n n n n 【解答】(C) 【詳解】 (A)錯

高雄市明誠中學 高三數學平時測驗 日期：94.09.15 班級 普三 班

範 圍

Book1 2-3,Chap3

直線、數列級數 座號

姓 名 一、選擇題(每題 10 分)

1. 下列各無窮級數，何者為收斂級數？

(A)∑^∞ − (B)

=110( 1)

n

n ∑^∞

=150 1

n

(C)∑^∞

= −

+

1 1

1

9 ) (4

n n

n

(D)∑^∞ + −

=1 2

2

1) (

n n

n n

【解答】(C)

【詳解】

(A)錯。公比r = − 1，故發散 (B)錯。公比r = 1，故發散 (C)對。∑^∞

= −

+

1 1

1

9 ) (4

n n

n =∑^∞ ．(

=1

42

n 9

4)^{n − 1}，公比r = 9

4，所以收斂

(D)錯。原式 =∑ +^∞

=1

1 1 (

n n− ¹₂

n ) =∑^∞ +

=11

n

∑^∞

=1

1

n n−∑^∞

=1 2

1

n n >∑^∞ = ∞，故發散

=11

n

2. 設f (n) = 3^{2n + 1} + 2^{n + 2}，n ∈ N，已知f (n)恆為質數p的倍數，∀n ∈ N，則p = (A)2 (B)3 (C)5 (D)7 (E)11

【解答】(D)

【詳解】f (1) = 3³ + 2³ = 35 為p的倍數，f (2) = 3⁵ + 2⁴ = 259 為p的倍數

∴ p為 35，259 的公因數 ⇔ p | (35，259) = 7，而p為質數 ∴ p = 7 3. 級數 1 +_N+ + + … +

2個

2

2+  

個 3

3 3

3+ +   

個 4

4 4 4

4+ + +   " 

個 n

n n

n+ + + + …，其前 100 項的和為 (A) 945 (B) 932 (C) 919 (D) 906 (E) 893

【解答】(A)

【詳解】(1)設第 100 項為k，則 1 + 2 + 3 + 4 + … + (k − 1) < 100 ⇒

2

1(k − 1)k < 100 ⇒ k² − k − 200 < 0

⇒ (k − 2

1+ 801)(k − 2

1− 801 ) < 0 ⇒

2 801 1− < k <

2 1+ 801

14.…

∴ k = 14

(2)前 100 項的和為 1 +_N+

2個

2

2+  

個 3

3 3

3+ + + … + " 

個 13

13

13+ + + " 

個 9

14 14+ + = 1² + 2² + … + 13² + 14 × 9 = 819 +126 = 945

4. (複選)若y² − axy − 3x² + bx + cy = 0 表示相交於點A(1，− 1)之兩直線，a，b，c∈R，則 (A)有一直線過原點 (B)有一直線方程式為x + y = 0 (C) a = 2 (D) b = 4 (E) c = 4

【解答】(A)(B)(C)(D)(E)

【詳解】

(A)∵ 當x = 0，y = 0 時，原式成立 ∴ 兩直線中有一直線L過原點 (B) L過原點及A(1，− 1) ∴ L的方程式為x + y = 0

(C)(D)(E)令y² − axy − 3x² + bx + cy = (y + x)(y − 3x + t)（利用y²係數為 1，x²係數為− 3）

又兩直線交於(1，− 1) ∴ y − 3x + t = 0 過點(1，− 1)，得t = 4 由比較係數得a = 2，b = 4，c = 4

二、填充題(每題 10 分)

1. 假設某鎮每年的人口數逐年成長且成一等比數列，已知此鎮十年前有 25 萬人，現在 30 萬人，那麼二十年後，此鎮人口應有 萬人。（求到小數點後第一位）

【解答】43.2

【詳解】a₁ = 25，a2 = 30 ⇒ r =

1 2

a a =

25 30=

5 6

二十年後為a4 = a1r³ = 25 × ( 5 6)³ =

5

216= 43.2 萬人

2. 若等比數列{an}的第四項為 6，第六項為 24，而且數列的每一項都是正數，求這個數列 的前 10 項總和為 。

【解答】 4 3069

【詳解】 ，

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

5 1

3 1

24 6

r a

r

a ……c

……d d

c ⇒ r² = 4，得r = 2，− 2（不合）

r = 2 代入c，得a1 = 4

3，所求=

1 2

) 1 2 4( 3 ₁₀

−

− = 4 3069

3. 設< a₁，a₂，70，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，− 7，…>為一等差數列，求：

