參考解答: (a) lim n→∞an = lim n→∞(p n

1.(16%) 判斷以下級數為絕對收斂 (converges absolutely), 條件收斂 (converges condition- ally) 或發散 _(diverges)。

(a)

∞

X

n=1

( q

n +√ n −√

n).

(b)

∞

X

n=1

(−1)ⁿsin1 n. 參考解答_:

(a) lim

n→∞a_n = lim

n→∞(p n +√

n −√

n) = lim

n→∞

√n

√

n+√ n+√

n = ¹₂ 6= 0, 故為發散。

(b) 因為 _lim

n→∞

sin_n¹

1 n

= 1, 所以 _{P sin} ¹

n 為發散。

a_n= sin_n¹ 為遞減且趨近於 _0, 故 _P(−1)ⁿ_sin¹

n 為收斂 因此為條件收斂。

2.( 8%) 求冪級數

∞

X

n=0

n!(3ⁿ+ 1)

1 · 3 · 5 · · · (2n + 1)xⁿ 的收斂半徑 (radius of convergence)。 參考解答_:

n→∞lim |^an+1_a

n | = lim

n→∞

(n+1)(3ⁿ⁺¹+1)

(2n+3)(3ⁿ+1) |x| = ³₂|x|。 收斂半徑為 ²

3。

1

3.( 8%) 估計 ^R₀^1sin(x2)dx 之值^,使其誤差不超過 0.001。 參考解答_:

R1

0 sin x²dx =R1

0(x² −^x₆⁶ + ^x₁₂₀¹⁰ + · · · )dx

= (^x₃³ −^x₄₂⁷ + ₁₃₂₀^x11 )|¹₀ = ¹₃ − ₄₂¹ +₁₃₂₀¹ − · · · ≈ ¹₃ − ₄₂¹ = ¹³₄₂. 因其為交錯級數_, 故誤差 _< ¹

1320 < ₁₀₀₀¹ . 4.(10%) 求函數 y = ln(cos x) 之圖形在 _{x =} ^π

4 的曲率(curvature) κ 。 參考解答_:

r(t) =< t, ln(cos t) >

v(t) =< 1, − tan t >

v(t) = kv(t)k = sec t.

T(t) =< cos t, − sin t > .

dT(t)

dt =< − sin t, − cos t > .

|^dT_dt| = 1, κ = _kvk¹ |^dT_dt| = cos t.

令 _{t =} ^π

4, κ =

√ 2 2 .

2

5.( 8%) 求 _lim

x→0

sin x tan⁻¹x − x²+^x₂⁴

x⁶ .

參考解答_:

x→0lim

sin x tan⁻¹x−x²+^x4₂ x⁶

= lim

x→0

(x−^x3₆ +₁₂₀^x5−··· )(x−^x3₃+^x5₅−··· )−x²+^x4₂ x⁶

= lim

x→0 (x²−^x4

2 +¹⁹₇₂x⁶−··· )−x²+^x4₂ x⁶

= ¹⁹₇₂.

6.(10%) 令 T (x, y, z) = x²+ y²+ z²− xyz − xz。

(a) 求 _DuT (1, 2, 3), 其中 _u 是以 i + 2j + 3k 為方向。

(b) 求 T (x, y, z) 在點 _{(1, 2, 3)} 沿著那個方向之變化率最大_? 其變化率為何_? 參考解答_:

∇T (x, y, z) =< 2x − yz − z, 2y − xz, 2z − xy − x >,

∇T (1, 2, 3) =< −7, 1, 3 >, u = ^√1

14 < 1, 2, 3 >.

(a) DuT (1, 2, 3) = ∇T (1, 2, 3) · u = ^√1₁₄ < −7, 1, 3 >< 1, 2, 3 >= ^√4₁₄ = ²

√ 14 7 . (b) 變化率最大的方向為 ^√1

59 < −7, 1, 3 >, 變化率為 ^√_59.

3

7.(10%) (a) 求 _lim

(x,y)→(0,0)

xy³ x²+ y⁶. (b) 求 _lim

(x,y)→(0,0)

x²y x²+ y². 參考解答_:

(a) 當 _{x = 0, lim}

(x,y)→(0,0) xy³ x²+y⁶ = 0.

