參加大學的服務貢獻中餐 [美國] 李學數

(1)

HPM 通訊第十三卷第五期第一版

發行人：洪萬生（台灣師大數學系教授）

主編：蘇惠玉（西松高中）副主編：林倉億（台南一中）

助理編輯：李建勳、黃俊瑋（台灣師大數學所研究生）

編輯小組：蘇意雯（台北市立教育大學）蘇俊鴻（北一女中）

黃清揚（福和國中）葉吉海（陽明高中）

陳彥宏（成功高中）陳啟文（中山女高）

王文珮（青溪國中）黃哲男（台南女中）

英家銘（英國劍橋李約瑟研究所）謝佳叡（台師大數學系）

創刊日：1998 年 10 月 5 日每月 5 日出刊網址：http://math.ntnu.edu.tw/～horng

 參加大學的服務貢獻中餐

 三角形外接圓半徑與內切圓之半徑比值

 機率的大秘密

參加大學的服務貢獻中餐

[美國] 李學數

我執教的大學在4 月 29 日邀請我參加服務 25 周年的中餐。

在兩個月前，校長辦公室秘書要我偍供一張以前的照片，以及寫一個不超過100 字的短文談自己的二十五周年感言。

那時由於我要參加佛羅里達州的數學會議，沒有時間寫這短文，於是就抄了一首詩歌，然後寫一個句子充數。

中餐可以帶太太或者一個朋友，這一餐是值25 美元，也可以購買餐卷。我太太說她要工作不能請假，她放棄參加。

我就邀請我好友羅先生來參加。他現在提早從Cisco 退休，和我一起做研究，讓他來認識我們學校環境。

我們十一點半進入學生樓的大廳，門口貼上每個人安排的座位。我是安排在第九桌。

已經有一對夫妻在第九桌，我們自我介紹，先生是在物理系的印度教授，在這裏教了二十年是搞光學的。

他說現在念物理系的學生不太多，他們的系不太大，只有十多位教授。

我說這裏還好，我在Wichita Kansas State University 教書的 Chopra 教授告訴我，明年他們的物理系整個系要關門，真是悲慘。那裏的終生職教授要另外找事，而系主任才剛上任不久就要被解聘。

我們談論明年這裏大學要解聘一些教授和職員，現在有一些人開始戰戰兢兢的過日子。實在很難想像美國最富的州的大學要面對「無米之炊」的困境。

我們聊一些印度大學的情況，他不時回印度去講學。也聊一些印度電影，他們告訴我最近看到了一部好看的電影：「我的名字叫可汗」。印度教授說印度有錢人許多都是姓「可汗」的回教徒。

我吃一小塊牛肉和蛋糕甜品。我喜歡吃甜食，旁邊有一個人沒有來，這甜食就由我代吃。我也把那裏的牛油麵包吃掉。

教授有15 年，20 年，25 年，30 年，35 年，40 年，45 年的服務。唸到某年服務年的

(2)

HPM 通訊第十三卷第五期第二版

教授排隊，講臺的銀冪顯現那個年大學與美國的重大事件。然後，教授個別上講臺與校長合影與領取紀念品。

可以看到三十年前停車費才兩角五分, 現在已要五元。二十多年前這裏有許多果園, 現在都變成房屋了。這裏曾是許多百萬與千萬富翁出現的矽谷，現在卻是有許多高資歷與高學位人士失業的地方, 真是” 二十年河東, 二十年河西” 。

輪到我時負責人唸我提供威廉艾倫德隆古爾 (Will Allen Dromgoole) 寫的《造橋者》

的詩歌：

在一個寒冷陰沈的夜晚，

一個老人走在孤獨的路上，不久來到一個巨大、深厚的裂口，裂口下流著遲緩的水流。

他在微暗中走過去，

但是，當他安全到達彼岸時，

他回頭在那裏造了一座橋樑。

旁邊一個旅人說：“老人家，

你是在浪費你的力氣和精神，

因為這天結束時，你的旅程亦將結束，

你絕不會再經過這裏，

而你已渡過這個巨大、深厚的裂口，

你卻還要造一座橋，這是為了什麼？

造橋的老人抬起他那灰白的頭，

說：“這位朋友，在我來的這條路上，

有個少年跟在我後面，

他必定也會來到這裂口旁。

這個地方對我是沒構成煩惱，

但對那位少年卻可能是個圈套。

因為他也必須在微暗中渡過這裂口，

我這座橋是為他而造的，這位朋友!

我的感言簡單：感謝聖荷西州立大學提供我機會從事教學和研究, 我是為年青一代造橋的人，如果有來生我仍願意從事教育的工作。

25 年服務的紀念品是一個美麗的鐘。

離開餐會給太太電話，告訴她中餐是很精美，紀念品不錯是一個鐘。她的反應是很「中國式」：「怎麼送你鐘呢？」

我說這個比我數學系的好友Ed Schmeichel 教授領到的一個石頭紀念牌好許多，他是服務35 年。

東西文化不一樣，你怎能要求美國大學考慮中國教授的文化習俗 -- 在喜慶時，不能送鐘給人家。

離開大學老羅感嘅地說：在工業界你退休了很快就被人遺忘，還是教育界比較有人情味。（2010 年 4 月 30 日）

(3)

