y＝ ax ＋b的解。並可以用數對( m ， n )來表示描繪在 直角座標平面上。
有一個二元一次方程式為 x －2y＝1，把 x ＝3、y＝1 代入此方程式，
可得 3－2×1＝3－2＝1 與方程式符合，
所以 x ＝3、y＝1 稱為方程式 x －2y＝1 的一組解。
利用以前學過的等量公理，我們也可將 x －2y＝1 改寫成y＝ 2 1 x －
2
1 的形式
這樣找二元一次方程式的解會比較簡單方便。
x ＝1 y＝0 x ＝2 y＝
2 1
x ＝3 y＝1 x ＝4 y＝1 2 1
x ＝5 y＝2 所以一組方程式可以找到很多組的解。
注意：二元一次方程式的解會有無限多組解，例如： x ＝1、y＝0 或 x ＝－1、y＝－1 等，都是方程式 x －2y＝1 的解。
【範例】：有一個二元一次方程式為 2 x ＋y＝2，請找出五組此方程式的解？
解 ：先將方程式 2 x ＋y＝2 改寫成y＝－2 x ＋2 的形式 取不同的 x ，我們會有以下的解：
x －1 0 1 2 3
y 4 2 0 －2 －4
我們可以把解寫成有序數對為(－1，4)、(0，2)、(1，0)、(2，－2)、(3，－4)，
接著把五組解一一描到直角座標平面上，結果如下圖：
我們發現這五個點，在座標平面上像是一條直線，如果我們再找多一點解圖形 會如何呢？
我們在多找幾組 2 x ＋y＝2 的解，在把它描到直角座標平面上看看結果為何？
下面每一組 x 、y的值，都是 2 x ＋y＝2 的解：
x －1 － 2
1 0
2
1 1 1
2
1 2 2
2
1 3 3
2 1
y 4 3 2 1 0 －1 －2 －3 －4 －5
把它描到直角座標平面上的結果如下圖所示：
比較上面兩個圖的結果，圖形越來越像一條直線，這樣將方程式的點描在平面 座標上，所得的圖形就稱為這個方程式的圖形。
所以方程式 2 x ＋y＝2 所有的解，都會落在直角座標平面的這條直線上。
注意：由上圖可知連接兩點就可以決定一條直線，以後作圖可以只取兩個點就 可以了。
二元一次方程式的圖形：
二元一次方程式的標準式為 ax ＋ by ＝ c ，我們可以透過直角座標平面將方程式 的圖形描繪出來，根據二元一次方程式的不同，我們將圖形分為下列幾個類型。
1. y＝k的圖形：
二元一次方程式y＝k的圖形是一條平行 x 軸的水平直線，而y＝0 是代表 x 軸。
如下圖所示：
x y
o
x y
o
【範例】：請在座標平面上，試描繪出方程式y＝3 的圖形。
解 ：因為平面上兩點可以畫一條直線，所以我們先找出兩組解 y＝3 的解為：
x 0 2
y 3 3
將方程式的解描到座標平面上，再分別 將兩點連接成一條直線，如右圖所示。
2. x ＝b的圖形：
二元一次方程式 x ＝b的圖形是一條平行y軸的水平直線，而 x ＝0 是代表y軸。
如右圖所示：
【範例】：請在座標平面上，試描繪出方程式 x ＝－3 的圖形。
解 ：因為平面上兩點可以畫一條直線，所以我們先找出兩組解 x ＝－3 的解為：
x －3 －3
y －2 0
將方程式的解描到座標平面上，再分別 將兩點連接成一條直線，如右圖所示。
(0，k)
x y
o
y＝k
x y
o
(2，3) y＝3
(b，0)
x y
o x＝b
x y
o (－3，0)
x＝－3
(－3，－2)
3. y＝ ax ( ¹ a 0)的圖形：
二元一次方程式 ax ＋ by ＝ c ，當 c ＝0 時 ax ＋ by ＝0，我們可以移項化簡為 y＝ x
b
- a 的形式。
【範例】：請在座標平面上，試描繪出方程式 3 x －y＝0 的圖形。
