本 章 歷 屆 基 測 題 數 統 計
6 7 5 4 3 2 1
93 94 95 96 97 98 91
90 92 年度（年）
0 2
4 1
4 3
2
兩次題數合計 （題）
2 3
2
★平行線與截角性質
★平行四邊形
★梯形
1 1 2 0 1 2 2 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 2 0 1 0 2 2 0 1 0 0 1 99 8-s-05
能 利 用 直 角 定 義 兩 直 線 互 相 垂 直 ， 以 及 利 用 垂 直 於 同 一 直 線 定 義 兩 直 線 互 相平行。
8-s-06
能 具 體 說 明 兩 平 行 線 間 距 離 處 處 相 等。
8-s-07
能 熟 練 基 本 尺 規 作 圖。
8-s-08
能 認 識 平 行 線 的 基 本性質。
8-s-21
能 理 解 平 行 線 截 線 性 質 ： 兩 平 行 線 同 位 角 相 等 ； 同 側 內 角 互 補 ； 內 錯 角 相 等。
8-s-22
能 理 解 平 行 線 的 判 別性質。
本章的重點包括：一、平行線的尺規作圖；二、平行線基本性質的應用；三、平 行四邊形的性質與判別（包含長方形、菱形與正方形的性質）；四、等腰梯形的性質 與應用；五、梯形中線的性質與應用。
本章命題重點在於：平行線的性質與判別以及梯形的周長與面積。
基測停看聽
行四邊形的圖形。
8-s-23
能 理 解 平 行 四 邊 形 的意義與性質。
8-s-24
能 理 解 平 行 四 邊 形 的判別性質。
8-s-25
能 理 解 平 行 四 邊 形 的面積公式。
8-s-28
能 辨 識 一 個 敘 述 及 其 逆 敘 述 間 的 不 同。
4-3 梯形 8-s-26
能 理 解 梯 形 的 意 義 與 性 質 （ 包 含 梯 形 中線性質）。
參考資料
評量注意事項
1題目盡量能給予圖形及明確的角度大小。例如：
不宜命題型式：如右圖，兩角的兩邊互相平行，則兩角會 。 改為如下命題：如右圖，∠A、∠B 的兩邊分別互相平行，
且∠A＝117°，則∠B 是幾度？
2需學生畫輔助線的題目不宜命題。例如：
不宜命題型式：如右圖， L1 L2且∠C＝133°，∠A＝153°， 則∠ABC 是幾度？
改為如下命題：如右圖， L1 L2，L2 L3，且∠C＝133°，
∠A＝153°，則∠ABC 是幾度？
3評量學生是否能使用直尺與三角板，畫出經過直線外一點的平行線時，宜採用實作觀 察的方式進行評量。
4命題時若題目是能配合給予圖形的，請盡量能給予圖形。
5在國中階段尚未出現「集合」的名詞，故在此不做四邊形集合與特殊四邊形集合間的 包含關係的歸納。
一. 幾何原本中的平行概念
歐幾里得的幾何原本是以邏輯推理的方式，將平行線視為抽象的概念來探討介 紹的。雖然一般都認為歐幾里得絕非世上第一位將平行線視為抽象數學概念的人，
但是可以肯定的是歐幾里得的幾何原本是對平行線及平行四邊形的概念進行最完整 且有系統介紹的一部著作。
在幾何原本的第 I 卷中，有定義、公設、公理及命題四部分。其中，第 23 個定 義就是對平行直線的定義：平行直線是在同一平面內的直線，向兩個方向無限延 長，不論在哪個方向，它們都不會相交。其它和本單元有關的命題如下：
（〔 〕表示原文不是這樣敘述，是改用現在術語翻譯的）
命題 15：如果兩直線相交，則它們交成的對頂角相等。
命題 27：如果一直線和兩直線相交所成的〔內〕錯角彼此相等，則這兩直線互相平 行。
L1
L2
L1
L2
L3 A
A B
B C
A B C
1 2
命題 28：如果一直線和兩直線相交所成的〔同位角〕相等，或者〔同側內角〕的和 等於二直角，則二直線互相平行。