HPM 通訊第十三卷第五期第三版

三角形外接圓半徑與內切圓之半徑比值

林炯伊奎山中學一、緣起

農曆過年的氣氛仍未散去，圍牆外不時傳來鞭炮聲慶祝新年，然而一群即將面對國中基測的孩子已經到學校，面對無情的考卷一張接著一張……

若△ABC 的外接圓面積：內切圓面積＝ 4：1，則下列敘述何者正確？

(A) △ABC 是正三角形

(B) △ABC 的內心與外心一定是同一個點 (C) △ABC 的內心與外心一定不是同一個點 (D) 外接圓周長：內切圓周長＝2：1

對學生來說這不是一個難題，因為這不是一題許多人答錯的題目。事實上很少人寫 (D) 以外的選項，而 (D) 正是標準答案。

學生甲：「選項(A)與(B)為等價，因為這是單選題，所以答案不是(A)或(B)。而(C)選項有明顯的反例為正三角形，故此題選(D)。」

學生乙：「由外接圓面積:內切圓面積＝4：1，可得半徑比為 2：1，故周長比＝2：1，

選(D)。」

在時間的壓力下，沒有人去管 (A) 與 (B) 到底對不對，是否有非正三角形而外接圓半徑 R 與內切圓半徑 r 的比值＝2 的例子。反正選 (D) 不會錯就好。(以下簡稱 R

r 為「Rr 比」) 二、課堂上

在講台上，我注意到這個問題要找出非正三角形的例子並不容易，但是，單選題卻暗示Rr 比＝2 的三角形不只正三角形。於是，我開始用國中數學構造反例。

反例1. 構造 Rr 比＝2 的直角三角形

如圖，△ABC 中，∠B＝90°。I 為內心，P、Q、R 為切點。O 為外心

1

1 1

d 4-d

d 2

1 Q R

O

P I

B C

A

(亦為AC中點)。令 IP ＝r＝1，OA＝R＝2，CP＝d。

由切線性質， CQ ＝CP＝d， AR ＝ AQ ＝ AC CQ ＝4－d，

另外，IPBR 為正方形，故 RB ＝ IP ＝1， BP ＝ IR ＝1 再由畢氏定理，⁴² ^{ }



¹ ^d



²^{  }⁽⁴ ^d ¹⁾²

(4)

HPM 通訊第十三卷第五期第四版

整理得到 d²4d  05 ，d 無實數解！故所有直角三角形的 Rr 比 ≠ 2。

反例2. 構造 Rr 比＝2 的等腰三角形

如圖，△ABC 中， AB ＝AC＝2s。I 為內心，P、Q、R 為切點。O 為外心

2s-d

2 2 2

d 1 d

d d H

R O Q

I

B P C

A

（A、O、I、P 四點共線），H 為 O 點到 AB 的垂足。

令 IP ＝r＝1，OA＝R＝2，CP＝d。

由 2 BCAP

＝△ABC 的面積＝ ( ) 2

r ABBCCA

推得d 4s²d² ＝d2s …(1) 由 2

AB OH

＝△AOB 的面積＝

2 OA PB

推得s 4s² ＝d …(2)

(2)代入(1)可得 s 4s² s⁴ ＝s 4s² 2s，s⁶6s⁴9s²  0





^{s d}^,



只有一解( 3 , 3 )，即 s＝d 的正三角形解。

大部分的學生其實都預期反例存在，也就是正三角形以外，也有Rr 比＝2 的三角形，

而老師馬上就可以舉出例子。於是，在解到方程式「d²4d  」無解時，學生的反應5 0 有「怎麼會是這樣的結果？」、「噁……判別式小於零」、「接下來怎麼辦？結論是什麼？」… 等。

因為國中數學基本上只能解決直角或等腰三角形的問題，而等腰三角形的情形對於大部分學生太過複雜，所以，我只演示了直角三角形的情形。對於到底有沒有非正三角形的 Rr 比＝2，只能說「老師回去找到例子再告訴大家」。

三、課後研究

成果1. 任意三角形的 Rr 比大於等於 2。若 Rr 比等於 2，必為正三角形。

證明：令三邊長為a, b, c，三角形面積   ，則有 4 abc

  R ， 4 R abc

 1 ( )

2r a b c

    ， 2 ( ) r a b c

 

  1 ( )( )( )(

4 a b c a b c a c b b c a

          ) (Heron 公式)

故 2 ( ₂ ) 2

4 ( ) 8 ( )( )( )

R abc abc a b c abc

r a b c a b c a c b b c a

  

   

         

(5)

HPM 通訊第十三卷第五期第五版

不失一般性，假設最長邊為a，則有

  

2 2

3 2 2

2

( )( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) 0 abc a b c a c b b c a

abc a b c a b c b c a abc a b c b c a

abc a b c a b c b c a a b c a abc b c b c a a a b a c b c b c a

      

       

 

      

 

         

       

       

故 2

( )( )( ) 2

R abc

r  a b c a c b b c a 

      (反思 1) 當等號成立時，

( )( )( ) abc  a b c a c b b c a  0

2 0

( )( ) ( ) ( ) a a b a c   b c b c a 

2

( )( ) 0

( ) ( )

a a b a c b c b c a

  

 

   

 0  a b c 證明結束。

此結果同時也說明了若等腰三角形的 Rr 比＝2，則必為正三角形。

成果2：任意直角三角形的 Rr 比大於等於1 2。不等式中等號成立時，必為等腰直角三角形。

證明：如圖，△ABC 中，∠B＝90°。I 為內心，P、Q、R 為切點。

1

1 1

d 2R-d

1 Q R

P I

B C

A

令 IP ＝r＝1，CP＝d ，Rr 比＝k (故AC＝2R＝2k)。

由畢氏定理 (1d)²(2k d 1)² (2 )k ²，整理得

2 1 1 2

( 1 ) 2 2 2 1

k d d

d d

    

