概率论与数理统计

概率论与数理统计

第一章 概率论的基本概念



样本空间



随机事件



频率和概率



条件概率



事件的独立性

1-1 随机试验



确定性现象：结果确定



不确定性现象：结果不确定 确定性现象

不确定性现象

自然界与社会生活中的两类现象

例：

向上抛出的物体会掉落到地上

（确定）

打靶，击中靶心（不确定）

买了彩票会中奖（不确定）

概率论与数理统计是研究随机现

象数量规律的学科。

对随机现象的观察、记录、实验统称 为随机试验。它具有以下特性：



可以在相同条件下重复进行；



事先知道可能出现的结果；



进行试验前并不知道哪个试验结果会

发生

例：



抛一枚硬币，观察试验结果；



对某路公交车某停靠站登记下车人数

；



对某批电子产品测试其输入电压；



对听课人数进行一次登记；

1-2 样本空间 随机事件

( 一 ) 样本空间

定义：随机试验 E 的所有结果构成 的集合称为 E 的 样本空间，记为 S={e} ， 称 S 中的元素 e 为样本点，一个元 素的单点集称为基本事件．



例：



一枚硬币抛一次



记录一城市一日中发生交通事故次数



记录一批产品的寿命 x



记录某地一昼夜最高温度 x ，最低温

度 y

S={ 正面，反面 } ； S={0,1,2,…} ； S={ x|a≤x≤b

}

S={(x,y)|T

≤y≤x≤T

} ；

( 二 ) 随机事件

一般我们称 S 的子集 A 为 E

的随机事件 A ，简称事件 A. 当且

仅当 A 所包含的一个样本点发生称

事件 A 发生。

随机事件有如下特征：

 任意一事件 A 是相应的样本空间 S 的一 个子集，其关系可用维恩 (Venn) 图来表 示；

 事件 A 发生当且仅当 A 中的某一个样本 点出现；

 事件 A 的表示可用集合，也可用语言来表 示。

S={0,1,2,…} ；

A={ 至少有 10 人候车 }={10,11,12,…}

S ， A 为随机事件，

A 可能发生，也可能不发生。

例：观察 89 路公交车浙大站候

车人数。



由一个样本点组成的单点集，称为基 本事件。



如果将 S 亦视作事件，则每次试验 S 总是发生，故又称 S 为必然事件。



为方便起见，记 Φ 为不可能事件， Φ

不包含任何样本点。

2 A B A B B A

 

   



＝

1

A B  ：事件发生一定导致发生 A B

S

A B

( 三 ) 事件的关系及运算



事件的关系（包含、相等）

例：

 记 A={ 明天天晴 } ， B={ 明天无雨 }

 记 A={ 至少有 10 人候车 } ， B={ 至少有 5 人 候车 }

 抛两颗均匀的骰子，两颗骰子出现的点数分别 记为 x,y. 记 A={x+y 为奇数 } ， B={ 两次的骰子 点数奇偶性不同 } ，则

 B A

  B A

 B A



事件的运算

S

A B

A B 



A 与 B 的和事件，记为



事件的运算

S

A B

, ,

A B A B AB  



A 与 B 的积事件，记为

1 2 1

1 2

1

, , , ,

n

i n

i n

i n

i

A A A A A A A A













： 至少有一发生

： 同时发生

S

A B



当 AB= Φ 时，称事件 A 与 B 是互 不相容的，或互斥的。

, ,

逆事件记为 互逆(互为 的, 若,

对立事件) 称

   

     

 



 

A A S A B S

A A

A A A B A B

A

S

A

S

A B

“ 和”、“交”关系式

1 2

1 1

n n

i i n

i i

A A A A A

 

 

  ^{＝ ＝}

1 2

1 1

n n

i i n

i i

A A A A A

 

   

  ^＝

A B   A B  

A B AB   

A B

 



例：设

={ 甲来听课 } ，

={ 乙来听 课 } ，则：

{ 甲、乙至少有一人来 } { 甲、乙都来 }

{ 甲、乙都不来 }

{ 甲、乙至少有一人不

来 }

概率中常有以下定义：由 n 个元件组

成的系统，其中一个损坏，则系统就损

坏，此时这一系统称为“串联系统”；若

有一个不损坏，则系统不损坏，此时这

一系统称为“并联系统”。

例： 由 n 个部件组成的系统，记

•

串联系统：

•

并联系统：

{ 第i个部件没有损坏}，i =1, 2, , , A ＝{系统没有损坏}

Ai

 

