科學月刊【數‧生活與學習】專欄 9908
從四元數到空間向量（上）
單維彰‧99 年 7 月 19 日
在 1830 年之前，西歐的數學圈已經普遍知道平面上的點坐標 轉化成 複數a 的觀念，複數被認知為「平面數」，而實數就相對地成為「直線數」； 複數和實數具備同樣運算性質的加減乘除。讀者不難想像，那個時代的數學家不 可避免地想要創造「空間數」：將空間中的點坐標 轉化成一個可以像實 數和複數一樣做加減乘除計算的數。
( , )a b
bi
( , , )a b c
後人在高斯遺留的手稿中發現他在 1819 年嘗試過 a+bi+cj 形式的「空間 數」，其中的 a+bi 就是複數。但是並不成功也就沒有發表。據漢彌爾頓 (William Hamilton, 1805—65) 的自述，這個問題大約從 1828 年起成為他「智識上的渴望」
(an intellectual want)，直到十五年後的 1843 年 10 月 16 日，在一次「觸電似」的 神奇經驗中頓悟了三項不夠而需要四項的「空間數」：u+ai+bj+ck，稱為四元數 (quaternion)，其中 u 稱為純量部分，ai+bj+ck 稱為向量部分；i、j、k 扮演像複 數中的虛數單位 i 那樣的角色，稱為生成元素，而 u、a、b、c 都是實數。順便 一提，1843 年是中英〈南京條約〉生效的第一年，英國佔領香港。
[科學月刊為此照片添文字解說。這是紀念漢彌爾頓在都柏林附近的 Brougham 橋（現稱 Broom Bridge）上獲得四元數之靈感的碑牌。]
就像複數一樣，兩個四元數 p=u+ai+bj+ck 和 q=v+xi+yj+zk 相等的意義是 u=v、a=x、b=y、c=z。四元數的加或減就是對應係數的加或減，也就是 p±q
=(u±v)+(a±x) i +(b±y) j +(c±z) k，可見四元數的加法具備實數或複數加法的性
質：結合律與交換律。
至於乘法，漢彌爾頓直接規定四元數的乘法對加法滿足分配律，所以只要規 定生成元素之間的乘法規則，就能做四元數的乘法。這些規則是：i2=-1、j2=-1、
k2=-1、ij=k、jk=i、ki=j、ji=-k、kj=-i、ik=-j。根據以上遊戲規則，讀者不妨嘗 試一個簡單的例子：
(3+2i)(7i-5k)=3(7i-5k)+2i(7i-5k)=21i-15k+14i2-10ik=-14+21i+10j-15k 一般而言，四元數 p 和 q 相乘的結果如下：
pq=(uv-ax-by-cz)+(ux+va+bz-cy) i +(uy+vb+cx-az) j +(uz+vc+ay-bx) k
漢彌爾頓也定義像共軛複數一樣的「共軛」四元數： p =u-ai-bj-ck，則 pp =u2+ a2 + b2+ c2=|p|2，因為 pp /( u2+ a2+ b2+ c2)=1，於是產生p的倒數1 2
| | p
p p ，再規定 ( )1
q p q
p 就得到了四元數的除法；當然，除數還是不得為 0，而這樣定義的 除法自然滿足乘除互逆的性質。
四元數與實數和複數都「相容」。當 a=b=c=0，也就是向量部分為零，則 p 就是實數。當 b=c=0，則 p 就是複數。而且，當四元數「退化」成實數或複數的 時候，它們的加減乘除計算就像實數或複數一樣。唯一「遺憾」的是：四元數的 乘法不具有交換律。這可以從生成元素的乘法規則看出來，例如 ij=k 但是 ji=-k。
當 u= v=0，也就是 p 和 q 都只有向量部分，則 pq=-(ax+by+cz)+(bz-cy) i +(cx-az) j +(ay-bx) k
可見 pq 的純量部分是兩向量之內積的相反數，而 pq 的向量部分是兩向量的外 積。而外積是不可交換的，它具有「逆交換性」：u v (v u )
。所以，當 p 和 q 都只有向量部分，則 pq 和 qp 互為共軛四元數，通常並不相等；至於 p 和 q 都 是一般四元數的時候，pq 和 qp 就只知道純量部分相等了。
如果把向量認知為「有方向的長度量」，則向量相乘就該是「有方向的面積 量」。如此看來，四元數的乘法在向量部分等同於外積，就似乎有其不可避免的 內在需要。至於放棄了乘法交換律，也似乎是一種非如此不可的「棄保效應」： 棄交換律而保住更基礎的結合律(associative law)：若p、q、r是四元數，則 (pq)r=p(qr)。如果結合律不成立，就不能有「連乘」計算，因為(pq)r和p(qr)未必 相等，所以pqr沒有確切的意義。刻在金雀花橋紀念碑上的一條等式ijk=-1 就表 現了結合律。因為ijk等於(ij)k，也等於i(jk)，而前者是k2=-1，後者是i2=-1，兩 者相等，所以可以簡記為連乘符號ijk=-1。
事實上，「結合律」這個名詞就是在漢彌爾頓討論四元數的時候首度出現。
在四元數之前，數學家並沒有討論過不滿足結合律或交換律的運算；也就是從四 元數開始，數學的「代數」支系有了全新的視野：人們可以在一個全然人造的符 號系統中定義加減乘除，並討論其運算性質。
現在，我們應該可以不過份失真地詮釋漢彌爾頓發展四元數的心理狀態：他 要找到一種和直線數（實數）與平面數（複數）都相容的空間數。後人評判漢彌
爾頓是英國僅次於牛頓的偉大數學家；而且，也像牛頓一樣，他的物理學家身份 可能更勝於數學家。但是，在四元數上，漢彌爾頓是一位道道地地的純數學家：
他最關心的是數學內部的一致性，或者說是數學的「美」。
漢彌爾頓雖然也全面地在物理上示範四元數的應用，範圍包括當時所知的流 體力學、熱力學和光學（他在這些物理課題上已經聲名卓著），但是這些示範並 沒有產生新的物理知識，也沒有簡化原來的理論和計算，事實上可能還為了一致 性的美而付出更高的計算代價。真正可以仰仗四元數而發展的物理觀念，在漢彌 爾頓身故 (1865) 之後才發生，那就是麥斯威爾 (James Maxwell, 1831—79) 的 電磁理論。