   。 1 因為在直角△ICP 中，∠ICP＝1

2^∠ACB＜45°，

 ICP 45°∠ ＜＜∠CIP  IPCP  1＜d  d 1 0

1 2 1 2

( 1 ) 1 2 ( 1)( ) 1 1 2

2 1 2 1

k d d

d d

          

由算幾不等式

  (註 4) 等號成立時， 2

1 1 d  d

  d 1 2

 AB2R  d 1 2k   d 1 2 2 1  d 證明結束。

這裡須注意，任意的

BC

△ABC 若 Rr 比等於1 2，則△ABC 未必是等腰直角，可以既不是等腰也不是直角三角形！譬如，三邊長為 1,1,2 2就是一個 Rr 比等於1 2，但不是直角三角形的例子。

(6)

HPM 通訊第十三卷第五期第六版

在介紹下一個成果之前，先證明兩個引理：

AB

引理1：若 A、B 為圓 O 上兩相異點，P 為圓上異於 A 與 B 的任意點，K 為的中點而且K、P 兩點位於 AB

的兩側。則△PAB的內心I 落在以 K 為圓心，KA 為半徑的圓上。

證明：假設＝，∠ ＝，

因平 APB 並且過

 KAI＝∠ ∠KAB + BAI＝∠

∠APB 2α BAP 2β

H₂' H₁'

H₃ H₂

H₁

I₃ I₂ I₁

P B

M O A

I₁ I₂ I₃ r₁ r₂ r₃ K

E O D

B

A

C

為I 是△PAB 的內心，所以 PI 分∠

K 點

A





  KB

2 ＋β

＝＝＋＝∠AIK

K I P

∠KPB +β α β

O

KI KA

 證明結束。

引理2：若

B

1 2 3

MAI I I 是1

4圓，O 為圓心，B 為圓上另一點使得I O₃  AB且 到 AB 的垂足，

1 2 3

I OAI OAI OA

 ，H₁、H₂與H₃分別是I 、₁ I 與₂ I₃

別 ₁ ₁

1'

H 與H₂'分是I 、₁ I 到₂ MO的垂足，則有IH ₂ ₂ ₃H₃。證明：將△

I H I

 

I O1 H₁'以O 為中心順時針旋轉I OI₁ ₂後會得到 I ＝1 I 、O、₂ H₂'、H 四₁' 點共圓，再由

1 1 2 2

I OM I OA AOM I OM

    AOM  I OA   

2 2'

1 1' OI H

OI H  



 H O₁' H O₂' (大弧對大弦)

1 1' 2 2'

I H I H (因為等斜邊直角三角形)



 I₁H₁I H₁ ₁'H H₁ ₁'I H₁ ₁'H H₂ ₂'I H₂ ₂'H H₂ ₂'I H₂ ₂ 再令I O₂ 交 AB於P 點，則有

2 2 2 2 3 3 3 3 3

I H I PI OPOI OPOI OH OI H

1 1 2 2 3 3

I H I H I H

故證明結束。

成果3. 若△ABC 是鈍角三角形，則 1 2 r   。

R 反之

△ C A 90°，

O C

不一定成立。

 證明：不失一般性令鈍角 AB 中∠

為△AB 的外心，K 為^AB的中點，

過、作B K 圓O 的直徑BD 、KE 。

I 、1 I 、₂ I 分別為₃ △ABC、△ABD、△ABE 的內心，

(7)

HPM 通訊第十三卷第五期第七版

r 、1 r 、₂ r 分別為₃ △ABC、△ABD 與△ABE 的內切圓半徑，

由引理1 可知，I 、₁ I 、₂ I 皆落在以 K 為圓心， ₃ KA 為半

1 80° A－∠ADB 0° 0°－

所

徑的圓K 上。因為

∠ABC＝ 80°－∠A－∠ACB＝1 －∠ ＜18 －9 ∠ADB＝∠ABD

以， AI ＝₁ ∠ABC＜∠ABD＝ AI ，₂ I K₁ AI KA₂

BD BD 、 KE 皆過 O 點且 B、D、K、E、O 互異，所以 K、E 在

另外，因為的兩側

ABD＜∠ ∠ABD＋∠DBE＝∠ABE ，

  ＝AI₂ ∠ABD＜∠ABE＝ AI₃， I KA ₂  I KA₃

 ＝∠ABE ＜90° （等腰△ABE 之底角）而且I K₃ AB I KA3

 AI₃ 又＝

所以，由引理2 可得 r ＜₁ r ＜₂ r₃，令R 為圓O 半徑

1 2

R R

r r 。因為△ABD 是直角三角形，由成果2 的結果可得

2

R

r  1 2 ，故

1 2

R R

r r  。反之為何不對？因為

1 2

2

R abc

( )( )( ) r  a b c a c b b c a

      ，令a=b=10000 為一個很大的

，而c＝1，便製造出一個 Rr 比很大，但卻是銳角三角形的例子。證明結束。

數

1 2 R

r   成果4. 若△ABC 滿足，證明：由

則必為銳角三角形。反之不一定成立。

成果2 可知若R 1 2

r   ，必不為直角三角形。由成果 3 知鈍角三角形的 1 2

r   ，故三角形的Rr 比若小於

R 1 2，必為銳角三角形。反之，一個銳角三角形有

能是兩腰很長的等腰三角形，而使得R 1 2 r  

可。證明結束。

至於三角形的存在性，亦即給定R r

。讀者可參考鄭再添，〈「兩內離圓夾住三角形的條件」解答〉，《數學傳播》第12 期第一卷。

反思

於不等式

為一個任意數（大於2），則存在無限多個這種三角形

1

( )( )( ) 1

abc 

對 a b c a   c b b c a 的證明經歷一個有趣的過程，因為分式裡的每一項皆為正數，所以，我們很自然地想利用「算幾不等式」：

(8)

