第第第第 3 章章章章 綜合演練 綜合演練 綜合演練綜合演練

第 第 第

第 3 章 章 章 章 綜合演練 綜合演練 綜合演練 綜合演練

年 月 日 得 分

一 一 一

一、、、、單選題單選題單選題單選題：

（ (C) ）1. 小芬與小甄想購買礦泉水，兩人走到便利超商的大冰箱前望了望，小芬告訴小甄說：「這 家便利超商的礦泉水價差不大，在 10 元內。」試問小芬所說的話中應用了下列哪一個統 計量？

(A)算術平均數 (B)四分位距 (C)全距 (D)標準差 (E)百分位數

解 解 解

解 表示最大值減最小值在 10 元內，此為全距的概念 故選(C)

（ (C) ）2. 如右圖所示有 5 筆資料，今將 A，B，C，D，E 中的哪一 點刪除，會使得剩下來 4 筆資料的相關係數變最小？

(A) A 點 (B) B 點 (C) C 點 (D) D 點 (E) E 點

解 解 解

解 刪除 C 點後所剩的 4 筆資料呈高度負相關，即相關係 數變最小

故選(C)

（ (D) ）3. 在體操比賽中，已知一名選手在完成動作後，七位裁判所給的分數均不同，且其平均數 為

µ

^{、標準差為}

σ

，今將最高與最低的兩分數刪除後，得平均數為

µ

^{'、標準差為}

σ

^'，則 下列選項何者正確？

(A)

µ

^'＞

µ

^，

σ

^'＞

σ

^(B)

µ

^'＜

µ

^，

σ

^'＞

σ

(C)

µ

^'＜

µ

^，

σ

^'＜

σ

(D)平均數無法判定，但

σ

^'＜

σ

(E)兩者皆無法判定

解 解 解

解 將最高分與最低分刪除，會使數據更集中，其標準差會變小，但平均數無法判定 故選(D)

用最小平方法求得最適直線的斜率為 2，且 x，y 的相 關係數為 r，則下列選項何者正確？

(A) a＝3 (B) a＝4 (C) b＝5 (D) 2 5

r= 5 (E) r＝2

解 解 解

解

µ

y＝3
1 2 4 + + +a b

＝3
a＋b＝9，則 b－3＝（9－a）－3＝6－a x y x－µx y－µy

(x−

µ

_x)2 ^（x－µx）（y－µy）

1 1 －1 －2 1 2

2 2 0 －1 0 0

3 a 1 a－3 1 a－3

2 b 0 6－a 0 0

µx＝2 µy＝3 2 a－1

最適直線的斜率為 1 2 2

a− =
a＝5，b＝4

可得 2 2 2 2

4

2 ( 2 ) ( 1) 2 1 r=

× − + − + + ＝2 5 5

故選(D)

二 二 二

二、、、、多選題多選題多選題多選題：

（(A)(D)(E)）5. 下列有關標準化數據的敘述哪些正確？

(A)將一維數據執行標準化後所得到的新數據，其平均數為 0，標準差為 1 (B)原始二維數據的最適直線與標準化數據的最適直線，兩條直線的斜率相等 (C)若兩變數 x、y 之間滿足線性函數 y＝ax＋b 關係，則相關係數必為 1 (D)以最小平方法求得 y 對 x 的最適直線必過（

µ

x，

µ

y）

(E)將數據 x_i 與 y_i 標準化後，其相關係數不變

解解解

解 (A) ○

(B) ×：原始二維數據的最適直線斜率為 ^y

x

r

σ σ

^， 而標準化數據的最適直線斜率為 r (C) ×：若 a＜0，則相關係數為－1

(D) ○ (E) ○

故選(A)(D)(E)

x 1 2 3 2 y 1 2 a b

（(A)(C)(D)(E)）6. 某校高三共有 300 位學生，數學科第一次段考、第二次段考成績分別以 x、y 表 示，且每位學生的成績用 0 至 100 評分。若這兩次段考數學科成績的相關係數為

