科學月刊【數‧生活與學習】專欄 9905
「向量」從何而來？
單維彰‧99 年 4 月 2 日
關於高中數學課程「向量」課題的教與學，我見過兩種學生。一種學生始終以「物 理的真實性」來理解向量，設法將所有向量問題都轉譯成相對的物理意義。另一 種學生直到學期即將結束，還沒有察覺數學課的向量和物理課的向量原來是同一 種東西！（我兒子曾經屬於後面這一種。）兩種現象都不太好，也許後者比前者 更不幸一點。
雖然，用平行四邊形之兩邊表現力或速度，用其對角線表現合成力或合成速 度的作法，在古希臘就有，而且在牛頓的時代已經廣為接受，但是那並不是今天 我們對於「向量」的系統化認識。當時的合成是純幾何的操作，並無兩向量「相 加」的觀念，也沒有發展出我們在教科書裡傳授的一套計算規律；換句話說，並 沒有成為一個代數系統。一般認為，大約 1800—30 年間，將複數賦予幾何意義 的觀念，也就是高中課程中稱為複數平面或高斯平面的觀念，是現代向量觀念的 前身。
另外，雖然「向量」(vector) 這個字（或者它的德文或法文版本）本來就有，
卻是在 1840 年代，這個字才初步出現今天所指的數學意義。就好比「力」(force) 和「能量」(energy) 這些字也是早就存在，但是它們的日常意義卻迥異於它們的 物理意義。
高中的數學課本或教師手冊裡，經常會舉出一些有趣的數學小故事或簡史。
可是，似乎比較少提供向量的歷史或軼事。或許是因為向量太「新」了。除了線 性規劃（大約發展於第二次世界大戰時期）以外，向量（以及銜接其後的線性代 數）大概是高中數學課程中「最新」的課題了。這篇短文希望能夠引起關於向量 發展史的話題。
向量的前身是複數的幾何意義，也就是把複數a bi 視為平面上一點
的位置向量，亦即 OP 向量，其中 O 為平面坐標的原點。則現在我們所知的向量 加法、減法與係數積，就對應了複數的加法、減法和與實數的乘法。
( , ) P a b
在 1800 年代的前三十年，有五、六位數學家獨立發展了複數的幾何意義，
並闡述了複數平面的性質。雖然不只一人發表了將複數與坐標平面連結的看法，
並且分別發展出相當完備的理論和技術，卻都沒有受到廣泛的注意。直到大師級 的高斯在 1831 也發表了這個觀念，才迅速被歐洲的數學家們注意並學習。雖然 高斯發表的年份是 1831，但是根據後人考據他遺留的筆記，高斯可能在 1799 年 就已經發展了所謂的「高斯平面」（這是典型的高斯）。
今天我們在高中課程中學習的平面向量，並不師法複數，也不多談與複數的 連結。課程中的平面向量，其實是空間向量的「降階」版本。學生們應當會發現，
運用平面向量處理的所有課題：做三角形的面積、重心或垂心或外心或內心的坐
標、做正射影、做鏡射點或反射點等等，都能用稍早學習的其他方法解決，只是 採用向量手法使得事情變得比較簡單。可見平面向量被設計成學習空間向量的
「前置經驗」，而數學史上的向量，是直接在空間中發展的。
複數顯然比向量更「豐富」：除了加減和係數積，它們還能相乘與相除，後 Euler
令人振奮：平面上的點，可以像實數一樣地做加減乘除
算的規則（交換律、分配律、等等）。所以，大家應該不難想像，當時的數學家 忍不住想要將這個想法推廣到空間，使得空間中的點也可以變成某種「數」，讓 它可以像實數（或複數）一樣地計算。這就是 1840—60 之間，發展空間向量的 一條線索。
在「將空
來透過 公式更能做指數計算： b 。複數平面的「成功」
，並且符合所有的實數計
間中的點實數化」這條線索上，主要（幾乎是唯一）的人物是愛爾 (cos sin )
a bi a
e e b i
蘭裔的英國大師漢彌爾頓 (William Hamilton, 1805—1865)。他在 1843 年發表「四 元數」(Quaternion)，據說某天早晨他忽然想通了四元數，興奮地把它刻在剛好 路過的一座橋上，如今還有紀念碑。漢彌爾頓是當代的名人，在數學、科學、文 學，乃至於一般社會人士心中，都是一位可敬的天才和學者；他在即將年滿三十 歲的時候，就已經由皇室授勳為爵（牛頓也曾被封爵位）。在他發表四元數的文 章上，有兩行寫標題，一行寫他的名字，但是有六行寫他的「頭銜」。
延續複數的z a bi形式，漢彌爾頓將四元數寫成 q a bi cj dk，其中 a 是 q 的純量部分 (scalar part)， bi cj dk是 q 的向量部 當兩 個四元數相加減時，就是它們的純量和向量部分各自相加減；當兩個四元數相乘 的時候，純量部分用到我們今天所說的內積，漢彌爾頓稱之為純量積，而向量部 分用到我們今天所說的外積，漢彌爾頓稱之為向量積。在四元數裡，「向量」一 詞正式被賦予了它今天在數學中的意義；而它特指空間中的向量。
我們今天使用的向量符號系統，雖然已經不是四元數，但是空間 分 (vector part)。
向量還是經 常使
時間去發展四元數的理論與
？為什麼也突然 用漢彌爾頓的 i, j, k 符號作為標準基底向量。
大約從 1845 年起，漢彌爾頓幾乎投入了全部的
技術，並以全身之力推廣它的使用。例如，他用四元數重寫了《幾何原本》；如 今我們在課本中常見的「平面幾何之向量作法」可能源自於這本書。但是，能夠 重做《幾何原本》並不足以說服大家，因為畢竟幾何原本的知識都是舊知識，能 夠重寫只表示四元數可能與慣用的數學體系相容，或許有時候更方便些，但是數 學家更關心四元數能夠造出哪些新的、未知的知識？直到後來麥斯威爾等人發展 的電磁學，才彰顯了四元數的實用性，並且使得幾個人陸續將它簡化，改造成如 今所見的向量符號系統；在簡化與改造的過程中，逐漸放棄了原本希望四元數成 為數學中第三個「數系」的宏願（實數、複數、四元數），而與向量觀念發展的 另一條線索（線性代數）相結合，演化成今天的符號系統。
為什麼突然會有好幾個人不約而同地形成複數平面的想法
有好幾個人不約而同地形成了空間向量、甚至於內積和外積計算的想法？這是很 有趣的問題。其實，在數學、科學乃至於哲學上，都常有這種現象。彷彿某個問
題或某個想法忽然充斥於「空氣中」，有許多人雖未彼此溝通而同時感受到了。
這或許就是歷史的一種集體意識，當「認知」的發展到了某種程度，問題就浮現 了，而解決的方法也就呼之欲出。
四元數使得漢彌爾頓成為數學史上極為少見的「悲劇英雄」；有許多數學史 的作者以「悲劇」來詮釋這位天才在四元數上投注二十年光陰的故事。倒是應該 特別聲明，四元數雖然「失敗」了，但是它並沒有「錯誤」。數學家選擇「豐富」
但是簡潔的符號系統，而四元數雖然「豐富」卻可能過度複雜，所以它豐富的本 質被萃取出來，而複雜的符號系統卻逐漸被更簡潔的方式取代了。