命題 29：一直線與兩平行直線相交，則所成的〔內〕錯角相等，〔同位角〕相等，
且〔同側內角〕的和等於二直角。
命題 30：一些直線平行於同一條直線，則它們也互相平行。
命題 31：過一已知點作一直線平行於已知直線。
命題 34：在〔平行四邊形〕面片中，對邊相等，對角相等且對角線二等分其面片。
命題 41：如果一個〔平行四邊形〕和一個三角形既同底又在兩平行線之間，則〔平 行四邊形〕是這個三角形的兩倍。
由上面所列幾何原本中有關平行線的內容，可看出此書在傳入我國後，對我國 幾何發展的影響有多深。
二. 類與類名的困擾
中國人的語言邏輯沒有歐美的希臘文明或猶太文明的傳統。一般人把古典的命 題論證歸功於希臘人。傳說亞利安人為求團結內部的力量，要求首長之下的人的紛 爭，必須在首長之前以公開論證的方式，由首長及其僚屬裁決，一經裁決即不得再 私鬥，因此很早便發展出語言推理的規律來。歐式幾何學即為以此方法去整理幾何 知識，得到很大成就。而文藝復興後的歐洲基督教會，以歐幾里德的幾何原本為教 士的養成教材，即是以它能訓練邏輯能力為著眼點。
反之，中國自從「白馬非馬」後，並未發展出明確的一套架構，使「白馬非馬」
得到適當的安置。在許多西方的語言中，只要某個類的概念形成，便有該類較正式 的定義，以及該類的類名。反觀中國則非如此，在中村元著的「東方的思維方法」
一書中，直指中國語言中，類的類名並不很明顯，很容易受到代表該類的特殊元素 的特殊性影響。例如 sheet metal，作為一種工業加工材料，是以其平面的特性作為 分類特徵，而與 line metal 分開的，sheet metal 不因其厚薄而失掉它的類名。但是要 翻成中文時，到底要用板材、片材、面材、布材，就有許多考慮。又如「槍」字，
源來自可刺、可投之武器，但有人會以其為金屬製而改成「鎗」。如果是以英文的邏 輯，在這種語言觀背景的影響下，正方形和長方形到底是互斥關係，還是包含關 係，便成為麻煩的問題。
三. 包含關係在數學中的地位
較複雜的數學物件都是由一些性質定義的。例如多面體（polyhedron）就是一個 較複雜的數學物件，在 Lakatos 所著的《證明與反駁》（Proof and Refutation）書中，
因為多面體與尤拉公式 V－E＋F＝2 之間的關係，使得多面體概念得以完全釐清。
四. 參考書目
1《國民小學數學科新課程概說 —─ 高年級》（1995 年）
臺灣省國民學校教師研習會 臺灣省國民學校教師研習會 2《創意教學 —─ 數學篇》（1995 年） 何碧燕等 幼獅文化公司
3《幹嘛學數學？》（1999 年） Sherman K. Stein著、葉偉文譯 天下遠見 4《數學的發現趣談》（2000 年） 蔡聰明 三民書局
五. 相關網站
1翰林我的網 http://www.worldone.com.tw 2翰林文教網 http://www.hle.com.tw
3大直高中數學教學網 http://www.dcsh.tp.edu.tw/mathj/home.htm 4九年一貫課程與教學網 http://teach.eje.edu.tw/9CC
5國立教育研究院 http://www.naer.edu.tw/
6昌爸工作坊 http://www.mathland.idv.tw
確定了某數學物件是什麼之後，進一步就要決定挑選哪些性質予以定義。例如平行 四邊形用四邊形的兩雙對邊互相平行的性質來定義，也是非常貼切的。性質之間常 有一些充分性、必要性或充要性的關係，這樣就決定了數學物件的歸類。
生物的種類有一系統的階層化，稱為「界、門、綱、目、科、屬、種」，不過
「種」之下「亞種、變種、品種」也有點混亂，這時不同的類，具有上下包含關係，