0.016，試問下列哪些選項是正確的？ 【96.指考甲】

(A) x 與 y 的相關情形可以用散布圖表示

(B)這兩次段考的數學成績適合用直線 x＝a＋by 表示 x 與 y 的相關情形

（a，b 為常數，b≠0）

(C) x＋5 與 y＋5 的相關係數仍為 0.016 (D) 10x 與 10y 的相關係數仍為 0.016

(E)若 ^x

x

x x

µ σ

′ = − ， ^y

y

y y

µ σ

′ = − ，其中

µ

x、

µ

y 分別為 x、y 的平均數，

σ

x、

σ

y 分

別為 x、y 的標準差，則 x' 與 y' 的相關係數仍為 0.016

解解

解解 (A) ○：二維數據可用散布圖觀察

(B) ×：當相關性低時，不適合用最適直線表示

(C)(D)(E) ○：假設二維數據（xi，y_i）之相關係數為 r

令 x_i'＝axi＋b 與 y_i'＝cyi＋d，可得新的二維數據（x_i'，yi'）之 相關係數為 ac

ac r 故選(A)(C)(D)(E)

三三

三三、、、、填充題填充題填充題填充題：

7. 右圖為某班數學成績的以下累積次數折線圖，

若第 88 百分位數為 x 分，70 分是第 y 百分位數，

則數對（x，y）＝ （90，60） 。

解解解

解 第 88 百分位數為 90 分，70 分是第 60 百分位數 故數對（x，y）＝（90，60）

8. 已知小甄就讀學校之數學科學期成績是以四次段考的分數依序乘以 20 ％、20 ％、30 ％及 30 ％ 後再加總計算。若小甄前三次段考的分數分別為 60 分、54 分、51 分，則小甄第四次段考分數至 少需 73 分才能使她的數學科學期成績達到 60 分（含）以上。

解解解

解 假設第四次段考需 x 分可達 60 分（含）以上，則

60×0.2＋54×0.2＋51×0.3＋x×0.3 ≥ 60
0.3x ≥ 21.9
x ≥ 73

即小甄第四次段考至少需 73 分才能使數學科學期成績達 60 分（含）以上

9. 若數據 1，3，4，5，7 的標準差為

σ

^＝2，當 (1) 數據 11，13，14，15，17 的標準差為

σ

x；

(2) 數據－10，－30，－40，－50，－70 的標準差為

σ

y； (3) 數據 1，1，3，3，4，4，5，5，7，7 的標準差為

σ

z， 則序組（

σ

x，

σ

y，

σ

z）＝ （2，20，2） 。

解 解解

解 假設〈ai〉為 1，3，4，5，7，i＝1，2，3，4，5

(1) 若〈xi〉為 11，13，14，15，17，即 x_i＝a_i＋10，其標準差為 σx＝σ^＝2 (2) 若〈yi〉為－10，－30，－40，－50，－70，即 yi＝－10ai，

其標準差為 σy＝∣－10∣σ^＝20

(3) 1，3，4，5，7 的算術平均數為 1 3 4 5 7 5 4

µ = ^{+ + + +} = 由標準差公式可得

2 2 2 2 2

1 3 4 5 7 2

4 2

σ

= ^{+ + + +}5 − = 新數據的算術平均數為 2 (1 3 4 5 7 )

10 4

µ

z = ^{+ + + +} = ，故新數據的標準差為

σz＝

2 2 2 2 2

2 (1 3 4 5 7 ) 2

10 4

+ + + + − ＝

2 2 2 2 2

1 3 4 5 7 2

5 4

+ + + + − ＝2 得 σx＝2，σy＝20，σz＝2，故序組（σx，σy，σz）＝（2，20，2）

10. 某公司四年來的營收成長率分別為 60 ％、－40 ％、20 ％、80 ％，則此公司這四年的每年平 均營收成長率為 20 ％。

解 解解

解 設每年平均營收成長率為 r，則

r＝⁴(1 60% ) (1 40% ) (1 20% ) (1 80% )+ − + + −1＝0.2＝20 ％ 即這四年的每年平均營收成長率為 20 ％

11. 某肥皂廠商欲推出一種新產品，在上市前以不同 的單價（單位：十元）調查市場的需求量（單 位：萬盒），調查結果如右表所示。試利用最適

直線，預測當單價是 85 元時，需求量約為 112000 盒。

解 解解

解 設單價（x）、需求量（y）

x y x－µx y－µy

(x−

µ

_x)2 ⁽y−

µ

y⁾² （x－µx）（y－µy）

8 11 －2 1 4 1 －2

9 12 －1 2 1 4 －2

10 10 0 0 0 0 0

11 8 1 －2 1 4 －2

12 9 2 －1 4 1 －2

µx＝10 µy＝10 10 10 －8

可得需求量（y）對單價（x）最適直線方程式為 10 8( 10 )

