Dehn Surgery 簡介
曹志誠
當一個醫生在為病人做手術的時候, 比 如說換心手術, 醫生要把病人的心臟拿出 來, 然後把一個好的心臟按裝回去。 在拓樸 學裡也有一個像這樣的程序, 最早把這個程 序用在三維拓樸流形的是德國數學家 Max Dehn。 他在 1910 年考慮從一個三維流形內 將一個 solid torus 取出, 然後將一個拓樸 同構的 (homeomorphic) solid torus 按裝 回去, 但是按裝的方式也許和原來拿出來的 方式不一樣, 這樣產生的三維流形便和原來 的三維流形很可能不是拓樸同構的。
為方便說明這個情形, 我們把流形的維 數降低一維到二維。 想像一個二維的 torus T 及其上面的一個環 A, 如圖一所示。
T
A 圖一
如果沿著環 A 的兩個邊界把它切下來, 則我
們便得到如圖二的兩個 (有界的) 流形T′ 及 A′: 其中箭頭的方向指示原來這兩個流形的 邊界是如何連在一起的。 現在如果把環 A′ 放 回去, 但把 A′ 和 T′ 的邊界連在一起的方式 改變一下, 如圖三箭頭方向所示。
T′
A′
圖二
T′
A′
圖三
則我們得到一個新的二維流形, 它是一個和
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原來 torus 不同構的克來因瓶 (Klein bot- tle), 如圖四所示。
圖四
(註: 這是克來因瓶在三維空間中的示意圖) 讓我們回到三維的情形, 在本文中所有 的三維流形都限於有向性的 (orientable)。
為了方便起見, 我們做 surgery 的三維流形 對像僅限於三維球體 S3。 如果 N 是在 S3內 的一個 solid torus, 則 N 的中心線 (core) 是一個在 S3 內的結 (knot) K, 我們也把 N 記作 N(K), 如圖五所示。
S3
N(K) = N
K
圖五
現在如果把 N 的內部
◦
N 從 S3 取出 來, 再把一個和 N 同構的 solid torus V 黏 接回去, 黏接的方式是把 V 的邊界 ∂V 和 S3−
◦
N 的邊界 ∂(S3−
◦
N) 經過一個同構映
射 (homeomorphism) h : ∂V −∂(S3−
◦
N) 接合起來, 如圖六所示:
S3
h
V
∂V
∂(S3−
◦
N) S3−
◦
N
圖六
則我們得到一個新的 (緊緻無邊的) 三維流 形, 記作 (S3 −
◦
N)S
h
V 。 這個程序就叫做 在 S3 上沿著結 K 做 Dehn 手術 (Dehn Surgery)。 很顯然的, 由 Dehn Surgery 所 得到的三維流形 (S3−
◦
N)S
h
V, 它的拓樸是 由結 K 和用來黏接的同構映射 h 所決定的。
現在我們把結 K 固定。 在 V 的邊界
∂V 上有一個緯線 (meridian)m, 它的特徵 是在 V 內有一個圓板 D 使得 m = ∂D, 如 圖七所示。
V
m D
圖七
另一方面, ∂(S3 −
◦
N) 是一個二維的 torus, 在上面有一個公認的座標系統, 它的座標是 由兩條封閉曲線組成, 一條叫經線 (longi- tude) 記作 λ, 另外一條叫緯線 (meridian)
記作 µ。 經線 λ 的特徵是它在 S3−
◦
N 內有 個二維曲面 (surface)F 使得 λ = ∂F , 而 緯線 µ 的特徵是在 N 內有一個圓板 D′ 使 得 µ = ∂D′。 我們把這個 torus 上的座標 系統記為 (λ, µ), 就像平面上的 (x, y) 座標 一樣。 任何在這 torus 上的閉曲線都可以用 λ 和 µ 表達出來, 這是因為 torus 的基本群 (fundamental group) 是Z⊕Z, 而 λ 和 µ 是這個群的生成元。
我 們 可 以 從 下 面 兩 個 步 驟 來 看 這 個 surgery 流形 (S3−
