1 2

y ＝a（x－h）

²

＋k 的最大值與最小值

1

在上一節已探討形如 y＝ax²與 y＝ax²＋k 的二次函數之最大值或最小值及 其圖形間的關係。本節一開始要探討的是形如 y＝a（x－h）² 與 y＝a（x－h）²＋k 的二次函數，其中 a、h、k 皆不為 0。

為了便於畫圖，我們先利用不等式來找這類函數的最大值或最小值。

2 配方法與二次函數的圖形

1

試求下列二次函數的最大值或最小值，並寫出 x 的值為多少時，會得到最 大值或最小值。

1 y＝2（x－3）² 2 y＝－（x＋1）² 3 y＝3（x－

¹ ₂

）²－4 4 y＝－（x＋2）²－5

1 ∵2（x－3）²≧0，

∴函數值 y≧0，

又 x＝3 時，2（x－3）²＝0，

故函數在 x＝3 時，

有最小值 y＝0。

2 ∵－（x＋1）²≦0，

∴函數值 y≦0，

又 x＝－1 時，－（x＋1）²＝0，

故函數在 x＝－1 時，

有最大值 y＝0。

3 ∵3（x－ ）²≧0，

3

（x－ ）²－4≧0－4，

∴y＝3（x－ ）²－4≧－4，

又 x＝ 時，3（x－ ）²＝0，

故函數在 x＝ 時，

有最小值 y＝－4。

1 2

1 2 1

2 1 2 1 2 1

2

4 ∵－（x＋2）²≦0，

－（x＋2）²－5≦0－5，

∴ y＝－（x＋2）²－5≦－5，

又 x＝－2 時，－（x＋2）²＝0，

故函數在 x＝－2 時，

有最大值 y＝－5。

1

^{最大值或最小值}

例

題 搭配習作P9 基礎題1

對應能力指標 9-a-02、9-a-03

試求下列二次函數的最大值或最小值，並寫出 x 的值為多少時，會得到最 大值或最小值。

1 y＝－ （x＋4）² 2 y＝4（x－5）²

3 y＝－（x＋

³ ₂

）²＋1 4 y＝2（x－5）²－3

1

3

由例題 1 與隨堂練習發現，形如 y＝a（x－h）² 與 y＝a（x－h）²＋k 的二次 函數與上一節所介紹形如 y＝ax² 與 y＝ax²＋k 的二次函數，因為（x－h）²與 x² 一樣都恆大於或等於零，所以由不等式的推理會得到相同的最大值或最小值，

差別僅在前者的最大值或最小值是在 x＝h 時得到，後者的最大值或最小值是 在 x＝0 時得到。

而這樣的差異，對函數圖形有怎樣的影響呢？首先，讓我們先來看一些形 如 y＝a（x－h）²，h≠0 的二次函數圖形。

∵－ （x＋4）²≦0，

∴函數值 y≦0，

又 x＝－4 時，y＝0，

故函數在 x＝－4 時，

有最大值 y＝0。

1

3 ∵4（x－5）²≧0，

∴函數值 y≧0，

又 x＝5 時，y＝0，

故函數在 x＝5 時，

有最小值 y＝0。

∵－（x＋ ）²≦0，

－（x＋ ）²＋1≦1，

∴y＝－（x＋ ）²＋1≦1，

又 x＝－ 時，y＝1，

故函數在 x＝－ 時，

有最大值 y＝1。

3 2 3

2 3 2 3 2 3

2 ∵2（x－5）²≧0，

2

（x－5）²－3≧－3，

∴y＝2（x－5）²－3≧－3，

又 x＝5 時，y＝－3，

故函數在 x＝5 時，

有最小值 y＝－3。

x y

O

二次函數圖形的左右移動

2

對應能力指標 9-a-01、9-a-02

描繪二次函數 y＝（x－1）²的圖形。

∵y＝（x－1）²≧0，

∴函數在 x＝1 時，有最小值 y＝0。

因此從 x＝1 開始，對稱的將 x 和 y 的對應值列表如下：

然後描點並畫平滑曲線如右圖：

2 ^{y＝（x－h）}

^2的繪圖

例

題

x

… －1

0 1 2 3

…

y

…

4 1 0 1 4

…

在下面的坐標平面上，描繪二次函數 y＝（x＋1）²的圖形：

y … …

x

… …

x y

O

（0, 1） （2, 1）

（－1, 4） （3, 4）

（1, 0）

搭配習作P10 基礎題2

4 1 0 1 4

－3 －2 －1 0 1

（－3,4） （1,4）

（－2,1） （0,1）

（－1,0）

x y

O 拿出第 145 頁的附件 1，疊在右圖中

y

＝x²、y＝（x－1）²和 y＝（x＋1）²這 三個圖形上，比較它們的形狀、開 口方向與開口大小。

動動腦

y＝（x－1）² y＝x² y＝（x＋1）²

由動動腦可知：

y

＝（x－1）² 與 y＝（x＋1）² 的圖形均可和 y＝x² 的圖形疊合，所以這三個圖形 都是拋物線，其開口大小相同。且知將 y＝x² 的圖形向右移動 1 個單位，便是