HPM 通訊第十三卷第五期第八版

(a b c       ) (a c b) (b c a) 3 ( 3 a b c a  )(  c b b c)(  a)

3

( )( )(

3 a b c

a b c a c b b c a

          

 

  )

故 ₃

)( )( )

3 a b c a   c b b c a  a b c  

 

 

然而，只作了一次估計，就使得不等式陷入萬丈深淵……無論

「不太反應」這小項的影響。例如：(a, b, c)＝(3, 3, 0.000006) 時，

(

abc  abc …(A)

再使用什麼方法，都無法得到想要的結果！因為a、b、c 之中只要有一個小項，就會使得分子很小，但是分母卻

3 2.0000023

3

a b c 

   

 

 

是一個小於1 且接近 0 的值，這表示 (A) 式已經失敗，沒有繼續推導的必要。雖然算幾不等式一般來說是保守的估計方法，但探討失敗的原因，是在對分母作算幾估計時，無法保有「產生小項的因素」，導致「分

0.000054 abc

子有小項而分母未必有小項」，而失去原分式對於下界的格限制。這讓我不禁反省：是否因為自己對於工具的了解不夠，而導致一些難以解決的

反思此種問題對數學學習的影響

毛病外，

數學不論

Rr 比是判別三角形的新工具！

嚴

數學問題一直徒勞無功不自知。

2

評量的目的是能夠幫助學習，找出比較不熟悉的或還沒學會的概念，然而，回過頭來看此選擇題，除了變成了多選題、沒考到要考的概念、各選項之間不互相獨立的

更糟的是，在「分數決定一切」的大環境下，造成學生不求甚解的態度---將來學遇到什麼疑問，能像這次一樣得到分數就算了，不必管它是不是真的有反例？

四、結論

直角三角形

R

r 2

1  2

銳角三角形

鈍角三角形

「狹長型」銳角三角形

正三角形等腰直角三角形

(9)

HPM 通訊第十三卷第五期第九版

其他推論：若A、B 為圓 O 上兩相異點，P 為圓上異於 A 與 B 的任意點。則△PAB 的Rr 比最小值發生在 P 位於優弧 AB 而且PAPB的時候。

點必須位於由引理1 與 2，可得到 P AB

位於優弧

的中垂線上，才會有最大的內切圓半徑，而使得△PAB 的 Rr 比最小。現在令 P AB 上且 PA PB ，P’位於劣弧 AB 上且

' ' '

P AP B。AP ＝a， AP ＝b，AM ＝， d bd

a

ad ' b

P M ＝ PM ＝ 由△AP’M △PAM，得到，

I' I P' P

M O

B A

＝bd d a b d

 ＝ad d b a d

， IM  '

由內分比性質，得到I M

2 2

' (

( ) bd d

) I M a b d b

ad d a b d

 IM a d a d

  

 

 ，因為P 位於優弧 AB，

故

b 

 '

AP

AP ， b



a

2 2 2 2 2

2 2 2 2 1

( )

a b d ab b d

IM    

  ² 

' ( )

I M b a d ab b d ab b d a b a d

  

△PAB 的 Rr 比＝

 '

OP OP

IM  I M ＝△P’AB 的 Rr 比證明結束。

(10)