解 ：當 3 x －y＝0 時可以移項化簡成y＝3 x 對y＝3 x 的圖形：
先找出兩組方程式的解為：
x 0 1
y 0 3
再將兩點描到座標平面上，再將兩點連接成 一條直線，則此直線即為y＝3 x 的圖形。
注意：在座標平面上，二元一次方程式y＝ ax ( a ＞0)的圖形是一條通過原點的 直線，而且這條直線會經過第一象限與第三象限。
【範例】：試比較方程式y＝ x 、y＝2 x 、y＝3 x 在座標平面上的圖形。
解 ：因為平面上兩點可以畫一條直線，所以我們先找出兩組解 y＝ x 的解為：
x 0 2
y 0 2
y＝2 x 的解為：
x 0 2
y 0 4
y＝3 x 的解為：
x 0 －1
y 0 －3
將方程式的解描到座標平面上，結果如右圖所示：
x 項係數越大，直線圖形越陡，也就是直線圖形的 斜率越大，且圖形都通過一、三象限。
x y
o
y＝ 3x (1，3)
(0，0)
y＝ x y＝ 2x y＝ 3x
x y
o
【範例】：請在座標平面上，試描繪出方程式 2 x ＋y＝0 的圖形。
解 ：當 2 x ＋y＝0 時可以移項化簡成y＝－2 x 對y＝－2 x 的圖形：
先找出兩組方程式的解為：
x －1 1
y 2 －2
再將兩點描到座標平面上，再將兩點連接成一條直線，
則此直線即為y＝－2 x 的圖形。
注意：在座標平面上，二元一次方程式y＝ ax ( a ＜0)的圖形是一條通過原點的 直線，而且這條直線會經過第二象限與第四象限。
【範例】 ：試比較方程式y＝－ x 、y＝－2 x 、y＝－3 x 在座標平面上的圖形。
解 ：因為平面上兩點可以畫一條直線，所以我們先找出兩組解 y＝－ x 的解為：
x 0 2
y 0 －2
y＝－2 x 的解為：
x 0 2
y 0 －4
y＝－3 x 的解為：
x 0 －1
y 0 3
將方程式的解描到座標平面上，結果如右圖所示：
x 項係數負的越大，直線圖形越陡也就是直線圖形 的斜率越大，且圖形都通過二、四象限。
x y
o y＝ －2x
(1，－2) (－1，2)
y＝ －2x y＝ －x
y＝ －3x
x y
o
結論：在座標平面上，二元一次方程式y＝ ax ( a ＞0)以及y＝ ax ( a ＜0)的圖 形是一條通過原點的直線，如下圖。
0＜ a ＜b＜ c ， k＜h＜l＜0，
此直線通過一、三象限。 此直線通過二、四象限。
4. y＝ ax ± b ( ¹ a 0、b＞0)的圖形：
二元一次方程式 ax ＋ by ＝ c ，我們可以移項化簡為y＝ x b - a ＋
b
c 的形式。
【範例】：試在座標平面上，試描繪出方程式 x ＋y＝2 的圖形。
解 ：當 x ＋y＝2 時可以先移項化簡成y＝－ x ＋2 對y＝－ x ＋2 時的圖形：
先找出兩組方程式的解為：
x 0 2
y 2 0
再將兩點描到座標平面上，再將兩點連接成 一條直線，則此直線即為y＝－ x ＋2 的圖形。
描繪直線的小技巧：先將方程式 ax ＋ by ＝ c ，移項化簡為y＝ x b - a ＋
b c ， 取 x ＝0 求出y＝
b
- a ；再取y＝0 求出 x ＝ b c ， 即可快速找出兩點，在連接此兩點即為一條直線。
x y
o y＝ －x+2
(2，0) (0，2)
y＝ ax y＝ bx y＝ cx
x y
o
y＝ hx y＝ lx
y＝ kx
x y
o
【範例】：試在座標平面上，試描繪出方程式 x －y＝2 的圖形。
解 ：當 x －y＝2 時可以先移項化簡成y＝ x －2 對y＝ x －2 時的圖形：
先找出兩組方程式的解為：
