a a n 第第第第 2 章章章章 綜合演練綜合演練綜合演練綜合演練

第 第

第 第 2 章 章 章 章 綜合演練 綜合演練 綜合演練 綜合演練

月月月 日月 日日日

得分得分 得分得分

一一

一一、單選題單選題單選題單選題：

1. 下列哪一個數列的第 5 項為 5？

(A) 5n (B) n² (C) 5

(D) 5n−5 (E) 5n+5

解解

解解 將 n＝5 分別代入選項(A)、(B)、(D)、(E)的一般項 分別得到 25、25、20、30

選項(C)的 5 是每一項都是 5 的數列 第 5 項也是 5

故選(C)

2. 已知數列 a_n 的首項為 a₁＝6，則 n ≥ 2 時，下列哪一個選項的遞迴關係會使 a_n 是等差數列？

(A) an＝n a_n－1 (B) an＝n＋a_n－1 (C) an＝2a_n－1

(D) an＝2＋a_n－1 (E) an＝－a_n－1

解 解 解

解 檢查各選項的 an－an^－1 是否為定值 (A) an－an^－1＝nan^－1－an^－1＝（n－1）an^－1

不是定值

(B) a_n－a_n－1＝n＋a_n－1－a_n－1＝n 不是定值

(C) an－an^－1＝2an^－1－an^－1＝an^－1

不是定值

(D) a_n－a_n－1＝2＋a_n－1－a_n－1＝2

是一個公差為 2，首項為 6 的等差數列 (E) an－an^－1＝－an^－1－an^－1＝－2an^－1

不是定值 故選(D)

二二

二二、多選題多選題多選題多選題：

3. 下列哪些數列是等比數列？

(A) 3， ， ， ，3 3 3 3

(B) 2， ， ， ， ，4 6 8 10 12

(C) 1，−1 1， ，−1， ，1 −1

(D) −2，−4， ， ，8 16 −32，−64 1 8， 2 ，2 65

(E) 32，48， ，72 108 16， 2，243

解解

解解 將各選項的後項除以前項，逐一比較 (A) ○：3 3

3= =3 L L =1，是等比數列

(B)×：4 6 2≠ 4 (C) ○： 1 1

1 1 1

− = = = −

− L L ，是等比數列

(D)×： 4 8

2 4

− ≠− −

(E) ○：48 72 243 3

32= 48=L L =162 =2，是等比數列 故選(A)(C)(E)

4. 已知數列 a_n 前 n 項和 S_n＝a₁＋a₂＋……＋a_n＝2n²，則下列選項哪些正確？

(A) a1＝2 (B) a2＝8 (C) a3＝10

(D)數列 a_n 是等差數列 (E) an＝4n－2

解 解 解

解 (A) ○：a₁＝S₁＝2×1²＝2

(B)×：a2＝S2－S1＝2×2²－2×1²＝8－2＝6 (C) ○：a3＝S3－S2＝2×3²－2×2²＝18－8＝10 (D)(E)○：a_n＝S_n－S_n－1＝2n²－2（n－1）²

＝2〔n²－（n－1）²〕

＝2〔（n＋n－1）（n－n＋1）〕

＝2（2n－1）＝4n－2

a_n－a_n－1＝（4n－2）－〔4（n－1）－2〕

＝4n－2－（4n－6）

＝4n－2－4n＋6＝4

∴ a_n 是公差為 4 的等差數列 故選(A)(C)(D)(E)

…

…

…

三三

三三、填充題填充題填充題填充題：

5. 等差數列 a_n 中，若 a4＋a6＝16，a5＋a9＝28，則公差 d＝ ，a7＝ 。

解解

解解 由 a₄＋a₆＝16，a₅＋a₉＝28

得 ^{1 1}

1 1

3 5 16

4 8 28

a d a d

a d a d

+ + + =



+ + + =



整理得 ¹

1

2 8 16

2 12 28

a d

a d

+ =



+ =



L L L L L L L L L L

①

②

②－①得 4d＝12
d＝3 代入① 2a1＝16－8d＝16－24＝－8
a1＝－4

∴ a₇＝a₁＋6d＝－4＋6×3＝14

6. 試求下列級數和：

(1) 10＋14＋18＋……＋46＝ 。

(2) 1 1 1

36 16 8 1

2 4 32

+ + +L L + + + +L L + ＝ 。

解 解 解

解 (1) 公差 d＝14－10＝4 46＝10＋4×（n－1）

4n＝40
n＝10

∴此級數共有 10 項 故級數和為 10 (10 46 )

2 280

× + =

(2) 公比 16 1 32 2 r= =

1 1 1

32 32 2

n−

= ×  

 