(1)第 30 項為 。

(2)此等差數列前n項總和為S_n，則n = 時，S_n有最大值；又此時總和的最大 值為 。

【解答】(1) − 227 (2) 9；432

【詳解】 ^{3 1} ⇒ d = − 11，a

10 1

2 70

9 7

a a d

a a d

= + =

⎧⎨ = + = −

⎩ ¹ = 92

(1) a30 = 92 − 11 × 29 = − 227 (2) S_n =

2

)]

1 ( 11 92 92

[ + − × −

× n

n =

2 195 11n² + n

− =

2

−11(n − 22

195)² + 432 88

9 當n = 9 時，Sn有最大值 432

4. 一等差數列之前 10 項之和為 30，前 30 項之和為 10，則其前 40 項之和為 。

【解答】− 40

【詳解】設前n項之和為Sn，且令S20 = a，S40 = b，則S10，S20 − S10，S30 − S20，S40 − S30亦成 等差數列，即每 10 項的和一為等差數列。

所以 30，a − 30，10 − a，b − 10 成等差數列，公差d = (a − 30) − 30 = a − 60 則(b − 10) = (10 − a) + d = (10 − a) + (a − 60) = − 50，得S40 = b = − 40

5. 設< an >是一個等比數列，若a1 + a2 + a3 = 18，a2 + a3 + a4 = − 9，則此數列公比為

；而首n項和a1 + a2 + a3 + … + an = 。

【解答】r = − 2

1；16．[1 − (−

2 1)ⁿ]

【詳解】設< a_n >的公比為r，則a₂ = a₁r，a₃ = a₁r²，a₄ = a₁r³

因為 ⇔

⎩⎨

⎧

−

= + +

= + +

9 18

4 3 2

3 2 1

a a a

a a a

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

= + +

= + +

9 ) 1

(

18 ) 1

(

2 1

2 1

r r r a

r r

a ……c

……d d

c ，則得公比r = −₂¹，將之代入c得a1 = 24 因此，由等比數列求和公式可得

a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n =

r r

a ⁿ

−

− 1

) 1

1( =

2) ( 1 1

] 2) ( 1 1 [ 24

−

−

−

− ⁿ

= 16．[1 − (−

2 1)ⁿ]

6. < an >為一數列，已知Sn = a1 + a2 + a3 + … + an = n² + 3，∀n ∈ N，則an = 。

【解答】⎩⎨⎧

≥

−

= 2 1

2

1 4

n n

n

，

，

【詳解】

∵　S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_{n – 1} + a_n = n² + 3，n ≥ 1

− ) S_{n − 1} = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_{n − 1} = (n − 1)² + 3，n ≥ 2 a_n = 2n − 1，n ≥ 2

而a₁ = S1 = 4

7. 一個球從 81 公尺自由落下，每次著地後又跳回原高度的 3

1再落下，當它第五次著地時，

共經過 公尺；直至靜止共經過 公尺

【解答】161，162

【詳解】球最先落下經過 81 公尺，因每次反彈的高度為前高度的 3 1 (1)所求距離和= 81 + 2 × 81 ×

3

1 + 2 × 81 × ( 3

1)² + 2 × 81 × ( 3

1)³ + 2 × 81 × ( 3 1)⁴

= 81 + 162 [ 3 1+ (

3 1)² + (

3 1)³ + (

3

1)⁴] = 81 + 162 × 81

40= 81 + 80 = 161

(2)所求無窮窮比級數距離和

81 1

81 2 ( 3 ) 162 1 1

3 + × × =

−

8. 已知< an >，< an′ >均為等差數列，且其第n項之比an：an′ = (n + 2)：(2n + 1)，設其前n項 和分別為Sn與Sn′，則S9：S9′= 。

