科學月刊【數‧生活與學習】專欄 9803
考試領導教學了嗎？
單維彰 98 年 2 月 13 日
『考試領導教學』原本是一個負面的概念，有時候甚至被指為罪大惡極的教育元 兇。按照這個邏輯，負責考試的單位也就似乎背負了不怎麼值得恭維的名譽。而 我前面說了「原本」，可見在此要提出一點異議。其實，時光荏苒社會變遷，事 情本來就是此一時也彼一時也，局勢的變化是常態而不值得大驚小怪。我最近發 現（或者反省）的是，在排列組合的數學課題方面，大學入學考試的題目是很合 理的簡單明白，反而高中的數學教室裡，教得太難，高中的評量測驗，考得太難。
在這方面，考試領導教學或許是個正面的概念。
因為工作的需要，我挑出民國 95 年以來的學測、數學甲、數學乙考試中關 於排列組合的題目，包括那些隱含在機率、遞迴、數列規律性裡面的題目，檢視 它們所需要的概念與技巧。結果發現，這些題目都是那麼地「基本」，基本到讓 我感到「驚訝」的程度。
我需要對讀者告白，也許就像很多高中學生一樣，排列組合是我當年最害怕 的課題。我總是抓不到思考的方法，弄懂了一題，做下一題又完全失去了方向。
就算做了題目，也總是不確定自己的計數方法，有沒有重複計算？有沒有遺漏？
它不像其他數學題目，只要抓到了合邏輯的方法，按照邏輯去計算，小心不要算 錯，就有信心得到了答案。可是，在排列組合方面，就算有了「一個」合邏輯的 想法，計算也沒有出錯，還是不能確定答案對不對？因為一個合邏輯的想法並不 保證囊括了所有的可能，所以計算可能有遺漏。究其根本，原因就在於我並沒有 真正學到排列組合的思考方法。
這個情況並沒有在大學的數學教育中獲得改善，因為我在大學時期刻意避開 了所有離散數學的科目。等到為了去美國留學而準備 GRE Subject (主科) 考試 時，做官方的模擬考題，發現總有一定比例的排列組合題目，而那些題目顯然是 我的罩門。但是，我雖然害怕那些題目，卻也不陌生：我感覺高中時代所學的排 列組合就足以對付美國的 GRE 數學本科考試（這個考試的對象是主修數學的大 學畢業生）。於是我找來一本高中數學參考書，研讀裡面的題型。事實上，只研 讀了大約 2/3 就確定夠用了。憑著這一點臨時抱佛腳的短期記憶，我做出 GRE Subject 考試中所有排列組合的題目（其他題目我本來就不擔心），獲得了 99% 的 成績等第。過了這一關之後，我又再也沒有思考過排列組合的問題。
但是，以我這種排列組合的破架式，戰戰兢兢地檢視近年大學入學考試題目 的時候，卻發現我全都會做！難道是我後來變聰明了嗎？也許吧。但是我認為，
歲月雖然多少給了我一點點智慧，卻不太可能自動帶給我排列組合的天分。事實 是這些題目設計得非常「合理」，而我認為合理的原因如下。
1. 如果題目的形式並非例行的形式，答案都夠小，小得可以逐一列舉。
2. 如果答案頗大，不適合列舉而需要計數技巧，則題目都是明顯可以應用基本 加法原理和乘法原理的形式。
那些夠小的答案，籠統地說，都是小於 25。而所謂加法或乘法原理，是那些經 歷了歲月而還可以使用的技巧，因為它們是大觀念，並且對應集合的聯集、交集 與乘集的觀念，所以是一般人能夠了解而不必刻意背誦的觀念。
有些題目簡單得像是數學「閱讀測驗」。我過去在本欄中談過「數學溝通」
的概念與評量實例，在這個觀點之下，我非常欣賞大考中心的閱讀測驗題型。以 下是一個例子。
一個「訊息」是由一串 5 個數字排列組成，且每位數字都只能是 0 或 1，例如 10010 與 01011 就是兩個不同的訊息。兩個訊息的「距離」