y

＝（x－1）²的圖形，而向左移動 1 個單位，便是 y＝（x＋1）² 的圖形，因此這 三個圖形均為開口向上，而且其對稱軸也會跟著向右或向左移動。

描繪二次函數 y＝－2（x－1）²的圖形。

∵y＝－2（x－1）²≦0，

∴函數在 x＝1 時，有最大值 y＝0。

因此從 x＝1 開始，對稱的將 x 和 y 的對應值列表如下：

然後描點並畫平滑曲線如右圖：

x

… －1

0 1 2 3

…

y

… －8 －2

0

－2 －

⁸

…

3 ^{y＝a（x－h）}

^2的繪圖

例

^題

x y

O

（0, －2） （2, －2）

（－1, －

8

） （3, －

8

）

（1, 0）

形狀相同，且可完全疊合，

開口方向、開口大小也相同。

拿出第 146 頁的附件 6，疊在右 圖中 y＝－2x²、y＝－2（x－1）² 和 y ＝ － 2（ x ＋ 2 ）²這 三 個 圖 形 上，比較它們的形狀、開口方向 與開口大小。

動動腦

x y

O

y＝－2（x＋2）² y＝－2x² y＝－2（x－1）²

在下面的坐標平面上，描繪二次函數 y＝－2（x＋2）²的圖形：

y … …

x

… …

x y

O

由動動腦可知：

y

＝－2（x－1）² 與 y＝－2（x＋2）² 的圖形均可和 y＝－2x² 的圖形疊合，所 以這三個圖形都是拋物線，其開口大小相同。且知將 y＝－2x² 的圖形向右 移動 1 個單位，便是 y＝－2（x－1）² 的圖形，而向左移動 2 個單位，便是

