中華民國第 61 屆中小學科學展覽會作品說明書

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中華民國第 61 屆中小學科學展覽會作品說明書

排版\030406-封面

國中組數學科

探究精神獎

030406-封面挑剔環

學校名稱：嘉義縣私立協同高級中學 (附設國中)

作者：指導老師：

國三陳子彙國三蔡宇晴

黃明真郭建載

關鍵詞：挑剔數列、環狀排列

(2)

摘要

將兩組{ 1，2，…，n }任意排成環狀，若對所有數 m ∈ { 1，2，…，n }，m 與 m 之間繞順時

針的間隔數為m 或繞逆時針的間隔數為 m 成立，則稱此環狀排列為「挑剔環」。

圖(一) 圖(二) 以圖(一)、圖(二)為例：

數字 2 圖(一)的較小位置值是 1，較大位置值是 4，從位置 1 向左邊繞，繞到位置 4，為逆時針。故以 d(2，2，逆)=2 表示；圖(二)的較小位置值是 1，較大位置值是 4，從位置 1 向右邊繞，繞到位置 4，為順時針。故以 d ( 2，2，順) = 4 表示。

(3)

壹、研究動機

老師在上課介紹挑剔數列，覺得非常有趣。但因挑剔數列的發展有限，本組便以挑剔環的形式擴大挑剔數列的使用方法與範圍。

貳、研究目的

一、黃皓倫[2]報告中，可以將數字依照 4k+1、4k+2、4k+3、4k 分別使用專一的方式，來求出每個數字的其中一組解。我們想藉此探討:

1. 是否有方法可將所有的解都找出。

2. 因 4k+3 和 4k 為相鄰兩數，數列僅多兩個數字，欲求其快速排法。

二、黃皓倫[2]已證明當 n = 4k + 1 和 n = 4k + 2 ( k 為非負整數)時不存在挑剔數列，並找出一種排法能排出 2n 位的挑剔數列，以及證明此排法並反推 n = 4k 和 n = 4k + 3 時一定有挑剔數列存在。以挑剔數列成立的條件，觀察挑剔環成立的條件並加以證明：

1. 當 n = 4k + 1 和 n = 4k + 2 ( k 為非負整數)時，是否存在挑剔環？

2. 當 n = 4k 和 n = 4k + 3 ( k 為非負整數) 時，形成挑剔環的排列數是否大於形成挑剔數列排列數？

3. 找出挑剔環排列規則。

參、研究設備及器材

紙、筆、電腦

肆、研究過程或方法

一、簡述挑剔數列、挑剔環的觀察與發現

將兩組{ 1，2，…，n }任意排成環狀，若對所有數 m ∈ { 1，2，…，n }，兩個 m 之間繞順時針的間隔數為m 或繞逆時針的間隔數為 m 成立，則稱此環狀排列為「挑剔環」。

d ( m，m，順或逆 ) = m 與挑剔環之定義:

兩個數字 m 填寫位置分別為m¹與m²時，m¹為較小的位置值；m²為較大的位置值；m 為間隔數；順或逆意即順時針或逆時針，順逆時針的判斷是由兩數的位值中較小者向較大者的方向。

(4)

圖(一) 圖(二) 以圖(一)、圖(二)為例：

圖(一)數字 2 的較小位置值是 1，較大位置值是 4，從位置 1 向左邊繞，繞到位置 4，為逆時針。故以 d(2，2，逆)=2；圖(二)的較小位置值是 1，較大位置值是 4，從位置 1 向右邊繞，

繞到位置 4，為順時針。故以 d ( m，m，順) = 2n-m-2 表示，即為 d(2，2，順)=4。

若d ( m，m，順 ) = m 或 d ( m，m，逆 ) = m 成立，則稱為 d ( m，m，順或逆 ) = m。

當所有 m=1,2,3,…,n 都滿足d ( m，m，順或逆 ) = m，稱這個環狀排列為挑剔環。

黃皓倫[2]報告得知挑剔數列可用特定的方法找出每個 n 的一個特定解，令a^k為數字k 排成挑剔數列時的較小位置編號，我們推導出位置編號總和公式︰

2 ( a¹ + a²+ a³ + ... + aⁿ ) + ( 1 + 2 + 3 + ... + n ) + n = 1 + 2 + 3 + ... + 2n。

藉由推導出公式，討論 n 挑剔數列的所有可能性。例如 n=4 時，可知 a¹ , a², a³, a⁴必為 1,2,3,5 以各種順序排列。接著便可以對此加以探討，得知 n=4 的挑剔數列，必只有兩解。其他數字亦可以此解法討論出所有解。

另外，我們還從黃皓倫[2]報告中得知，在 n=4k+3 和 n=4k 才會存在。我們定義挑剔環(定義如上述)，並證明挑剔環在 n 為多少時存在。

分別利用算出真實總間隔數及順＋逆時針總間隔數之差別來證明，並歸納出以下表格：

n = 4k + 1 n = 4k + 2 n = 4k + 3 n = 4k

真實總間隔數不為 4 的倍數不為 4 的倍數 4 的倍數 4 的倍數

順 + 逆時針總

間隔數 4 的倍數 4 的倍數 4 的倍數 4 的倍數

是否成立不成立不成立成立成立

(5)

成立與否是否與挑剔數列相同

相同相同相同相同

是否比挑剔數

列多解相同(皆無解) 相同(皆無解) 是是

表(一)

在研究過程中，發現挑剔數列必定具備以下八點性質：

性質 1：若a^k為數字k 排成挑剔數列時的較小位置編號(編號由左至右)，則數字 k 的較大位置編號a^k' = a^k + k + 1。

性質 2：兩組{ 1、2、…..、n }直線排列，若其較小位置編號總和( a¹ + a²+ a³ + ... + aⁿ ) ∉ N，

則無法形成挑剔數列。

性質 3：若挑剔數列不成立，則總空格數與 n 的奇偶性質不相同

性質 4：當n = 4k、n = 4k + 3 皆可形成挑剔環，其中 n ∈ N, k ∈ {0} ∪ N 性質 5：當n = 4k + 1、n = 4k + 2 皆無法形成挑剔環，其中 n ∈ N, k ∈ {0} ∪ N 性質 6：若x 與 x 順時針的間隔數為奇數，則其逆時針的間隔數亦為奇數。

性質 7：若y 與 y 順時針的間隔數為偶數，則其逆時針的間隔數亦為偶數。

性質 8：兩組{ 1、2、……、n }環狀排列，則其可形成「挑剔環」的條件為：

其「真實總間隔數」為 4 的倍數

然而討論每個數的所有解非常費時費力，因此利用從大於 2

n

的數字起，在a^k上填入 d=-2 的

等差數列，雖然此方法只適用於

n  16

的狀況下，但排列方式容易許多。且相鄰 n = 4k+3 與 n = 4k + 4 的挑剔數列僅差兩個 4k + 4，也找出其快速排法。

最後整理出和黃皓倫[2]報告最大的差異，統整成以下表格:

使用此方法可得結果

可得挑剔數列解數

做法複雜度做法統一度其他

黃皓倫[2]成果 1 較複雜須針對各數字使

用對應方法

無

此報告成果所有解耗時長但作法容

易

每個數字作法皆統一

提供程式縮小搜尋範圍，提升效率

表(二)

(6)