雖然有相同的名字，可是不至於造成混亂，例如，百合科（科名）和臺灣百合（種 名）。至於學名則更講究，絕不會混淆。
平面幾何中的圖形，其階層化不如生物圈這麼明顯，如果類名相同就容易造成 混淆。尤其兒童剛開始學習正方形和長方形的名字時，其唯一區分的方式就是依邊 長來判斷，到後來改以性質與定義來說，正方形是長方形的一種時，學童無法接 受，情有可原。林福來教授曾嘗試建議︰正方形是等邊的，長方形是不等邊的，矩 形則包括正方形及長方形。如果如此，則我們必須貫徹此一原則，例如說等腰三角 形包括二等邊三角形和正三角形之類的，把所有平面圖形和立體圖形都作一番界 定，並取得數學界的共識才行。
而任意三角形的面積公式（底×高÷2），便可由直角三角形的面積，以下面兩 種情形來推得：
1當高在三角形內部時：
如右圖，△ABC 以 BC 為底時，高為 AH，若設 BH＝a，HC＝b，AH＝h，則
△ABC 的面積＝△ABH 的面積＋△AHC 的面積
＝ ＋
＝
＝
＝ （即底×高÷2）
2當高在三角形外部時：
如右圖，△ABC 以 BC 為底時，高為 AH，若設 BH＝a，HC＝b，AH＝h，則
△ABC 的面積＝△ABH 的面積－△AHC 的面積
＝ －
＝
＝
＝ （即底×高÷2）
例題：
如右圖，四邊形 ABCD 中，對角線 AC⊥BD 於 H 點。
說明四邊形 ABCD 的面積為 。 說明：
四邊形 ABCD 的面積
＝△ABD 的面積＋△ CBD的面積
＝ ＋
＝
＝
＝BD×AC 2
BD×（AH ＋CH）
2
BD×AH＋BD×CH 2
BD×AC 2 BC×AH
2
（a－b）h 2 ah－bh
2 bh
2 ah
2
BC ×AH 2
（a＋b）h 2 ah ＋bh
2 bh
2 ah
2
A
B C
a H b h
A
B H
h b aC
A
B D
C H
BD×AH 2
BD×CH 2
■MPB
垂直、平分與平行 P8∼12
配套指示器 理解平行線 的 定 義 及 符 號 的 使 用 ， 並 利 用 矩 形 來 說 明 平 行 線 的 特 性。
■教師可準備長方體 教具讓學生觀察平 行線。宜先讓學生 觀察同一面的邊，
若欲觀察如下圖之 P、Q 兩邊時，宜 以兩塊三角柱合成 長方體的方式，如 此，三角柱的 P、
Q 兩邊會在剖開後 的同一面。
教學眉批 活動 1
P Q
■鉛直的概念是與水 平直線垂直之意。
此處不宜將鉛直線 過度解釋為通過地 球中心點的直線，
造成「兩鉛直線會 交於地心，所以並 不平行」的誤解。
注意事項
■L1、L2、L3為平面上相異三條直線：
1若 L1//L2，L2//L3，則 L1與 L3是否平行？
2若 L1⊥L2，L2⊥L3，則 L1與 L3是否垂直？
1 是；
2 否
補充問題 補充問題 P Q
■類題熟練本 P46 配套指示器 與歐幾里德所給之 定義不同。歐幾里 德是以「永不相交」
來定義，其直觀性 較強，但操作性較 差。
■定義中「在平面上」
是需要的，因為如 果不在同一平面，
兩線有可能是歪斜 線，此時兩線雖然 永不相交，但其他 平行線的性質已不 成立。
■隨 堂 練 習 的 第 1 題 是複習線對稱圖形 的特性：對稱軸就 是對稱點連線的中 垂線。
■隨 堂 練 習 的 第 2 題 除了加強學生了解 平行線的定義，也 利用摺紙的方式，
補強了平行線可無 限延伸的觀念。因 為有些題目是需要 延長平行線才能畫 出共同的垂線。
1 如圖一，四邊形 ABCD 為線對稱圖形，則 AD 與 BC 是否平行？
是
2 如圖二，六邊形 ABCDEF 為正六邊形，則：
1 AB 與 DE 是否平行？
2 BF 與 CE 是否平行？
1是；2是 補充問題 補充問題
A
圖一 圖二
A B
C D
E D F
B C