y

＝－2（x＋2）² 的圖形，因此這三個圖形均為開口向下，而且其對稱軸也 會跟著向右或向左移動。

－8 －2 0 －2 －8

－4 －3 －2 －1 0

形狀相同，且可完全疊合，

開口方向、開口大小也相同。

（－2,0）

（－3,－2）

（－4,－8）

（－1,－2）

（0,－8）

由前面的動動腦，我們可整理得表 1-2，請在表 1-2 的空格內，填入適當 的文字或符號。

函數 項目 圖形的移動 圖形形狀 頂點

坐標 對稱軸

y＝（x－1）

²

y

＝（x＋1）²

y

＝－2（x－1）²

y＝－2（x＋2）

²

由 y＝x²的圖形

向 移動 1 個單位而得。

由 y＝x²的圖形

向 移動 1 個單位而得。

由 y＝－2x²的圖形

向右移動 個單位而得。

由 y＝－2x²的圖形

向左移動 個單位而得。

開口向上 的拋物線 開口向上 的拋物線 開口向下 的拋物線 開口向下 的拋物線

（－1 , 0）

（1 , 0）

x＝1

x＝－2 表 1-2

因此對於形如 y＝a（x－h）²，h≠0 的二次函數圖形，由表 1-2 可得：

1 其圖形都是拋物線，頂點為（h , 0），對稱軸為直線 x＝h。

1 當 h＞0 時，其圖形可由 y＝ax²的圖形向右移動 h 個單位而得。

2 當 h＜0 時，其圖形可由 y＝ax²的圖形向左移動｜h｜個單位而得。

2 其圖形的開口方向與 y＝ax²相同，因此：

1 當 a＞0 時，圖形開口向上，頂點是最低點，函數有最小值為 0。

2 當 a＜0 時，圖形開口向下，頂點是最高點，函數有最大值為 0。

我們也可將二次函數 y＝a（x－h）²，h≠0 的圖形整理如下：

a ＞0 a ＜0

h

＞0

h

＜0

h

＞0

h

＜0

條件

圖 示

y

（h, 0） x

O

y

O x

（h, 0）

y

（h, 0） x

O O

y

（h, 0） x

右

左

1

2

（－2 , 0）

（1 , 0）

x＝－1

x＝1

1 若二次函數 y＝2x²的圖形向右移動 4 個單位可得 y＝a（x－p）²的圖形，

試求 a＋p 之值。

2 試寫出下列二次函數圖形的開口方向、頂點坐標與對稱軸，並比較其開 口大小：

有錢不能使人幸福，幸福的泉源只有一個 ── 使別人得到幸福。

—諾貝爾（Alfred Nobel，1833-1896）

數學小語錄

∵y＝2x²的圖形向右移動 4 個單位可得 y＝2（x－4）²，

∴a＝2、p＝4，

故a＋p＝2＋4＝6

甲：開口向下，頂點（－1 , 0），對稱軸為 x＝－1。

乙：開口向下，頂點（2 , 0），對稱軸為 x＝2。

丙：開口向上，頂點（

, 0

），對稱軸為 x＝ 。 丁：開口向上，頂點（－5 , 0），對稱軸為 x＝－5。

開口大小：乙＜丙＜丁＜甲。

1 4 1

4

甲：y＝－ （x＋1）² 乙：y＝－2（x－2）² 丙：y＝（x－

¹ ₄

）² 丁：y＝ （x＋5）

³ ₄

²

2

3

y ＝a（x－h）

²

＋k 的圖形

3

∵（x－2）²≧0，y＝（x－2）²＋1≧1，

∴函數在 x＝2 時， 有最小值 y＝1。因此，

從 x＝2 開始，對稱的將 x 和 y 的對應值列 表如下：

然後描點並畫平滑曲線如右圖：

接下來，我們來看一些形如 y＝a（x－h）²＋k，hk≠0 的二次函數圖形。

描繪二次函數 y＝（x－2）²＋1 的圖形。

4 ^{y＝a（x－h）}

²＋k 的繪圖（a＞0）

例

題

x y

O

（1, 2） （3, 2）

（0, 5） （4, 5）

（2, 1）

在下面的坐標平面上，描繪二次函數 y＝（x＋1）²－2 的圖形：

y … …

x

… …

x y

O

2 －1 －2 －1 2

－3 －2 －1 0 1

（－3,2）

（－1,－2）

（1,2）

（0,－1）

（－2,－1）

對應能力指標 9-a-03

x

…

0 1 2 3 4

…

y

…

5 2 1 2 5

…

拿出第 145 頁的附件 1，疊在右 圖中 y＝x²、y＝（x－2）²＋1 和

y

＝（x＋1）²－2 這三個圖形上，

比較它們的形狀、開口方向與開 口大小。

動動腦

x y

O y＝（x－2）²

＋1

y＝x²

y＝（x＋1）²

－2

由動動腦可知：

y

＝（x－2）²＋1 與 y＝（x＋1）²－2 的圖形，均可和 y＝x² 的圖形疊合，

所以這三個圖形都是拋物線，其開口大小相同。且知移動 y＝x²的圖形使 得頂點（0 , 0）移至（2 , 1）時，便可得到 y＝（x－2）²＋1 的圖形，而移動