HPM 通訊第十三卷第五期第一○版

機率的大秘密

李政憲北縣林口國中第一幕：兩顆骰子的打賭

「噹！噹！噹！噹！……」下課鐘響，小翔與明耘兩人三步併作兩步追上數學老師。

「老師！老師！」洪老師回頭，推了推鼻樑上的眼鏡，「哦！是你們啊！有什麼事嗎？」「老師，我們有問題想請教您。」小翔在老師話還沒說完，便一股腦兒地把要講的話說出。

「是什麼問題呢？」

「就是昨天啊！我們家表哥到我家來玩，我們倆閒著無聊，我表哥突然就提議要玩丟骰子遊戲，方法是他作莊，只要我連丟一個骰子四次，至少出現一次一點我就贏。」

「嗯，然後呢？」

「結果不曉得是不是手氣好，玩了半個鐘頭以後，我還小贏他一點呢！」小翔比出勝利的手勢，接著又說：「只是後來他說只丟一顆不過癮，要一次丟兩顆。」

「哦！」

「因為顆數變多，我想機率變小了，所以我們的規則就改變了。」

老師接著問：「怎麼改變呢？」

「連丟二十四次，同樣是出現兩次一點我就贏。」

老師微笑：「嗯，結果呢？」

「這一次幸運之神就沒站在我這裏了，結果後來我所贏的錢又慢慢地輸回去了。」

一直沒說話的明耘開口了：「剛剛我們上一節下課就在辯，他說機率是一樣的，我說應該會不一樣，不然他不會先贏了又輸。」

「你們很有實事求是的精神嘛！小翔，你是怎麼算的呢？」

小翔接著說：「一顆骰子丟出一點的機率是1

6，所以連丟四次我贏的機率是1 2 6  ，4 3 自然我會贏啦！」接著又像連珠炮繼續下去：「只是我是覺得後來兩顆骰子丟出兩個一點的機率是 1

36，連丟二十四次後我贏的機率應該是 1

3624，一樣是2

3啊！」

老師轉頭：「明耘，那妳是怎麼想的呢？」

「我是覺得連丟四次的機率應該不可以乘以4 吧！不然連丟六次不就要乘以 6，一定會出現一次一點了嗎？」

老師微笑：「很好哦！妳把上課時老師說的機率與固定頻率不能誤用，分辨地很清楚呢！」接著又問：「那你們覺得現在應該怎麼算呢？」

明耘接著回答：「我記得這個題目應該要用老師上課提過的『獨立事件聯集定律』來算，應該不能算贏的機率，要反過來先算輸的機率。」

小翔搶著說：「啊！那我知道、我知道。沒有丟出一點的機率是5

6，所以連丟了四次

(11)

HPM 通訊第十三卷第五期第一一版

以後，就是5

6連乘四次，5 5 5 5

6 6 6 6   ……，ㄟ……，是多少啊？」

老師接著說：「面對這個計算較複雜的問題，我們只要先知道它的機率是不是超過1 2就可以了。你們覺得要怎麼算呢？」

小翔很快就反應：「用計算機就好了嘛！」

明耘想了想，接著說：「如果不用計算機的話，連乘兩次是25

36，也就是 75

108，分子分母各減掉一些，大約是 70

100，再用0.7 乘以 0.7 等於 0.49，應該會小於1

2吧！」

這時三人正巧走回數學老師的辦公室，老師順手拿了桌上的計算機：「小翔，你算算看。」

只見小翔飛快地按了計算機上的按鍵：「0.482253，哇！明耘，妳好準哦！」

明耘不好意思地笑了笑：「再用互補事件的概念，用一減去輸的機率，贏的機率超過一半，難怪小翔一開始會贏了。」

小翔手沒閒著，按下計算機後，嘴巴接著說：「原來只有0.51 多，難怪玩了半個鐘頭，

我只有贏一點點。」

「可是老師，兩個骰子的機率要怎麼算呢？」明耘問。

「想想看，兩個骰子丟出不是兩個一點的機率是多少？」

兩人異口同聲地說：「 36 35！」

「所以呢要丟24 次？」

「難不成要 36

35連乘24 次？怎麼算啊？計算機一次一次按很累呢！」小翔問。

「如果沒有工程用計算機，這時候就要透過電腦方便計算了。」

只見老師已經把電腦打開，開啟程式按下數字，「答案約為0.508596，」

明耘接著說：「老師，我想到了！用計算機也可以先計算出連乘4 次或 6 次的答案，

再用這個答案去連乘就可以了。」

「明耘不錯哦！用到我們教過的指數律呢！」老師誇獎。

「所以用1 去減，所得機率就不到1

2，難怪我後來會輸了。」小翔恍然大悟，此時鐘聲再度響起。

「其實機率還有不少故事可以講呢！想不想聽？」老師詢問。

「好啊好啊！」兩人異口同聲。

「那就午休時間再來吧！」

「好，謝謝老師！」

《第一幕完》

(12)

HPM 通訊第十三卷第五期第一二版

第二幕：機率的由來「報告！」

「哦，是你們兩位啊！請坐吧！」老師帶兩位同學到旁邊椅子坐下。

「謝謝老師。」

「你們知道機率是怎麼來的嗎？」老師詢問兩位同學。

兩人異口同聲：「不知道ㄟ……」

「早在十四世紀時，義大利和荷蘭為了保護商船，成立了海上保險公司，這是將統計調查加以系統化後，針對特別事件推算機率的由來。」

「哇！十四世紀！那不就有五百年以上了。」小翔驚嘆道。

「嗯，其實還在更早的西元前1200年，特洛伊戰爭時就曾以羊骨及狗骨頭製作骰子，

讓希臘士兵在圍城時不會無聊。」

「特洛伊戰爭？那不就是『木馬屠城記』的故事嗎？」小翔問。

「那不是故事！是真人真事。」明耘糾正。

「嗯，十九世紀時，已經有考古學者證實真有此事了。」老師補充說明，並接下去說道：「而到了西元前後的羅馬時期，骰子甚至是從皇帝到平民都十分熱衷的遊戲。」

「老師，他們會賭博嗎？」小翔問。

「那是當然的囉！所以後來的羅馬，以至於猶太民族，甚至到中世紀時的基督教會，

都曾明文禁止擲骰子或玩撲克牌的遊戲。而在十三世紀時，法國的路易九世也頒佈了禁止擲骰子與製造骰子的禁令。」老師說明。

「所以，他們在玩骰子時，就已經會計算機率了嗎？」明耘問。

「可惜的是這一千多年的歷史，似乎並沒有這兩者直接相關的記載。」老師說。

小翔接著：「我想如果我生長在那個時代，說不定就可以靠機率騙吃騙喝了。」

「我看才不呢！早上是誰在說丟骰子的機率都是固定的呢？」明耘取笑著。

「唉喲！那是人有失蹄……啊不，是馬有失蹄……也不是，是人有什麼的，唉喲！隨便啦！反正就是一時的誤用而已啦！」小翔強辯。

老師笑著接下去說：「失之毫釐，差之千里，不過機率真正開始蓬勃發展，還是跟賭博有關哦！」

「怎麼有關？」兩人問。

「十七世紀時，法國的梅雷（註１）與他朋友的一場賭局中，規定誰先贏得三局，就可以把所有的賭金贏走，可是才玩到一半，賭局被迫中斷，這時梅雷已經贏得兩局，而他的朋友只贏一局。」