y− =10− x−
y＝－0.8x＋18

當單價是 85 元時，即當 x＝8.5 時，y＝11.2（萬盒）＝112000（盒）

四四

四四、、、、計算題計算題計算題計算題：

12. 某網站賣手工餅乾每個 20 元，每次交易須加上運費 50 元。某日結算得每次交易的平均總金額 是 450 元，標準差是 40 元。若售價調整成餅乾每個 25 元且每次交易的運費調整成 85 元，且 調整前後賣出的餅乾個數不變，試求該日調整後每次交易的平均總金額和標準差。

解 解解

解 設原來每次交易總金額為 xi，調整後每次交易總金額為 yi

依題意得 50 5 45

25 85

20 4 2

i

i i

y x −  x

= × + = +

  則 5 45 5 45

450 585

4 2 4 2

y x

µ = µ + = × + =

5 5

40 50

4 4

y x

σ

=

σ

= × =

故調整後每次交易的平均總金額為 585 元，標準差為 50 元

單價（十元） 8 9 10 11 12 需求量（萬盒） 11 12 10 8 9

13. 高一甲班共 40 人，某次數學考試含選擇題（共 40 分）與填充題（共 60 分），設全班選擇題與 填充題分數的算術平均數分別為

µ

x＝25，

µ

y＝40，標準差分別為

σ

x＝5，

σ

y＝10。已知全班每人 數學考試總分的標準差為 14，則選擇題與填充題的相關係數為何？

解 解解

解 設每人的選擇題分數為 xi，填充題分數為 yi，則每人總分 zi＝xi＋yi

因選擇題的平均數為 25，得 25 ^{1 2 40} 40

x + +x +x

= L L

x1＋x2＋……＋x40＝1000

因填充題的平均數為 40，得 40 ^{1 2 40} 40

y + +y +y

= L L

y1＋y2＋……＋y40＝1600

故總分的平均數 µz＝ ^{1 2 40} 40

z + +z L L +z

＝( ^{1 2 40}) ( ^{1 2 40}) 40

x + +x L L +x y + +y L L +y

＝1000 1600 40

+ ＝65

因選擇題的標準差為 5，得

2 2 2 2

1 2 40

1 ( ) 25 5

40 x +x +L L +x − =
x₁²+x₂²+L L +x₄₀² =40 ( 5²+25 )² =26000 因填充題的標準差為 10，得

2 2 2 2

1 2 40

1 ( ) 40 10

40 y +y +L L +y − =
y₁²+y₂²+L L +y₄₀² =40 (10²+40 )² =68000 因總分的標準差為 14，得

2 2 2 2

1 2 40

1 ( ) 65 14

40 z +z +L L +z − =
z₁²+z₂²+L L +z₄₀² =40 (14²+65 ) 176840² = 又

2 2 2

1 2 40

z +z +L L +z ＝(x₁+y₁)²+(x₂+y₂)²+L L (x₄₀ +y₄₀)²

＝(x₁²+x₂²+L L +x₄₀²)＋2（x1y1＋x2y2＋……＋x40y40）

＋(y₁² +y₂²+L L +y₄₀²)

＝94000＋2（x₁y1＋x₂y2＋……＋x₄₀y40）＝176840 故得 x₁y1＋x₂y2＋……＋x₄₀y40＝41420

因此相關係數 r＝( ^{1 1 2 2 40 40}) 40 40

x y x y

x y x y x y

µ µ

σ σ

+ +L L + −

＝41420 40 25 40 40 5 10

− × ×

× × ＝0.71 備註：

（x1－µx）（y1－µy）＋（x2－µx）（y2－µy）＋……＋（xn－µx）（yn－µy）

＝（x1y1＋x2y2＋……＋xnyn）－（x1＋x2＋……＋xn）µy－（y1＋y2＋……＋yn）µx＋nµxµy

＝（x1y1＋x2y2＋……＋xnyn）－nµxµy－nµxµy＋nµxµy

＝（x1y1＋x2y2＋……＋xnyn）－nµxµy

…

…

…

… …

…

…

…

…

… …

… … …

…

…