y

＝x²的圖形使得頂點（0 , 0）移至（－1 , －2）時，便可得到 y＝（x＋1）²－2 的圖形。

∵－ （x－2）²≦0，y＝－ （x－2）²－1≦－1，

∴函數在 x＝2 時，有最大值 y＝－1。因此，

從 x＝2 開始，對稱的將 x 和 y 的對應值列 表如下：

然後描點並畫平滑曲線如右圖：

1 2 1

2

5 ^{y＝a（x－h）}

²＋k 的繪圖（a＜0）

例

^題

描繪二次函數 y＝－ （x－2）

¹

²－1 的圖形。

2

x

…

0 1 2 3

4 …

y

… －3 －

³ ₂

－1 －

³ ₂

－3 …

x y

O

（1, －3）

2 （3, －3） 2

（0, －3） （4, －3）

（2, －1）

搭配習作P10 基礎題2 形狀相同，且可完全疊合，

開口方向、開口大小也相同。

x y

O

在下面的坐標平面上，描繪二次函數 y＝－ （x＋2）

¹ ₂

²＋2 的圖形：

拿出第 145 頁的附件 4，疊在右圖中

y

＝－

x

²、y＝－ （x－2）²－1 和

y

＝ － （ x＋ 2）²＋ 2 這 三 個 圖 形 上，比較它們的形狀、開口方向 與 開口大小。

1 2

1 2 1

2

動動腦

y＝－ （x＋2）²

＋2

y＝－ x²

y＝－ （x－2）¹₂ ²

－1

1

2 1

2 x

y

O

由動動腦可知：

y

＝ － （ x － 2 ）²－ 1 與 y ＝ － （ x ＋ 2 ）²＋ 2 的 圖 形 均 可 和 y ＝ －

x

² 的圖形疊合，所以這三個圖形都是拋物線，其開口大小相同。

且知移動 y＝－

x

² 的圖形使得頂點（0,0）移至（2,－1）時，便可得到

y

＝－ （x－2）²－1 的圖形，而移動 y＝－

x

² 的圖形使得頂點（0,0）

移至（－2,2）時，便可得到 y＝－ （x＋2）

¹ ₂

²＋2 的圖形。

1 2 1

2

1 2

1 2 1

2 1

2

y … …

x

… …

0 2 3 0

2 3

2

－4 －3 －2 －1 0

形狀相同，且可完全疊合，

開口方向、開口大小也相同。

（－2,2）

（－3, ）³₂

（－4,0）

（－1, ）³₂

（0,0）

由前面的動動腦，我們可整理得表 1-3，請在表 1-3 的空格內，填入適當 的文字或符號。

表 1-3

函數 項目 圖形的移動與頂點坐標 圖形形狀 對稱軸

y＝（x－2）

²＋1

y

＝（x＋1）²－2

y＝－ （x－2）

²－1

y

＝－ （x＋2）

¹ ₂

²＋2

1

2

移動 y＝x²的圖形，

使頂點（0 , 0）移至 而得。

移動 y＝x²的圖形，

使頂點（0 , 0）移至 而得。

移動 y＝－ x²的圖形，

使頂點（0 , 0）移至 而得。

移動 y＝－ x²的圖形，

使頂點（0 , 0）移至 而得。

1 2 1 2

開口向上 的拋物線 開口向上 的拋物線 開口向下 的拋物線 開口向下 的拋物線

x＝2

x＝2

因此，形如 y＝a（x－h）²＋k，hk≠0 的二次函數圖形，由表 1-3 可得：

1 其圖形都是拋物線，其頂點為（h , k），對稱軸為直線 x＝h。

2 其圖形的開口方向與 y＝ax²相同，因此：

1 當 a＞0 時，圖形開口向上，頂點是最低點，函數有最小值為 k。

2 當 a＜0 時，圖形開口向下，頂點是最高點，函數有最大值為 k。

6 ^{y＝a（x－h）}

^{2＋k 的應用}

例

^題

已知二次函數 y＝a（x－p）²＋q 的頂點（2 ,－4）是其圖形的最高點，

且∣a∣＝3，試求 a、p、q 之值及此二次函數。

∵二次函數 y＝a（x－p）²＋q 的頂點（p , q），亦即（2 , －4）

∴p＝2，q＝－4。

又頂點是其圖形的最高點，∴ a＜0。

因此由∣a∣＝3，得 a＝－3（3 不合）。

∴二次函數為 y＝－3（x－2）²－4

（2 , 1）

（－1 , －2）

（2 , －1）

（－2 , 2）

x

＝－1

x

＝－2

搭配習作P11 基礎題3

若移動二次函數 y＝－x²的圖形，使得頂點（0 , 0）移至（5 , －3）時，

可得 y＝a（x－p）²＋q 的圖形，試求 a＋p＋q 之值。

∵圖形可由 y＝

x

²的圖形移動而得，∴a＝ 。

∵直線 x＝2 為其對稱軸，∴p＝2。

因此函數為 y＝ （x－2）²＋q。

又其圖形通過（－2 , 5），

∴5＝ （－2－2）²＋q

5

＝28＋q

q

＝－23

7 4

7 4

7 4 7

4

若二次函數 y＝

x

