xxx =−−+ 025 共同考科 數學 (S) 卷 詳解 101 學年四技二專第四次聯合模擬考試

101-4 共同考科 數學(S)卷

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101 學年四技二專第四次聯合模擬考試 共同考科 數學(S)卷 詳解

數學(S)卷

101-4-S

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C B C A C A D B D B C D B C A A D A C D D D A B C

1. AB= (−1−1)²+(3−(−1))² = 20=2 5

∵CA= CB=3

∴C 在AB的垂直平分線上 令 D 為AB的中點

則 ² )²

2 ( AB1 BC

CD= − 2 ) 5 ( 3²− ² =

=

因此 ABCΔ 的面積為 2 5 2 2 5 2

1 2

1⋅AB⋅CD= ⋅ ⋅ =

2. 由於 C 在AB上，且

3

=1 AB AC

因此AC：CB=1：2，並根據分點公式

得 C 點坐標為 ) (2,0)

2 1

) 2 ( 1 1 ,2 2 1

) 2 ( 1 4

(2 =

+

−

× +

× +

−

× +

×

設平行於3x− y5 +3=0的直線方程式為 0

5

3x− y+k= ，其中點(2,0)通過3x−5y+k=0 故3⋅2−5⋅0+k=0⇔k=−6

所以通過 C 點且與 L 平行之直線方程式為 0

6 5 3x− y− =

3. 除式為(x−1)²=x²−2x+1

利用長除法 ^{1 0 2}

1 2

2 4 2

1 2 2

1 2 1

1 2 3 2 1 1 2 1

+ +

− +

+

− +

+

− + +

−

+

− +

− +

−

得商為x²+2=x²+ax+b、餘式2x−1=cx+d 故_a=0，_b=2，_c=2，_{d =−1}，所以a−b+c−d=1 4. 因為

k x

x kx x

+ +

− + ² 2 2

3

為多項式 於是x+ 為k x³+kx²−2x+2的因式

設f(x)=x³+kx²−2x+2，利用因式定理：

並令x+ k=0，則x=−k，將x=−k代回 f(x) 得f(−k)=(−k)³+k⋅(−k)²−2⋅(−k)+2=0

1 0

2

3 2

3+ + + = ⇔ =−

−

⇔ k k k k

5. 因為 b a a=

1 ，故a²=b，又因為a+ b=1 於是b= 1−a，將b= 1−a代入a²=b得

2 5 0 1

1

1 ²

2 − ±

=

⇔

=

− +

⇔

−

= a a a a

a

其中a>0，因此 0 2

5 1− <

− 不合

所以

2 1 5 2

5

1 −

+ =

= − a

6. 設 a、b、c 為

x

³

+ x

²

− 5 x − 2 = 0

的三個根 則x³+x²−5x−2=(x−a)(x−b)(x−c)

將(x−a)(x−b)(x−c)展開整理得 abc x ca bc ab x c b a

x³−( + + ) ²+( + + ) − 比較係數得a+b+c=−1

7. 令 L 表示直線−3x+y−2=0 取 L 上兩點 ,0)

3 (−2

、(0,2) 畫出 L ，並將−3x+y−2≥0 化為 ( 2)

3 1 −

≤ y

x 、y≥ x3 +2 故−3x+y−2≥0的圖形為 L 及 L 「左、上」半平面得圖形 如右圖，不通過第四象限

8. 設 A 公仔 x 個、B 公仔 y 個，則共需 陶土0.2x+0.1y公斤、釉藥3x+5y毫升

可獲利 f(x,y)=50x+60y元，依現有庫存燒製兩 款公仔，故0.2x+0.1y≤14、3x+ y5 ≤350

重新整理得2x+ y≤140、3x+ y5 ≤350

其中x≥0、y≥0，繪出不等式

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≤ +

≤ +

≥

≥

350 5 3

140 2

0 0

y x

y x y x

的聯

立解圖形如下圖，並解聯立方程式：

⎩⎨

⎧

=

= 0 0 y

x 、

⎩⎨

⎧

= +

=

140 2

0 y x

y 、

⎩⎨

⎧

= +

= +

350 5 3

140 2

y x

y

x 、

⎩⎨

⎧

= +

=

350 5 3

0 y x x

得聯立解圖形頂點坐標為O(0,0)、A(70,0)、 )

40 , 50 (

B 、C(0,70) 計算各頂點的

) , (x y

f 函數值

得 f(0,0)=0、 3500 ) 0 , 70

( =

f

4900 ) 40 , 50

( =

f

4200 ) 70 , 0

( =

f

故最大獲利為 4900 元

9. 設公比為 r，則等比數列 a、b、c 可寫成 a、ar、ar²

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於是 ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