x 0 2
y －2 0
再將兩點描到座標平面上，再將兩點連接成 一條直線，則此直線即為y＝ x ＋2 的圖形。
【範例】：請在座標平面上，繪出方程式y＝ x 、y＝ x －2 與 y＝ x ＋2 的圖形。
解 ：因為平面上兩點可以畫一條直線，所以我們先找出兩組解。
y＝ x 的解為：
x 0 2
y 0 2
y＝ x －2 的解為：
x 0 2
y －2 0
y＝ x ＋2 的解為：
x 0 2
y 2 4
將三個方程式的解描到座標平面上，再分別將兩點連接成一條直線，如圖所示。
在右圖中，y＝ x 、y＝ x －2 與y＝ x ＋2 的圖形都是直線，而且三條直線兩兩 互相平行。
x y
o
y＝ x－2
(0，2) (0，－2)
x y
o
y＝ x+2
y＝ x－2 y＝ x
【範例】：請在座標平面上，繪出方程式y＝－2 x 、y＝－2 x －4 與 y＝－2 x ＋4 的圖形。
解 ：因為平面上兩點可以畫一條直線，所以我們先找出兩組解 y＝－2 x 的解為：
x 0 2
y 0 －4
y＝－2 x －4 的解為：
x 0 －2
y －4 0
y＝－2 x ＋4 的解為：
x 0 2
y 4 0
將三個方程式的解描到座標平面上，再分別將兩點連接成一條直線，
如圖所示。在下圖中，y＝－2 x 、y＝－2 x －4 與 y＝－2 x ＋4 的 圖形都是直線，而且三條直線兩兩互相平行。
結論：方程式y＝ ax ＋b跟y＝ ax －b的圖形都是一條直線(其中 ¹ a 0、b＞0)。
y＝ ax ± b的圖形可看成是方程式y＝ ax 的圖形，沿著y軸方向移動而 得，如下圖所示：
當 a ＞0、b＞0 當 a ＜0、b＞0
x y
o
(0，－b) (0，b)
y＝ax+b
y＝ax－b y＝ax
x y
o
(0，－b) (0，b) y＝ax+b
y＝ax－b y＝ax o x
y＝ －2x y＝ －2x－4
y＝ －2x+4 y
二元一次聯立方程式的幾何圖形：
由上面的一些範例可以知道，二元一次方程式 ax ＋ by ＝ c 的圖形，在座標平面上 是一條直線，只要找出方程式的兩組解，就可以描繪出二元一次方程式的圖形。
當兩條直線相交於一點的時候，它們的交點座標即為二元一次聯立方程式的解。
【範例】：請在座標平面上描繪出二元一次聯立方程式 î í ì
= +
-
= -
2 1 3 2
y x
y
x 的圖形，並 求出其交點座標。
解 ：我們先利用之前學過的代數運算方法求出解
î í ì
= +
-
= -
(2)
2
(1)
1 3 2
y x
y x
將(1)－2×(2)可得：－5y＝－5 y＝1
將y＝1 代入(1)式或(2)式中可得 x ＝1 所以我們可得聯立方程式解( x ，y)＝(1，1)
現在我們可以利用幾何圖形的方法，了解聯立方程式解的幾何意義：
先找出兩組方程式 2 x - y 3 = - 1 的解
x －2 4
y －1 3
畫出通過點(－2，－1)、(4，3)的直線 L。
再找出兩組方程式 x + y = 2 的解
x －1 3
y 3 －1
畫出通過點(－1，3)、(3，－1)的直線 M。
如下圖所示：
聯立方程式 î í ì
= +
-
= -
2 1 3 2
y x
y
x 的解(1，1)，即為兩直線的交點。
結論：給定一組二元一次方程式 ax ＋ by ＝ c ，我們可以在座標平面上描繪出 一條直線，因此，我們也稱 ax ＋ by ＝ c 為一組直線方程式。
x y
o
L
M (4，3)
(3，－1) (1，1) (－2，－1)
(－1，3)
