98 學年度四技二專甄試入學測驗

(1)

98 學年度四技二專甄試入學測驗共同科目數學(B)題型範例

（一）測驗目標

數學測驗的目標旨在鼓勵學生對類似數學問題的解決，進而培養思考解決問題的習慣。因此，基本上學生參加數學測驗得學習弄懂問題癥結所在，並經由分析題目的變化後與初始定義的聯結，從而尋求各種不同的解題方法。

另一方面，數學測驗的目標在於應試學生是否具備基本的知識和觀念，並且能夠延伸學習至大學教育的基本數學能力。

因此，數學測驗應導向學生透過測驗與學習，了解數學並非只是死背公式與熟練計算，而在於實務上的應用與生活是息息相關。

綜上所述，針對學生應具備數學之基本能力，而將測驗目標分為下列五項：

1. 能瞭解數學名詞的基本定義與性質。

2. 能瞭解數學名詞間的聯結。

3. 能瞭解數學名詞與圖形或表格間的聯結。

4. 能瞭解數學中的基本運算。

5. 能瞭解數學模型於生活中與實務上之相關應用。

(2)

（二）命題方向

以提高鑑別學生能力為原則，因此，就測驗目標而設計出之參考題型概略有幾項原則：

1. 就命題的分佈而言，應均勻分佈於課程各個單元。

2. 均依課程綱要及參考不同版本，整合出一份共通的範例。

3. 參考題型設計主要在檢驗學生的基本觀念的理解。

4. 能融合貫通各個數學名詞之間的關聯。

5. 測驗目的理應強調學生活用式子的能力，並非死背公式及計算的速度，若命題許可，

則應提供涵括整個命題內容之基本公式。

(3)

（三）參考題型說明

本題型範例係依據「教育部職業學校課程暫行綱要」商業類群之各單元主題、內容綱要及分配節數加以命題。

本參考題型共二十五題，題型均為單一選擇題。

參考題型以難度漸進方式考學科基本知能，命題目標儘可能朝向測驗出學生是否了解基本數學概念。

本參考題型僅供參考，不涉及課程內容及難易度分配比例，亦不代表未來實際甄試測驗的內容及難易度分配比例。

(4)

（四）參考題型

1、某超商在 2005 年的年營業額為 700 萬元，2007 年的年營業額為 900 萬元，假設其年營業額依直線模式成長，試估計泰宇超商在 2006 年的年營業額為

(A) 750 (B) 780 (C) 800 (D) 850 萬元。

2、小美欲訓練自己有良好的體能兼有美好身材，為自己訂下每天能做 45 下的仰臥起坐的目標。若她第一天能做 5 下，以後每天增加 2 下，請問她從第幾天起才能達到目標？

(A) 18 (B) 19 (C) 20 (D) 21。

3、已知f(x) = 3x²- bx + 4、g(x) = (a－1)x²+ 5x +c-2 且f(x) = g(x)，則a+b+c=

(A)- 2 (B) 5 (C)8 (D)15 。

4、若A(1 , -2)、B(3 , 4)、C(2 , k)三點共線，則k = (A)1 (B) 2

3 (C)2 (D)

2 7 。

5、若點P(-1 , a)在第二象限，且點P與直線L：3x + 4y + 5 = 0 的距離為 2，則a= (A)1 (B)2 (C)3 (D)4。

6、設x²－(k－2)x－(k－2)＝0 有兩實根，則k之範圍為

(A)k = -2 或k= 2 (B) k < -2 或k > 2 (C) -2≤k≤2 (D) k≤-2 或k≥2。

7、右列行列式之值者為 0 的共有幾個？S =

5 1 7

4 2 4

2 1 2

−

、T =

1 3 7

3 2 4

2 1 3

−

− 、W =

5 1 4

3 2 1

2 1 3

−

、 X =

0 1 1

0 1 0

1 1 0

。

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。

8、設 f(x)=−2x² +3ax−4和g(x)=ax⁶ −x+1除以x+1所得的餘式相等，a是實數，則a 為

(A) -2 (B) -1 (C) 1 (D) 2。

(5)

9、( 4x²- x 2

1 )⁴的展開式中x⁵項的係數為 (A) -128 (B) -96 (C) -32 (D) 0。

10、設 a＝ ²

1

2)