²的圖形移動可得 y＝a（x－p）²＋q 的圖形，且對稱軸 為直線 x＝2 ，圖形又通過坐標平面上的點（－2 , 5），試求 q 之值。

7 4

7 ^{y＝a（x－h）}

^{2＋k 的應用}

例

題

若二次函數 y＝a（x－p）²＋q 的頂點為（－1,－2），其圖形通過坐標平 面上的點（2 , 1），試求 a 之值。

搭配習作P11 基礎題4

∵y＝a（x－p）²＋q 的頂點為（ p , q），∴ p＝5、q＝－3。

又圖形是由 y＝－x² 移動而得，∴ a＝－1。

故 a＋p＋q＝（－1）＋5＋（－3）＝1

∵y＝a（x－p）²＋q 的頂點為（ p , q），∴p＝－1、q＝－2。

又 y＝a（x＋1）²－2 的圖形通過（2 , 1），

∴將（2 , 1）代入得 1＝9a－2，a＝ ¹₃ 。

4 配方法

8

配方法求最大值或最小值（x²係數為 1）

例

題

請將二次函數 y＝x²－6x＋8 化成 y＝a（x－h）²＋k 的形式，並求函數的 最大值或最小值為何？

y＝x

²－6x＋8

＝x²－2．x．3＋3²

－3

²＋8

＝（x－3）²－1

∵（x－3）²≧0，

y＝（x－3）

²－1≧－1，

∴函數在 x＝3 時，有最小值 y＝－1。

我們知道形如 y＝a（x－h）²＋k，a≠0 的二次函數，可利用不等式判 斷函數的最大值或最小值；但形如 y＝ax²＋bx＋c，a≠0 的二次函數，

例如：y＝x²＋4x、y＝－2x²－3x＋1，該如何找出這些函數的最大值或最 小值呢？

其實如果能將此類型函數化成 y＝a（x－h）²＋k 的形式，問題就解決 了。現在我們就來練習這個轉變的方法。

將 x²－6x 配成完全平方式

試求下列函數的最大值或最小值：

1 y＝x²－10x 2 y＝x²＋8x＋25

搭配習作P9 基礎題1

y

＝x²－10x＋25－25

＝（x－5）²－25≧－25

∴函數在 x ＝5 時，

有最小值 y＝－25。

y

＝x²＋8x＋16＋9

＝（x＋4）²＋9≧9

∴函數在 x＝－4 時，

有最小值 y＝9。

對應能力指標 9-a-04

9

配方法求最大值或最小值（x²係數不為 1）

例

題

將下列二次函數化成 y＝a（x－h）²＋k 的形式，並求函數的最大值或最小 值為何？

1 y＝2x²＋4x－1 2 y＝－x²－3x＋

³ ₄

1 y＝2x²＋4x－1

＝2（x²＋2x）－1

＝2（x²＋2x＋1²

－1

²）－1

＝2〔（x＋1）²－1〕－1

＝2（x＋1）²－2－1

＝2（x＋1）²－3

∵2（x＋1）²≧0，

y

＝2（x＋1）²－3≧－3，

∴函數在 x＝－1 時，有最小值 y＝－3。

2 y＝－x²－3x＋

＝－（x²＋3x）＋

＝－〔x²＋3x＋

（ ）

²－

（ ）

²〕＋

＝－〔（x＋ ）²－（ ）²〕＋

＝－（x＋ ）²＋（ ）²＋

＝－（x＋ ）²＋3

∵－（x＋ ）²≦0，

y

＝－（x＋ ）²＋3≦3，

∴函數在 x＝－

³ ₂

時，有最大值 y＝3。

3 2 3 2 3 2

3 4 3

2 3

2

3 4 3

2 3

2

3 4

3

2 3

2

3 4 3 4

將 x²項和 x 項括在一起，並提出 x²項的係數

搭配習作P9 基礎題1

將 x²＋2x 配成完全平方式

提出 x²項的係數

將 x²＋3

x

配成完全平方式

試求下列函數的最大值或最小值：

1 y＝－2x²＋4x－2 2 y＝

¹ ₂ x

²＋2x＋3

像例題 8、例題 9 這種配成完全平方式的方法，也稱為配方法。我們可以使 用配方法，直接將 y＝ax²＋bx＋c，a≠0 化成 y＝a（x－h）²＋k 的形式：

y＝ax

²＋bx＋c

＝a（x²＋

x

）＋c

＝a〔x²＋

x＋ （ ）

²－

（ ）

²〕＋c

＝a〔（x＋ ）²－（ ）²〕＋c

＝a（x＋ ）²－a（ ）²＋c

＝a（x＋ ）²＋

令 h＝－ ，k＝

^{4ac －b}

代入上面等式可得 y＝a（x－h）²＋k 的形式。

2

4a

b

2a

4ac －b

²

4a

b

2a

b

2a

b

2a

b

2a

b

2a

b 2a b

2a b

a b a

將

x

²＋b

x

配成完全平方式 a

提出

x

²項的係數

因為 y＝a（x－h）²＋k 的圖形是拋物線，因此對於二次函數 y＝ax²＋bx＋c 的圖形，我們可得：

1 其圖形是拋物線，頂點坐標（－

,

），對稱軸為直線 x＝－ 。 2 其圖形開口方向的判斷方法與 y＝ax²相同，因此