【範例】：試在座標平面上，試描繪出方程式 x 8
3 － y 2 1 ＝
2
3 的圖形。
解 ：先將方程式 x 8
3 － y 2 1 ＝
2
3 等號兩邊同乘以 8，將其改為 3 x － y 4 ＝12 再將 3 x － y 4 ＝12 移項簡化成y＝ x
4 3 －3 對方程式y＝ x
4
3 －3 我們可以找出兩點為：
x 0 4
y －3 0
再將方程式的解描到座標平面上，分別將兩點連接成一條直線，
如下圖所示。
【範例】：在座標平面上，直線 4 x ＋ 3 y ＝20 的圖形與 x 軸相交於 A 點，與 y軸相交 於 B 點，設原點為 O，則：(1)求出 A、B 兩點的座標。
(2) AOB 的面積為多少？
解(1)：因為直線 4 x ＋ y 3 ＝20 與 x 軸的交點會落在 x 軸上，所以y軸座標為 0 令y＝0 代入直線方程式 4 x ＋ y 3 ＝20 可得 x ＝5，即 A(5，0)。
因為直線 4 x ＋ y 3 ＝20 與y軸的交點會落在y軸上，所以 x 軸座標為 0 令 x ＝0 代入直線方程式 4 x ＋ y 3 ＝20 可得y＝
3
20 ，即 B(0，
3 20 )。
所以 A(5，0)、B(0，
3
20 )如下圖所示。
解(2)：因為 A 座標為(5，0)，與原點的距離為 5；
B 座標為(0，
3
20 )，與原點的距離為 3 20 ，
而且 x 軸、y軸與直線 4 x ＋ y 3 ＝20 相交成直角三角形。
所以 AOB 的面積：
＝ 5 × 3 20 ÷ 2
＝ 3
50 (平方單位)
x y
o
y＝ 3 x－3 4
x y
o
A(5，0) B(0， )
3 20
【例題 1】
請找出五組方程式 3 x －2y＝6 的解。
答：
【例題 2】
請找出五組方程式 2 x ＋y＝－2 的解。
答：
【例題 3】
請找出下列哪些點在直線y＝－4 上？
(－1，－4)、(－4，－3)、(－1，0.2)、(0，4)、(－1，1)、(2，0)、(3，－4)。
答：
【例題 4】
請找出下列哪些點在直線 x ＝2 上？
(－2，2)、(2，－2)、(2，0)、(0，2)、(3，1)、(2，5)、(－3，2)、(2，－4)。
答：
【例題 5】
在直角座標平面上，畫出下列各組二元一次方程式的圖形。
(1) 2 x ＋3y＝6 (2) y－3 x ＝－1
【例題 6】
在直角座標平面上，畫出下列各組二元一次方程式的圖形。
(1) 5 x ＋4y＝20 (2) x －2y＝6
【例題 7】
在直角座標平面上，畫出下列兩個方程式的圖形，檢驗看看它們是否平行？
(1) x ＋2y＝4 (2) x ＋2y＝－6
【例題 8】
在直角座標平面上，畫出下列兩個方程式的圖形，檢驗看看它們是否平行？
(1) －3 x ＋y＝－1 (2) y－3 x ＝4
【例題 9】
若直線 L 為 y＝ ax ＋b通過兩點 A(1，－3)與 B(－1，1)，請算出 a 與b的值，並 寫出此直線 L 的方程式。
解：
【例題 10】
若直線 L 為 y＝ ax ＋b通過兩點 A(2，3)與 B(4，0)，請算出 a 與b的值，並寫出 此直線 L 的方程式。
解：
【例題 11】
如果有兩條直線方程式分別為 3 x ＋ a y＝－6 跟b x －2y＝8，它們的交點為
P(2，3)，請問：(1)請求出 a 與b的值。(2)直線方程式b x －2y＝8 通過哪些象限？
解：
【例題 12】
兩條直線 ax ＋y＝－4 跟 2 x －b y＝6 的交點為 A(－2，－4)