1

 

A A

1

 

A A

1-3 频率与概率

( 一 ) 频率 定义：记

其中 — A 发生的次数 ( 频数 ) ； n— 总试验次数。称 为 A

在这 n 次试验中发生的频率。

n

( )  n ； f A A

n n

n ( ) f A

1 n ；

例：



中国男子国家足球队，“冲出亚洲”共

进行了 n 次，其中成功了一次，在这

n 次试验中“冲出亚洲”这事件发生的

频率为

( ) 12 16 75%

f A

 

n ( ) f A

 某人一共听了 16 次“概率统计”课，其中有 12 次迟 到，记 A={ 听课迟到 } ，则

频率 反映了事件 A 发生的频繁程度

。

频率的性质：

试验 序号

n =5 n =50 n =500

n_H f_n(H) n_H f_n(H) n_H f_n(H)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 1 5 1 2 4 2 3 3

0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.4 0.6 0.6

22 25 21 25 24 21 18 24 27 31

0.44 0.50 0.42 0.50 0.48 0.42 0.36 0.48 0.54 0.62

251 249 256 253 251 246 244 258 262 247

0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488 0.516 0.524 0.494

例：抛硬币出现的正面的频率

实验者 n n_H f_n(H)

德 · 摩根 2048 1061 0.5181

蒲 丰 4040 2048 0.5069

K· 皮尔逊 12000 6019 0.5016 K· 皮尔逊 24000 12012 0.5005

频率的重要性质：

^{f An ( )}

随 n 的增大渐趋稳定，记稳定值为 p

定义 2 ：将概率视为测度，且满足：

称 P(A) 为事件 A 的概率。

1 2

1 1

1 ( ) 0 2 ( ) 1

3 , ,

( ) ( )

。

。

。 , . . . , , . . . ,（i j）

 

 







 







k i j

i i

i i

P A P S

A A A A A

P A P A

( 二 ) 概率

定义 1 ： 的稳定值 p 定义为 A 的概率，记为 P(A)=p

n( ) f A

性质：

( 1, 2,...), A

   n

证：令

1

, , .

n i j

n

A A A i j









1 1

1

( )

( )

( )

n n

n

P P A P A P

  

 



 

       

    

1 ( ) 0

P  

( ) 0. ( ( ) 0)

P P

     

( 1, 2,...), A

   k

证：令

, , , 1, 2,....

i j

A A i j i j

    

1 1

1 1

( ) ( ) ( ) ( ).

n n

i i i i

i i

i i

P A P A P A P A

 

 

 

       

4^ 若，则有 A  B P B A(  )  P B( )  P A( )

3 ( ) 1

P A   P A ( )

A A S 

＝＝    P A P A ( )  ( ) 1 

( )  ( ),于是有 ( )  ( ) 1



( ) ( ) 证：  

    

( ) ( ) ( ) P B P A P AB

  

( ) ( ) ( ) ( ) 0

P B P A P AB P B A

     

( ) ( ) P B P A

 

( ) ?

P B A  问题：一般情况下

( ) ( ) ( )

P B A  P B  P AB 答案：

( ) 0 ( ) 1

P A A

P B B S

   

   注：已知不能；

已知不能.

( ) A B A  B A 

  

＝＝

( ) ( ) ( )

P A B P A P B A

    

( ) ( ) ( ) ( )

P A B P A P B P AB

    

#5

的推广1：

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

P A B C P A P B P C

P AB P AC P BC P ABC

  

   

 

1 1 1

1

1 2 1

( ) ( ) ( )

( ) ( 1) ( )

n n

i i i j

i i j n

i

n

i j k n

i j k n

P A P A P A A

P A A A P A A A

   





   

 

    

 





#5

的推广2(一般情形）：

例：甲乙丙 3 人去参加某个集会的概率

均为 0.4 ，其中至少有两人参加的概率

为 0.3 ，都参加的概率为 0.05 ，求 3 人

中至少有一人参加的概率。

解：设 A, B, C 分别表示甲 , 乙 , 丙参 加，由条件知

P(A) = P(B) =P(C) = 0.4, P(AB

∪ AC ∪ BC) = 0.3,

由 0.3 ＝ P(AB ∪ AC ∪ BC) = P(A B)

+ P(AC) + P(BC) −2P(ABC), 得 P(AB) + P(AC) + P(BC)

= 0.3 + 2P(ABC) = 0.4,

因此，

P( 甲乙丙至少有一人参加）

= P(A ∪ B ∪ C)

= P(A) + P(B) + P(C) -P(AB)

- P(AC) - P(BC)+ P(ABC) = 0.85.