（一）挑剔數列位置值與其性質

證明：當第一個位置值為 a^k ，由挑剔數列定義可知可知，其第二個位置值會是 a^k 加上相隔的 k ，最後再加上那個位置本身數 1，即可得公式 a^k' = a^k + k + 1。

1. 以n = 3 為例，挑剔數列：3，1，2，1，3，2。其中數字 2 的較小位置編號 a² = 3，較大位置編號a²' = 6 ( = a² + 2 + 1 )

數字較小位置編號a^k 較大位置編號a^k' = a^k + k + 1

1 2 2 + 1 + 1 = 4

2 3 3 + 2 + 1 = 6

3 1 1 + 3 + 1 = 5

表(三) 若挑剔數列的排序未知，則由性質 1：

位置編號總和為[ a¹ + ( a¹ + 1 + 1 ) ] +[ a² + ( a² + 2 + 1 ) ] + [ a³ + ( a³ + 3 + 1 ) ]

= 2⋅ ( a¹ + a² + a³ ) + 9

而兩組{ 1、2、3 }的位置編號總和 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 可推得a¹ + a² + a³ = 6

2. 以n = 4 為例

數字較小位置編號a^k 較大位置編號a^k' = a^k + k + 1

1 2 2 + 1 + 1 = 4

2 5 5 + 2 + 1 = 8

3 3 3 + 3 + 1 = 7

4 1 1 + 4 + 1 = 6

表(四) : n = 4，挑剔數列：4，1，3，1，2，4，3，2 若挑剔數列的排序未知，則由性質 1：位置編號總和為

[ a¹ + ( a¹ + 1 + 1 ) ] +[ a² + ( a² + 2 + 1 ) ] + [ a³ + ( a³ + 3 + 1 ) ] + [ a⁴ + ( a⁴ + 4 + 1 ) ]

= 2⋅ ( a¹ + a² + a³ + a⁴ ) + 14

而兩組{ 1、2、3、4 }的位置編號總和 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 可推得a¹ + a² + a³ + a⁴ = 11

(7)

由上述分析，可推得數列的位置編號總和為：

2⋅ ( a¹ + a²+ a³ + ... + aⁿ ) + ( 1 + 2 + 3 + ... + n ) + n = 1 + 2 + 3 + ... + 2n

3. 已知n = 5 無法形成挑剔數列，分析其較小位置編號總和( a¹ + a²+ a³ + a⁴ + a⁵ )的性質 2⋅ ( a¹ + a²+ a³ + a⁴ + a⁵ ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) + 5 = 1 + 2 + 3 + ... + 10

即 2⋅ ( a¹ + a²+ a³ + a⁴ + a⁵ ) + 20 = 55 ⇒ a¹ + a²+ a³ + a⁴ + a⁵ =

³⁵

2

非整數但由性質 1 定義：a^k為位置編號，對所有a^k∈ N

∴ a¹ + a²+ a³ + a⁴ + a⁵∈ N，顯然不符，故n = 5 無法形成挑剔數列。

由上述觀察可得性質 2：

性質 2：兩組{ 1、2、…..、n }直線排列，若其較小位置編號總和( a¹ + a²+ a³ + ... + aⁿ ) ∉ N，

則無法形成挑剔數列。

證明：因 a¹ , a²^,a³ , ... aⁿ 皆為整數，故 a¹ + a²+ a³ + ... + aⁿ 必為整數。

（二）以性質 2 證明挑剔數列的存在與否 1. 當n = 4k 時

2⋅ ( a¹ + a²+ a³ + ... + a^4k ) + ( 1 + 2 + 3 + ... + 4k ) + 4k = (1 + 2 + ... + 8k) 2⋅ ( a¹ + a²+ a³ + ... + a^4k ) = (4k+1)+(4k+2)+…+(4k+4k)-4k

=

^{4𝑘(12𝑘+1)}

2

− 4𝑘=2𝑘(12𝑘 − 1) 為偶數

故 2⋅ ( a¹ + a²+ a³ + ... + a^4k ) 亦為偶數，即a¹ + a²+ a³ + ... + a^4k 為整數後續說明如何求出挑剔數列。

2. 當n = 4k + 1 時

2⋅(

a

1 +

a

2+... +

a

4k+1 ) + [ 1 + 2 + ... + ( 4k + 1 ) ] + ( 4k + 1 ) = (1 + 2 + ... + ( 8k + 2 ) ) 2⋅(

a

1 +

a

2+... +

a

4k+1 )=(4k+2)+(4k+3)+…+(8k+2)-(4k+1)

=

(4𝑘+1)(12𝑘+4)

2

− (4𝑘 + 1) = (4𝑘 + 1)(6𝑘 + 1) 因為 (4𝑘 + 1)(6𝑘 + 1) 為奇數

故 2⋅ ( a¹ + a²+ a³ + ... + a^4k+1 ) 為奇數，即a¹ + a²+ a³ + ... + a^4k+1 為非整數。

無法形成挑剔數列。

3. 當n = 4k + 2 時

2⋅ (

a

¹ +

a

²+... +

a

^4k+2 ) + [ 1 + 2 + ... + ( 4k + 2 ) ] + ( 4k + 2 ) = (1 + 2 + ... + ( 8k + 4 ))

(8)

2⋅ (

a

¹ +

a

²+... +

a

^4k+2 )=(4k+3)+(4k+4)+…+(8k+4)-(4k+2) =

(4𝑘+2)(12𝑘+7)

2

− (4𝑘 + 2) = (4k + 2)

^(12𝑘+5)

2

= (4𝑘 + 1)(12𝑘 + 4) 因為(4𝑘 + 1)(12𝑘 + 4)為奇數

故 2⋅( a¹ + a²+ a³ + ... + a^4k+2 ) 為奇數，即a¹ + a²+ a³ + ... + a^4k+2 為非整數。

無法形成挑剔數列。

4. 當n = 4k + 3 時

2⋅ (

a

1 +

a

2+... +

a

4k+3 ) + [ 1 + 2 + ... + ( 4k + 3 ) ] + ( 4k + 3 ) = 1 + 2 + ... + ( 8k + 6 ) 2⋅ (

a

1 +

a

2+... +

a

4k+3 )=(4k+4)+(4k+5)+…+(8k+6)-(4k+3)

=

(4𝑘+3)(12𝑘+10)

2

− (4𝑘 + 3) = (4k + 3)

^(12𝑘+8)

2

= (4𝑘 + 3)(6𝑘 + 4) 因為(4𝑘 + 3)(6𝑘 + 4)為偶數

故 2⋅ ( a¹ + a²+ a³ + ... + a^4k+3 ) 為偶數，即a¹ + a²+ a³ + ... + a^4k+3 為整數。

後續說明如何求出挑剔數列。

（三）挑剔數列的空格數及其性質 1.定義間隔數、空格數：

兩個數字 m 之間必須有 m 個數字，稱之為間隔數d ( m，m ) = m。以位置編號考慮就形成兩個數字 m 之間位置編號差為m + 1，稱之為空格數

s

( m，m ) = m + 1。

若欲形成挑剔數列，依照定義，

以挑剔數列

n

= 3 為例，2_3_1_2_1_3，間隔數d ( 2，2 ) = 2，而空格數

s

( 2，2 ) = 3。

性質 3：若挑剔數列不成立，則總空格數與 n 的奇偶性質不相同證明：

兩組{ 1、2、…..、n }直線排列，則

總間隔數：



=

= n

m

m m d

1

)