−

= +

⇔ +

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

−

= + +

) 2 ( 5 ) 1 (

) 1 ( 19 ) 1

( 5

19

2 2 2

2

L L

L L r

a

r r a ar

a

ar ar a

將(1)式除以(2)式 得

5 19 ) 1 (

) 1

( 5 19 ) 1 (

) 1

(

2 2 2

2

=−

− +

⇔ +

=−

− + +

r r r r

a r r a

0 24 5 14 19 19 5 5

5− − ²= − ²⇔ ²− − =

−

⇔ r r r r r

2 0 3

) 3 2 )(

8 7

( + − = ⇔ =

⇔ r r r 或

7

− 8

因為 a、b、c 為正數，故 7

−8

=

r 不合，所以

2

=3 r

10. 設C₁^、C₂^、C₃的半徑為

21 、1、

2 3 則斜線部分面積為

) 2(

) 1 2(

) 1 2(

1

1 2

3面積 C面積 C面積

C − +

2

2 )

2 (1 2 1 2 ) 1 2 (3 2

1 ⋅ − + ⋅

= π π π

4 3 8 2 8

9π π π π

= +

−

= (平方公尺)

因此 LED 燈製作費為 π π 3 4 4

3 ⋅ = (萬元) 裝置藝術總造價共計為(3π+2)萬元 11. 如右圖，AB為斜邊，並依據畢氏定理得

7 3 4^{2 2}

2

2− = − =

= AB CB AC

根據三角函數定義得

3 tan = = 7

BC B AC

12. 因為

4 tan 7 2 csc7 3

cos4π + π − − π

4) 2 tan(

2) 3 csc(

3)

cos(π +π + π+π − − π+π

=

同時( 3 π +π )、(

3π+π2 )、 ) 2 4

(− π+π 分別為第三象 限角、y 軸負向象限角以及第一象限角

故

4 tan 7 2 csc7 3

cos4π + π − − π

2 1 5 ) 1 2 ( 1 tan4 2) csc 3 (

cos + − − =− + − − =−

−

= π π π

而 1

cos 5 sin²π5 + ²π = 所以

cos 5 sin 5

4 tan 7 2 csc7 3

cos4π + π − − π ₊ ²π ₊ ²π

2 1 3 2 5+ =−

−

=

13. 將f(x)=sinx x x g( )=cos 圖形繪在

同一坐標平面中，

如右圖，其中，

以實線曲線表 f(x)=sinx、 虛線曲線表g(x)=cosx， 所以在90°<x<180°範圍內，

0 ) ( )

(x −g x >

f

14. 在ΔABC及ΔBCD中，根據餘弦定理得

°

− +

= ^{2 2} 2 cos45

2 AB AC ABAC

BC

°

− +

=BD² CD² 2BDCDcos120

設AB=k，並將AB=k、AC=2、CD=1 代回上式得

2 1 1 2 2 1

2 2 2

2^{2 2 2}

2+ − ⋅k⋅ ⋅ =k + − ⋅k⋅ ⋅−

k

1 4 ) 1 2 2 ( 1 2 2

4− = + ⇔ + = −

⇔ k k k

7 3 2 6 ) 1 2 2 )(

1 2 2 (

) 1 2 2 ( 3 1 2 2

3 −

− = +

= −

= +

⇔ k

所以AB長度為 7

3 2 6 −

15. 設甲大樓樓高為AB、乙大樓樓高為 CD E 為AC 中點如下圖，令AE=EC=k 在ΔABE中，

k AE AB 45 30

tan °= =

即 45 45 3

3

1 = ⇔k= k ΔCDE中，

k CD CD =CE

=

° 60 tan

於是_{CD=tan60°×k= 3×45 3=135}(公尺) 所以乙大樓樓高為 135 公尺

16. 因為 =(4,−2)−(0,1)=(4,−3) 故 4²+(−3)² =5

17. 由於 // ，故 x：y=2：1

於是x=2y……(1)，又因為 =−4 故 =(−1,4)⋅(x,y)=−x+4y=−4 將(1)式中，x=2y代入−x+4y=−4

得−2y+4y=−4⇔y=−2，將y=−2代回(1)式中 得x=−4，所以x− y=−4−(−2)=−2

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18. 因為(1)

4 ) 9 3 (2 ) 3) ((2 27)

( 8 ^{3 2}

2 3 3

2

=

=

= ⁻

−

−

(2) 4

) 3 2 log 3 4(log 2 3 log 3 log 8 log 3

log₁₆ ⋅ ₃ = ₂4 ₃ ³ = ₂ ⋅ ₃ = 綜合(1)、(2)，得

2 3 4 3 4 9− =

= a

19. 取⁵n 的常用對數得² n n logn 5 log 2

log ⁵

2

5 2 = =

因為logn=49.1579，故 log 19.66316 5

2 n=

因此 n logn 5

log^{5 2} = 2 的首數等於 19

所以⁵n 化為小數後，整數部分為 20 位數 ² 20. 因為圓 C 為正方形 PQRS 的內切圓

所以對角線 PR 的中點為圓心、邊長PQ為直徑長 且 P、Q、R 坐標為(−3,1)、(−1,1)、(−1,3) 於是圓心坐標為 ) ( 2,2)