當 _{x = y}³_{, lim}

(x,y)→(0,0) xy³

x²+y⁶ = lim

y→0 y³·y³

(y³)²+y⁶ = ¹₂ 6= 0.

故極限不存在。

(b) 因 _{0 ≤ |} ^x2y

x²+y²| ≤ |^(x_x²2^+y+y^22)y| ≤ |y|

故 _lim

(x,y)→(0,0) x²y x²+y² = 0.

或令 x = rcos θ, y = rsin θ 0 ≤ |_x2^x+y^2y2| = |rcos²θ sin θ| ≤ r

lim

(x,y)→(0,0) x²y x²+y² = 0

4

8.(10%) 兩曲面 _x³_{+ 3x}²_y²_{+ y}³_{+ 4xy − z}² _{= 0}及 _x²_{+ y}²_{+ z}²_{− 11 = 0} 相交一曲線。 求 該曲線在點 _{(1, 1, 3)}之切線的方程式或參數式。

參考解答_:

Let f (x, y, z) = x³+ 3x²y²+ y³+ 4xy − z², g(x, y, z) = x²+ y²+ z²− 11

∇f (x, y, z) =< 3x²+6xy²+4y, 6x²y+3y²+4x, −2z >, ∇f (1, 1, 3) =< 13, 13, −6 >

∇g(x, y, z) =< 2x, 2y, 2z >, ∇g(1, 1, 3) =< 2, 2, 6 >

∇f (1, 1, 3) × ∇g(1, 1, 3) =< 90, −90, 0 > , 切線為







x = 1 + 90t y = 1 − 90t z = 3

5

9.(10%) 令 f (x, y) = y³+ 2x²+ 6xy + 6y. 求出所有臨界點 (critical points),並判斷它是局 部極大 (local maximum)、 極小值 (local minimum),或是鞍點 (saddle point)。 參考解答_:

f (x, y) = y³+ 2x²+ 6xy + 6y ,∇f =< 4x + 6y, 3y²+ 6x + 6 >

Let ∇f (x, y) =< 0, 0 > ⇒ 4x + 6y = 0

3y²+ 6x + 6 = 0 ⇒ (x, y) = (−³₂, 1), (−3, 2) H_f =

f_xx f_xy f_yx f_yy

=    

4 6

6 6y    

= 24y − 36.

H_f(−³₂, 1) = −12 < 0,故 ₍₋³

2, 1) 為鞍點

H_f(−3, 2) = 12 > 0, 且 _{fxx > 0,} 故 f (−3, 2) = 2 為極小值。

6

10.(10%) 求 f (x, y) = x³+ 3x²y 在 _x²_{+ 4xy + 5y}² _{≤ 5} 上的最大、 最小值。

參考解答_:

∇f (x, y) =< 3x² + 6xy, 3x² >.

Let ∇f (x, y) =< 0, 0 > ⇒ 3x²+ 6xy = 0

3x² = 0 ⇒ (x, y) = (0, y) Let g(x, y) = x²+ 4xy + 5y²− 5, ∇g =< 2x + 4y, 4x + 10y >

∇f = λ∇g ⇒ 3x²+ 6xy = λ(2x + 4y) · · · (1) 3x² = λ(4x + 10y) · · · (2)

(1)

(2) ⇒ (3x²+ 6xy)(4x + 10y) = 3x²(2x + 4y) ⇒ x(x + 5y)(x + 2y) = 0 將 x = 0, x = −5y, x = −2y 分別代入 _x²_{+ 4xy + 5y}² _{= 5}

得 (x, y) = (0, ±1), (±5 q1

2, ∓ q1

2), (±2√ 5, ∓√

5).

f (0, y) = 0, f (0, ±1) = 0, f (±5 q1

2, ∓ q1

2) = ±²⁵₂√

2, f (±2√ 5, ∓√

5) = ∓20√ 5 最大值為 ^{f (−2√5,√5) = 20√5.} 最小值為 ^{f (2√5,−√5) = −20√5.}

7