勾股定理證明-G203

(1)

勾股定理證明-G203

【作輔助圖】

1. 以 AB 為邊長向外作正方形 ABKH .

2. AB 上取一點 R ，使得 AR AC b，以 AR 為邊長作正方形 ARFG . 3. AR 上取一點 D ，使得 ADBCa，以 AD 為邊長向外作正方形 ADET . 4. 直線 DE 交 GF 於 S 點，連 SA .

5. ED 與 CA 相交於U 點。

6. 連TR ，交 ED 於V 點。

7. 過 A 點作平行 CB 的直線，交 HK 於 N 點。

8. 過 H 點作垂直 AN 的直線，交 AN 於 M 點；過 B 點作垂直 AN 的直線，交 AN 於 L 點。

9. 過 K 點作垂直 BL 的直線，交 BL 於 O 點。

10. AB 上取一點 Q ，使得 BQRV，過 Q 點作垂直 BL 的直線，交 BL 於 P 點。

(2)

A B

H

C

K D

E

G F

R

N M L

S

Q

O U T

V

P

【求證過程】

以 AB 為邊長向外作正方形 ABKH，證明正方形 ABKH 面積等於正方形 ADET 的面 積加上正方形 ARFG 的面積，最後推出勾股定理的關係式。

1. 證明三角形 AHM 與三角形 ASG 全等：

設 CAB x^, CBA y^，且已知x^ y^ 90^。因為AN / /CB ，所以 ANH CBA y^

    。因為MAH 90^ ANH 90^y^ x^  CAB,

90

AMH ^ ACB

    , AH  c AB，所以 AHM ABC

   (AAS 全等).

因為 SG a BC, AGS 90^ ACB, AG b AC，所以 ASG ABC

   (SAS 全等).

故

. AHM ASG

  

2. 證明三角形 BAL 與三角形 ABC 全等：

因為BAL90^ MAH 90^x^ CBA, BLA90^  ACB, BA c AB，所以

(3)

BAL ABC

   (AAS 全等).

3. 證明三角形 KBO 與三角形 SAD 全等：

因為 BAL  ABC，所以 LBA  CABx^。因為

90 90

KBO ^ LBA ^ x^ CBA

        , KOB90^ ACB, KB c AB，所以 KBO ABC

   (AAS 全等).

因為 AD a BC, SDA90^  ACB, SDFR b AC，所以 SAD ABC

   (SAS 全等).

故

. KBO SAD

   4. 證明三角形 BQP 與三角形 RVD 全等：

因為TA a BC, RAT 90^  ACB, RA b AC，所以 RTA ABC

   (SAS 全等).

因為 BAL  ABC, RTA ABC，所以 PBQ  LBA CAB, DRV ART CAB

     ，可推得 PBQ  DRV ，又因為 BQRV, 90

BPQ ^ RDV

    ，所以

BQP RVD

   (AAS 全等).

5. 證明四邊形 OLNK 與四邊形 FSVR 全等：

因為 KBO  ABC，所以 OKB  CAB，可推得

90 90

OKN ^ OKB ^ CAB

       。因為 DRV  CAB且FRV 90^ DRV ，所以FRV 90^ CAB，可推得

. OKN FRV

  

又因為KOL90^  RFS, OLN 90^  FSV ，所以 OLNK FSVR

四邊形與四邊形的四個內角都對應相等。

因為 KBO  ABC，所以

. OKCA b FR

因為 KBO  ABC, BAL ABC，所以 BOBCa, BL ACb，可推得 .

OLBLBO  b a FGSGFS 故

(4)

. OLNK  FSVR

四邊形四邊形

6. 證明三角形 HNM 與三角形 AUD 全等：

因為AN / /CB ，所以 ANH  CBA y^，可推得 MNH  ANH  y^，因此

90 90 .

MHN ^ MNH ^ y^ x^ DAU

        

因為 AHM  ABC，所以 HM BC a，可推得 . HM  a AD 又因為HMN 90^  ADU，所以

HNM AUD

   (ASA 全等).

7. 證明四邊形 QPLA 與四邊形UETA 全等：

因為 AHM  ABC，所以 MAH  CAB x^，可推得

90 90 .

QAL ^ MAH ^ x^ UAT

       

又因為QPL90^  UET, PLA90^  ETA，所以 QPLA UETA

四邊形與四邊形的四個內角都對應相等。

因為 BAL  ABC，所以 BL AC b，又因為 BQP  RVD，所以

BPRD b a，可推得

( ) .

PLBLBP  b b a  a ET

又因為 BAL  ABC，所以 LA CB a，可推得 . LA a TA 故

. QPLA UETA

四邊形四邊形

8. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：

ABKH AHM KBO BQP OLNK

HNM QPLA

ASG SAD RVD FSVR

AUD UETA

      

  

      

  

四邊形四邊形

四邊

正方形面積面積面積面積面積

面積面積

面積面積面積面積

形四邊

面積形面積

正方形ARFG面積正方形ADET面積，

(5)

即

2 2 2

. c a b

【註與心得】

1. 來源：根據魯米斯( E.S. Loomis ) 在他的著作《勾股定理》中說：這個證明是他在 1933 年 11 月 16 日想到的。

2. 心得：此證明的輔助圖比較複雜，但是仍然是用切割的方式證明，只要證明正方形 ABKH 切割出來的區塊面積，恰好等於正方形 ADET 的面積加上正方形 ARFG 的面積，就能推導出勾股定理的關係式。

3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

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