「後來呢？」兩人詢問。

「由於賭局無法繼續，因此要以目前的戰績去分配所有的賭金。」

「多少錢啊？」小翔問。

「大概是64枚金幣，只要算出兩人應得的比例就好了。」

小翔嘟嚷著：「不會算那個梅什麼的贏就好了嗎？幹嘛那麼辛苦。」

明耘接著：「因為他的朋友也有反敗為勝的機率啊！」

小翔不甘示弱：「可是他贏的機率比較大啊！」

明耘又回一句：「所以才要算兩個人贏的機率與比例啊！」兩人開始口槍舌戰。

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HPM 通訊第十三卷第五期第一三版

「好啦！別吵了，有老師在休息呢！」老師緩頰。

「就像你們所爭的，梅雷也想到同樣的問題，可是他自己無法解決。所以他就請教了他的另一個朋友巴斯卡（註２），希望可以尋求解決的方法。」

「巴斯卡？是國二學乘法公式那個『巴斯卡三角形』的巴斯卡嗎？」明耘問。

「嗯，沒錯，那時他就已經以數學專長聞名於法國了。」老師回答。

「後來呢？」小翔問。

「巴斯卡有了一些想法後，自己也不能肯定是不是正確的，於是就寫信請教了當時的另一位業餘數學家費馬（註３）。」

「是費馬最後定理的發現者嗎？」明耘詢問。

「明耘的書看的不少哦！就是他沒錯。」老師接著：「他們用不同的方式，解決了同一個題目。」

「哇！果然不愧是數學家，真厲害。老師，這就是你常說的一題多解嗎？」小翔問。

老師微笑：「你的反應還蠻快的呢！沒錯，可以這樣說。」

明耘問：「後來這個問題怎麼解決的呢？」

「用個你們比較容易接受的方式說給你們聽好了，」老師拿出了筆，在紙上畫出：

「這是樹狀圖嘛！」小翔說道。

「沒錯！就是你們剛學的樹狀圖，我們以A代表梅雷，B表示的是他的朋友，並假設兩人每一場所贏的機率相同。」老師接著說：「所以如果A再贏一場，遊戲就結果了，這時A 贏的機率是1

2。」「哦！所以另一邊是B贏的1

2，可是這時遊戲還沒結束，」

明耘接著說：「所以要再比一場，這時兩人所贏的機率相同，所以機率是原本1 2的一半，也就是各

4

1了。」

小翔搶著說：「再來我知道！因為A兩種方式所贏的機率是互斥的，所以根據加法原理， 4

3 4 1 2

1  ，所以他的朋友贏的機率就只有 4

1，也就是賭金按照3:1的比例去分配就可以啦！」

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HPM 通訊第十三卷第五期第一四版

「小翔開竅了呢！看來有動腦筋還是有差哦！」老師誇獎，小翔不好意思地摸摸頭。

「你們有不少同學覺得樹狀圖簡單，卻不知道有時候複雜的問題，反而要用最簡單的方法去解決。所以啊！不要說數學沒用，有時候常常是……」

兩人異口同聲：「人沒用！」

老師笑著：「離下課還有點時間，想不想了解一下數學家巴斯卡？」

「好啊好啊！」兩人回應。「那我們就繼續囉！」

《第二幕完》

第三幕：數學家巴斯卡與巴斯卡三角「小翔，你喜不喜歡玩電腦？」老師詢問。

「喜歡啊！可是老師，你不是要講巴斯卡嗎？」小翔回答。

「所以你得好好感謝巴斯卡啊！因為是他發明了第一架數字計算機，也就是現在電腦的始祖呢！」「真的啊！那他的目的是要做什麼的呢？」明耘問。

「因為他要幫他的父親計算收稅，所以在19歲時，自己就設計製造了當時第一架的數字計算機，也因此聞名於當時。」

「哇！好厲害哦！19歲呢！」小翔讚嘆著。

「他以他的專長幫父親解決問題，也算是盡點孝道。不過在這之前，他的父親曾經一度禁止他念數學呢！」老師說。

明耘接著問：「為什麼呢？」

「因為他從小的身體就不好，又常常讀數學讀得廢寢忘食，為了不影響他語文的學習，所以在他15歲以前，他的父親禁止他讀數學禁了一段日子。」

「天啊！讀數學讀到這種地步，這個我絕對作不到。」小翔苦笑，

老師接著：「說不定只是時候未到呢！不過後來發現禁止他反而可能會讓他覺得更痛苦，所以沒多久就放棄了。」

「嗯，有時候自己想做的事被逼著不能去做，也是蠻痛苦的。」明耘回應，小翔接著：

「像每次段考前我媽媽都會禁止我玩電腦，我就會覺得很痛苦。」

「其實他的父親是個數學愛好者，有著不少的藏書，巴斯卡甚至還在12 歲的時候，

根據父親對他講過的一些幾何知識，自己對獨立研究，證明了『任意三角形的內角和都是 180 度』；從那天開始他的父親就不再限制他，甚至還主動拿出了幾何的經典書籍『幾何原本』讓他閱讀，也因此他在13 歲的時候就發現了『巴斯卡三角形』。」老師解釋著，並接著說：「然而不再限制以後，他在16 歲那年受笛卡兒（註４）的影響發現了『巴斯卡定理』