( ， 1 + 2 + 3 + ... + n = 2

) 1 ( +

n n

總空格數 ( ) [ ( ) 1]

1 1

+

=



= = n

m n

m

m m d m

m

s

，， =

2 ) 1 ( +

n

+ n = 2

) 3 ( +

n n

分析總間隔數



= n

m

m m d

1

)

( ，與總空格數



= n

m

m m s

1

)

( ，的奇偶數性質關係：

1. n = 4k + 1 奇數總間隔數：

2 ) 1 ( +

n

= ( 2k + 1 ) ( 4k + 1 ) 為奇數

(9)

總空格數：

2 ) 3 ( +

n

= 2 ( k + 1 ) ( 4k + 1 ) 為偶數



= n

m

m m s

1

)

( ，與n 的奇偶數性質不相同

因



= n

m

m m d

1

)

( ，為奇數，



= n

m

m m s

1

) ( ， =



= n

m

m m d

1

)

( ， + n 奇數 + 奇數 = 偶數

2. n = 4k + 2 偶數總間隔數：

2 ) 1 ( +

n

= ( 2k + 1 ) ( 4k + 3 ) 為奇數

總空格數：

2 ) 3 ( +

n

= ( 2k + 1 ) ( 4k + 5 ) 為奇數



= n

m

m m s

1

)

( ，與n 的奇偶數性質不相同

因



= n

m

m m d

1

)

( ，為奇數，



= n

m

m m s

1

) ( ， =



= n

m

m m d

1

)

( ， + n 奇數 + 偶數 = 奇數

3. n = 4k + 3 奇數總間隔數：

2 ) 1 ( +

n

= 2 ( k + 1 ) ( 4k + 3 ) 為偶數

總空格數：

2 ) 3 ( +

n

= ( 2k + 3 ) ( 4k + 3 ) 為奇數



= n

m

m m s

1

)

( ，與n 的奇偶數性質相同

因



= n

m

m m d

1

)

( ，為偶數，



= n

m

m m s

1

) ( ， =



= n

m

m m d

1

)

( ， + n 偶數 + 奇數 = 奇數

4. n = 4k 偶數總間隔數：

2 ) 1 ( +

n

= 2k ( 4k + 1 ) 為偶數

總空格數：

2 ) 3 ( +

n

= 2k ( 4k + 3 ) 為偶數



= n

m

m m s

1

)

( ，與n 的奇偶數性質相同

(10)

因



= n

m

m m d

1

)

( ，為偶數，



= n

m

m m s

1

) ( ， =



= n

m

m m d

1

)

( ， + n 偶數 + 偶數 = 偶數

（四）挑剔數列的排列方法

在黃皓倫[2]報告中，其排列方法只能解出一解，且須以

^𝑛

4

判斷其排列方式。在此我們提出一種所有數皆可套用，且可解出所有解之方法。

1. 根據挑剔數列性質１，n = 3 時，a¹ + a² + a³ = 6 分析：( a¹，a²，a³ ) 必為( 1，2，3 )的各種可能排列 (1) 若a¹ = 1，則a¹' = a¹ + 1 + 1 = 3 不合

(2) 若a² = 1，則a²' = a² + 2 + 1 = 4

a.若a¹ = 2，則a¹' = a¹ + 1 + 1 = 4 不合 b.若a³ = 2，則a³' = a³ + 3 + 1 = 6

a¹ = 3，則a¹' = a¹ + 1 + 1 = 5 符合解為： 2 3 1 2 1 3 (3) 若a³ = 1，則a³' = a³ + 3 + 1 = 5

a.若a¹ = 2，則a¹' = a¹ + 1 + 1 = 4

a² = 3，則a²' = a² + 2 + 1 = 6 符合解為： 3 1 2 1 3 2 b.若a² = 2，則a²' = a² + 2 + 1 = 5 不合

故可此分析得出：n = 3 的挑剔數列恰有兩組解。

2. 根據挑剔數列性質 1，n = 4 時，a¹ + a² + a³ + a⁴ = 11

分析：( a¹，a²，a³，a⁴ ) 必為( 1，2，3，5 ) 的各種可能排列 4! = 24 種

(1) 若a¹ = 1，則 a² + a³ + a⁴ = 10 ( a²，a³，a⁴ ) 必為( 2，3，5 ) 的各種可能排列 a¹' = a¹ + 1 + 1 = 3 不合

(2) 若a² = 1，則 a¹ + a³ + a⁴ = 10 ( a¹，a³，a⁴ ) 必為( 2，3，5 ) 的各種可能排列 a²' = a² + 2 + 1 = 4

a.若a¹ = 2，則a¹' = a¹ + 1 + 1 = 4

b.若a¹ = 3，則a¹' = a¹ + 1 + 1 = 5 不合 c.若a¹ = 5，則a¹' = a¹ + 1 + 1 = 7

a³ + a⁴ = 5 ( a³，a⁴ ) 必為( 2，3 ) 的各種可能排列 a³ = 3，a⁴ = 2 ⇒ a³' = 7，a⁴' = 7 不合

a³ = 2，a⁴ = 3 ⇒ a³' = 6，a⁴' = 8 符合解為： 2 3 4 2 1 3 1 4

(11)

(3) 若a³ = 1，則 a¹ + a² + a⁴ = 10 ( a¹，a²，a⁴ ) 必為( 2，3，5 ) 的各種可能排列 a³' = a³ + 3 + 1 = 5 不合

(4) 若a⁴ = 1，則 a¹ + a² + a³ = 10 ( a¹，a²，a³ ) 必為( 2，3，5 ) 的各種可能排列 a⁴' = a⁴ + 4 + 1 = 6

a.若a¹ = 2，則a¹' = a¹ + 1 + 1 = 4

a² + a³ = 8 ( a²，a³ ) 必為( 3，5 ) 的各種可能排列 a² = 3，a³ = 5 ⇒ a²' = 6，a³' = 9 > 8 不合

a² = 5，a³ = 3 ⇒ a²' = 8，a³' = 7 符合解為： 4 1 3 1 2 4 3 2 b.若 = 3，則a¹' = a¹ + 1 + 1 = 5 不合

c.若¹ = 5，則a¹' = a¹ + 1 + 1 = 7

a² + a³ = 5 ( a²，a³ ) 必為( 2，3 ) 的各種可能排列 a² = 2，a³ = 3 ⇒ a²' = 5，a⁴' = 7 不合

a² = 3，a³ = 2 ⇒ a³' = 6，a⁴' = 6 不合故可此分析得出：n = 4 的挑剔數列恰有兩組解。

3. 根據挑剔數列性質 1：

2⋅ ( a¹ + a²+ a³ + ... + aⁿ ) + ( 1 + 2 + 3 + ... + n ) + n = 1 + 2 + 3 + ... + 2n 當 n = 7 時，a¹ + a² + a³ + a⁴ + a⁵ + a⁶ + a⁷ = 35

除了a¹ + a² +…+ aⁿ之總和要成立外，還須符合下列原則:

在第一位置值中(位置值較小者)，位置 1 和位置 2 必填，最後兩位置必不填。

原因：

1. 位置 1 和位置 2 必填：在此 n 個數中所填的是每個數的第一位置值(較小者)。若位置 1 不填，代表他是較大的位置值，則不符合，因為沒有比位置 1 更小的位置值。位置 2 也是必填，若位置 2 不填，代表那個數最小的位置值將會是位置 1，但位置 1 和位置 2 之間並無間隔數，故不符合。所以位置 1 和位置 2 是必填的。

2. 最後兩位置必不填：若倒數第二個位置(2n-1)填第一位置值，那該數的第二位置值只能填在位置 2n 上，但位置 2n-1 和位置 n 之間並無間隔數，故不符合。位置 n 也是不能填，若這個位置為第一位置值，但它已經是最後一個位置了，便沒地方放置第二位置值，故也不成立。所以位置 2n-1 和位置 n 是必不填的。

(12)

( 位置 1，位置 2，位置 3，………….，位置 11，位置 12，位置 13，位置 14 ) 必填必為較大數a^k'位置

以挑剔數列n = 7 舉例時，a^k ≦ 12

( a¹，a²，a³，a⁴，a⁵，a⁶，a⁷ ) 必為下列組合的各種可能排列：

( 1，2，3，4，6，7，12 ) ( 1，2，3，4，5，8，12 ) ( 1，2，3，4，6，8，11 ) ( 1，2，3，5，6，7，11 ) ( 1，2，3，4，6，9，10 ) ( 1，2，3，4，7，8，10 ) ( 1，2，4，5，6，7，10 ) ( 1，2，4，5，6，8，9 ) ( 1，2，3，5，7，8，9 ) ( 1，2，3，5，6，8，10 ) ( 1，2，3，4，5，9，11 )

對應黃皓倫[2]報告，下列為黃皓倫[2]所得之 n=7 時的 26 組解(不含正反）：

A: 73625324765141 B: 72462354736151 C: 71416354732652 D: 74151643752362 E:

27423564371516 F: 57416154372632 G: 57263254376141 H: 17126425374635 I:

26721514637543 J: 62742356437151 K: 51716254237643 L: 23726351417654 M:

35743625427161 N: 72632453764151 O: 72452634753161 P: 71316435724625 Q:

73161345726425 R: 37463254276151 S: 57236253471614 T: 57141653472362 U:

17125623475364 V: 36713145627425 W: 52732653417164 X: 41716425327635 Y:

24723645317165 Z: 35723625417164

後續的符號說明，舉例 A’表示當圍成環時，與黃皓倫[2]的 A 圍成環時同方向是相同環；A”表示當圍成環時，與黃皓倫[2]的 A 圍成環時反方向是相同環。

( a¹，a²，a³，a⁴，a⁵，a⁶，a⁷ ) 對應解

( 1，2，3，4，6，7，12 )

B 72462354736151 J 62742356437151 M 35743625427161 N 72632453764151 O 72452634753161 R 37463254276151

( 1，2，4，5，6，7，10 )

B” 15163745326427

J” 15173465324726

M” 16172452634753

N” 15146735423627

O” 16135743625427

R” 15167245236473

(13)

( 1，2，3，4，5，8，12 )

A 73625324765141 G 57263254376141 H” 53647352462171 U” 46357432652171

( 1，2，4，5，6，8，9 )

H 17126425374635

U 17125623475364 A“ 14156742352637 G” 14167345236275

( 1，2，3，4，6，8，11 )

D 74151643752362

T 57141653472362 K” 34673245261715 I” 34573641512762 Y” 56171354632742 P” 52642753461317

( 1，2，3，5，6，8，10 )

K 51716254237643

I 26721514637543 Y 24723645317165 P 71316435724625 D” 26325734615147 T“ 26327435614175

( 1，2，3，4，6，9，10 )

W 52732653417164 Z 35723625417164 Q” 52462754316137 V” 52472654131763

( 1，2，3，4，7，8，10 )

Q 73161345726425

V 36713145627425 W” 46171435623725 Z” 46171452632753

( 1，2，3，5，7，8，9 )

L 23726351417654

X 41716425327635 S” 41617435263275 F” 23637345161475

( 1，2，3，4，5，9，11 )

S 57236253471614

F 57416154372632 L” 45671415362732 X” 53672352461714

( 1，2，3，5，6，7，11 )

C 71416354732652 E 27423564371516 C” 25623745361417 E” 61517346532472

( 1，3，4，5，6，7，9 ) 無

表(五)

表格中反著寫會被歸類在同組的另一種用陰影表示 ( a¹，a²，a³，a⁴，a⁵，a⁶，a⁷ )。) 例如：72632453764151 屬於 ( 1，2，3，4，6，7，12 )；而將其反著寫的話則為 15146735423627 屬於 ( 1，2，4，5，6，7，10 )。

(14)

發現：

1.當 ( a¹，a²，a³，a⁴，a⁵，a⁶，a⁷ )為 ( 1，2，3，5，6，7，11 )時，發現若反著看仍然相同，其原因如圖(三)所示，這個數列會自己呈現對稱的情況，因此倒著看也會相同。

2.當 ( a¹，a²，a³，a⁴，a⁵，a⁶，a⁷ )為 ( 1，3，4，5，6，7，9 ）時，雖符合 a¹ + a² + a³ + a⁴ + a⁵ + a⁶ + a⁷ = 35 ，但並無法排列出挑剔數列，求其原因。

( 1，3，4，5，6，7，9 )無法成立原因

上述中的原則有提到位置值 1,2 必須填入 a^k ，故此組不合。

二、挑剔環的觀察與發現（挑剔環定義如摘要所示）

（一）觀察 n = 4k，n = 4k + 1， n = 4k + 2，n = 4k + 3 挑剔環是否能成立：

n = 4k 必定成立 (如圖(四) ) n= 4k + 1 仍然不成立 (如圖(五))

圖(四) 圖(五)

n = 4k + 2 仍然不成立 (如圖(六) ) n = 4k + 3 必定成立 (如圖(七))

圖(六) 圖(七)

(15)

經初步觀察發現：可否成立的情形與挑剔數列相同，但若成立，因挑剔環可順時針或逆時針繞，應可得更多解。

（二）觀察為何挑剔環會有存在與不存在之狀況

1. 經觀察發現：n = 4k + 1 或 4k + 2 所排成的挑剔環，最後一個被填入的數字間的間隔數皆為最後一個被填入的數-1 或+1。例如在n = 5 挑剔環中，依序填入 5、1、4、2，

最後填入的數為 3。而兩個數字 3 間的間隔數為 2 (或 6 )，即間隔數 = 3-1。

2. 因所有奇數+1 或-1 後皆變為偶數，且所有偶數+1 或-1 後皆變為奇數。因此推論，

造成n = 4k + 1，n = 4k + 2 無法形成挑剔環的原因可能與奇、偶數性質有關。

3. 假設：奇數皆令為 1，故其間隔數 = 1；偶數皆令為 0，故其間隔數 = 0。每一種顏色代表一個數字，同一種圖形代同一個數字。

1. 以n = 4 為例：

1、2、3、4 中有兩個偶數‧、。 (代表 2、4 )，有兩個奇數△、⊙ (代表 1、3 )。兩個奇數△的間隔數 = 1，兩個奇數⊙的間隔數 = 1。因偶數間的間隔數 = 0，因此當奇數有偶數個△、⊙時，總間隔數為偶數，即可成環。