■類題熟練本 P46 配套指示器
■介紹截角時，不平 行 的 兩 線 也 要 介 紹，學生才不會誤 解。
■教師可用下圖的方 式，讓學生了解，
何 謂 在 L 的 同 一 邊；何謂在 L1、L2 兩直線的內側。
教學眉批
L1
L
L2
1 4
2 3
5 8
6 7
1 如右圖，直線 L 為 L1、L2的截線，則：
1∠2 的同位角是 。 2∠3 的內錯角是 。 3∠4 的同側內角是 。
2 如右圖，三直線兩兩相交於三點，則：
1哪些角是∠2 的同位角？
2哪些角是∠1 的同側內角？
3哪些角是∠1 的內錯角？
補充問題 補充問題
∠7
∠8
∠8
L1
L1
L3 L2
L2
L
1
1 5 6 7
8 9 10 11 12 32 4
3 2 4 5
6 7 8
∠8、∠11
∠8、∠9
∠5、∠10
■類題熟練本 P46
■歷屆基測試題 P48 配套指示器
■隨堂練習是讓學生 在不同方位的圖形 中加強截線、截角 的觀念。
理解兩平行 線 被 一 線 所 截 時 ， 它 們 的 同 位 角 會 相 等 ， 內 錯 角 也 會 相 等 ， 而 同 側 內 角 會 互補。
■對頂角的觀念，教 師 可 先 舉 實 例 複 習，方便例題 1 的 解說。
教學眉批 活動3
教學眉批
■如右圖，直線 L1、L2為同時與直線 L 垂直的平行線，M 為截線。
已知∠1＝120°。
1∠2∼∠8 各截角的度數分別是多少度？
2同側內角∠2、∠7 與∠4、∠5 的和分別是多少度？
1∠2＝120°，∠3＝60°，∠4＝60°，∠5＝120°，∠6＝120°，
∠7＝60°，∠8＝60°
2∠2＋∠7＝180°，∠4＋∠5＝180°
補充問題 補充問題
L1
L M
1 3
5 7 2 4
6 8 L2
■類題熟練本 P47
■歷屆基測試題 P49 配套指示器
■如右圖，直線 L1、L2為同時與直線 L 垂直的平行線，M 為截線。
若∠1 度數為 x°，則：
1∠2∼∠8 各截角的度數分別是多少度？（用 x 表示）
2同側內角∠2、∠7 與∠4、∠5 的和分別是多少度？
1∠2＝x°，∠3＝180°－x°，∠4＝180°－x°，∠5＝x°，∠6＝x°，
∠7＝180°－x°，∠8＝180°－x°
2∠2＋∠7＝180°，∠4＋∠5＝180°
補充問題 補充問題
L1
L M
1 3
5 7 2 4
6 8 L2
據一般化演算後，
發現各種截角的關 係。
■92基測 II 第 10 題
！
基測試題■教師可在進行動動 腦 時 ， 將 P157、
158 的補充問題納 入討論，以增強學 生印象。
教學眉批
■類題熟練本 P47 配套指示器
■如右圖，L1 L2，L 為 L1、L2的截線，且∠1＝85°，求∠2。
85°
補充問題 補充問題
L1
L
2 1
L2
■隨 堂 練 習 第 2 題 ， 教師可以將一手向 前平舉再轉彎，示 範轉角就是手掃過 的角。有關轉角的 概念，學生容易與 其補角相互混淆，
教師宜多加說明。
教學眉批
■類題熟練本 P48 配套指示器
∠3 分別以∠1 的 內錯角及同側內角 來 解 題 ， 也 可 以
∠2 與∠3 互補的 觀念解題及驗證。
■柯西在公園的小路玩滑板，滑行路線如右圖的箭號所示，已知 L1、L2、L3是三條直線小路，且 L1與 L2 平行。若∠1 ＝ 110°， 則 ∠2 是幾度？
110°
補充問題 補充問題
L1
1 2
L2
L3
■有一頭牛，先向北 走 10 公尺，再向 東走 5 公尺，再向 南走 8 公尺，最後 再右轉，請問牛的 尾 巴 朝 向 哪 裡 ？ 地上
趣味數學
■類題熟練本 P48、49 配套指示器
■兩直線被一直線 L 所截，且其中一組同位角分別為 80°及 75°，則此兩直線相交而 成的銳角是幾度？