請問：(1)請求出 a 與b的值。(2)直線方程式 a x ＋y＝－4 通過哪些象限？
解：
【例題 13】
設有四個二元一次方程式為 L：2 x ＋ay＝－6，M：2 x ＋y＝7， N：bx＋2y＝5，
O：3 x ＋2y＝11 相交於同一個點，請求出 a 與b的值為何？
解：
【例題 14】
如果有四個二元一次方程式為 a x ＋2y＝3， x －b y＝1，2 x ＋y＝2，2 x －y＝2，
請求出 a 與b的值為何？
解：
【例題 15】
(1)通過點(4，－2)且平行y軸的直線方程式為何？
(2)通過點(3，－1)且平行 x 軸的直線方程式為何？
答：
【例題 16】
(1)通過點(－5，－1)且平行 x 軸的直線方程式為何？
(2)通過點(－1，9)且平行y軸的直線方程式為何？
答：
【例題 17】
兩條直線方程式 3 x －2y＝5 與 ax ＋y＝7 之交點在 x ＝1 上，請求出 a 之值？
解：
【例題 18】
兩條直線方程式 2 x －3y＝1 與 x ＋ay＝4 之交點在y＝1 上，請求出 a 之值？
解：
在上一節已經學過二元一次方程式的作圖，只要在直角座標平面上，給定到兩個點就 能決定一條直線；也學過二元一次聯立方程式的解，為兩條直線的交點座標。想一想，
是不是每一組聯立方程式都會有交點座標呢？
兩直線相交：
設二元一次方程式為 î í ì
= +
= +
2 2 2
1 1 1
c b x a
c b x
a ，當
2 1
a a ≠
2 1
b
b 時，此聯立方程式只有一組解，
且圖形為相交於一點的兩條直線。
【範例】 ：請在座標平面上描繪出二元一次聯立方程式 î í ì
= +
-
= -
2 1 3 2
y x
y
x 的圖形。
解 ： 我們先利用之前學過的代數運算方法求出解
î í ì
= +
-
= -
(2)
2
(1)
1 3 2
y x
y x
將(1)－2×(2)可得：－5y＝－5 y＝1
將y＝1 代入(1)式或(2)式中可得 x ＝1 所以我們可得聯立方程式解( x ，y)＝(1，1) 先找出兩組方程式 2 x - y 3 = - 1 的解
x －2 4
y －1 3
畫出通過點(－2，－1)、(4，3)的直線 L。
再找出兩組方程式 x + y = 2 的解
x －1 3
y 3 －1
畫出通過點(－1，3)、(3，－1)的直線 M，如下圖所示：
∴ 此聯立方程式 î í ì
= +
-
= -
2 1 3 2
y x
y
x 有唯一解為(1，1)，即為兩直線的交點。
x y
o
L
M (4，3)
(3，－1) (1，1) (－2，－1)
(－1，3)
兩直線重合：
設二元一次方程式為 î í ì
= +
= +
2 2 2
1 1 1
c b x a
c b x
a ，當
2 1
a a ＝
2 1
b b ＝
2 1
c
c 時，此聯立方程式有無限多解，
且圖形為重合的兩條直線。
【範例】 ：請在座標平面上描繪出二元一次聯立方程式 î í ì
= +
= +
12 6 4
6 3 2
y x
y
x 的圖形。
解 ： 我們先利用之前學過的代數運算方法求出解
î í ì
= +
= +
(2)
12 6 4
(1)
6 3 2
y x
y x
先找出兩組方程式 2 x + y 3 = 6 的解：
x 0 3
y 2 0
畫出通過點(0，2)、(3，0)的直線。
再找出兩組方程式 4 x + y 6 = 12 的解：
x 0 3
y 2 0
畫出通過點(0，2)、(3，0)的直線，如下圖所示：
我們發現兩條直線是重合的，且在直線上的每一個點座標，都是此 聯立方程式的解。所以此聯立方程式