5 1

1 5 1

2 2 2

n−

   

=

   

   

1 10

1 1

2 2

n−

   

=

   

   

n－1＝10
n＝11

∴級數和為

1 11

32 1

2 2047

1 32

1 2

   

× −   

    =

−

… …

………

……

7. 試求下列級數和：

(1) 1×1＋2×3＋3×5＋……＋29×57＋30×59＝

(2) 11²＋12²＋13²＋……＋59²＋60²＝ 解

解 解

解 (1) 此級數一般項為 k（2k－1）＝2k²－k

∵ k＝1，2，……，30

∴其和為 30 31 61 30 31

2 6 2

× × ×

× −

＝18910－465

＝18445

(2) 11²＋12²＋13²＋……＋59²＋60²

＝（1²＋2²＋……＋60²）－（1²＋2²＋……＋10²）

＝60 61 121 10 11 21

6 6

× × − × ×

＝73810－385

＝73425

8. 綜合演藝廳 A 區有 12 排座位，由前到後，每一排座位逐漸增加 1 個。已知最後一排有 40 個座 位，則：

(1) 第一排有 個座位 (2) A 區共有 個座位 解

解 解

解 (1) 設第 k 排有 ak 個座位 則 a12＝a1＋11×1
a¹＋11＝40
a¹＝29

故第一排有 29 個座位 (2) 座位總數為

12

12 ( 29 40 ) 2 414

S = × + =

9. 用牙籤拼成連續三角形如右圖，依此規律，第 6 圖有 枝牙籤，

從第 1 圖拼到第 8 圖共需要 枝牙籤。

解 解 解

解 設 ak 表示第 k 圖的牙籤數 由前 3 圖觀察得

a1＝3 a2＝3＋4×1 a3＝3＋4×2

故可知 an＝3＋4（n－1）

∴ a6＝3＋4×5＝23

8

8 2 3 4 (8 1) 2 136

S = 〔 × + × − 〕=

故第 6 圖有 23 枝牙籤，從第 1 圖拼到第 8 圖共需要 136 枝牙籤

10. 用黑白兩色正方形瓷磚拼成如下圖形，依此規律，第 4 圖需要 個白色瓷磚；若 以 an 表示第 n 圖需要的白色瓷磚數量，則 an＝ 。

解解

解解 設 a_k 表示第 k 圖的白瓷磚個數

觀察圖形得 a₁＝8，a₂＝8＋5，a₃＝8＋5×2

∴ a₄＝8＋5×3＝23

顯然這是公差為 5 的等差數列 故得 an＝8＋5（n－1）＝5n＋3

四四

四四、計算題計算題計算題計算題：

11. 翰翰銀行於週年慶推出甲、乙兩種優惠存款方案。甲方案是一次存入 24 萬元，以年利率 1.5 % 複 利孳息，滿兩年後結算本息。乙方案是每月初存入 1 萬元，以月利率 0.12 % 複利孳息，滿兩年後 結算本息。試求：

(1) 甲方案本息總和 (2) 乙方案本息總和

（請使用計算機輔助計算，並四捨五入取到整數位）

解解

解解 (1) 240000×（1＋0.015）²＝247254（元）

(2) 每月初存入 10000 元再複利孳息可得

10000×1.0012²⁴＋10000×1.0012²³＋……＋10000×1.0012¹

＝10000×（1.0012＋1.0012²＋……＋1.0012²⁴）

＝

1.0012 (1 1.0012 )24

10000

1 1.0012

× × −

−

≈ 243633.3397 故約為 243633 元

12. 試利用數學歸納法證明： ( 1) ( 2 )

1 2 2 3 ( 1)

3

n n n

n n + +

× + × +L L + + = ， 對所有正整數 n 都成立。

證 證 證

證 (1) 當 n＝1 時， 1 2 3

1 2 2

3

× = × × = ，原式成立

(2) 設 n＝k 時，原式成立，即

( 1) ( 2 )

1 2 2 3 ( 1)

3

k k k

k k + +

× + × +L L + + = 則 n＝k＋1 時，

1×2＋2×3＋……＋k（k＋1）+（k＋1）〔（k＋1）＋1〕

＝ ( 1) ( 2 )

( 1) ( 2 ) 3

k k k

k k

+ + + + +

＝ ( 1) ( 2 ) 3 ( 1) ( 2 ) 3

k k+ k+ + k+ k+

＝( 1) ( 2 ) ( 3) ( 1) ( 1) 1 ( 1) 2

3 3

k+ k+ k+ = k+ 〔k+ +〕〔k+ + 〕

所以 n＝k＋1 時，原式也成立

故由數學歸納法可知，原式對所有正整數 n 都成立

…

…