5°
補充問題 補充問題
線會平行。
■例題 4 的教學也可 視學生的情況，補 充實測式的探索活 動，如下所示：
1 疊 合 兩 張 大 小 相 同 但 顏 色 不 同 的 正 方 形 色 紙 （ 讓 有 色 面 朝下），任意摺 出 一 角 ， 再 將 下 面 的 色 紙 沿 摺 線 方 向 稍 微 下 拉 並 保 持 兩 紙 張 的 摺 線 成 一直線。
2 則兩直線 L1、L2 被直線 M 所截出 的同位角∠1、
∠2相等。
3 圖 中 再 標 記 L3 後，檢查 L1、L2 是否平行。
教學眉批
L1
1 2 L2
L3 M
■類題熟練本 P49 配套指示器
■如右圖，△ABC △DEF，則：
1∠A 與∠D 是否相等？
2AB 與 DE 是否平行？說明其理由。
3∠ACB 與∠DFE 是否相等？
4BC 與 EF 是否平行？說明其理由。
1相等；2平行，內錯角相等；
3相等；4平行，內錯角相等 補充問題
補充問題 理解兩直線
被 一 線 所 截 出 的 內 錯 角 相 等 或 是 同 側 內 角 互 補 時 ， 兩 直 線會平行。
活動5
題，教師可先問學 生：等腰直角三角 板 的 銳 角 是 幾 度 呢？
45°
■教師可舉生活中的 例子來說明「若由 A 可知道 B，由 B 又可知道C，則由 A 可知道 C 」的簡 單推理。 例如：
1袁太星期天一定 會吃早餐，他吃 早餐時一定會喝 牛奶。則袁太星 期天一定有喝牛 奶。
2小梅家過年時一 定會到臺南，她 到臺南時一定會 到外婆家。則小 梅過年時一定會 到外婆家。
教學眉批
A B
C E D
F
＝∼
■類題熟練本 P49、50
■十分鐘輕鬆考基礎篇 第 32 回
■歷屆基測試題 P52 配套指示器
■隨堂練習第 2 題若 要用內錯角說明，
可先將兩段合併：
若要用同側內角說 明，可先標記另一 個同側內角為∠3：
教學眉批
■（ D ）下列何者的 L1與 L2不平行？
A B C D
補充問題 補充問題
L1 L2
120°
120°
L1
L2
L1 L2
L1 L2
35°
85°
95°
70°
105°
145°
■98 基測 I 第 7 題
！
基測試題1
1 3
2
2
■類題熟練本 P50 配套指示器
■例題 6 教師可讓學 生利用不同的方式 解題，使學生更加 熟練平行線的截角 性質。例如：
∠3＝∠1＝52°，
∠4＝∠2，
所以
∠1＋∠2
＝∠3＋∠4＝180°
則
∠2＝180°－∠1
＝128°
教學眉批
■如右圖，L//M，∠1＝150°，∠2＝80°，
則 ∠ACE 為 度。
補充問題 補充問題
70
A B
C D
E M
L
1
2
L1 M
L2 2
3 4 1
■類題熟練本 P50 配套指示器 1 如圖一，∠A 的兩邊與∠B 的兩邊互相平行，且∠A＝60°，則∠B＝ 。
2 如圖二，∠A 的兩邊與∠B 的兩邊互相平行，且∠A＝60°，則∠B＝ 。 3 由 1、2 題知，兩角的兩邊互相平行，則此兩角 或 。
補充問題 補充問題
■隨堂練習第 2 題，
教師可以將一手向 前平舉再轉彎，示 範轉角就是手掃過 的角。有關轉角的 概念，學生容易與 其補角相互混淆，
教師宜多加說明。
教學眉批
60°
120°
相等 互補
B A
B
圖一 圖二
A
■類題熟練本 P51
■歷屆基測試題 P48 配套指示器
■如右圖，直線 L1//L2，已知∠3＝90°，
則∠1＋∠2＝ 度。
補充問題 補充問題
90
■例題 7 求∠3 時，
會 因 輔 助 線 的 不 同，而有不同的思 考方式。如下圖，
紅線為輔助線，其 中圖一與例題 7 是 相同形式；圖三的 L3為同時與 L1、L2 平行；圖四則是連 接 ∠ 1、 ∠ 2 的 頂 點。