1 當 a＞0 時，圖形開口向上，頂點是最低點，

函數在 x＝－ 時，有最小值 。 2 當 a＜0 時，圖形開口向下，頂點是最高點，

函數在 x＝－ 時，有最大值

^{4ac －b}

。

2

4a

b

2a

4ac －b

²

4a

b

2a

b

2a 4ac －b

²

4a

b

2a y

＝－2（x －1）²≦0

∴函數在 x ＝1 時，

有最大值 y＝0。

y

＝ （x ＋2）²＋1≧1

∴函數在 x ＝－2 時，

有最小值 y＝1。

1 2

1 若二次函數 y＝2x²＋bx＋c 的頂點為（－2 , 1），試求 b－c 之值。

2 若移動 y＝x²的圖形，使得頂點（0 , 0）移至（3 , －3）時，可得二次 函數 y＝ax²＋bx＋c 的圖形，試求 a＋b＋c 之值。

y＝ax

²＋bx＋c 的應用

例

題

若二次函數 y＝－2x²＋bx＋c 的頂點為（

¹ ₂ , 1），試求 b、c 之值。

∵y＝－2x²＋bx＋c 的頂點為（

, 1

），且 x²的係數為－2，

∴可令 y＝－2（x－ ）²＋1

＝－2（x²－x＋ ）＋1

＝－2x²＋2x－ ＋1

＝－2x²＋2x＋

故對照原二次函數可得 b＝2，c＝

¹ ₂ 1

2 1 2 1 4 1 2

1 2

10

搭配習作P12 基礎題5

∵y＝2x²＋bx＋c 的頂點為（－2 , 1），且 x²項的係數為 2，

∴可令 y＝2（x＋2）²＋1

＝2x²＋8x ＋9 對照原式得 b＝8、c＝9，

故 b－c＝8－9＝－1。

∵y＝ax²＋bx＋c 的頂點為（3 , －3），且圖形由 y＝x²移動而得，

∴可令 y＝（x－3）²－3

＝x²－6x ＋6

對照原式得 a＝1、b＝－6、c＝6，

故 a＋b＋c＝1－6＋6＝1。

y＝ax

²＋bx＋c 的繪圖

例

題

描繪二次函數 y＝－x²＋6x－7 的圖形。

y

＝－x²＋6x－7

＝－（x²－6x）－7

＝－（x²－6x＋3²－3²）－7

＝－（x－3）²＋3²－7

＝－（x－3）²＋2

∴函數頂點坐標（3 , 2）。

因此從 x＝3 開始，對稱的將 x 和 y 的對應值列表如下：

然後描點並畫平滑曲線如下圖：

11

畫二次函數 y＝ax²＋bx＋c 的圖形時，除了可用配方法找到頂點之外，亦 可利用公式求出頂點，但仍宜寫成 y＝a（x－h）²＋k 的形式，列表求 y 值。

另解：

令 a＝－1、b＝6、c＝－7，

∵a＜0，

∴函數在 x＝－ ＝－ ＝3 有最大值 y＝－3²＋6．3－7＝2，

因此，函數頂點坐標為（3 , 2）。

6

－2 b

2a

x y

O

（2, 1） （4, 1）

（1, －2） （5, －2）

（3, 2）

x

…

1 2 3 4 5

…

y

… －2

1 2 1

－2 …

搭配習作P10 基礎題2

描繪下列二次函數的圖形：

1 y＝x²＋x＋

2 y＝－2x²－8x－1

5 4

y … …

x

… …

y … …

x

… …

y

＝x²＋x ＋

＝（x ＋ ）²＋1

∴頂點（－ ¹₂

, 1）

1 2

5 4

－ － － 3

2 1 2 1 2 3

2 5 2

5 2 1 2 5

－4 －3 －2 －1 0

－1 5 7 5 －1

（－ ,5）⁵₂ （ ,5）³₂

（－ ,2）³₂

令 a＝－2、b＝－8、c＝－1，

∵a＜0，

∴函數在 x ＝－ ＝－2 時，

有最大值 y＝－8＋16－1＝7 故頂點為（－2 , 7）

則函數可化成 y＝－2（x ＋2）²＋7

－8 2（－2）

（－ ,1）¹₂

（ ,2）¹₂

x y

O

x y

O

（－2,7）

（－3,5） （－1,5）

（－4,－1） （0,－1）

圖形與兩軸的交點

5

接著我們來探討二次函數的圖形與兩軸（ x 軸與 y 軸）之間的關係。

圖形與兩軸的交點坐標

例

^題

試求二次函數 y＝－x²＋6x－7 圖形與兩軸的交點坐標。

12

試求下列二次函數圖形與兩軸的交點坐標：

1 y＝x²－6x＋9 2 y＝－2x²＋4x－5 1 求圖形與 y 軸的交點坐標：

∵ 在 y 軸上的點，其 x 坐標為 0，

∴ x＝0 代入函數得 y＝－7，

故與 y 軸的交點坐標為（0 , －7）。

2 求圖形與 x 軸的交點坐標：

∵ 在 x 軸上的點，其 y 坐標為 0，

∴令函數 y 值為 0，得 0＝－x²＋6x－7，

解方程式 x²－6x＋7＝0 令 a＝1，b＝－6，c＝7。

得 b²－4ac＝（－6）²－4．1．7＝8＞0

x

＝ ＝ ＝ ＝3± 2