◦
N)S
h
V 是如何造成的。
首先我們把在 solid torus V 上包括圓板 D 的實圓柱體 D × [−1, 1] 切下來, 如圖八所 示:
V V′
m D ×[−1, 1]
D ×[−1, 1]
圖八
然後用 h 先把 D×[−1, 1] 黏到 S3−
◦
N 上使 得 m×[−1, 1] 黏在 ∂(S3−
◦
N) 上。 如此得到 的結果是一個有邊的三維流形, 它的邊界是 一個二維的拓樸球。 你是否注意到 ∂V′ 也是 一個二維的球? 接下來我們把 V′ 用 h 的剩 餘部份黏到剛才得到的有邊流形, 使 ∂V′ 上 原來屬於 ∂V 的部份黏到 ∂(S3 −
◦
N) 上剩 餘的部份, 並且使原來的兩個圓板 D×{−1}
及 D × {1} 接合回去。
由以上的描述, 我們不難看出 (S3 −
◦
N)S
h
V 的拓樸是完全由在 ∂(S3 −
◦
N) 上
的封閉曲線 h(m) 所完全決定 (不管它的走 向)。 既然 λ, µ 是 ∂(S3 −
◦
N) 基本群的 生成元, h(m) 便可以由 λ 和 µ 表達出 來。 那就是說 h(m) = ±(pµ + qλ), 其中 p 和 q 是互質的整數 (為什麼呢?)。 如此我 們便可將由 Dehn surgery 得到的三維流形 (S3−
◦
N)S
h
V 簡記為(K;pq)。 這個 surgery 稱為 (p, q)-surgery, 或者說 pq 是這個流形的 斜率。
很顯然的, 如果 h(m) = ±µ, 則 (K;±10 ) 和 S3 是拓樸同構。 這相當於將 N 從 S3 拿出來後再原般的放回去, 或轉個 180◦ 度後放回去一樣, 得到的結果當然和沒 有做任何 surgery 一樣。
Dehn surgery 主要的用處之一是它 可以造出許多三維流形, 其中不少在不同領 域中被用來做例子或反例。 另外由 Dehn surgery 本身引申出來的問題也很多, 比如說 什麼樣的 Dehn surgery(什麼 p, q 值), 作用 在什麼樣的結上, 會產生什麼樣的三維流形。
既然用 Dehn surgery 在一個結上 可以造出許多不同的三維流形, 自然人們想 知道有沒有可能用它來造出一個三維 Poin- car´e 猜想的反例。 三維 Poincar´e 猜想是 說任何一個緊緻, 無邊且單連通的 (simply- connected) 三維流形是和 S3 拓樸同構。 這 個猜想至今已有 97 年歷史, 可以說是拓樸學 中最有名而尚未解決的問題。 這個猜想是經 過 Poincar´e 修正過的猜想。 原來, 在1900年 Poincar´e 提出一個猜想說任何一個緊緻, 無 邊且和 S3 同調等價的 (equivalent homo- logically) 三維流形是和 S3 拓樸同構。 但是 在 1904 年他又發表了一篇文章, 其中他給了 一個他原來猜想的反例, 並且把他原來猜想
中的同調條件修正為同倫 (homotopy) 而成 為現今的 Poincar´e 猜想。 這個 Poincar´e 給 的反例現在被稱為 Poincar´e 流形, 它和 S3 同調等價, 但是它的基本群有 120個元素。 所 以不是單連的。 後來 Dehn 於1910年用他的 surgery 方法在 S3 中沿著三葉結 (trefoil knot) 做 (1, 1)-surgery 造出 Poincar´e 流 形, 這和原來 Poincar´e 用的方法不同。 從此 以後, Dehn surgery 成為廣為應用去製造和 S3 同調等價的三維流形的方法。
那麼是不是有可能用 Dehn surgery 在S3 中沿著一個結K造出一個 Poincar´e 猜 想的反例呢? 這個問題導引出以下“P 性 質”的定義: 如果一個在 S3 中沿著結 K做 任何非無聊的手術 (nontrivial surgery) 都 不能得到單連通的三維流形, 我們就說這個 結 K 具有 P 性質。 什麼樣的結具有 P 性 質呢? 我們先從最簡單的結著手 — 無聊結 (trivial knot)。 如果 K 是這樣的一個結, 則 K 和一個普通的圓一樣, 如圖九所示。