定義為此兩組數字串相對應位置中，數字不同的位置數。例如，數 字串 10010 與 01011 在第 1, 2 及 5 三個位置不同，所以訊息 10010 與 01011 的距離為 3。試問以下哪些選項是正確的？(95 數乙) (1) 與訊息 10010 相距最遠的訊息為 11101
(2) 任兩訊息之間的最大可能距離是 4
(3) 與訊息 10010 相距為 1 的訊息恰有 5 個 (4) 與訊息 10010 相距為 2 的訊息恰有 9 個
選項 (1) 和 (2) 並沒有計算，單純是數學定義的閱讀測驗。選項 (3) 和 (4) 可
的觀念和技術。就命題技巧而言 ，故意讓這個複選
題只有一個答案 (3)，學生容易動搖信心而犯錯。
下面這一題是很不尋常的題型，也有文字理解的
以用組合公式計算 和 ，也可以列舉。只有選項 (4) 稍微需要組合
，這一題稍微不仁慈的地方是
負荷，但是數量甚少，我邀
對夫妻，以及孫先生、李先生圍坐一個六人座圓桌吃飯，
這個 需要任何公式。在技巧上，
那麼單純，學生還必須了解環狀排列的特徵，不論 趙先
字母，後
5 5
1
C C
25 10請所有害怕排列組合，或者忘記所有公式的讀者，憑著常識列舉所有的狀況（我 是這樣解題的）。
趙氏與錢氏兩
其中趙先生和孫先生已在兩個相鄰的位置坐定。若限定夫妻不得相鄰，
則其他四人就座的方法共有幾種？ (97 數乙) 題目只有四個座位要安排，答案只有 10，根本不
因為趙太太已經有一個位子不能坐，由她的座位來討論比較方便。在三個不與趙 先生相鄰的座位上，依序討論若趙太太坐下，其他三人入座的可能性，再以加法 原理加在一起，就是答案。
在觀念上，上題或許並不
生和孫先生繞著圓桌坐在哪兩個位子，都不會增加不同的就座排列。而趙先 生和孫先生的左右關係也不該讓答案乘以 2，因為那只是順時針排列或逆時針排 列的兩種看法而已。可是，這些障礙，都可以在列舉的過程中看得出來，不必背 誦任何公式。話說回來，要求考生在緊張氣氛下思考，並不見得公平。
以下範例，是個答案頗大不能列舉，但是形式合理的題目。
某地區的車牌號碼共六碼，其中前兩碼為 O 以外的英文大寫
四碼為 0 到 9 的阿拉伯數字，但規定不能連續出現三個 4。例如 AA1234, AB4434 為可出現的車牌號碼；而 AO1234, AB3444 為不 可出現的車牌號碼。則所有第一碼為 A 且最後一碼為 4 的車牌號碼個 數為何？(97 學測)
(1) 25 (2) 2593 92 (3) 10 25900 (4) 25990 (5)
這一 需要的 包括 (a) 母有 (b) 字母與數字的組成要用 999
25 題所 觀念， 英文字 26 個，
乘法原理，和 (c) 數字要用加法原理扣除不可以的情況，亦即 ?44 之中?有 10 種可能，故共有25(100010)25990種車牌號碼。
但是，在教學現場，老師用什麼題目來評量學生呢？舉兩個典型的例子：
1. 三個人坐一排九個位子，兩兩不相鄰的坐法共有幾種？
2. 請問
x
y
u
v
25共有幾組正整數解？這兩題，有沒有勾起很多人不願再想起的惡夢？大學入學考試，已經不考這種問 題很久了。按照近年考題設計的理念來看，將來若有這種類型的題目，也會設計 得數量夠小讓人可以列舉。對照近年的大考題目，各位有無跟我一樣的想法，就 讓『考試領導教學』吧。