【解答】7：11

【詳解】設兩等差數列< an >，<an′> ⇒ ^{9 5 5}

5 5

9

9

9 ' '

S a a

a a

S

= = =

′

5 2 7

2 5 1 11

+ =

× +

9. 集合序列{1}，{2，3}，{4，5，6}，{7，8，9，10}，…，若Sn表第n個集合內之元素各 數值總和，求S21 = 。

【解答】4641

【詳解】1 + 2 + 3 + … + 20 =

2 20 ) 20 1

( + × = 210，1 + 2 + 3 + … + 21 = 2

21 ) 21 1

( + × = 231

∴ S21 = 211 + 212 + … + 231 =

2

21 ) 231 211

( + × = 4641

10.設< zn >是一複數等比數列，z1 = 1 − 4i且z2 = 5 − 3i，若複數等比數列< zn >的前 6 項總和 為a + bi，a，b ∈ R，則a + b之值為 。

【解答】29

【詳解】公比r =

1 2

z z =

i i 4 1

3 5

−

− = 1 + i

S₆ =

1 ) 1 (

] 1 ) 1 )[(

4 1

( ⁶

− +

− +

− i

i

i =

i i

i){[(1 ) ] 1} 4

1

( − + ^{2 3}−

=

i i i)[(2) 1] 4

1

( − ³− =

i i i)( 8 1) 4

1

( − − − = i

i 4 33−

− = − 4 + 33i，

所以a + b = ( − 4) + 33 = 29

11.L為過A(2，1)且與L₁：2x − y = 0，L2：2x + y = 0 各交於P，Q之直線，若A為PQ的中點，

則L之方程式為 。

【解答】y = 8x − 15

【詳解】令P(a，2a)，則由中點公式得Q (4 − a，2 − 2a)，又Q在L2上

∴ 2(4 − a) + (2 − 2a) = 0 ⇒ a = 2

5 ⇒P(

2

5，5)，Q(

2

3，− 3)，則L：y = 8x − 15

12.設L1：6x + (2a − 1)y = 8，L2：(a + 2)x + (a + 3)y = − 3，a是整數。若L1 ⊥ L2，則a = 。

【解答】− 1

【詳解】若L₁ ⊥ L₂，則m₁m₂ = − 1，即(

1 2

6

−

− a )(

3 2 +

−

− a

a ) = − 1

⇒2a² + 11a + 9 = 0 ⇒(a + 1)(2a + 9) = 0，得a = − 1 或 2

−9

（不合），故a = − 1

13.已知A(1，2)與B(3，4)為兩定點，P(x，y)為直線x + 2y = 3 上一點，問PA=PB時，P點的 坐標為 。

【解答】(7，− 2)

【詳解】設P(3 − 2y，y) ⇒ (3−2y−1)² +(y−2)² = (3−2y−3)² +(y−4)²

⇒ 4y² − 8y + 4 + y² − 4y + 4 = 4y² + y² − 8y + 16 ⇒y = − 2，P點坐標為(7，− 2)

14.已知點A(4，− 3)及直線L：2x + y + 5 = 0，Q為A在直線L上的投影（過A作L之垂線的垂足），

A′為A關於L的對稱點，則(1)Q點坐標為 。 (2)A′點坐標為 。

【解答】(1) (0，− 5) (2) ( − 4，− 7)

【詳解】

(4，− 3)代入 2x + y + 5 (1) 投影點 Q 點坐標為

8 3 5 10

⇒ = − + =v

2 2 2 2

1 2 10 1 1 10

(4 , 3 ) (0, 5)

2 1 2 1

× × × ×

− − − =

+ + −

(2) 投影點 A′ 點坐標為(4 ^{2 2 10}_{2 2} , 3 ^{2 1 10}_{2 2} ) ( 4, 7)

2 1 2 1

× × × ×

− − − = −

+ + −

15.已知三點A(2，1)，B(4，3)，C( − 3，4)及直線L：x − 2y + 5 = 0，求

(1)在直線L上找一點P，使PA²+PB 之值最小，則P之坐標為 。 ² (2)在直線L上找一點Q，使BQ+CQ之值最小，則Q之坐標為 。

【解答】(1) ( 5 11，

5

18) (2) ( 3 5，

3 10)

