第 1 章 章 章 章 綜合演練詳解 綜合演練詳解 綜合演練詳解 綜合演練詳解

高中數學(2) 第 1 章 綜合演練詳解 1

第 第 第

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符號＊為難題。

1. 如右圖的直角三角形﹐

(1) 試求 sin θ ^{與 cos} θ ^的值。

(2) θ 比 37°大還是小？

解 解 解

解 (1) 斜邊為 3²+4² =5^{﹐故得 sin 3}

θ =5﹐ 4 cosθ = 5。

(2) 利用計算機得 3

sin 37 0.601815023 0.6 sin

5 θ

° ≈ ＞ = = ﹐故得 θ ^＜37°。

（利用計算機在 DEG 模式下﹐按 ﹐ ﹐ ）

2. 在直角坐標平面上﹐考慮以原點為頂點﹐x 軸正向為始邊的廣義角。設 P（2，1）在廣義角 θ ^的終 邊上﹐請問以下哪些敘述是正確的？

(A) A（－2，－1）在有向角 180°＋ θ ^的終邊上 (B) B（2，－1）在有向角－ θ ^的終邊上

(C) C（－1，2）在有向角 θ ＋90°的終邊上 (D) D（1，－2）在有向角 θ －90°的終邊上 解解解

解 如右圖所示﹐(A)(B)(C)(D)均正確。

3. 若 θ 是第四象限角﹐試比較下列的大小關係：

(1) cos θ ^{0 (2) sin（－}θ^{） 0}

(3) tan（θ－360°） tan θ ^{(4) sin（}θ＋90°） cos θ 解解解

解 因為 θ ^{是第四象限角}

所以 sin θ^＜0﹐cos θ^＞0﹐tan θ^＜0 (1) cos θ^＞0

(2) sin（－θ^）＝－sin θ^＞0 (3) tan（θ－360°）＝tan θ (4) sin（θ ＋90°）＝cos θ

4. (1) 試求平面上過點（1，2）且斜角為 60°的直線方程式。

(2) 試求兩直線 ₁ 1 : 2

L y= x﹐L₂: y=2x 的銳夾角。（四捨五入取到小數點後第一位）

解 解 解

解 (1) 所求直線方程式為 y－2＝tan60°‧（x－1）﹐

即 3x− + −y 2 3=0

(2) 設 L₁﹑L₂ 的斜角分別為 θ₁^﹑θ2^{﹐如右圖﹐}

因為 L₁﹑L₂ 的斜率分別為 1

2﹑2﹐所以得

1

tan 1

θ =2﹐tanθ₂ =2﹐

於是利用計算機得 θ₁ ≈26.56505118°﹐θ₂ ≈63.43494882°﹐ 故得 L₁ 與 L₂ 的銳夾角為 θ θ₂− ≈₁ 36.86989764° ≈36.9°

高中數學(2) 第 1 章 綜合演練詳解 2

5. 已知平面上兩點極坐標為 ^A

[

]

[

]

解 解解

解 如右圖﹐OA=5^﹐OB=8﹐∠AOB＝107°－47°＝60°﹐

由餘弦定理得 AB²＝OA²+OB²−2‧OA‧OBcos∠AOB

＝5²+ −8² 2‧ ‧ ‧5 8 cos 60°＝49﹐

故得 AB=7

6. 如右圖﹐△ABC 中﹐∠A＝45°﹐∠B＝60°﹐AC=2 3﹐試求：

(1) BC 的長度 (2) AB 的長度 解

解解

解 因為∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－45°－60°＝75°﹐

所以由正弦定理得

sin 75 sin 60 sin 45 AB = AC = BC

° ° °

(1) 2 2 3

sin 6 2 2

si 0 2 3

2 n 45

C C

B = ° A = =

‧ ° ‧

(2) 〔解法一〕

6 2 2 3

6 2 sin 60

sin7 4

5 3

2

A AC

B= ° = + = +

‧ ° ‧

〔解法二〕

2 2 2

cos 60

2 AB BC

AB

AC BC

+ −

° = ‧ ‧ ﹐即

1 2 8 12

2 2 2 2

AB AB

= + −

‧ ‧ ﹐化簡得 AB²−2 2 AB− =4 0﹐ 解得 AB= 2± 6（負不合）。

7. 在一個無風的夜晚﹐祈福天燈從地面的 A 點冉冉升起﹐1 秒鐘後升至 B 點﹐再花 1 秒鐘升至 C 點﹐再花一秒鐘升至 D 點。小楷在離 A 點 9 公尺遠的 P 點處觀察﹐

發現∠APB＝∠BPC＝∠CPD﹐且 AB ＝3 公尺﹐試求升起 3 秒後的高度 AD 解

解 解

解 設∠APB＝∠BPC＝∠CPD＝ θ ^﹐ tan tan 3 AD

APD θ AP

∠ = = ﹐得 AD＝AP^‧tan 3θ

由 3 1

tan tan

9 3 θ = ∠APB= = ﹐ 利用計算機按得 θ ≈ 18.43494882°

故 AD=AP‧tan 3θ ≈9‧tan 55.30484647° =13（公尺）

高中數學(2) 第 1 章 綜合演練詳解 3

*8. 小珊從操場中央出發﹐先往西北方前進 50 公尺後轉往正東方行進﹐經過一段時間後測得出發點 在她的南偏西 60°方向﹐則目前位置與出發點的距離為多少公尺？

解 解解

解 由題意得右圖（從操場中央 O 點出發）﹐

由正弦定理得

sin 45 sin 30 OB = OA

° °﹐

故得 OB＝sin 45

sin 30

° OA

‧ °＝ 2 2

50 1 2

‧ ＝50 2﹐

即所求為 50 2（公尺）

*9. 如右圖﹐△ABC 的三邊長 AB=7^﹐BC=8^﹐CA=9﹐若 ABDE 與 ACFG 皆為正方形﹐試求 EG 的長度。

解 解解

解 因為∠EAG＋∠BAC＝180°﹐

所以

2 2 2

7 9 8 11

cos cos

2 7 9 21

EAG BAC + −

∠ = − ∠ = − = −

× × ﹐

△AEG 中﹐由餘弦定理得

EG2＝AE²+AG²−2AE‧AG‧cos∠EAG

＝ ^{2 2} 11

7 9 2 7 9

21

  + − × × × − 

 ＝196﹐

故得 EG=14

*10. (1) 若△ABC 三邊長為 a﹐b﹐c﹐且外接圓半徑為 R﹐試說明三角形的面積為 4 abc

R 。

（提示：由△ABC 面積＝1

2absinC ﹐用正弦定理把sin C 換掉）

(2) 若△ABC 周長之半為 s﹐且內切圓半徑為 r﹐試說明三角形的面積為 rs。

（提示：畫一個圓﹐內切圓的圓心與頂點連線把三角形分成三塊﹐分別求面積）

解 解 解

解 (1) 已知△ABC 面積為 1

2absinC﹐

由正弦定理： 2

sin sin sin

a b c

A= B = C = R﹐得 sin 2 C c

= R﹐

故 1 1

2 sin 2 2 4

c abc

ABC ab C ab

R R

 

= =  =

 

面積 ﹐得證

(2) △ABC 面積＝△AOC 面積＋△BOC 面積＋△AOB 面積

＝ +

2 2 2

AC r BC r AB r

‧ + ‧ ‧

＝ 2

AC BC AB r

+ +

‧ ＝rs﹐

故得證