（註５），並根據這個定理寫了四百多篇的論文。」

明耘接腔：「老師，寫一篇論文不是要花不少時間嗎？四百多篇論文應該要寫很久吧？！」

「所以你們可以感受他對數學的天才與狂熱了吧！其實他不但對數學有興趣，對於物理學的貢獻也不遺餘力，在他二十三歲時所作的托里切利實驗（註６），證明了空氣有壓力，製作了水銀氣壓計，還轟動了當時的法國一陣子。」老師說，小翔接著：「這個自然

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HPM 通訊第十三卷第五期第一五版

老師有說過！所以壓力計算單位有一個就是以他的名字來命名的。」

老師又說：「嗯，也因為他發明了第一台的手搖計算機，可以計算六進位的加減法，

所以有種計算機語言也以他的名字來命名。」

「再加上他在機率上的貢獻，那他真是數學與自然不可或缺的人才呢！」明耘說，老師接著：「可惜的是在他31 歲時，他在巴黎乘馬車發生意外，差點掉到河裏去，他受驚後覺得是神明庇護，於是決定放棄他的研究，改去研究神學。」

「好可惜哦！」小翔婉惜地說，老師又接著：「不過還是不少數學家受到他影響，像萊布尼茲（註７）就是讀了他的著作，才建立了微積分的理論。」

「好啦！歷史講的差不多了，我們來看點數學吧！」老師一邊說，一邊在紙上畫出下列圖形：

兩人異口同聲：「巴斯卡三角！」

老師微笑：「有誰還記得它上面的數字是怎麼來的嗎？」

「這個我知道！」小翔搶著回答：「上面的兩個數字加起來等於下面那個數字，1+1=2，

1+2=3，3+3=6，還有 5+10=15 都是這樣算的！」

老師接著問：「要怎麼用它呢？」

明耘回答：「我還記得可以計算 a+b 的 n 次方的係數吧？！所以第一層的 1 代表的是 a+b 的 0 次方等於 1，第二層的兩個 1 代表的是 a+b 的 1 次方分別是 a 與 b 的係數等於 1，

第三層的1、2、1 代表的是 a+b 的 2 次方分別是 a²、ab 與 b²的係數等於1、2 與 1，所以 a+b 的 3 次方各項的係數就是 1、3、3、1 了……」

老師接著：「沒錯！現在試著把 a 與 b 都換成 1，」

小翔馬上接著：「這個簡單！1+1 的 0 次方等於 1，1+1 的 1 次方等於 2，1+1 的 2 次方等於4，……，所以 1+1 的 5 次方等於 32，老師，是這樣嗎？」老師接著說：「嗯，再 看看原來的巴斯卡三角，把各列的數字加起來看看……」

明耘恍然大悟：「哦，我知道了！所以1+1=2，1+2+1=4，1+3+3+1=8，依此類推，巴斯卡三角的各列和是2 的次方！」

老師：「是的，接著再看看各列的整體數字，」老師一邊說，一邊將巴斯卡三角的各列用鉛筆畫上底線，圖形如下：

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HPM 通訊第十三卷第五期第一六版

「觀察一下，第二行跟第三行的數字有什麼關係？」老師問。

「第二行11，第三行 121，是 11 的 2 次方。」明耘回答。

「所以呢？」老師又問。

小翔接著回答：「難不成是11 的次方……，0 次方是 1，1 次方是 11，2 次方是 121，3 次方……老師，計算機借我一下……1331，真的ㄟ！可是老師，那兩位數以上，像 10、15、

20 這些數字怎麼辦呢？」

老師回答：「就像小翔講的，真的是11 的次方，可是如果遇到兩位數以上，就自動進位到前面一個數字，像10 就寫 0 進 1，所以第 6 列就是 161051，第 7 列就是 1771561。」

明耘回應：「好神奇哦！沒想到2 和 11 看起來沒什麼關係，在巴斯卡三角形裏居然會有交集呢！」

老師微笑：「這就是數學可愛而迷人的地方啊！再看一個例子，」老師邊說邊把剛剛畫上的橫線擦去，再重新畫上線：

「現在把各條斜線上的數字加起來，一個個把數字唸出來，」老師要求。

「1，1，2，3，5，8，11……老師，有什麼規律嗎？」小翔問。

「沒感覺就把數字寫出來吧！」老師又要求。

明耘很快地拿筆寫出數字：「嗯，是費氏數列呢！」

「費氏數列？是那個兔子數列嗎？真的ㄟ！沒想到換個方向看，又會有不同的答案。」

小翔說。

「只是上面幾種結果，雖然是從巴斯卡三角觀察而得，卻未必是巴斯卡所發現的。最

(17)

