第第第第 1 章章章章 綜合演練 綜合演練 綜合演練綜合演練

第 第 第

第 1 章 章 章 章 綜合演練 綜合演練 綜合演練 綜合演練

一 一 一

一、單選題單選題單選題單選題

（ (D) ）1. 若 θ 為第三象限角，其中 P（x，y）為 θ 終邊上一點，O 為原點且 OP=3^，則下 列何者可表示 P 點的 y 坐標？

(A) sin θ ^{(B) cos} θ (C) 3 sin（θ－180°） (D) 3 sin θ (E) 3 sin（180°＋θ^） 解

解 解

解 由圓上點的坐標可知 P 點的坐標為（x，y）＝（3 cos θ^{，3 sin} θ^） 得 P 點的 y 坐標為 3 sin θ

故選(D)

（ (D) ）2. 下列哪一個正切值最小？

(A) tan 70° (B) tan 140° (C) tan 210° (D) tan 280° (E) tan 350°

解 解 解

解 tan 140°＝tan（180°－40°）＝－tan 40°

tan 210°＝tan（360°－150°）＝－tan 150°＝tan 30°

tan 280°＝tan（360°－80°）＝－tan 80°

tan 350°＝tan（360°－10°）＝－tan 10°

∵－tan 80°＜－tan 40°＜－tan 10°＜tan 30°＜tan 70°

∴tan 280°＜tan 140°＜tan 350°＜tan 210°＜tan 70°

故選(D)

（ (C) ）3. 一房屋的側面圖如右圖，若 ABCD 為正方形且邊長為 a，

AE=b^，∠EAD＝θ，則屋頂 E 點離地面的高度可以表示為 (A) a＋b cos θ (B) a－b cos θ (C) a＋b sin θ

(D) a－b sin θ (E) a＋b tan θ 解

解 解

解 過 E 作 AD、BC 的垂線分別得垂足 F、G 則 E 點離地面的高度為

EG＝FG+EF

＝FG+AEsinθ

＝a＋b sin θ 故選(C)

二二

二二、多選題多選題多選題多選題

（(C)(E)）4. 下列哪些是－30° 的同界角？

(A) 30°

(B) 150°

(C) 330°

(D)－330°

(E)－750°

解解

解解 (A) ×：30°－（－30°）＝60°，不是 360° 的整數倍 (B) ×：150°－（－30°）＝180°，不是 360° 的整數倍 (C) ○：330°－（－30°）＝360°，是 360° 的整數倍 (D) ×：－330°－（－30°）＝－300°，不是 360° 的整數倍 (E) ○：－750°－（－30°）＝－720°，是 360° 的整數倍 故選(C)(E)

（(A)(D)(C)）5. 下列大小關係哪些是正確的？

(A) sin 40°＜cos 40°

(B) sin 50°＜cos 50°

(C) sin 50°＜tan 50°

(D) cos 50°＜tan 50°

(E) cos 100°＜tan 100°

解解解

解 (A) ○：sin 40°＜sin 45°＝cos 45°＜cos 40°

(B) ×：sin 50°＞sin 45°＝cos 45°＞cos 50°

(C) ○：sin 50°＜1＝tan 45°＜tan 50°

(D) ○：cos 50°＜1＝tan 45°＜tan 50°

(E) ×：cos 100°＝－cos 80°＞－1＝－tan 45°＞－tan 80°＝tan 100°

故選(A)(C)(D)

三三

三三、填充題填充題填充題填充題（每格 7 分，共 42 分）

6. 已知直線 L ：₁ y= 3x+1，L ：y＝x－2，則直線 ₂ L 與 ₁ L 的銳夾角為 15° 。 ₂ 解

解解

解 設直線 L₁ 與 L₂ 的斜角分別為 θ₁^、θ2^，如右圖

因為直線 L₁ 與 L₂ 的斜率分別為 3、1

所以得 tanθ₁= 3^，tanθ2 =1，則 θ₁^＝60°，θ2^＝45°

因此直線 L₁ 與 L₂ 的銳夾角為 θ θ₁− = °₂ 15

7. 地面上有一點 A 的正上空 D 處有一靜止的氣球，某人在地面上點 B 處測得氣球的仰角為 30°，向點 A 方向前進 100 公尺到達點 C 後，測得此氣球在前方仰角 60° 處，則此氣球 高度為 50 3 公尺