【詳解】

(1) (2 − 2 + 5)(4 − 2 × 3 + 5) > 0，表A，B在L之同側 ∵ P∈L：x − 2y + 5 = 0 ∴ P(2t − 5，t)

PA2+PB²= [(2t − 7)² + (t − 1)²] + [(2t − 9)² + (t − 3)²] = 10t² − 72t + 140 = 10(t −

5 18)² +

5 52 當t =

5

18時，PA²+PB 有最小值² 5

52，此時P之坐標為(

5 11，

5 18) (2) (4 − 2 × 3 + 5)( − 3 − 2 × 4 + 5) < 0，表B，C在L之異側

當Q為 BC 及L之交點時，BQ+CQ最小，解

⎪⎩

⎪⎨

⎧

− −

=

−

= +

−

) 4 7 (

3 1

0 5 2

x y

BC y x L

：

：

，得Q(3 5，

3 10)

16.直線L₁：31x − 17y + 1 = 0，L₂：19x + 13y − 2 = 0 相交於點A，而B是原點，則 AB 的方程 式為 。

【解答】27x − 7y = 0

【詳解】設 AB ：(19x + 13y − 2) + t(31x − 17y + 1) = 0 為所求

∵ 過 B(0，0) ∴ − 2 + t = 0 ∴ t = 2 ∴ AB ：27x − 7y = 0

17.設a，b，c ∈ N，1 < a < b < c < 9，且< 0. a ，0.0b ，0.00 c ，…>成等比數列，則 (1) (a，b，c) = 。

(2)該數列之第四項為 。（寫成循環小數）

【解答】(1) (2，4，8) (2) 0.00 71

【詳解】(1) 0. a ，0.0 b ，0.00 c 成等比，即 9 a，

90 b ，

900

c 成等比

則 9 a×

900 c = (

90

b )² ⇒ b² = ac，又 1 < a < b < c < 9，則(a，b，c) = (2，4，8)

(2)數列為<

9 2，

90 4 ，

900

8 ，…>，首項a1 = 9

2，公比r = 2 90

4

=5 1

故第四項a₄ = a1r³ = 9 2×

125 1 =

9000

16 = 0.00 71

18.已知A(2，− 2)，B(1，1)，C(3，5)，

(1)過A，B兩點之直線方程式為 。

(2)過C點且x截距與y截距的絕對值相等，而不過原點之直線方程式為 。

【解答】(1) 3x + y − 4 = 0 (2)

−2 x +

2

y= 1 或 8 x+

8

y= 1

【詳解】A(2，− 2)，B(1，1)，C(3，5) (1)過A，B兩點之直線方程式為y − 1 =

1 2

1 2

−

−

− (x − 1)，即 3x + y − 4 = 0

(2)設此直線方程式為y − 5 = m(x − 3) ⇒mx − y = 3m − 5 ⇒

) 5 3 5 (

3 +− −

− m

y

m m

x = 1

∴ | m m 5

3 − | = | − (3m − 5) | ⇒ ( m m 5 3 −

)² = (3m − 5)²

⇒ (3m − 5)²(m² − 1) = 0 ⇒ (3m − 5)²(m + 1)(m − 1) = 0 ⇒ m = 3

5，1， − 1 當m =3

5時，直線為y = 3

5x過原點不合 當m = 1 時，直線為

−2 x +

2

y= 1；當m = − 1 時，直線為 8 x+

8 y = 1

19.坐標平面上，若A( − 2，1)，B(8，6)，P為直線AB上的點，且滿足AP：PB= 3：2，求P 的坐標為 。

【解答】(4，4)或(28，16)

【詳解】

(i)

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

+ =

× +

= ×

+ =

× +

×

= −

2 4 3

3 6 2 1

2 4 3

3 8 2 ) 2 (

y x

，得 P(x，y) = (4，4)

(ii)

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

+

× +

= ×

+

× +

×

= −

2 1

1 2 6 1

2 1

1 2 ) 2 8 (

y x

，得 P(x，y) = (28，16)

