高中數學(2)習作甲 第 1 章 綜合演練 26
第 第
第 第 1 章 章 章 章 綜合演練 綜合演練 綜合演練 綜合演練
月月月 日月 日日日
得分得分 得分得分
一一
一一、單選題單選題單選題單選題
1. 標準位置角 4012°在哪一個象限？
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限
(D)第四象限 (E)無法判斷
解解
解解 4012°＝52°＋360°×11 52°在第一象限
故選(A)
2. 已知標準位置角 θ 滿足 sin θ ＜0，tan θ＞0，則 θ 在哪一個象限？
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限
(D)第四象限 (E)無法判斷
解解
解解 ∵ sin θ ＜0 ∴ θ 可能在第三或第四象限 又 tan θ＞0 ∴ θ 可能在第一或第三象限 由以上討論知 θ 在第三象限
故選(C)
二二
二二、多選題多選題多選題多選題
3. 請就下列三角比的關係，選出正確的選項。
(A)sin36°＝cos36° (B)sin80°＝cos10° (C)sin40°＝sin140°
(D)tan60°＝sin30° (E) sin 43
tan 43
cos 43
° = °
° 解解
解解 (A) ×：sin36°＝sin（90°－54°）＝cos54°
(B) ○：sin80°＝sin（90°－10°）＝cos10°
(C) ○：sin40°＝sin（180°－140°）＝sin140°
(D) ×：tan60°＝ 3，sin30°＝1 2 (E) ○： sin 43
tan 43
cos 43
° = °
°此為商數關係 故選(B)(C)(E)
4. 請選出 230°的同界角。
(A)1230° (B)950° (C)630° (D)－130° (E)－230°
解解
解解 (A) ×：1230°＝150°＋360°×3 (B) ○：950°＝230°＋360°×2 (C) ×：630°＝270°＋360°×1
(D) ○：－130°＝230°＋360°×（－1）
(E) ×：－230°＝130°＋360°×（－1）
故選(B)(D)
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三三
三三、填充題填充題填充題填充題
5. 已知 0°＜θ＜90°， 2
tanθ =3，則：
(1) tan（θ－180°）＝
(2) 3cos 2 sin 2 cos 3sin
θ θ
θ θ
−
+ ＝ 解解
解解 (1) tan（ θ －180°）
＝tan〔－（180°－θ）〕＝－tan（180°－θ）＝－（－tan θ）＝tan θ＝2 3
(2)
3cos 2 sin 2 5
3cos 2sin cos 3 2 tan 3 2 3 3 5
2 cos 3sin 2
2 cos 3sin 2 3 tan 4 12
cos 2 3 3
θ θ
θ θ θ θ
θ θ
θ θ θ
θ
− − ×
−+ = + = −+ = + × = =
6. 已知 1
sin cos
θ + θ =5，θ 為第二象限角，則：
(1) sin θ －cos θ＝
(2) sin θ＝
解 解 解
解 (1) 2 1
( sin cos ) θ+ θ = 25
2 2 1
sin cos 2 sin cos
θ + θ + θ θ = 25 1
1 2 sin cos θ θ 25
+ =
24 12
2 sin cos sin cos
25 25
θ θ = − θ θ = −
2 24 49
( sin cos ) 1 2 sin cos 1
25 25
θ − θ = − θ θ = + = 7
sin cos θ− θ = ±5 但 θ 在第二象限，sin θ＞0，cos θ＜0 ∴ 7
sin cos θ − θ = 5
(2) 已知 1
sin cos
θ+ θ =5，由(1)得 7 sin cos
θ− θ = 5
兩式相加得 8
2 sin
θ =5 ∴ 4 sinθ =5
7. 如右圖， θ 為有向角，AB=3，BC=4，試求：
(1) cos θ＝
(2) tan θ＝
解 解 解
解 (1) AC= 16 9+ =5
∴ cos θ＝cos（180°－∠ACB）＝－cos∠ACB＝ 4
−5 (2) tan θ＝tan（180°－∠ACB） ＝－tan∠ACB＝ 3
−4
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8. 如右圖，圓內接四邊形 ABCD 中，∠DBC＝30°，∠DBA＝45°，
6
CD= ，試求：
(1) AD ＝ (2) 圓面積為 解
解 解
解 由已知得△ABD 與△CBD 有共同的外接圓 設此外接圓半徑為 R
由正弦定理知
在△ABD 中， 2 sin 45
AD = R
° ···① 在△CBD 中， 6
sin 30 =2R
° ···② (1) 由①、②得 6
sin 45 sin 30 AD =
° °
AD＝ 2 6 1 6 2 2
2
× =
(2) 由②得 6 1 6 2 2 R= =
×
，故圓面積為 36π
9. 已知等腰三角形 ABC 的頂角∠A＝120°，外接圓半徑為 8，試求：
(1) BC＝
(2) △ABC 面積為 解解
解解 由已知得 1
(180 120 ) 30 B C 2
∠ = ∠ = ° − ° = °
設△ABC 外接圓半徑為 R
由正弦定理知 2
sin120 sin 30
BC AC
= = R
° °
(1) 3
2 sin120 2 8 8 3 BC= R ° = × × 2 =
(2) 1
2 sin 30 2 8 8 AC= R ° = × × =2 又 AB=AC=8
∴ △ABC 面積為 1
sin120
2×AB AC× × ° 1 3
8 8 16 3
2 2
= × × × =
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10. 坐標平面上有 A、B 兩點，已知 A 點極坐標為 [ 6，70°]，B 點極坐標為 [ 8，130°]，
試求：
(1) AB ＝
(2) △OAB 面積為 解解
解解 ∠AOB＝130°－70°＝60°
(1) 在△OAB 中，由餘弦定理知
AB2＝64＋36 －2 ×8 ×6 ×cos60°＝100 －48＝52
∴ AB=2 13 (2) 由面積公式得
△OAB 面積為 1
sin 60
2×OA OB× × ° 1 3
6 8 12 3
2 2
= × × × =
四四
四四、計算題計算題計算題計算題
11. θ 為銳角，試證明 1 cos sin sin 1 cos
θ θ
θ θ
+ =
− 證
證 證
證 1 cos (1 cos ) (1 cos ) sin sin (1 cos )
θ θ θ
θ θ θ
+ = + −
−
1 cos2
sin (1 cos ) θ
θ θ
= −
−
sin2 sin
sin (1 cos ) 1 cos
θ θ
θ θ θ
= =
− −
12. 如右圖，地面上 A、B 兩點距離 800 公尺，地面 C 點有一鐵塔，自 A 測得塔頂 D 的仰角為 30°，自 B 測得塔頂 D 的仰角為 45°。今自
塔頂 D 測得∠ADB＝45°，試求塔高 CD。 解
解 解
解 設塔高 CD=h
在△ACD 中，sin 30 CD h AD AD
° = = ∴ 2
1 2 AD= =h h
在△BCD 中，sin 45 CD h BD BD
° = = ∴ 2
2 2
BD= h = h
在△ABD 中，
2 2 2
2 cos
AB =AD +BD − ×AD BD× × D
∴ 8002 =( 2 )h 2+( 2 )h 2− × ×2 2h 2h×cos 45°
2 2 2 2 2 2 2
640000 4 2 2
2 h h
h h × × × h
= + − =
h2 =320000 h=400 2
∴塔高為 400 2 公尺