故與 x 軸的交點坐標為（3＋ 2 , 0）與（3－ 2 , 0）。

6 ±2 2 2 6 ± 8

2

－b± b

²

－4ac 2a

（3－ 2, 0）

（0, －7）

x y

O

（3＋ 2, 0）

x

＝0 時，y＝9，

∴與 y 軸交於（0 , 9）。

y

＝0 時，x²－6x ＋9＝0

（x －3）²＝0

x

＝3（重根）

∴與 x 軸交於（3 , 0）。

x

＝0 時，y＝－5，

∴與 y 軸交於（0 , －5）。

y

＝0 時，－2x²＋4x －5＝0 判別式＝16－40＝－24＜0 方程式無解

∴與 x 軸沒有交點。

對應能力指標 9-a-06

當我們將 x＝0 代入二次函數 y＝ax²＋bx＋c 時，可得 y＝c，也就是說二次 函數 y＝ax²＋bx＋c 的圖形與 y 軸只交於（0 , c）。

由圖 1-7 可知，它與 x 軸相交的情形為交於兩點、只交於一點或沒有交點。

由例題 12 及隨堂練習可以發現，二次函數圖形與 x 軸的交點坐標，

可由方程式 ax²＋bx＋c＝0 的解求得。

因為如果二次函數 y＝ax²＋bx＋c 的圖形與 x 軸交於（x₀

, 0），則（x

₀

, 0）

必定在 y＝ax²＋bx＋c 的圖形上，所以 0＝ax₀²＋bx₀＋c，也就是說 x₀ 是方程式

ax

² ＋bx＋c＝0 的一個解。

因此要探討二次函數 y＝ax²＋bx＋c 的圖形與 x 軸相交的情形，只需探討 方程式 ax²＋bx＋c＝0 解的情況。根據一元二次方程式的公式解，我們知道：

1 當判別式 b²－4ac＞0：

方程式有兩個相異解，即二次函數 y＝ax²＋bx＋c 的圖形與 x 軸交於

（

, 0）與（ , 0）兩點。

2 當判別式 b²－4ac＝0：

方程式恰有一解，即二次函數 y＝ax²＋bx＋c 的圖形與 x 軸只交於一點，

也就是頂點（－

, 0

）。

3 當判別式 b²－4ac＜0：

方程式沒有解，即二次函數 y＝ax²＋bx＋c 的圖形與 x 軸沒有交點。

b

2a

－b－ b

²

－4ac 2a

－b＋ b

²

－4ac 2a

圖 1-7

交於兩點 只交於一點 沒有交點

x y

O ^x

y

O ^x

y

O

圖形與 x 軸的交點個數（由圖形特性）

例

題

試判斷下列二次函數的圖形與 x 軸的交點個數：

1 y＝2（x－5）²－4 2 y＝－ （x＋3）²

3 y＝－ （x＋

³ ₄ ³ ₂

）²－

¹ ₂

3 2

14

圖形與 x 軸的交點個數（由判別式）

例

題

試判斷下列二次函數的圖形與 x 軸的交點個數：

1 y＝x²＋x＋1 2 y＝2x²－x 3 y＝－

¹ ₂ x

²＋x－

¹ ₂

1 ∵判別式＝1²－4．1．1＝－3＜0，

∴其圖形與 x 軸沒有交點。

2 ∵判別式＝（－1）²－4．2．0＝1＞0，

∴其圖形與 x 軸有兩個交點。

3 ∵判別式＝1²－4．（－ ）．（－ ）＝0，

∴其圖形與 x 軸恰有一個交點。

1 2 1

2

13

下列哪些二次函數的圖形與 x 軸恰有一個交點？

1 y＝－

x

² 2 y＝x²＋5x

3 y＝x²－2x＋4 4 y＝－2x²－3x－

⁹ ₈ 3

2

二次函數圖形與 x 軸的相交情形，除了可用判別式來判斷外，當可以確定 圖形頂點與開口方向時，我們也可利用其圖形的特性來判斷。

搭配習作P12 基礎題6 1 判別式＝0

2 判別式＝25＞0 3 判別式＝－12＜0 4 判別式＝0

故1 、4 的圖形與 x 軸恰有一個交點。

x y

O

x y

O 1 y＝2（x－5）²－4 圖形開口向上，且頂點

（5,－4）在 x 軸下方，因此圖形與 x 軸會 有兩個交點。

2 y＝－ （x＋3）²圖形的頂點（－3 , 0）恰在

x

軸上，因此其圖形與 x 軸恰有一個交 點。

3 y＝－ （x＋ ）²－ 圖形開口向下，且 頂點（－

,－

）在 x 軸下方，因此圖形 與 x 軸沒有交點。

1 2 3 2

1 2 3

2 3

4 3 2

1 已知二次函數 y＝－2x²＋bx＋c 的頂點為（2 , 3），試求其圖形與 x 軸的 交點個數。

2 試求二次函數 y＝a（x－h）²的圖形與 x 軸的交點個數。

（5, －4）

（－ ,－1） 2 3 2

（－3,

0

）

x y

O

∵y＝－2x²＋bx＋c 的圖形開口向下，

且頂點（2 , 3）在 x 軸上方，

因此圖形與 x 軸會有 2 個交點。

∵y＝a（x－h）²的頂點為（h , 0）恰在 x 軸上，

因此圖形與 x 軸恰有一個交點。

重點回顧