S3
K
圖九
因為K是一個無聊結, 如果我們從 S3 將 solid torus N(K) 的內部拿出來, 則剩下的 三維流形 S3 −
◦
N(k)還是一個 solid torus (讀者試證之)。 現在如果我們做的 Dehn surgery 是 (p, q)-surgery, 那便相當於把兩 個 solid torus 沿著它們邊界 (兩個二維的
torus) 黏在一起, 黏接的方式是將其中一個 torus 的緯線和另外一個 torus 的 (p, q)-曲 線接合在一起。 這樣得到的三維流形叫做透 鏡空間 (lens space), 記作 L(p, q)。 不難看 出 L(±1, q) 和 S3 是拓樸同構的, 不論 q 是什麼整數值 (讀者試證之)。 然而當 q 6= 0, (±1, q) 是一個非無聊的手術。 因此我們看到 任何一個無聊結都不具 P 性質。
當人們考慮非無聊的手術結的 P 性質 時, 卻遭遇了相當大的麻煩, 首先他們發現 不少個別的 non-trivial 結及一些同類的結 具有P 性質, 但是就是沒有辦法證明所有的 nontrivial 結具有 P 性質。 什麼樣的 non- trivial 結具有 P 性質呢? 它包括了所有 的 torus 結 (torus knots)、 複結 (com- posite knots) 等一大堆的結。 於是在 1970 年 Bing, Martin 及 Gonz´ales-Aou˜na 就 提出一個叫做“P 性質”的猜想: 任何一個在 S3 中的 nontrivial 結都具有 P 性質。 很 顯然如果 P 性質猜想是對的話, 那就沒有可 能用 Dehn surgery 在 S3 中沿著一個結造 出 Poincar´e 猜想的反例。 這實在不是個好消 息!
最近研究的結果顯示有更多的結支持這 個P 性質猜想, 如衛星結 (satillite knots) 等。 根據 W. Thurston 的 uniformization 定理, 我們可以把所有的 nontrivial 結分為 torus 結, 衛星結及雙曲結 (hyperbolic knots)。 所以現在只剩下雙曲線是未知。
1990 年 C. Gordon 和 J. Luecke 證 明了一個有八十年歷史, 原來由 H. Tietze 所提出的猜想: 設若 K1 和 K2 是 S3 中 的兩個結, 如果 S3 − K1 和 S3 − K2 是 拓樸同構的話, 則 K1 和 K2 是同型的。 同
型的意思是存在一個同構映射 (homeomor- phism) h : S3 → S3 使得 h(K1) = K2。 由這個結果可以推論出沿著任何一個非無聊 結作非無聊的 Dehn 手術 (non-trivial Dhn surgery) 都不可能得到 S3(注意是 S3 而不 是單連三維流形)。 所以 Gordan 和 Uecke 的結果可以說是繞過 Poincar´e 猜想而證明 了 P 性質猜想。
讓我們來討論一下什麼樣的三維流形可 以由 Dehn surgery 在 S3 中沿著一個結來 造出來。 事實上這種三維流形是頗有限的, 因 為所有這樣的三維流形它們的第一階同調群 都是循環的 (cyclic)。 比如說 S1× S1× S1 就沒辦法由 Dehn surgery沿著任何結造出 來。 然而既然所有的透鏡空間的第一階同調 群都是循環的, 一個很自然的問題是可不可 以用 Dehn surgery 在S3 中沿著非無聊結 造出所有的透鏡空間? 請注意這些結是非無 聊。 據筆者所知, 這個問題到現在仍是尚未解 決的。 即使是比S3稍複雜一點的三維投影空 間 (real projective space)RP3 都還不知道 可不可以由 Dehn surgery 沿著一個非無聊 結造出來。