20.設 A( − 1，4)，B(3，2)，C(1，5)，求UABC 的

重心座標_____________，外心座標____________與垂心座標_____________。

【解答】重心(1，

3

11)，外心(

8 7，

4

11)，垂心(

4 5，

2 11)

【詳解】

(1)重心 = ( 3

1 3 1+ +

− ，

3 5 2

4+ + ) = (1，

3 11) (2)設L1，L2分別為AB， BC 邊上之中垂線

則⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

−

−

=

−

) 2 3( 2 2 7

) 1 ( 2 3

2 1

x y

L

x y

L

：

：

，解L₁，L₂之交點，得外心(

8 7，

4 11)

(3)設A₁，A₂分別為AB， BC 邊上之高 則⎪⎩

⎪⎨

⎧

+

=

−

−

=

−

) 1 3( 4 2

) 1 ( 2 5

2 1

x y

L

x y

L

：

：

，解A₁，A₂之交點，得垂心(

4 5，

2 11)

21.若直線y = mx + 3 與圖形 | x | + | y | = 2 相交，則m的範圍是 。

【解答】m ≥ 2

3或 m ≤ − 2 3

【詳解】

y = mx + 3 ⇒ y − 3 = m(x − 0)表恆過(0，3)之直線族，

| x | + | y | = 2 表中心為(0，0)之菱形，

由圖可知L1之斜率為 − 2

3，L2之斜率為 2

3，故m ≥ 2

3或m ≤ − 2 3

22.直線L過定點( − 3，4)，若與坐標軸在第二象限所圍三角形面積最小，則L之方程式為

，最小面積為 。

【解答】−

6 x+

8

y= 1；24

【詳解】設直線 L 之方程式為 a x

− + b

y = 1，a > 0，b > 0，

與坐標軸在第二象限所圍三角形面積為 2 1|ab| =

2 1ab

∵ 過( − 3，4) ∴

−a

− 3+ b

4= 1 ⇒ a 3+

b 4 = 1 由 A.M. ≥ G.M.(算術平均數大於或等於幾何平均數)

3 4

3 4 2

a b

a b

⇒ + ≥ ⋅ ⇒

a 3+

b 4≥ 2

b a

4

3． ⇒ 1 ≥ 2 ab

12 ⇒1 ≥ 4 × ab

12 ⇒ab ≥ 48

∴ 面積為 2 1|ab| =

2

1ab ≥ 24，當 a 3=

b 4=

2

1時，最小面積為 24，此時 a = 6，b = 8

∴ L 之方程式為 − 6 x+

8 y= 1

23.一數列{a_n}的遞迴定義式：a₁ = 2，an + 1 = an + ( 3

1)ⁿ，n∈N，試求這個數列的一般項an =

。（以n的式子表示）

【解答】2 5−

2 1(

3 1)^{n − 1}

【詳解】

a1 = 2 a2 = a1 +

3 1

a3 = a2 + ( 3 1)²

#

+) an = an − 1 + ( 3 1)^{n − 1}

an = 2 + [ 31 + (

3

1)² + … + ( 3

1)^{n − 1}] = 2 +

3 1 1

] 3) (1 1 3[

1 ₁

− + ⁿ⁻

=2 5−

2 1(

3 1)^{n − 1}

24.數列< an >中，a1 = 1，an + 1 = 2

1an + 3，n∈N，則 a

∞

→ n

lim n = 。

【解答】6

【詳解】

a_{n + 1} = 2

1an + 3，a1 = 1 ⇒ a_{n + 1} − 6 = 2

1(an − 6)，a1 = 1 a1 = 1

a₂－6=1

2( a₁－6) a₃－6=1

2( a₂－6)

#

+) a_n－6=1

2( a_n-1－6) an－6= (1

2)^{n − 1}(1－6)

1 1

5( ) 6 2

n

an ⁻

⇒ = − +

∴ a

∞

→

nlim n = ( − 5(

∞

→ nlim

2

1)^{n − 1} + 6) = 6

25.設Sn = ∑ +

= n

k ¹k(k 1)

