國立臺南女中 100 學年度第二學期期末考高二（自然組）數學科試題
考試範圍：第4 冊第 3 章、第 1 冊第 1、2 章複習 一、單選題：（每題5 分）
1. 設a= 5+ 15、b= 3+ 17、c=1+ 19，則下列何者正確？
（1）a>b>c（2）a>c>b（3）b>a>c（4）b>c>a（5）c>b>a 2. 將多項式 f(x)=(2x3−5x2+3x−4)(3x2 −4x+2)展開後的所有係數和＝？
（1）−24（2）−16（3） 12− （4）−8（5） 4− 3. 設橢圓 1
9 7
2
2 + y =
x 的內接正方形面積介於 n 與n+1（n 為正整數），則 n＝？
（1）12（2）13（3）14（4）15（5）16
4. 設 P 為拋物線 Γ：y2 =8x上之動點，F 為 Γ 的焦點，另有定點 A（5，6）。試求：AP+PF的最小值？
（1）5（2）6（3）7（4）8（5）9
5. 設2x+ y3 =0、2x− y3 =0是雙曲線Γ 的兩漸近線，且 Γ 過定點 P（3，4），則 Γ 的貫軸長為
（1）2 3（2）3 3（3）4 3（4）5 3（5）6 3
二、多選題：（每題5 分，每題至少有一個正確的選項，全對得 5 分，只錯一個選項得 3 分，只錯兩個選項得 1 分，其 餘得0 分）
6. 方程式 f(x)=2x3 −5x+2=0的實根落在下列哪些區間內？
（1）（−3，− ）（2）（ 22 − ， 1− ）（3）（0，1）（4）（1，2）（5）（2，3）
7. 設 k 為實數，若對所有實數 x 恆使(k+3)x2+kx+1為正數，則 k 可能為下咧哪些選項：
（1）k =1（2）k =3（3）k =5（4）k =7（5）k =9
8. 設 PQ 是拋物線y2 =4cx（c≠0）的正焦弦，則下列哪些直線一定通過點 P 或 Q？
（1）x=c（2）y= （3）c x+ y=0（4）2x+ y=0（5）x+ y2 =0 9. 設橢圓 Γ： 1
3 3
2 2
2
2 =
− + +
+ k k y k
x ，與雙曲線 1
9 5
2
2 + =
−x y
有共同焦點，則 k＝？
（1） 4− （2） 1− （3）3（4）5（5）7
10. 設多項式 f(x)=3x4−4x3+2x2 −4x+1=a(x−1)4+b(x−1)3 +c(x−1)2 +d(x−1)+e，則下列哪些選項正確？
（1）b=c
（2）d =0
（3） f(x)除以(x−1)2的餘式為x+2
（4） f(1.01)>−2
（5）若 p、q 為有理數且 f(1+ 2)= p+q 2，則q>0
三、選填題：（每題5 分，全對才給分）
1. 設二次多項式 f(x)除以 x、x−3及x+2的餘式分別為− 、 11 − 及 9，則 f(x)除以x+4的餘式為 。 2. 設方程式 f(x)=4x3 −11x2+26x−15=0有虛根a+2i及1+bi（a、b 為實數），又方程式f(x)=0另有一實根α，則
α＝ 。
3. 已知梯形 ABCD 的兩腰AB=8、CD=4 3且∠BCD=∠CDA=90°。今有拋物線Γ 過 A、
B 兩點，且以直線 CD 為準線。若 Γ 的焦點 F 在 AB 上且AF =kBF（其中k>1），則 k
＝ 。
4. 設 P（x，y）是拋物線線 Γ：y=4 x− 2在第一象限上之動點（即0< x<2），又Γ 與坐標 軸正向的交點為 A（2，0）、B（0，4），求 ABPΔ 的面積之最大值＝ 。
5. 設雙曲線 Γ： 1 9 7
2
2 + =
− x y
，今有橢圓 C 其長軸頂點就是 Γ 的焦點，C 的兩焦點又恰為 Γ 的貫軸頂點，則橢圓 C
的方程式為 1
2
2 + =
B y A
x ，數對（A，B）＝ 。
6. 設 F 是橢圓 Γ 的一焦點，A、B 是 Γ 上兩點且 AB 與 Γ 的長軸平行，當AB=5、AF =3、BF =7時，橢圓Γ 的長 軸長＝ 。
7. 設橢圓 C： 2 1
2 2
2 + =
b y a
x （其中a>0）為焦點在 F（4，0）、F ′（ 4− ，0）的；Γ 為焦點在 F（4，0）且準線為x=−4 的拋物線。已知橢圓 C 與拋物線 Γ 的交點在直線x=4上，求 a 的值＝ 。
8. 設 P 是雙曲線 Γ： 1 40 9
2
2 − y =
x 上之定點，且 A、B 是 Γ 的兩焦點，已知∠APB=60°，則 ABPΔ 的面積為 。
9. 設拋物線x2 =4c(y−k)過 A、B、C 三點，已知 AB 落在 x 軸上且AB=5、BC= 5、CA=2 5，此拋物線的正焦 弦長為 。
10. 設 P 為雙曲線 Γ： 1 16 9
2
2 − y =
x 之動點且點 P 的 x 坐標大於 0，另有定點 A（7，5）及 F（5，0），則AP+PF的最小 值為＝ 。
D A
F C B
國立臺南女中 100 學年度第二學期期末考高二（自然組）數學科解答
一、單選題：（每題5 分）
1 2 3 4 5 1 5 4 3 3 二、多選題：（每題5 分，每題至少有一個正確的選項，全對得 5 分，只錯一個選項得 3 分，只錯兩個選項得 1 分，其
餘得0 分）
6 7 8 9 10 234 123 14 4 1245 三、選填題：（每題5 分，全對才給分）
1 2 3 4 5
27 4
3 3 1 （7，16）
6 7 8 9 10
10 4+4 2 40 3 2 7