î í ì
= +
= +
12 6 4
6 3 2
y x
y
x 有無限多解，
而且兩條直線重合。
兩直線平行：
設二元一次方程式為 î í ì
= +
= +
2 2 2
1 1 1
c b x a
c b x
a ，當
2 1
a a ＝
2 1
b b ≠
2 1
c
c 時，此聯立方程式為無解，
且圖形為平行的兩條直線。
x y
(0，2) (3，0)
【範例】 ：請在座標平面上描繪出二元一次聯立方程式 î í ì
= +
= +
12 3 2
6 3 2
y x
y
x 的圖形。
解 ： 我們先利用之前學過的代數運算方法求出解
î í ì
= +
= +
(2)
12 3 2
(1)
6 3 2
y x
y x
先找出兩組方程式 2 x + y 3 = 6 的解
x 0 3
y 2 0
畫出通過點(0，2)、(3，0)的直線。
再找出兩組方程式 2 x + y 3 = - 6 的解
x 0 －3
y －2 0
畫出通過點(0，－2)、(－3，0)的直線，如下圖所示：
我們發現兩條直線是平行的，所以兩條直線沒有共同的解。也就是說，
此聯立方程式的沒有交點座標。
所以此聯立方程式 î í ì
= +
= +
12 3 2
6 3 2
y x
y
x 為無解。
【範例】 ：判斷下列各組聯立方程式，何者為無解、何者為無限多組解、何者只有一組解。
(1) î í ì
= -
= -
12 2 4
4 2
y x
y
x (2)
î í ì
= - -
= - -
0 10 8 6
0 5 4 3
y x
y
x (3)
î í ì
= +
= -
12 4 5
9 2 3
y x
y x
解 ： (1) ∵ 4 2 ＝
2 1 - - ≠
12
4 ， ∴ 此方程式為無解。
(2) ∵ 6 3 ＝
8 4 - - ＝
10
5 ， ∴ 此方程式有無限多組解。
(3) ∵ 5 3 ≠
4 2
- ， ∴ 此方程式只有一組解。
x y
(0，2) (3，0)
(0，－2) (－3，0)
【例題 1】 【例題 2】
若兩直線 ax －3y＝4 與 6 x ＋4y－9＝0 相 交於一點，請問 a ≠？
解：
若兩直線 2 x －4y＝7 與 3 x ＋ay＝13 相 交於一點，請問 a ≠？
解：
【例題 3】 【例題 4】
若兩直線 2 x ＋y＝10 與 3 x －ay＝3 互相 平行，請問 a ＝？
解：
若兩直線－ ax ＋2y＝6 與 3 x －6y＝7 互相 平行，請問 a ＝？
解：
【例題 5】
座標平面上，若兩直線 2 x ＋y＝ a 與 3 x － by ＝12 之交點座標為(－1，2)，則 a ＋2b＝？
解：
【例題 6】
方程組 î í ì
= - +
= + -
0 ) (2 3
0 2
y a x
y
x ，除了( x ，y)＝(0，0)這組解之外，還有其它的解，求 a 之値。
解：
【例題 7】
若 4 x －3y＝－12 與 x 軸之交點為( a ，0)，與y軸之交點為(0，b)，則 a ＋b＝？
解：
【例題 8】
設直線 ax ＋y＋ c ＝0 通過 A 點(－4，3)且垂直y軸，則 a ＋b＝？
解：
【例題 9】
在座標平面上，畫出下列兩組直線方程式的圖形，並說明此兩條直線之間的關係。
(1) L：
2
x ＋y＝3。 (2) M：
4 x ＋ y
2
1 ＝1。
解：
【例題 10】
在座標平面上，畫出下列兩組直線方程式的圖形，並說明此兩條直線之間的關係。
(1) L：2 x －y＝3。 (2) M： x ＋y＝4。
解：