解 解解

解 如右圖，設氣球高度 AD 為 x 公尺

直角△ACD 中， AD tan 60 AC = °

tan 60 3

AD x AC= =

°

直角△ABD 中， AD tan 30 AB = °

1

100 3 3 x

x =

+
3 100

3 x= + x

1

3 100

3 x

 

− =

 

 

100 3 1

3 x=

−

＝100 3

3 1− ＝50 3（公尺）

8. 如右圖，圓內接四邊形 ABCD 中，∠BAC＝45°，∠ACD＝30°，

2

BC= ^{，則 AD ＝ 2 。} 解解解

解 △ACD 與△ABC 的外接圓相同，令其半徑為 R

由正弦定理知 2

sin

AD R

ACD =

∠ ， 2

sin

BC R

BAC =

∠

因此 2

sin 30 sin 45 AD =

° °

故得 2 1 2

sin 30 2

sin 45 2 1 2

AD= °× = × =

°

9. 在極坐標中，設 O 為極點，A [3，13°]，B [6，133°]，則△OAB 外接圓半徑為 21 。

解解解

解 ∠AOB＝133°－13°＝120°

AB2＝6²+ − × × ×3² 2 6 3 cos120°

＝ 1

36 9 2 6 3 2

  + − × × × − 

 

＝36＋9＋18

＝63

AB= 63=3 7

由正弦定理知 2

sin120 AB = R

° ，其中 R 為△OAB 外接圓半徑

3 7 3 7

2 sin120 3 3 21 2 2

R= AB = = =

° ×

10. 如右圖所示，在△ABC 中，已知∠CAB＝90°，AB=3^，

4

AC = ^{。今分別以} BC 與 AC 為邊長往外作正方形 BCDE 與正方形 ACGF，則：

(1) △CDG 面積為 6 。 (2) DG 的長度為 73 。

解 解解

解 (1) CD=BC= 3²+4² =5 4

CG= AG=

sin∠DCG＝sin（180°－∠ACB）＝sin∠ACB＝ AB BC＝3

5

∴△CDG 面積為 1 1 3

sin 5 4 6

2CD CG× × ∠DCG= × × × =2 5 (2) cos∠DCG＝cos（180°－∠ACB）＝－cos∠ACB＝ AC

−BC ＝ 4

−5

△CDG 中，DG²＝5²+ − × × ×4² 2 5 4 cos DCG∠ ^{＝25 16 40 4} 5

  + − × − 

 

＝25＋16＋32＝73 故得 DG= 73

四四

四四、計算題計算題計算題計算題（每題 10 分，共 20 分）

11. 如右圖，A、B 兩點分別位於一河口的兩岸邊。某人在通往 A 點的筆直公路上，距離 A 點 50 公尺處的 C 點與距離 A 點 200 公尺處的 D 點分別測得∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，試求 A 與 B 的距離。

解 解解

解 AC =50^，AD=200^，得 CD=200 50 150− = 又∠CBD＝60°－30°＝30°＝∠CDB

可知△BCD 為等腰三角形 所以 BC=CD=150

在△ABC 中，由餘弦定理知

AB2＝AC²+BC²−2AC BC× ×cos 60°

＝ ^{2 2} 1

50 150 2 50 150 + − × × ×2

＝17500

因此 AB= 17500=50 7（公尺）

12. 如右圖，從相距 100 公尺之兩點 A、B 觀測氣球 C，在點 A 測 得 AB 、AC 所成之角度為 75°，氣球的仰角為 30°；在點 B 測

得 BA 、BC 所成之角度為 60°。試求氣球之高度 CH 。

解 解解

解 設 CH =x ^公尺

因為△ACH 為 30°－60°－90° 的直角三角形 所以 AC =2x

又∠ACB＝180°－75°－60°＝45°

由正弦定理可知，在△ABC 中 100 2 sin 45 sin 60

= x

° °

100 3

100 sin 60 2 50 3 25 6

2 sin 45 2 2

2 2 x

° ×

= = = =

° ×

故氣球之高度為 25 6 公尺