既然在 S3 中沿著一個結做 Dehn surgery 只能造出有限的三維流形, 那麼如 果我們增加結的個數, 然後沿著每一個結上 做 Dehn surgery 的話, 是不是可以造出多 一點的三維流形呢? 答案是可以的, 而且不 但是可以, 甚至所有的三維流形 (緊緻且無邊 的) 都可以如此造出來, 只要結的個數夠多的 話。 這個結果是 A. D. Wallace(1960) 及 W. B. R. Lickorish(1962) 各自獨立做出來
的。 Wallace 用的方法是四維的, 而 Licko- rish 用的是三維的方法。 所以現在我們知道 任意一個緊緻無邊的, 具向性的 (oriented) 三維流形都可以在S3中沿著一堆彼此不相交 的結做 Dehn 手術 (Dehn surgery) 造出 來。 長久以來, 人們便觀察到同一個三維流形 可以在不同的兩堆結上用 Dehn surgery 造 出來的現象。 比如說前所述及的 Poincar´e 流 形可以在三葉結上用 (1, 1)-surgery 造出來, 它也可以在 Borromean ring(如圖十所示) 中的每一個結作 (1, 1)-surgery造出來。
圖十
1976 年 R. Kirby 發現, 如果同一個三維流 形可以在不同的兩堆結上用 Dehn surgery 做出來的話, 則這兩堆結的一堆可以自另外 一堆經過一連串的“基本形變” —稱 Kirby 形變 (Kirby moves) 得到, 而在其上做的 Dehn surgery 也隨著每一基本作用而改變。
這基本作用有兩種 (由於篇幅及內容所限, 筆 者不贅述說明), 而且不難觀察出來, 經過其 中任一種基本形變, 一個沿著一堆結用 Dehn surgery 造出來的三維流形不會改變它的拓 樸。 Kirby的定理是上述觀察的反敘述。 這是 一個頗有難度的定理, 證明用到四維微分拓
樸中的 Cerf theory, 直到最近才有一個較簡 單的三維的證明。
Kirby的定理在某種意義上把三維流形 理論轉換成在 S3 中一堆結和在它們上面做 Dehn surgery 的理論。 這是一個重大的轉 變和創新, 因為在這個理論發展之前, 傳統上 研究拓樸流形的工具限於 handle decompo- sition, 在三維則尚有 W. Haken 的 nor- mal surfaces 理論, 及最近用 incompress- ible surfaces 來做分析等工具。 甚至在數年 前有數學家想用現在叫做 Kirby calculus 的 方法來證明 Poincar´e 猜想, 可惜沒有成功。
最近 Kirby calculus 還被用來 (基於物理學 家 E. Witten 的想法) 造三維流形的不變量 (invariants), 雖然一般來說這些不變量不易 計算, 但無可置疑的它開啟了研究三維流形 新的一頁。
參考文獻
1. G. Burde and H. Zieschang, Knots, Studies in Math., No. 5, Walter de Gruyter, 1985.
2. L. Kauffman, On Knots, Annals of Math Studies 115, Princeton University Press, 1987.
3. R. Lickorish, Introduction to Knot Theory, Spriger-Verlag, New York, 1997.
4. D. Rolfsen, Knots and Links, Math Lecture Series, No. 7, Publish or Per- ish, 1976.
—本文作者任教於美國Saint Louis大學數學 暨計算科學系—