2. 以n = 5 為例：

1、2、3、4、5 中有兩個偶數‧、。 (代表 2、4 )，有三個奇數△、⊙、★ (代表 1、

3、5 )。總間隔 = 3 為奇數。但因總個數 = 2⋅n 為偶數，故無法成環。

圖(八) 圖(九) 3. 以n = 6 為例：

1、2、3、4、5、6 中有三個偶數

‧

、

。

、

□

(代表 2、4、6 )，有三個奇數

△

、⊙、★

(代表 1、3、5 )。總間隔 = 3 為奇數，故無法成環。

(16)

4. 以n = 7 為例：

1、2、3、4、5、6、7 中有三個偶數

‧

、

。

、

□

(代表 2、4、6 )，有四個奇數

△

、⊙、

★、▲ (代表 1、3、5、7 )。四種奇數的總間隔 = 4 為偶數，即可成環。

(三) 根據上述觀察，找出是否可以形成挑剔環有以下規則。

n 以 4k + x 表示奇數個數偶數個數是否可以形成挑剔環？

3 4k + 3 2 1 是

4 4k 2 2 是

5 4k + 1 3 2 否

6 4k + 2 3 3 否

7 4k + 3 4 3 是

8 4k 4 4 是

9 4k + 1 5 4 否

10 4k + 2 5 5 否

11 4k + 3 6 5 是

12 4k 6 6 是

13 4k + 1 7 6 否

14 4k + 2 7 7 否

表(六)

由此表格可知：當n = 4k + 1、n = 4k + 2 皆無法形成挑剔環 ( 1、….、n 中有奇數個奇數 )。當n = 4k、n = 4k + 3 皆可形成挑剔環 ( 1、….、n 中有偶數個奇數 )。因此更確信是否可以形成挑剔環必與奇數、偶數性質有關。

（四）證明挑剔環是否存在

性質 4：當n = 4k、n = 4k + 3 皆可形成挑剔環，其中 n ∈ N, k ∈ {0} ∪ N 性質 5：當n = 4k + 1、n = 4k + 2 皆無法形成挑剔環，其中 n ∈ N, k ∈ {0} ∪ N 證明：

1. 證明順逆時針間隔數奇偶狀況必相同

1.1 令x 為奇數，y 為偶數；x，y ∈ { 1、2、……、n }，n ∈ N

性質 6：若x 與 x 順時針的間隔數為奇數，則其逆時針的間隔數亦為奇數。

(17)

證明：

x 與 x 順時針的間隔數 = x 為奇數，則其逆時針的間隔數為 2n – 2 – x ，即為偶數-偶數-奇數，其值必為奇數。

x 與 x 逆時針的間隔數 = x 為奇數，則其順時針的間隔數 = 2n – 2 – x ，即為偶數-偶數-奇數，其值必為奇數。

證明：

y 與 y 順時針的間隔數 = y 為偶數，則其逆時針的間隔數 = 2n – 2 – y ，即為偶數-偶數-偶數，其值必為偶數。

g4jy 與 y 逆時針的間隔數 = y 為偶數，則其順時針的間隔數 = 2n – 2 – y ，即為偶數-偶數-偶數，其值必為偶數。

(三) 計算真實總間隔數與性質 3、性質 4 所述順時針與逆時針總間隔數比較。

定義：對所有m ∈ { 1、2、……、n }，n ∈ N m、m 的順時針間隔數 m 與逆時針間隔數 2n – 2 – m 的和的總和為"真實總間隔數" 。

n 例真實順時針間隔數真實逆時針間隔數真實總間隔數

4k + 3 3 1 + 2 + 3 = 6 3 + 2 + 1 = 6 6 + 6 = 12 為 4 的倍數

4k 4 1 + 2 + 3 + 4 = 10 5 + 4 + 3 + 2 = 14 10 + 14 = 24 為 4 的倍數

4k + 1 5 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 7 + 6 + 5 + 4 + 3 = 25 15 + 25 = 40 為 4 的倍數 4k + 2 6 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 = 39 21 + 39 = 60 為 4 的倍數

表(七)

性質 8：兩組{ 1、2、……、n }環狀排列，則其可形成「挑剔環」的條件為：其「真實總間隔數」為 4 的倍數

證明：

總間隔數公式 = n⋅ ( 2n – 2 ) = 2 n⋅ ( n – 1 )

任一數m 與 m 的順時針間隔數與逆時針間隔數的和必為 2n – 2

其中兩組{ 1、2、……、n }的總數為 2n，減去 m 與 m 兩個數，即為 m 與 m 的順時針間隔數與逆時針間隔數的和。

因n 或 n-1 其中之一必為偶數，故總間隔數必為 4 的倍數。

n = 4k

(18)

真實總間隔數公式 2 n ⋅ ( n – 1 ) = 8k ( 4k – 1 ) 為 4 的倍數 n = 4k + 1

真實總間隔數公式 2 n⋅ ( n – 1 ) = 8 k ( 4k + 1 ) 為 4 的倍數 n = 4k + 2

真實總間隔數公式 2 n⋅ ( n – 1 ) = 4 ( 2k + 1 ) ( 4k + 1 ) 為 4 的倍數 n = 4k + 3

真實總間隔數公式 2 n⋅ ( n – 1 ) = 4 ( 2k + 1 ) ( 4k + 1 ) 為 4 的倍數

(二) 由表(一)及性質 3、性質 4，分析順時針與逆時針總間隔數的性質：

1. 當n = 4k 時，{ 1、2、……、n }中數字為偶數的共有偶數個，數字為奇數的共有偶數個。

順時針與逆時針總間隔數 = (數字為奇數⋅2 ) ⋅偶數個 + (數字為偶數⋅2 ) ⋅ 偶數個為 4 的倍數。

故當n = 4k 時，順時針與逆時針總間隔數為 4 的倍數。

2. 當n = 4k + 1 時，{ 1、2、……、n }中數字為偶數的共有偶數個，數字為奇數的共有奇數個。

順時針與逆時針總間隔數 = (數字為奇數⋅2 ) ⋅奇數個 + (數字為偶數⋅2 ) ⋅偶數個為偶數，但不是 4 的倍數。

故當n = 4k + 1 時，順時針與逆時針總間隔數為偶數，但不是 4 的倍數。

3. 當n = 4k + 2 時，{ 1、2、……、n }中數字為偶數的共有奇數個，數字為奇數的共有奇數個。

順時針與逆時針總間隔數 = (數字為奇數⋅2 ) ⋅奇數個 + (數字為偶數⋅2 ) ⋅奇數個為偶數，但不是 4 的倍數。

故當n = 4k + 2 時，順時針與逆時針總間隔數為偶數，但不是 4 的倍數。

4. 當n = 4k + 3 時，{ 1、2、……、n }中數字為偶數的共有奇數個，數字為奇數的共有偶數個。

順時針與逆時針總間隔數 = (數字為奇數⋅2 ) ⋅偶數個 + (數字為偶數⋅2 ) ⋅奇數個為 4 的倍數。

故當n = 4k + 3 時，順時針與逆時針總間隔數為 4 的倍數。

(19)

(四) 由性質 5 可知，形成「挑剔環」的條件為：其「真實總間隔數」為 4 的倍數。但由表 (一)及性質 3、性質 4：當n = 4k + 1 及 n = 4k + 2 時，順時針與逆時針總間隔數卻不是 4 的倍數。由此可知，當n = 4k + 1 及 n = 4k + 2 時，順時針與逆時針總間隔數無法符合環