1 ，且S = _n，若 | S − S

n

limS

∞

→ n | < 0.002 時，試求此時最小自然數n值為 。

【解答】500

【詳解】Sn = ∑ +

= n

k ¹k(k 1) 1 =∑

= n

k ¹ k (1 −

1 1

+ k ) = (1 −

2 1) + (

2 1−

3 1) + (

3 1−

4

1) + … + ( n 1−

1 1

+

n ) = 1 − 1 1

+

n =

+1 n

n S = _n=

n

limS

∞

→ lim 1

+

∞

→ n

n

n

= 1

| S − S_n | = | 1 − +1 n

n | = 1 1 +

n < 0.002 ⇒ 1 1 + n <

1000

2 ⇒2(n+1) > 1000 ⇒n > 499 所以最小自然數n值為 500

26. i = − ，求 1 + 2i + 3i1 ² + 4i³ + … +100i⁹⁹之和為 。

【解答】− 50(1 + i)

【詳解】

S = 1 + 2i + 3i² + 4i³ + … + 99i⁹⁸ + 100i⁹⁹

− ) iS = i + 2i² + 3i³ + ………… + 99i⁹⁹ + 100i¹⁰⁰ (1 − i) S = ( 1+ i + i² + i³ + ………… + i⁹⁹ ) −100i¹⁰⁰ (1 − i)S =

i i

−

− 1 1 ¹⁰⁰

− 100 ⇒ (1 − i)S = − 100 ⇒ S =

−i

− 1

100= − 50(1 + i)

27.將一周長為 36 的正六邊形各邊中點連成一新正六邊形，仿此繼續作無窮多個大小正六 邊形，則此所有正六邊形的周長的和為 ；又此所有正六邊形面積和為 。

【解答】72(2 + 3 )；216 3

【詳解】如上圖：正六邊形ABCDEF的周長為 36 ∴ AB=6 故六邊形ABCDEF的面積 = 6．

4

3．6² = 54 3

△AGH中，∠GAH =120° ∴ ∠AGH = ∠AHG = 30°

∴ GH =2AH cos30° = 2．3．

2

3= 3 3

(1)∵

的邊長 正六邊形

的邊長 正六邊形

ABCDEF GHIJKL

= 2

3 6

3

3 =

故所有正六邊形的周長成一等比級數，公比為 2

3

故所有正六邊形的周長的總和為 2 1 3

36

−

=2 3 36 2

−

． = 72(2 + 3 )

(2)∵

的面積 正六邊形

的面積 正六邊形

ABCDEF GHIJKL

= ( 2 3)² =

4 3

故所有正六邊形的面積成一等比級數，公比為 4 3

故所有正六邊形的面積的總和為 4 1 3

3 54

−

= 4 1

3

54 = 216 3

28.設C1為一個單位圓，T1為C1之內接正三角形，C2為T1之內切圓，T2為C2之內接正三角形，

依此類推，令a_i表T_i之面積，則∑^∞ =

=1

i ai 。

【解答】 3

【詳解】

(1)由圖 得

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

=

3 2

2 1

1 1 1 1

2 1

P A B A

OA OP

(2)由圖 得A₂B₂= 2A₂P₂ = 2

3

(3)< a1，a₂，a₃，… >為等比數列

公比r = (

1 1

2 2

B A

B A )² = (

3 2

3 )² =

4

1，首項a₁ = 4

3×A₁B₁²= 4

3× ( 3 )² = 4

3 3

故∑^∞ =

=1 i ai

4 1 1

4 3 3

−

= 3

29.試求下列無窮級數的和：

(1)∑^∞ + −

=

+ 1

2

4 ) 2 ( 3

n n

n

n = 。 (2) 4 2

1

． + 5 3

1

． + … +

) 2 (

1 + n

n． + … = 。

【解答】(1) 3 5 (2)

12 5

【詳解】

(1)∑^∞ + −

=

+ 1

2

4 ) 2 ( 3

n n

n n

=∑^∞ + −

=1

)2

2 ( 4) [(3

n

n ．(

4

−2

)ⁿ] =∑^∞

=1 ) 4 (3

n

n+ 4∑^∞ −

=1 )