教 師 可 視 學 生 的 情 況 加 以 補 充 ， 唯 命 題 時 ， 宜 給 予 適 當 的 輔 助 線。
教學眉批
圖二
圖三
圖四
L1 2 1
1
2 3
1
2 3 3
L2
L1
L2
L1
L3 L2
圖一
L1 1
2 3
L2
L1
1 1 3
2 L2
■類題熟練本 P51 配套指示器
■如右圖，L//M，∠1＝∠3，∠4＝∠6，則：
1 ∠1 與 ∠6 是否相等？
2 ∠2 與 ∠5 是否相等？
3 AB 與 CD 是否平行？
1 是；2 是；3 是 補充問題 補充問題
A B
C D
M
1 L
3 2
5 4 6
入射角等於反射角 的原理來解釋。
■類題熟練本 P52 配套指示器
■在下圖中，利用尺規作圖畫出通過 A 點且與 BC 平行的直線 AD。
補充問題 補充問題 平行線。
■經 由 動 動 腦 確 定 後，教師宜再示範 一次畫法，同時提 醒同學在移動三角 板時，直尺須壓好 不動。
■使用三角板與直尺 作平行線，雖然不 易 用 書 面 方 式 評 量，但在機械作圖 上 卻 是 重 要 的 方 法。
教學眉批
B C
D A
■教學掛圖 5B-
■類題熟練本 P52
■歷屆基測試題 P49 配套指示器 教具指示器
■如右圖，L1// L2，若△ACD 的面積為 9，求△BCD 的面積。
9
補充問題 補充問題
C D
A B
E
識 「 同 底 等 高 」 的 三 角 形 面 積 相 等 ， 並 利 用 此 關 係 求 出 相關圖形的面積。
■利用兩平行線之間 距離處處相等的性 質，除了可作等面 積三角形的圖形變 換外，亦可將四邊 形變換成面積相等 的三角形。
教學眉批
■94 基測 II 第 8 題
！
基測試題6 L1
L2
■類題熟練本 P52
■十分鐘輕鬆考基礎篇 第 33 回
■無敵大補帖基礎篇 P26∼29
配套指示器 充：
下圖中，L1//L2
則△ABE 與△DCE 面積相等。
（因為 a＋c＝b＋c）
■如右圖，AE // BD，C 在 BD 上， AE ＝8，BD ＝10，
△ABD 的面積為 30，求△ACE 的面積。
24
補充問題 補充問題
B C D
A E
B
D
C A
E a
c b
L1
L2
■類題熟練本 P53
■考前衝刺 P18、19
■考前 100 分 P18、19
■歷屆基測試題 4-1 配套指示器
■95 基測 I 第 32 題
■96 基測 I 第 11 題
■教師可利用自我評 量第 3 題，引導學 生了解平行有遞移 性。
注意事項
■如右圖，L1// L2，L 為 L1、L2的截線，求∠1、∠2。
∠1＝107°；∠2＝73°
補充問題 補充問題
1
L2 73°
L L1 2
■類題熟練本 P53 配套指示器 線對稱圖形重新命 題。
■如右圖，AB // DE ，∠ABC＝35°，∠CDE＝55°，
小強由 A 點出發，沿箭頭方向，在 B、C、D 處各 轉一個彎到達 E，則他共轉了 度。
補充問題 補充問題
360
A B
C E D
a
b
a
b 或
■類題熟練本 P53
■十分鐘輕鬆考進階篇 第 15 回
■無敵大補帖進階篇 P23、24
配套指示器
■第 8 題的解法是利 用「如果兩直線被 一截線所截的內錯 角相等，則兩直線 平行」的性質作平 行線。
■此題也可利用平行 線的定義：「兩直 線 與 同 一 直 線 垂 直 ， 則 為 平 行 線」，過 B 點作 AC 的垂線，交 AC 於 D 點，再過 B 點作 BD的垂線 L，則 L 即為所求。
教學眉批
■如下圖，已知 AB // CD，則 x ＝ ，y ＝ 。 補充問題
補充問題
140 80
A
C
B
D
40°
x°
y°
120°