HPM 通訊第十三卷第五期第一七版

後我們從巴斯卡三角，再回到機率上面來吧！」老師邊說，邊拿出幾個硬幣。

「請問你們，丟一枚硬幣，可以產生的可能性有幾種？」老師問。

「正面跟反面！」小翔答。

「兩面出現的機率呢？」老師接著。

「如果是均勻硬幣的話，就是各1

2。」明耘回答。

「嗯，很好，現在換成兩枚硬幣，可以產生的可能性呢？」老師問。

「我知道！兩個正面、兩個反面，還有一正一反。」小翔答。

「那三種狀況出現的機率呢？」

「可以利用樹狀圖來解嗎？」明耘一邊說，一邊在紙上畫著：

「四種結果的機率相同，而（正,反）與（反,正）是同樣的結果，所以三種結果的機率分別是兩個正面出現的機率是

4

1，一正一反出現的機率是1

2，而兩個反面出現的機率也是4

1。」明耘接著回答。

「所以三種狀況的數值比？」老師問。

「分母通分為4，所以分子的比是 1:2:1！」小翔答。

「跟剛剛一枚硬幣兩面出現的機率比作比較呢？」老師問。

「1:1 跟 1:2:1……ㄟ！難不成又是巴斯卡三角？」小翔問。

「沒錯！所以你們再猜猜看，下面一列的1:3:3:1 代表的是什麼意思？」老師問。

「從一個硬幣到兩個硬幣……，所以接下來是三個硬幣囉？」小翔答。

「嗯，總共是8 種結果，而三個硬幣出現的情形共有三個正面，兩正一反，一正兩反，

以及三個反面四種情形，所以分別的機率就是 8 1、

8 3、

8

1，老師是嗎？」明耘邊答邊問。

「你們可以用樹狀圖驗證看看啊！」老師答。

「這個我來！」只見眼明手快的小翔拿起筆，在明耘畫的圖上再加幾筆，圖形如下：

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HPM 通訊第十三卷第五期第一八版

「哇！好壯觀哦！」小翔畫完後邊說。

「兩正一反總共有三種情形，兩反一正也有三種情形，所以各佔 8

3。」明耘接著說。

「再加上頭尾的三正面與三反面都是 8

1，真的像我們所預測的結果呢！」小翔回應。

「嗯，你們都很清楚了，所以四個硬幣以上的話，是不是用巴斯卡三角會比較容易呢？」

老師問。

「是的！」兩人異口同聲回答，小翔又接著說：「用樹狀圖就累多了。」

老師微笑：「不過別忘了，樹狀圖還是基本概念呈現，最基本而重要的解法哦！」

「是的，老師！」兩人再一次回答，此時下課鐘聲響起。

「好啦！剛好下課了，下次有機會的話，再聊聊其他的數學家吧！」

「好，謝謝老師！」兩人回答，退出辦公室。

《第三幕完》

註解

註１：梅雷 (C. de Mere, 1607～1684)，法國騎士。

註２：巴斯卡 (Blaise Pascal, 1623~1662)，法國數學家。

註３：費馬 (Pierre de Fermat, 1601~1665)，法國業餘數學家，遺留「費馬最後定理」困擾後世數學家近四百年。

註４：笛卡兒 (Rene' Descartes, 1596-1650)，法國哲學家、生物學家、物理學家暨業餘數學家，發明了「座標平面」(the coordinate plane)。

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HPM 通訊第十三卷第五期第一九版

註５：巴斯卡定理「圓錐曲線裏的內接六邊形對邊的交點是共線」，是射影幾何學的一個基本原理。

註６：托里切利實驗，製造水銀氣壓計的基本理論依據，也是日後流體靜力學及流體動力學的先驅。

註７：萊布尼茲 (Leibniz, Gottfried Wilhelm, 1646-1716)，德國數學家，獨立創立微積分的基本概念與算法，和牛頓共同奠定了微積分學。

參考資料 一、書籍部份：

1. 《機率的大秘密》，原著 Kjartan Poskitt，全美出版。

2. 《機率好好玩》，張振華著，博雅書屋。

3. 《大於 1/2 ─ 投資、愛情、生活的獲勝機率》，原著 Amir D. Aczel，邱文寶譯，

究竟出版。

二、網頁部份：

1. 台灣數學博物館 ─ 賭徒的困惑：

http://museum.math.ntnu.edu.tw/fulltext/008_1234940968.pdf 2. 機率學習館：

http://eprob.math.nsysu.edu.tw/ProbHistory/未完成賭局之賭金分配.htm 3. 奇摩知識＋ ─ 特洛伊戰爭：

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1206041205424 4. 奇摩知識＋ ─ 木馬屠城記：

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1609070908429 5. 數學家的故事 ─ 巴斯卡：

http://www.dyu.edu.tw/~mfht206/history/17/france.htm 6. 維基百科 ─ 布萊茲．帕斯卡：

http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%B8%83%E8%8E%B1%E5%A3%AB%C2%B7%E5%B8%95%E6%96%AF%E5%8D%A1

7. 昌爸工作坊 ─ 巴斯卡：

http://www.mathland.idv.tw/history/pascal.html 8. 奇摩知識＋ ─ 數學家萊布尼茲：

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1607102705237 9. 奇摩知識＋ ─ 費馬最後定理

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1206041304644 10. 數學史 ─ 笛卡兒：

http://history.math.fcu.edu.tw/html/chap5/5_1.htm 三、簡報部份：

1. 陳彩鳳老師：楊輝 (賈憲) 三角形（Pascal's Triangle）─ 巴斯卡. ppt 2. 李政憲老師：How to Gamble If You Must - How to Gamble If You Must. ppt

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HPM 通訊第十三卷第五期第二○版

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