!y＝a（x－h）²＋k 與 y＝ax²＋bx＋c 的圖形：

@二次函數與兩軸的交點：

1二次函數 y＝ax²＋bx＋c 的圖形與 y 軸只交於一點（0 , c）。

2二次函數 y＝ax²＋bx＋c 的圖形與 x 軸相交的情形：

二次函數 圖形 對稱軸 頂點坐標

開口方向

最大值或 最小值

y

＝a（x－h）²＋k

y

＝ax²＋bx＋c

a＞0 a＜0 a＞0 a＜0

拋物線

x＝h x x

＝－

_2a

^b

（h , k） （－

, ^{4ac －b}

）

2

4a

b

2a

開口向上，

頂點為最低點

開口向下，

頂點為最高點

開口向上，

頂點為最低點

開口向下，

頂點為最高點

最小值 k 最大值 k

最小值

4ac －b

²

4a

最大值

4ac －b

²

4a

判別式

交點坐標

圖形

b

²－4ac＞0 交於兩點：

（

, 0 ）

（

^－b

－ ^b2

－4ac , 0 ） 2a

－b＋ b

²

－4ac 2a

b

²－4ac＝0

交於一點：

（

－ _2a

^b

, 0

）

b

²－4ac＜0

沒有交點

x y

O x

y

O x

y

O

1 試求下列二次函數的最大值或最小值，並寫出 x 的值為多少時，會得到最大 值或最小值。

1 y＝ （x－7）² 2 y＝4（x＋ ）²－3

3 y＝－3x²＋24x－46 4 y＝x²－5x＋4

2 3 3

4

自 我 評 量 1-2

∵ ＞0，

∴函數在 x＝7 時，

有最小值 y＝0。

3

4 ∵4＞0，

∴函數在 x＝－ 時，

有最小值 y＝－3。

2 3

y

＝－3（x－4）²＋2

∴函數在 x＝4 時，

有最大值 y＝2。

y

＝（x－ ）²－

∴函數在 x＝ 時，

有最小值 y＝－ 。⁹₄ 5

2 9 4 5

2

2 描繪下列二次函數的圖形：

1 y＝－2（x＋1）² 2 y＝（x＋2）²－3

3 y＝x²－2x－1 4 y＝－

¹ ₂ x

²＋2x

y … …

x

… …

y … …

x

… …

y … …

x

… …

y … …

x

… …

－3 －2 －1 0 1

－8 －2 0 －2 －8

－1 0 1 2 3 2 －1 －2 －1 2

0 1 2 3 4

0 2 3 0

2 3

2

－4 －3 －2 －1 0 1 －2 －3 －2 1

（－1,0）

（－2,－2）

（－3,－8）

（0,－2）

（1,－8）

（－4,1） （0,1）

（－3,－2） （－1,－2）

（－2,－3）

x y

O

x y

O

x y

O x

y

O

（－1,2） （3,2）

（2,－1）

（0,－1）

（1,－2）

（2,2）

（4,0）

（0,0）

（1, ）³₂ （3, ）³₂

3 試寫出下列二次函數圖形的開口方向、頂點坐標與對稱軸，並比較其開口 大小：

甲：y＝－5x²＋3 乙：y＝2（x＋ ）² 丙：y＝3（x－2）²－6 丁：y＝－x²－6x＋13

4 若二次函數 y＝－5x²的圖形向左移動 4 個單位可得 y＝a（x－p）²的圖形，

試求 a＋p 之值。

1 2

∵y＝a（x－p）²的圖形由 y＝－5x²的圖形左移 4 單位而得，

∴a＝－5，且頂點為（－4 , 0）

故 p＝－4，

則 a＋p＝（－5）＋（－4）＝－9

甲：頂點（0 , 3），對稱軸 x＝0（y 軸）。

乙：頂點（－

, 0

），對稱軸 x＝－ 。 丙：頂點（2 , －6），對稱軸 x ＝2。

丁：頂點（－3 , 22），對稱軸 x＝－3。

開口大小：甲＜丙＜乙＜丁。

1 2 1

2

令 y＝0

∴2x²＋2x －1＝0，x ＝

故 A、B 兩點分別為（

, 0

）、（

, 0

） 則

‾ ^AB

^{＝｜ －1＋ 3}₂ ^{－ －1－ 3}₂ ^{｜＝ 3。}

－1－ 3 2

－1＋ 3 2

－1± 3 2

5 若二次函數 y＝－2x²的圖形移動可得 y＝ax²＋bx＋c 的圖形，且對稱軸為

x＝3，圖形又通過坐標平面上的點（－1 , 6），試求 c 之值。

6 若二次函數 y＝2x²＋2x－1 的圖形與 x 軸交於 A、B 兩點，試求

‾ ^AB。

∵y＝ax²＋bx＋c 圖形的對稱軸為 x＝3，

且可由 y＝－2x²的圖形移動而得，

∴可將 y＝ax²＋bx＋c 寫成 y＝－2（x －3）²＋k 又圖形通過（－1 , 6），

∴代入得 6＝－32＋k，k＝38

故函數為 y＝－2（x－3）²＋38＝－2x²＋12x ＋20 對照原式得 c＝20。