「真實總間隔數」。因此得證，當n = 4k + 1 及 n = 4k + 2 時，無法形成「挑剔環」。

當n = 4k 及 n = 4k + 3 時，順時針與逆時針總間隔數為 4 的倍數。由此可知，當 n = 4k 及n = 4k + 3 時，順時針與逆時針總間隔數符合環「真實總間隔數」。因此得證，當 n = 4k 及n = 4k + 3 時，可形成「挑剔環」。

故性質 3，性質 4 得證。

八、根據 2003 第二屆旺宏金牌獎作品黃皓倫[2]得知，n = 7 的挑剔數列共有 52 組解 ( 26 組，前後相反)。而以程式運算，挑剔環組數超過 52 組。(以下為其中 80 組，若屬於“挑剔環亦為挑剔數列組”，則前頭英文字母為其對應黃皓倫[2]報告中的解， A’意為當圍成環時, 跟黃皓倫[2]的 A 圍成環時同方向是相同環；標上 A”意為：當圍成環時, 跟黃皓倫[2]的 A 圍成環時反方向是相同環）

挑剔環亦為挑剔數列組：

A’[1, 4, 1, 7, 3, 6, 2, 5, 3, 2, 4, 7, 6, 5] A”[1, 4, 1, 5, 6, 7, 4, 2, 3, 5, 2, 6, 3, 7]

B’[1, 5, 1, 7, 2, 4, 6, 2, 3, 5, 4, 7, 3, 6] B”[1, 5, 1, 6, 3, 7, 4, 5, 3, 2, 6, 4, 2, 7]

C’[1, 4, 1, 6, 3, 5, 4, 7, 3, 2, 6, 5, 2, 7] C”[1, 4, 1, 7, 2, 5, 6, 2, 3, 7, 4, 5, 3, 6]

D’[1, 5, 1, 6, 4, 3, 7, 5, 2, 3, 6, 2, 7, 4] D”[1, 5, 1, 4, 7, 2, 6, 3, 2, 5, 7, 3, 4, 6]

J’E’[1, 5, 1, 6, 2, 7, 4, 2, 3, 5, 6, 4, 3, 7] J”E”[1, 5, 1, 7, 3, 4, 6, 5, 3, 2, 4, 7, 2, 6]

F’[1, 6, 1, 5, 4, 3, 7, 2, 6, 3, 2, 5, 7, 4] F”[1, 6, 1, 4, 7, 5, 2, 3, 6, 2, 7, 3, 4, 5]

G’[1, 4, 1, 5, 7, 2, 6, 3, 2, 5, 4, 3, 7, 6] G”[1, 4, 1, 6, 7, 3, 4, 5, 2, 3, 6, 2, 7, 5]

H’[1, 7, 1, 2, 6, 4, 2, 5, 3, 7, 4, 6, 3, 5] H”[1, 7, 1, 5, 3, 6, 4, 7, 3, 5, 2, 4, 6, 2]

I’[1, 5, 1, 4, 6, 3, 7, 5, 4, 3, 2, 6, 7, 2] I”[1, 5, 1, 2, 7, 6, 2, 3, 4, 5, 7, 3, 6, 4]

K’[1, 7, 1, 6, 2, 5, 4, 2, 3, 7, 6, 4, 3, 5] K”[1, 7, 1, 5, 3, 4, 6, 7, 3, 2, 4, 5, 2, 6]

L’[1, 4, 1, 7, 6, 5, 4, 2, 3, 7, 2, 6, 3, 5] L”[1, 4, 1, 5, 3, 6, 2, 7, 3, 2, 4, 5, 6, 7]

O” M’[1, 6, 1, 3, 5, 7, 4, 3, 6, 2, 5, 4, 2, 7] O’M”[1, 6, 1, 7, 2, 4, 5, 2, 6, 3, 4, 7, 5, 3]

N’[1, 5, 1, 7, 2, 6, 3, 2, 4, 5, 3, 7, 6, 4] N” α’[1, 5, 1, 4, 6, 7, 3, 5, 4, 2, 3, 6, 2, 7]

P’[1, 3, 1, 6, 4, 3, 5, 7, 2, 4, 6, 2, 5, 7] P”[1, 3, 1, 7, 5, 2, 6, 4, 2, 7, 5, 3, 4, 6]

Q’[1, 6, 1, 3, 4, 5, 7, 2, 6, 4, 2, 5, 7, 3] Q”[1, 6, 1, 3, 7, 5, 2, 4, 6, 2, 7, 5, 4, 3]

R’[1, 5, 1, 3, 7, 4, 6, 3, 2, 5, 4, 2, 7, 6] R”[1, 5, 1, 6, 7, 2, 4, 5, 2, 3, 6, 4, 7, 3]

S’[1, 6, 1, 4, 5, 7, 2, 3, 6, 2, 5, 3, 4, 7] S”[1, 6, 1, 7, 4, 3, 5, 2, 6, 3, 2, 7, 5, 4]

T’[1, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 7, 2, 3, 6, 2, 5, 7] T”[1, 4, 1, 7, 5, 2, 6, 3, 2, 7, 4, 3, 5, 6]

U”[1, 7, 1, 4, 6, 3, 5, 7, 4, 3, 2, 6, 5, 2] U’[1, 7, 1, 2, 5, 6, 2, 3, 4, 7, 5, 3, 6, 4]

V’[1, 3, 1, 4, 5, 6, 2, 7, 4, 2, 5, 3, 6, 7] V”[1, 3, 1, 7, 6, 3, 5, 2, 4, 7, 2, 6, 5, 4]

W’[1, 7, 1, 6, 4, 5, 2, 7, 3, 2, 6, 5, 3, 4] W”[1, 7, 1, 4, 3, 5, 6, 2, 3, 7, 2, 5, 4, 6]

X’[1, 7, 1, 6, 4, 2, 5, 3, 2, 7, 6, 3, 5, 4] X”[1, 7, 1, 4, 5, 3, 6, 7, 2, 3, 5, 2, 4, 6]

(20)

Y’[1, 7, 1, 6, 5, 2, 4, 7, 2, 3, 6, 4, 5, 3] Y”[1, 7, 1, 3, 5, 4, 6, 3, 2, 7, 4, 2, 5, 6]

Z’[1, 7, 1, 6, 4, 3, 5, 7, 2, 3, 6, 2, 5, 4] Z”[1, 7, 1, 4, 5, 2, 6, 3, 2, 7, 5, 3, 4, 6]

挑剔環但不為挑剔數列組：

[1, 3, 1, 4, 7, 6, 2, 5, 4, 2, 7, 3, 6, 5] [1, 3, 1, 5, 6, 3, 7, 2, 4, 5, 2, 6, 7, 4]

[1, 3, 1, 5, 7, 3, 6, 4, 2, 5, 7, 2, 4, 6] [1, 3, 1, 5, 7, 2, 6, 4, 2, 5, 7, 3, 4, 6]

[1, 3, 1, 6, 4, 3, 7, 5, 2, 4, 6, 2, 7, 5] [1, 3, 1, 6, 4, 2, 5, 7, 2, 4, 6, 3, 5, 7]