1-4 等可能概型（古典概型）

定义：若试验 E 满足



S 中样本点有限 ( 有限性 )



出现每一样本点的概率相等 ( 等可能性 )

 

P A S

  所包含的样本点数 中的样本点数

称这种试验为等可能概型 ( 或古典概型 ) 。

例 1 ：一袋中有 8 个球，其中 3 个为红球， 5 个为黄球，设摸到每一球的可能性相等。

（ 1 ）从袋中随机摸一球，记 A={ 摸到红球 } ，求 P(A) ．

（ 2 ）从袋中不放回摸两球，记 B={ 恰是一红 一黄 } ，求 P(B) ．

解： (1)

1 1 2

3 5 8

(2) ( ) / 15 53.6%

P B  C C C  28 

  ₈ ³

 P A 

S={1,2, ,8},A={1,2,3} 

例 2 ：有 N 件产品，其中 D 件是次品

，从中不放回的取 n 件，记 A

＝

{ 恰有 k 件次品 } （ k≤D) ，求 P(A

)

． ( D N n  ,  N )

( )

/

, 0,1, , P A  C C

C k   n

L

0 C



（注：当 L>m 或 L<0 时，记 ） 解

：

例 3 ：将 n 个不同的球，投入 N

个不同的盒中 (n≤N) ，设每一球

落入各盒的概率相同，且各盒可

放的球数不限，记 A ＝ { 恰有 n

个盒子各有一球 } ，求 P(A) ．

n

!

C n

 

( )

!/

P A C n N

  

解： n 个球放入 N 个盒子中，总样本点 数为 ，使 A 发生的样本点数

•

应用（生日问题）在一个 n （≤ 36

5 ）人的班级里，至少有两人生日

相同的概率是多少？

64 0.997 当时， n  p 

解 ：

例 4: ( 抽签问题 ) 一袋中有 a 个红球， b 个白球，记 a ＋ b ＝ n ．设每次摸到各球 的概率相等，每次从袋中摸一球，不放回 地摸 n 次。求第 k 次摸到红球的概率。

, , , ,

1 2 k n

  

① — a 号球为红球，

可设想将 n 个球进行编号：

其中

将 n 个人也编号为 1,2,…,n ．

① ②

ⁿ

可以是①号球，

亦可以是②号球

……是 号球 可以是①号球，

亦可以是②号球

……是 号球n

① ②

ⁿ

( 1)!

( )

( )!

a a b a

P A a b a b

   

 

--- 与 k 无关

视 的任一排列为一个样本点，每 点出现的概率相等。

解：

, , , ,

1 2 k n

  

1

( )

/

a P A C C

a b



 





1 1 a

C

a

C

Ak

总样本点数为 ，每点出现的概 率相等，而其中有 个样本点 使 发生，

解 2 ： 视哪几次摸到红球为一样本

点

解 3 ：将第 k 次摸到的球号作为一 样本点

( )

a a

P A n a b

  



① ，②，…，

S ＝ { } ，n

Ak  { }① ，②，…，a

(

) 1 2

 P A 

此值不仅与 k 无关，且与 a ， b 都 无关，若 a ＝ 0 呢？对吗？ 为什么

？

此值不仅与 k 无关，且与 a ， b 都 无关，若 a ＝ 0 呢？对吗？ 为什么

？

错，这不是等可能概型

A

 _{{ 红色 }}

解 4 ：记第 k 次摸到的球的颜色为一

样本点 S ＝ { 红色 , 白色 } ，

例 5 ：（配对问题）一个小班有 n 个 同学，编号为 1, 2, …, n 号，中秋节 前每人准备一件礼物，相应编号为 1,

2, … ,n 。将所有礼物集中放在一起

，然后每个同学随机取一件，求没有

人拿到自己礼物的概率。

解：设 Ai 表示第 i 人拿到自己的礼物

， i=1,2,…,n ， A 表示至少有一人拿

到自己的礼物。

( ) (

1)!/ ! 1/ ,

P A  n  n  n 共项, n

1

2 1

3

0

( ) ( )

1 ( ... )

1 1

1 ( 1)

1 1

... ( 1)

( 1)( 2) !

1 1 1

1 1 ... ( 1)

2! 3! !