2 ( 1

n

n = 4 1 3

4 3

−

+ 4 × 2 ) ( 1 1

2 ) ( 1

− −

−

=3 5

(2)一般項ak =

) 3 )(

1 (

1 + + k

k =

2 1(

1 1

+

k −

3 1 + k ) 原式 = ∑ =

∞ =

→ n

k k

n

a

1

lim ∑

+

∞ =

→ n

k

n ¹ k 1

( 1 2

lim1 −

3 1 + k ) =

2

1 ∑

+

∞ =

→ n

k

n ¹ k 1

( 1

lim −

3 1 + k )

=2 1

2 [(1 lim→∞ n

−4 1 ) + (

3 1−

5 1) + (

4 1−

6 1) + (

5 1−

7

1) + … + ( n 1−

2 1 + n ) + (

1 1 +

n −

3 1 + n )]

=2 1

2 (1 lim→∞ n

+3 1−

2 1 +

n −

3 1 + n ) =

2 1(

2 1+

3 1) =

12 5

30.設有一數列< an >之前n項和為 3n² + 4，則一般項an = 。

【解答】⎩⎨⎧

≥

−

=

=

=

2 3

6 1

1 7

n n

a

n a

n ，

，

【詳解】

已知Sn = 3n² + 4 (1) a₁ = S₁ = 3 + 4 = 7

(2) a_n = S_n − S_n−1 =(3n² + 4) − [3(n −1)² + 4] = 6n − 3 由(1)，(2)可知

⎩⎨

⎧

≥

−

=

=

=

2 3

6 1

1 7

n n

a

n a

n ，

，

31.數列 1 1，

2 1，

2 2，

3 1，

3 2，

3 3，

4 1，

4 2，

4 3，

4 4，

5

1，…，依此規則繼續下去，則

11 7 為 第 項，又此數列的第一項到

11

7 這一項的總和為 。

【解答】62；

22 771

【詳解】

將數列分群 ( 1 1)，(

2 1，

2 2)，(

3 1，

3 2，

3 3)，(

4 1，

4 2，

4 3，

4

4)，…

第 k 群共有 k 個數，每個數的分母均為 k，故知 11

7 在第 11 群的第 7 個數，所以 11

7 的項數為 ( 1 + 2 +…+ 10 ) + 7 = 62 項。

第一項到11

7 這一項的總和為(

1 1) + (

2 2 1 +2 ) + (

3 3 3 2 3

1+ + ) +…+ ( 10

1 +…+

10 10) +

(11 1 +…+

11 7 )

= (_∑ ⁺

= 10

1 2 1

k

k ) + 11

1 (1 + 2 +…+ 7) = 2 65+

11 28=

22 771

32.UABC 中，A( − 2，1)，B(0，− 3)，C(3，0)，若直線 y = mx − 4 和UABC 之邊恰交於二 點，求 m 之範圍？

【解答】m >

3

4或 m < − 2 5

【詳解】

y = mx − 4 必過P(0，− 4)，且斜率 m

由圖知：L：y = mx − 4 要和UABC之邊恰交於二點 ⇒ m> m 或 m

L1 < m

∴ m > m =

L2

L1

0 3

) 4 ( 0

−

−

− =

3

4 或m < m =

L2

0 2

) 4 ( 1

−

−

−

− = −

2

5，故m >

3

4或m < − 2 5

33.若lim(3 +4) =6，則 之值為

∞

→ n

n n a _n

n (n 1)a lim +

∞

→ 。

【解答】2

【詳解】 3 4

) 1 4 3 ( lim )

1 (

lim +

+ +

=

+ →∞

∞

→ n

a n n a

n _n

n n

n ． =

4 3 lim 1 )

4 3 (

lim +

+ +

∞

→

∞

→ n

a n n

n n

n ． = 6．

3 1= 2

38.設 8

3

1 i

z=− + ，則 ⁺ + ⁺ =

∞

→

n n

n

n (3 4 )|z |

lim ^{1 2} 。

【解答】16

【詳解】∵ | z | =

4 1 8 ) 2 8 ( 3 8)

(−1 ²+ ² = =

∴ 原式 _n

n n

n 4

4 lim3

2

1 +

+

∞

→

= + ) 16)

4 (3 3 (

lim +

= →∞ n

n = 3 × 0 + 16 = 16