[1, 3, 1, 6, 4, 2, 7, 5, 2, 4, 6, 3, 7, 5] [1, 3, 1, 7, 5, 3, 6, 4, 2, 7, 5, 2, 4, 6]

[1, 4, 1, 5, 2, 7, 6, 2, 3, 5, 4, 7, 3, 6] [1, 4, 1, 6, 3, 7, 4, 5, 3, 2, 6, 7, 2, 5]

[1, 5, 1, 2, 6, 4, 2, 7, 3, 5, 4, 6, 3, 7] [1, 5, 1, 4, 3, 7, 6, 2, 3, 5, 2, 7, 4, 6]

[1, 5, 1, 4, 6, 2, 3, 7, 2, 5, 3, 6, 4, 7] [1, 5, 1, 4, 7, 3, 6, 5, 2, 3, 7, 2, 4, 6]

[1, 5, 1, 6, 4, 2, 7, 3, 2, 5, 6, 3, 7, 4] [1, 5, 1, 6, 4, 7, 2, 5, 3, 2, 6, 7, 3, 4]

[1, 5, 1, 7, 3, 6, 4, 5, 3, 7, 2, 4, 6, 2] [1, 5, 1, 7, 4, 6, 3, 5, 2, 7, 3, 2, 6, 4]

[1, 6, 1, 2, 5, 7, 2, 4, 6, 3, 5, 7, 4, 3] [1, 6, 1, 2, 7, 5, 2, 4, 6, 3, 7, 5, 4, 3]

[1, 6, 1, 3, 4, 5, 7, 3, 6, 4, 2, 5, 7, 2] [1, 6, 1, 3, 4, 7, 5, 2, 6, 4, 2, 7, 5, 3]

[1, 6, 1, 3, 4, 7, 5, 3, 6, 4, 2, 7, 5, 2] [1, 6, 1, 3, 5, 7, 2, 4, 6, 2, 5, 7, 4, 3]

[1, 6, 1, 3, 7, 5, 4, 3, 6, 2, 7, 4, 2, 5] [1, 6, 1, 5, 2, 4, 7, 2, 6, 3, 4, 5, 7, 3]

[1, 7, 1, 4, 6, 2, 3, 5, 2, 7, 3, 6, 4, 5] [1, 7, 1, 4, 6, 5, 3, 7, 4, 2, 3, 6, 2, 5]

[1, 7, 1, 5, 4, 6, 3, 7, 2, 5, 3, 2, 6, 4] [1, 7, 1, 5, 2, 4, 6, 2, 3, 7, 4, 5, 3, 6]

[1, 7, 1, 5, 2, 6, 3, 2, 4, 7, 3, 5, 6, 4] [1, 7, 1, 6, 3, 5, 4, 7, 3, 2, 6, 4, 2, 5]

伍、研究結果

一、位置編號總和為:

2⋅ ( a¹ + a²+ a³ + ... + aⁿ ) + ( 1 + 2 + 3 + ... + n ) + n = 1 + 2 + 3 + ... + 2n

二、可利用討論( a¹， a²，a³ ， ... ， aⁿ )各種排列方法，數字較大時，討論較複雜，但可以找出所有解的類型。

以 n=7 為例，可以利用此方式找出黃皓倫[2]利用程式找出的所挑剔數列有解。

三、發現以下八大性質(前三者為挑剔數列，後五者為挑剔環)，並成功找出挑剔環是否存在之規律。

挑剔數列性質:

性質 2：兩組{ 1、2、…..、n }直線排列，

(21)

若其較小位置編號總和( a¹ + a²+ a³ + ... + aⁿ ) ∉ N，則無法形成挑剔數列；

若可形成挑剔數列，則其較小位置編號總和( a¹ + a²+ a³ + ... + aⁿ ) ∈ N。

性質 3：若挑剔數列不成立，則總空格數與 n 的奇偶性質不相同挑剔環性質:

性質 4：當n = 4k、n = 4k + 3 皆可形成挑剔環，其中 n ∈ N, k ∈ {0} ∪ N 性質 5：當n = 4k + 1、n = 4k + 2 皆無法形成挑剔環，其中 n ∈ N, k ∈ {0} ∪ N 性質 6：若x 與 x 順時針的間隔數為奇數，則其逆時針的間隔數亦為奇數。

性質 8：兩組{ 1、2、……、n }環狀排列，則其可形成「挑剔環」的條件為：

其「真實總間隔數」為 4 的倍數

四、n 相同時，挑剔環的解多於或等於挑剔數列。

陸、討論

一、找出挑剔數列的規則並套用至挑剔環上。

在章節肆、一，我們已詳述 ak與 ak+k+1 其關聯性，以及其所延伸之公式。並列出 n=3 以及 n=4 所得出之表格。

二、我們嘗試更多組數字，n=7、n=8(如下)。

數字 1 2 3 4 5 6 7

a^k 8 1 2 9 7 5 3

a^k' = a^k + k + 1 10 4 6 14 13 12 11 表(八) (n=7 為例 2,3,7,2,6,3,5,1,4,1,7,6,5,4)

數字 1 2 3 4 5 6 7 8

a^k 8 1 2 11 9 7 5 3

a^k' 10 4 6 16 15 14 13 12

表(九) (n=8 為例 2,6,8,2,1,7,1,4,6,5,3,8,4,7,3,5)

(22)

三、由表(八)、表(九)我們發現規律。當 n 為偶數，則數字值最大的

^𝑛

2

+ 1 位呈公差為 2 的等差數列。當 n 為奇數時，則數字值最大的

^𝑛+1

2

位呈公差為 2 的等差數列。

四、再經過 n=11、12、15、16 的排列，我們發現前幾位數字會一樣(共幾位數字一樣則視數字本身而定)。

數字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

a^k 12 1 2 3 10 15 13 11 9 7 5 a^k' 14 4 6 8 16 22 21 20 19 18 17

表(十) (n=11 為例 2,3,4,2,11,3,10,4,9,5,8,1,7,1,6,5,11,10,9,8,7,6)

數字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a^k 12 1 2 3 10 17 15 13 11 9 7 5 a^k' 14 4 6 8 16 24 23 22 21 20 19 18

表(十一) (n=12 為例 2,3,4,2,12,3,11,4,10,5,9,1,8,1,7,5,6,12,11,10,9,8,7,6) 數

字

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

a^k 18 1 2 3 10 5 14 21 19 17 15 13 11 9 7 a^k' 20 4 6 8 16 12 22 30 29 28 27 26 25 24 23

表(十二) (n=15 為例 2,3,4,2,6,3,15,4,14,5,13,6,12,7,11,5,10,1,9,1,8,7,15,14,13,12,11,10,9,8)

數字

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

a^k 18 1 2 3 10 5 14 23 21 19 17 15 13 11 9 7 a^k' 20 4 6 8 16 12 22 32 31 30 29 28 27 26 25 24

表(十三) (n = 16 為例 2,3,4,2,6,3,16,4,15,5,14,6,13,7,12,5,11,1,10,1,7,8,16,15,14,13,12,11,10,9,8)

(23)

五、以上挑剔數列皆是運用我們發現的規律排列出的挑剔數列，連成一環便可形成挑剔環。

另外，發現在粗框中的數字皆會相同，並且每差 4n，重複的數字便會多兩組。

數字

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

a^k 24 1 2 3 10 5 14 7 18 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 a^k' 26 4 6 8 16 12 22 16 28 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29