( 1)

!

n n

n i

n n

n

n i

i

P P A

P A A

n C n n

C n n n n

n i







   

   



  

 

      

 





没有人取到自己礼物

人们在长期的实践中总结得

到“概率很小的事件在一次试验

中实际上几乎是不发生的” ( 称

之为实际推断原理 ) 。

例 6 ：某接待站在某一周曾接待 1

2 次来访，已知所有这 12 次接待

都是在周二和周四进行的，问是否

可以推断接待时间是有规定的 ?

解：假设接待站的接待时间没有 规定，而各来访者在一周的任一 天中去接待站是等可能的，那么

， 12 次接待来访者都是在周二、

周四的概率为

2

/7

=0.000 000 3.

现在概率很小的事件在一次试

验中竟然发生了，因此，有理由怀

疑假设的正确性，从而推断接待站

不是每天都接待来访者，即认为其

接待时间是有规定的。

§5 条件概率

例：一个家庭中有两个小孩，已知 至少一个是女孩，问两个都是女孩 的概率是多少？

（假定生男生女是等可能的）

解： 由题意，样本空间为

{ ( ) ( ) ( ) ( ) }

 男，男，男，女，女，男，女，女

A

表示事件“ 至少有一个是女孩”，

{ ( ) ( ) ( ) } A ＝男，女，女，男，女，女

{ ( ) }

B  女，女

由于事件 A 已经发生，所以这时试 验的所有可能结果只有三种，而事 件 B 包含的基本事件只占其中的一 种， 所以有

( ) 1

P B A  3

在这个例子中，若不知道事件 A 已经发生的信息，

那么事件发生的概率为

1

( ) 4 P B 

( ) ( ) P B  P B A 这里

) ( A B P

其原因在于事件 的发生改变了样本空间，使它由原 来的 缩减为 ，而 是在新的样本空间 中由古 典概率的计算公式而得到的

A

S S_A  A ^S_A

例：有一批产品，其合格率为 90% ， 合格品中有 95% 为优质品，从中任取 一件，

记 A={ 取到一件合格品 } ， B={ 取到一件优质品 } 。

则 P(A)=90% 而 P(B)=85.5%

记： P(B|A)=95%

1. P(A)=0.90 是将整批产品记作 1 时 A 的测度

2. P(B|A)=0.95 是将合格品记作 1 时 B 的测度

3. 由 P(B|A) 的意义，其实可将 P(A) 记为 P(A|S)

，而这里的 S 常常省略而已， P(A) 也可视为 条件概率。

分析：

A B S

( ) ( ) x P AB

 P A

若记 P(B|A)=x ，则应有 P(A):P(AB)=1:x

解得：

一、条件概率 定义：

由上面讨论知， P(B|A) 应具有概率的所有 性质。

例如：

P B A ( | ) 1   P B A ( | )

( | ) ( | ) ( | ) ( | )

P B C A  P B A  P C A  P BC A

B C  _{ P B A ( | )  P C A ( | )}

( ) ( | )

( )



( ) 0 

( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )



 



( ) ( ) ( | ) ( | ) P ABC  P A P B A P C AB

二、乘法公式

当下面的条件概率都有意义时

：

例：一盒中有 5 个红球， 4 个白球，

采用不放回抽样，每次取一个，取 4 次，（ 1 ）已知前两次中有一次取到 红球，求前两次中恰有一次取到红球 的概率；（ 2 ）已知第 4 次取到红球

，求第 1 ， 2 次也取到红球的概率。

解： Ai 表示第 i 次取到红球， i=1,2,3,4 ， B 表示前两次中有一次取到红球， C 表示前两 次中恰有一次取到红球的概率。

1 1 2

4 5 9

2 2

4 9

( ) ( ) 2

( )

( ) 1 ( ) 1 3

C C C P BC P C

P C B

P B P B C C

   

 

3 3

5 9

1 2 4 1 2 4

4

( ) 9

( )

( ) 5 9 42

P A A A P A A A



 

例：某厂生产的产品能直接出厂 的概率为 70% ，余下的 30% 的产 品要调试后再定，已知调试后有 8 0% 的产品可以出厂， 20% 的产

品要报废。求该厂产品的报废率。

解：设 A={ 生产的产品要报废 } B={ 生产的产品要调试 }

已知 P(B)=0.3 ， P(A|B)=0.2 ，

( ) ( ) P A  P AB

, ,

A  B A AB 

( ) ( ) 0.3 0.2 6%

P B P A B

   

