第 2 章 章 章 章 綜合演練 綜合演練 綜合演練 綜合演練

第 第 第

第 2 章 章 章 章 綜合演練 綜合演練 綜合演練 綜合演練

一 一 一

一、單選題單選題單選題單選題：

（ (C) ）1. 設等差數列 a_n 的公差為 d，令 b_n =2^{an，則數列} bn 為 (A)公差為正的等差數列

(B)公差為負的等差數列 (C)公比為正的等比數列 (D)公比為負的等比數列 (E)既非等差亦非等比數列

解 解 解

解 an＝an^－1＋d
2^an =2^an−1+d =2^an−1×2^d

即 b_n =b_n−1×2^d

∴ b_n 是公比為 2^d 的等比數列，且 2^d＞0 故選(C)

二 二 二

二、多選題多選題多選題多選題：

（(A)(B)(E)）2. 若數列 a_n 為一等差數列且 a4＝7，a10＝5，則下列哪些選項正確？

(A)公差為 1

−3 (B) ₂₀ 5 a =3

(C)自第 24 項開始為負 (D)前 n 項總和為最大時，n＝23 (E)前 n 項總和為 60 時，n＝40 或 9

解解解

解 (A) ○：設首項為 a₁，公差為 d，則 ¹

1

( 4 1) 7 (10 1) 5

a d

a d

+ − =



+ − =



1 8

1 3 a d

=



 = −



(B) ○：a20＝a1＋（20－1）d＝ 1 8 19 3

  + − 

 ＝5 3

(C) ×： 1

8 ( 1) 0

n 3

a n  

= + − − 

 ＜ ＝ 1 1

8 0

3n 3

− + ＜
n＞25 因此自第 26 項開始為負

(D) ×：由(C)知，第 26 項開始為負，而 ₂₅ 1 8 ( 25 1) 0

a  3

= + − − =

  因此前 n 項總和為最大時，n＝24 或 25

(E) ○：

16 ( 1) 1

3 60

n 2

n n

S

   + − − 

 

 

 

= =
1 1

16 120

3 3

n n 

− + =

 

 

n²－49n＋360＝0
（n－9）（n－40）＝0
n＝9 或 40 故選(A)(B)(E)

(A)若數列 a_n 為等差數列，則數列 3^an 為等比數列

(B)若數列 a_n 為等差數列，公差為 d，則數列 a_n² 也是等差數列，公差為 d2

(C)若數列 a_n 為等比數列，且每項均為正，則數列 a_n 為等比數列

(D)若數列 a_n 為等比數列，公比為 r，則數列 a_n 的偶數項也是一個等比數

列且公比為 r²

(E)若數列 a_n 為等比數列，公比為 r，則數列 2a_n 也是一個等比數列，公 比為 r

解解

解解 (A) ○：設數列 a_n 公差為 d，則 ¹

1

3 3 3

3

an an an d

an

− −

− = = 為定值 ∴ 3^an 為一等比數列 (B) ×：∵a_n²−a_n−1^2＝（an－an^－1）（an＋an^－1）＝d×（an＋an^－1）不為定值

∴ a_n² 不為等差數列

(C) ○：設數列 a_n 公比為 r，則 an＝ran^－1
an = ran₋1 = r an₋1

∴ a_n 是公比為 r 的等比數列

(D) ○：∵

2

2 2 2 2

2 2

n n

n n

a a r

a a r

+ = × = 為定值 ∴ a_n 的偶數項亦為等比數列，且公比為 r²

(E) ○：∵ ¹

1 1

2 2 ( )

2 2

n n

n n

a a r

a a r

−

− −

= × =

× 為定值 ∴ 2a_n 為一等比數列，公比為 r 故選(A)(C)(D)(E)

三三

三三、填充題填充題填充題填充題：

4. 數列 a_n 滿足 a1＝1，a_n =a_n−1+n³，n ≥ 2，則 a10＝ 3025 。 解解解

解 由定義式可知

a1

2

1 a

=

a1

= ³

3

2 a

+

a2

= ³

10 9

3

) a a +

+ =

M

3

2

3 3 3 2

10

10

10 11

1 2 3 10 55 3025

a 2

+

×

 

= + + + + =  = =

 