表(十四) (n=19 時，使用前述排列法不成立)

七、然而，再嘗試 n=19 時，我們卻發現此規律已無法套用，因為位置 16 重複了兩次。目前尚無法證明此事發生的原因，我們會列入未來展望。

八、在 n=7 時，不僅僅發現可以利用表四之等差數列來排列，亦可用下列等差數列：

(一)等差數列為 1,3,5，公差為 2 的數列。

數字 1 2 3 4 5 6 7

a^k 12 4 2 8 5 3 1

a^k' 14 7 6 13 11 10 9

表(十五) (n = 7 為例 7,3,6,2,5,3,2,4,7,6,5,1,4,1 ) (二)等差數列為 1,4,7，公差為 3 的數列。

數字 1 2 3 4 5 6 7

a^k 12 2 6 3 7 4 1

a^k' 14 5 10 8 13 11 9

表(十六) (n=7 為例 7,2,4,6,2,3,5,4,7,3,6,1,5,1) (三)等差數列為 2,5,8，公差為 3 的數列。

數字 1 2 3 4 5 6 7

a^k 1 4 9 6 8 5 2

a^k' 3 7 13 11 14 12 10

表(十七) (n=7 為例 1,7,1,2,6,4,2,5,3,7,4,6,3,5)

(24)

九、以上可知可用不同的等差數列來排出挑剔數列、挑剔環，但仍不知其規律所在，亦不知其用處，有待未來在討論。

十、利用 n = 4k + 3 與 n = 4k 的關係快速求解（只適用於以上述方法排列出之挑剔數列）

(一) 在排連續的 n = 4k + 3 和 n = 4k 時，發現 n = 4k 僅僅比 n = 4k + 3 多出兩個數字，由上述排法歸納，我們找出以下方法。

(二) 已知 n = 4k + 3 的數列，求 n = 4k 的數列：以 n = 7、n = 8 的挑剔數列為例 1. 先排出 n = 4k + 3 挑剔數列：n = 7 2,3,7,2,6,3,5,1,4,1,7,6,5,4

2. 把所有大於的整數都 +1 ：

將大於的整數都 +1： 2,3,8,2,7,3,6,1,5,1,8,7,6,5 3. 將最後面的等差數列兩側加上：

將最後面的等差數列兩側加上 4： 2,3,8,2,7,3,6,1,5,1,4,8,7,6,5,4 4. 即可得到 n = 4k 的挑剔數列：2,3,8,2,7,3,6,1,5,1,4,8,7,6,5,4

(三) 已知 n = 4k 的數列，求 n = 4k + 3 的數列：以n = 7、n = 8 的數列為例 1. 先排出 4k 數列：n = 8 2,3,8,2,7,3,6,1,5,1,4,8,7,6,5,4

2. 將最後一位的數值m 刪去(連前面一個 m 也去除)：

將最後一位的數值 4 刪去： 2,3,8,2,7,3,6,1,5,1,8,7,6,5

3. 把所有的整數都-1：將的整數都-1： 2,3,7,2,6,3,5,1,4,1,7,6,5,4 4. 則即可得到 n = 4k + 3 的挑剔數列：2,3,7,2,6,3,5,1,4,1,7,6,5,4

十一、比較黃皓倫[2]挑剔數列排列法及本報告提出之排列法：

（一）黃皓倫[2]報告做法針對 n=4k, n=4k+3 分別提出一種排列法，雖然可準確找出解，但做法較為複雜且僅有一解。

（二）根據此報告於研究方法提出之解挑剔環方法，雖過程較攏長，但可求出所有解。且在此之前的程式皆使用暴力解法套出一挑剔環的所有解。若使用此報告提出之方法解挑剔環，

則可大大縮小程式搜尋範圍，大幅提升程式效率。

（三）我們的方法可以找出所有的可能性，包括會不成立的情況。

使用此方法可得結果

可得挑剔數列解數

做法複雜度做法統一度其他

黃皓倫[2]成果 1 較複雜須針對各數字使

用對應方法

無

此報告成果所有解耗時長但作法容

易

每個數字作法皆統一

提供程式縮小搜尋範圍，提升效率

表(十八) (同表(二))

(25)

柒、結論

一、與挑剔數列情況相同，挑剔環在n = 4k + 1 和 n = 4k + 2 時，無法形成挑剔環；且在 n = 4k 和n = 4k + 3 時，則可以形成挑剔環。

二、n 相同時，挑剔環的解必大於或等於挑剔數列。

三、可藉由公式 2 ‧( a¹ + a²+ a³ + ... + aⁿ ) + ( 1 + 2 + 3 + ... + n ) + n = 1 + 2 + 3 + ... + 2n ，以討論方式求出 n 的挑剔數列之所有解。且在n 16，可利用公差 d = 2 的等差數列來排列挑剔數列和挑剔環。

四、可利用 n=4k+3 與 n=4k 之關係，在兩個的解中快速轉換，以便更快求到解。

五、黃皓倫[2]挑剔數列排列法只可找出每個 n 的一種排列法，雖然此報告中的方法較為緩慢，須一一討論，但能找出所有的解。

捌、未來展望

一、證明出挑剔環的解多於挑剔數列，並找出其中的規律。

二、找出挑剔環 ( n



19 )的排列規則。

三、找出不同等差數列對挑剔數列及挑剔環的影響。

四、是否有更快速的方法討論所有解。

玖、參考資料及其他

一、黃晧倫解數學像在玩迷宮(民92 年 12 月 01 日) 。大紀元轉載自由時報。

民109 年 12 月 1日，取自: https：//www.epochtimes.com/b5/3/12/1/n420962.htm 二、黃皓倫(92)。挑剔數列。第二屆旺宏獎。民 109 年 12 月 1 日，取自:

https://www.mxeduc.org.tw/scienceaward/history/projectDoc/2nd/doc/SA2-127.pdf

(26)

【評語】 030406

本作品考慮的是如下的問題：將兩組 1，2， …，n 這 2n 個整數排在圓周上，使得對於每一個數字 k，兩個 k 之間以順時針或逆時針的方向看，中間會恰有 k 個其它數字。如果對數字 n，

構造這樣的排法是可行的， n 應該滿足什麼條件？這是一個非常有意思的問題。原始的問題是考慮將這 2n 個數排成一列，使得對於每一個 1，2， …，n 中的數字 k，兩個 k 之間都會恰有 k 個其它數字，探討排法是否存在的問題。本作品的作者們聰明的把排成一列的條件轉成排成一圈，同時把直線距離變為圓周上的距離，想法別具巧思，值得鼓勵。要解決這樣的問題，必須要先說明對於哪些整數 n，構造滿足條件的排列方式是可行的，而對於哪些整數 n，滿足條件的排列方式是不存在的。針對後一個問題，作者們給出了一個論述，即 n=4k+1 或 4k+2 時這種排列方式是不存在的，作者補正了作品說明書上這個論述證明的瑕疵（兩個奇數相加，得出的數字總和有可能是 4 的倍數），利用順時針的方向標號，再搭配數字奇偶性的討論，給出一個簡單的證明，探究精神值得鼓勵。對於前一個問題，如果能夠針對某一些 n 值，

給出建構滿足條件的排列方式的具體做法，會是一個更好的作

品。

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作品簡報

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中華民國第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書