例：某行业进行专业劳动技能考核，一个

月安排一次，每人 最多参加 3 次；某人第

一次参加能通过的概率为 60% ；如 果第

一次未通过就去参加第二次，这时能通过的

概率为 80% ；如果第二次再未通过，则去

参加第三次，此时能通过的概率为 90% 。

求这人能通过考核的概率。

1 1 2 1 2 3

A  A  A A  A A A

解：设 A

={ 这人第 i 次通过考核 } ， i=1,2,3

A={ 这人通过考核 } ，

1 1 2 1 2 3

( ) ( ) ( ) ( ) P A  P A  P A A  P A A A

2 1

2 1

( | )

1 ( | ) 1 0.8 0.2 P A A

P A A

 

  

1 0.4 0.2 0.1 0.992

    

亦可：

三、全概率公式与 Bayes 公式

定义：设 S 为试验 E 的样本空间， B

为 E 的一组事件。若：

则称 B

为 S 的一个划分 , 或称 为一组完备事件组。

1 2

( ) i B   B B

 S

( ) ii B B

  , i j i j  , ,  1,2, ,  n

B₁

B₂ B_n

S

即： B

,B

,…,B

至少有一发生是

必然的，两两同时发生又是不可

能的。

设试验 E 的样本空间为 S ， A 为 E 的事件。

B₁,B₂,…,B_n

为 S 的一个划分， P(B

，

；则称：

1

( ) ⁿ ( )_j ( | _j )

j

P A P B P A B







为全概率公式

B₁

B₂ B_n

S

A

定理：

1 2 n

A AS AB    AB  AB



 

i j

AB AB

i  j 与

不相容

1

( )

(

)

j

P A P AB



  

1

( ) ( | )

n

j j

j

P B P A B



  

证明

注：在运用全概率公式时，一个关键是构造 一组合适的划分。

* 全概率公式可由以下框图表示：

设 P(Bj)=pj, P(A|Bj)=qj, j=1,2,…,n 易知：

1

1

n

j j

p





S

P₁

P₂

. . .

B₂ B₁

B_n

. . .

q2

q1

qn

A

 

   

1 n |

j j

j

P A P B P A B







P_n

更进一步，设试验 E 的样本空间为 S ， A 和 C 为 E 的事件。 B1, B₂, …, B_n 为 S 的 一个划分， P(BiC)>0 ， i=1, 2, …, n ； P (C )>0, 则称：

为条件概率的全概率公式。

1 1

( ) ⁿ ( _j ) ⁿ ( _j ) ( | _j )

j j

P A C P AB C P B C P A B C

 







1

( ) ( | ) ( | )

( ) ( | )

i i

i n

j j

j

P B P A B P B A

P B P A B



 

定理：接上面全概率公式的条件，

且 P(A)>0, 则

称此式为 Bayes 公式。

例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期 出差的概率为 70% ，若甲出差，则乙出 差的概率为 10% ；若甲不出差，则乙出 差的概率为 60% 。

(1) 求近期乙出差的概率；

(2) 若已知乙近期出差在外，求甲出差的

概率。

( ) 0.70, ( | ) 0.10, ( | ) 0.60P A  P B A  P B A  已知

  ^{1 ( ) P B  P AB AB (} _ ⁾

( ) ( | ) ( ) ( | ) P A P B A P A P B A

 

0.7 0.1 0.3 0.6 25%

    

( ) ( )

P AB P AB

 

解：设 A={ 甲出差 } ， B={ 乙出

差 }

  ^{2 ( | ) ( ) ( ) 7}

( ) ( ) ( ) 25 P AB P AB

P A B

P B P AB P AB

  



Bayes

公式

例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试 验具有 5% 的假阳性及 5% 的假阴性：

若设 A={ 试验反应是阳性 } ， C={ 被诊断患有癌症 }

则有： 已知某一群 体 P(C)=0.005 ，问这种方法能否用于普查？P A C

( | ) 5%, ( | ) 5%, 



( ) ( | )

( )



( ) ( | )

0.087 ( ) ( | ) ( ) ( | )

P C P A C

P C P A C P C P A C

  



若 P(C) 较大，不妨设 P(C)=0.8 推出 P(C|A)=

0.987 说明这种试验方 法可在医院用

解：考察 P(C|A) 的值

若用于普查， 100 个阳性病人中被诊断患

有癌症的大约有 8.7 个，所以不宜用于普

查。

例：有三个箱子，第 1 箱装有 5 件正品

件次品，第 2 箱装有 4 件正品 2 件次

品，第 3 箱装有 3 件正品 2 件次品。现

从第一箱中随机取 1 件放到第 2 箱，再

从第 2 箱中随机取 1 件放到第 3 箱，然

后从第 3 箱中随机取 1 件，求最后取到

的是次品的概率。

( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) P C  P A P C A  P A P C A