2 3 ,1 2

) 1 (

(−3+ − + = −

半徑等於 ₁

2 ) 3 ( ) 1

(− − − =

，故圓 C 方程式為 0 7 4 4 1

) 2 ( ) 2

(x+ ²+ y− ²= ²⇔x²+y²+ x− y+ = 比較方程式x²+y²+dx+ey+ f =0係數 得d =4、e=−4、f =7

所以d+e+ f =4+(−4)+7=7

21. 由方程式得圓 C 的圓心為(0,−2)，半徑為 3 設L ：' y=m'x+3為圓 C 切線

則 3

1 5 ' 3 1

' 3 ) 2 ( 0

' ₂

2 = ⇔ + =

+ +

−

−

⋅ m

m m

將等號兩邊同時平方，得

3 ' 4 9 1 25

'² ±

=

⇔

=

+ m

m

畫出代表L'的兩直線及圓 C 的圖形如下圖

並由圖中知直線 L 的範圍為：以(0,3)為旋轉軸，從

直線 3

34 +

= x

y 開始逆時針旋轉

到直線 ₃

3 4 +

=− x

y ，不含 ₃

3 4 +

=± x y

同時不包含直線x=0，因為此時斜率不存在 這個範圍中，m 的範圍為

3

−4

<

m 或

3

>4 m

另解：解聯立方程式

⎩⎨

⎧

= + +

= +

−

) 2 ( 3 ) 2 (

) 1 ( 0 3

2 2

2 LL

L L y

x y mx

將(1)式中y= mx+3代入(2)式中 得x²+ mx( +3+2)² =9

9 25

2 10

2

2+ + + =

⇔x m x mx

) 3 ( 0 16 10 ) 1

( ²+ ²+ + = LL

⇔ m x mx

因為y= mx+3與x²+ y( +2)²=9有兩個交點 所以方程式(3)有兩解

故判別式(10m)²− m4( ²+1)⋅16>0 0 16 9 0 64 64

100 ²− ²− > ⇔ ²− >

⇔ m m m

3 0 4

) 4 3 )(

4 3

( + − > ⇔ < −

⇔ m m m 或

3

> 4 m

22. 首先把油漆依色系分成暖色系、中性色系、冷色系 3 類，將 3 類作直線排列的排法有3!=6(種)，再依不 同系所分配到的位置，依色系把油漆塗上，其中暖 色系、中性色系、冷色系各有 3 !、2 !、2 !種塗法；

依乘法原理，得不同圖案有6×3!×2!×2!=144(種)

23. 9 數取出兩數共有 36

2 1

9 8

!

!7 2

! 9 9

2 =

×

= ×

=

C 種組合

兩數為連續整數計有 89 , 78 , 67 , 56 , 45 , 34 , 23 ,

12 等 8 種組合

所以取兩數恰為連續整數的機率為 9 2 368 = 24. 因為 5 個福袋中選取 1 袋的期望值為

5 5 3 1 5 2 1 5 1 1 5 0 1 5

1× + × + × + × + × 2 . 2 ) 5 3 2 1 5 (

1× + + + =

= (萬元)

所以選取 2 袋的期望值等於2.2×2=4.4(萬元) 另解：因為 5 個福袋中選取 2 袋的可能的情況有

5 10

2 = C (種)

故每 1 種情況發生的機率為 10

1

將獎金 0、1、2、3、5 萬元的福袋依序編碼為 a、

b、c、d、e，列出 10 種可能情況為 ab、ac、ad、

ae、bc、bd、be、cd、ce、de 其可獲得的獎金為

、

、

、

、

、(0 2) (0 3) (0 5) (1 2) )

1 0

( + + + + +

) 5 3 ( ) 5 2 ( ) 3 2 ( ) 5 1 ( ) 3 1

( + 、 + 、 + 、 + 、 +

所以獎金的期望值等於

4 . 10 4 ) 44 8 7 5 6 4 3 5 3 2 1 10(

1 + + + + + + + + + = = (萬元) 25. 由眾數為 2 判斷無法判讀的數中至少有一個是 2，設

另一個無法判讀的數為 x，由於算術平均數為 4，故 6

10 4

2 3 8 5 1 2 6 5

2+ + + + + + + + + = ⇔ = x x

再把這 10 個數由小而大排序，得 1‚2‚2‚2‚3‚5‚5‚6‚6‚8 其中第 5、6 個數為 3、5，所以中位數為 4

2 5 3+ =