L L

5. 等比級數 1 1₂ 1₃ 1

2 2 2 2

n n

S = + + +L L + ，n 為正整數，欲使｜1－Sn｜＜0.0001，則 n 之最小 值為 14 。

解 解解

解 1 1₂ 1₃ 1

2 2 2 2

n n

S = + + +L L + ＝

1 1

2 1 2 1 1

2

  n

−

   

   

− ＝ 1

1 2

 n

− 

 

｜1－S_n｜＜0.0001
1 1 2 10000

 n

   ＜
2ⁿ＞10000 因 n 為正整數，

且 2¹³ =2¹⁰× =2³ 1024 8× =8192＜10000

14 10 4

2 =2 × =2 1024 16 16384× = ＞10000 故 n 之最小值為 14

6. (1) 一等差數列 a_n 共有 8 項，其奇數項和為 10，偶數項和為 18，則此數列的公差為 2 (2) 一等比數列〈bn〉共有 8 項，其奇數項和為 10，偶數項和為 20，則此數列的公比為 2

解 解 解

解 (1) a₁＋a₃＋a₅＋a₇＝10………① a₂＋a₄＋a₆＋a₈＝18………②

由②－①得（a₂－a₁）＋（a₄－a₃）＋（a₆－a₅）＋（a₈－a₇）＝8

d＋d＋d＋d＝8
d＝2

(2) b1＋b₃＋b₅＋b₇＝10………③ b2＋b4＋b6＋b8＝20

b1r＋b3r＋b5r＋b7r＝20

r（b1＋b₃＋b₅＋b₇）＝20…………④ 由 ④

③ 得 20 10 2 r= =

7. 設數列 a_n 的每一項均為正數，已知 a_n² =a_n−1×a_n+1，n ≥ 2，且 a3＝4，a7＝64，

則 a_n 的前十項和 S₁₀＝ 1023 。

解 解解

解 由 a_n² =a_n−1×a_n+1
an^－1，an，an^＋1 成等比數列，且公比 r 為正數

又 a₇ = ×a₃ r^{7 3−}
64= ×4 r⁴
16=r⁴
r＝2

3 1

3 1

a = ×a r⁻
4= ×a1 2²
a1＝1

∴

10 10

1 (1 2 ) 1 2 1023

S = × − =

−

8. 刪去正整數數列 1，2，3，……中的所有完全平方數，仍維持由小到大的順序得到一個新數列 an ，則此新數列的前 81 項和為 3810

解解解

解 ∵81＝9²

∴此新數列前 81 項和為

（1＋2＋3＋……＋90）－(1²+ + +2² 3² L L +9 )²

＝90 91 9 10 19

2 6

× − × × ＝3810

9. 已知數列 a_n 的前 n 項和 S_n＝2a_n－2020，n 為正整數，則數列 a_n 的前 5 項和 S5＝ 62620

解解解

解 由 a₁＝S₁＝2a₁－2020 得 a₁＝2020

當 n ≥ 2 時，an＝S_n－S_n^－₁＝（2a_n－2020）－（2a_n^－₁－2020）＝2a_n－2a_n^－₁

2an^－1＝an

1 n 2

n

a a₋ =

所以 a_n 為一公比為 2 的等比數列

故

5 5

2020 (1 2 )

62620 S = 1 2− =

−

四四

四四、計算題計算題計算題計算題：

10. 小芬將柳丁堆成正三角形錐體，底盤是正三角形，每 3 個柳丁的空隙上方再放一個柳丁，

如下圖。

設 an 表示疊了 n 層所需的柳丁數，則：

(1) 寫出數列 a_n 的遞迴式

(2) 若要疊七層，100 個柳丁夠不夠？

解 解解

解 (1) 觀察圖形得知，a1＝1，a2＝a1＋（1＋2）＝4，a3＝a2＋（1＋2＋3）＝10 同理，a_n＝a_n^－₁＋（1＋2＋3＋……＋n）＝ ₁ ( 1)

n 2

a₋ +n n+

因此， a_n 的遞迴式為

1

1

1

( 1)

, 2

n n 2 a

a a₋ n n n

=



 = + + ≥



(2) 由遞迴式可逐項求出

4 3

4 5 10 10 20

a = +a ×2 = + = ， _{5 4} 5 6

20 15 35 a = +a ×2 = + =

6 5

6 7 35 21 56

a = +a ×2 = + = ， _{7 6} 7 8

56 28 84 a = +a 2× = + = 所以 100 個柳丁是夠的