解：设 A,B,C 分别表示从第 1 ， 2 ， 3 箱取到次 品，

由条件概率全概率公式，

问题：直接可以用全概率公式吗？

1-6 独立性

例：有 10 件产品，其中 8 件为正品， 2 件次品。从中取 2 次 , 每次取 1 件，设 A

={

第 i 次取到正品 } ， i=1,2

2 1 2

7 8

( | ) ( )

9 10

P A A   P A 

2 1 2

( | ) 8 ( ) P A A  10  P A

不放回抽样时，

放回抽样时，

即放回抽样时， A

的发生对 A

的发

生概率不影响。同样， A

的发生对

A

的发生概率不影响。

定义：设 A ， B 为两随机事件，如果 P

，则称 A ， B 相互独 立

若 ，

P(AB)=P(A)P(B)

等价于 P(B|A)=P(B)

，

P(AB)=P(A)P(B)

也等价于 P(A|B)=P(A)

( ) 0, ( ) 0

P A  P B 

定义 ：

注意：

1

两两独立不能  相互独立

2° 实际问题中，常常不是用定义

去验证事件的独立性，而是由实际

情形来判断其独立性。

n 重贝努利试验：设试验 E 只有两 个可能的结果： , p(A)=p, 0<p

<1, 将 E 独立地重复进行 n 次，则 称这一串 重复的 重复 独立试验为 n 重贝 独立 努利试验。

,

A A

在相同条件下 重复进行

即每次试验结果 互不影响

例：甲、乙两人进行乒乓球比赛，

每局甲胜的概率为p,p≥,问对甲而言，

采用三局二胜制有利，还是采用五局

三胜制有利？(设各局胜负相互独立)

 

A 

再设 甲胜

 

   

 

1 2 1 2 3 1 2 3

2 2

1

1

2 1

三局二胜制：

  

   

P A P A A A A A A A A

p p p p

  



2

2



 3  1 2  1

p p p p p

2 1

2 1

, 1 2

, 1

2

p p p

p p p

  

  

  



当

当

例：有 5 个独立元件构成的系统 ( 如图 1) ，设每个元件能正常运 行的概率为 p ，求系统正常运行 的概率。

1

3 4 5

2

 

图 1

 

 

, 1, 2,3, 4,5

Ai i i

A

 



解：设第个元件运行正常 系统运行正常

3 3

A AA

 

则：

3 3 3 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A  P A  P A A  P A  P A A

 

5 2 4

1

 

2

ˆ (

)

2

p











 

5 2

4 1

例：一袋中有编号为 1,2,3,4 共 4 个

球，采用放回抽样，每次取一球，共

取 2 次，记录号码之和，这样独立重

复进行试验，求“和等于 3” 出现在“和

等于 5” 之前的概率。

解：设 A 表示“和等于 3” 出现在“和等于 5” 之前

，

B 表示第一次号码之和为 3 ，

C 表示第一次号码之和为 5 ，

D 表示第一次号码之和既不为 3 也不为 5

。

2 4 10

( ) , ( ) , ( )

16 16 16

P B  P C  P D 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 4 10

1 0 ( )

16 16 16

P A P B P A B P A C P C P A D P D P A D

  

     

( ) ( )



在第一次和不等于 3 或 5 的情况下求 A 的条件概率，相当于重新考虑 A 的概 率。

( ) 1 . P A 3

 

例：某技术工人长期进行某项技术操作，

他经验丰富，因嫌按规定操作太过烦琐，

就按照自己的方法进行，但这样做有可能 发生事故。设他每次操作发生事故的概率 为 p ， p>0 ，但很小很小，他独立重复进 行了 n 次操作， 求 (1) n 次都不发生事故的 概率； (2) 至少有一次发生事故的概率。

解：设 A={n 次都不发生事故 },B={ 至 少有一次发生事故 },Ci={ 第 i 次不发 生事故 },i=1,2,…,n

1

,...,

( ) 1

C C P C   p

则相互独立，

( ) (

) (1 )

P A  P C  C   p

上式的意义为：“小概率事件”在大量

独立重复试验中“至少有一次发生”几

乎是必然的。

21/12/19

课件待续 !