(1 ﹐b＝ ⁴

1

4)

(1 ﹐c＝ ⁸

1

8)

(1 ﹒下列選項何者為真﹖

(A)a > b = c (B)a = b < c (C)a = b > c (D) a = c < b

11、在∆ABC中，若a、b、c分別為∠ 、 BA ∠ 、∠C的對邊長，若c=8，∠A=30°，

°

=

∠B 105 ，則a之值為 (A) 2 3 (B)3 2 (C) 4 3 (D) 4 2。

12、設 n 為自然數，則符合 1.024ⁿ > 2 的 n 值中最小的數值為(已知 log2 = 0.301) (A) 30 (B) 31 (C) 32 (D) 33。

13、小倩與姊姊及姊姊的孩子出門旅遊，在高速公路東山休息站賞景時，孩子指著大樹說：「阿姨，好高好漂亮的大樹喔！它有多高啊？」，小倩帶著小孩到達距離大樹底部x公尺處，恰使大樹與小孩的影子對齊，測量出小孩的影子長度為 0.5 公尺，而已知小孩的高度為 1.5 公尺，請問樹高多少？

(A) x (B) 2x (C) 3x (D) 1.5+3x公尺。

14、 sin

6 5π cos

3 π – tan

4 π sin5

4

π 之值為 (A)2 2 1 4

+ (B)2 2 1 4

− (C)2 3 1 4

−

(D)2 3 1 4

+ 。

15、 OABC為坐標平面上一平行四邊形，其中O為原點，M為OA中點且OM = (-3 , 2)，

OC = ( 1 ,-7)則向量 OB 之坐標為

(A) (-2,-5) (B) ( 4 , -9) (C) (-7 , 11) (D) ( -5 , -3)。

16、有一圓弧造型的花台如右圖，此花台底邉為直線，其長度 168 公分，圓弧至底邉中央的垂線長 72 公分，設此圓弧的圓半徑為r公分，已知此

圓圓心在原點，則此圓弧所在的圓方程式為

(A) x² + y² = 72² ，r =72 (B) x² + y² = 84² ，r = 84 (C) x² + y² =85² ，r = 85 (D) x² + y² = 168²，r = 168。

(6)

17、《已知A( -3 , 0)、B(0 , 4)、O為原點，P為△OAB內部的點，求P至△OAB三邊距離和的最大值》小明認為上述問題為線性規劃問題，於是以解線性規劃問題的方式寫下其可行解區域及目標函數，並解得正確答案。下列那一選項為小明所寫的可行解區域及目標函數?

(A) 可行解區域：

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥ +

−

≥

≤ 0 12 3 4

0 0 y x

y x

目標函數：求f(x, y) = 2.4 - 0.2x+0.4y的最大

值

(B) 可行解區域：

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤ +

−

≥

≤ 0 12 3 4

0 0 y x

y x

目標函數：求f(x, y) = 2.4 - 0.2x+0.4y的最大值

(C) 可行解區域：

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥ +

−

≥

≤ 0 12 3 4

0 0 y x

y x

目標函數：求f(x, y) = 12 + 3x-2y的最大值

(D) 可行解區域：

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤ +

−

≥

≤ 0 12 3 4

0 0 y x

y x

目標函數：求f(x, y) = 2.4 +1.8x+0.4y的最大值。

18、設a與b均為實數，a≠0，且f(x)= a( x - 1 )² + b滿足f(2) < 0， f(3) > 0，試問下列何者為真?

(A) a < 0 (B) b > 0 (C) f(-2) > 0 (D) f(-3) < 0 。

19、建國向銀行辦理儲蓄存款，若年初存入 10,000 元，年底結算得本利和為 10,200 元。

若每年年初均存入 10,000，依此複利方式，則第三年年底結算可得本利和為 (A) 36,410 (B) 34,256 (C) 33,241 (D) 31,216 元。

20、設O為坐標平面上的原點，P點坐標為( 3 , 1)；若A( x, 0)、B( 0, y )分別是x-軸及y- 軸正向上的點，且使得

v

PA ⊥ _PB

v

_，則(_x_,_y)必為下列二元方程式的解

(A) 3x + y = 10 (B) 3x - y = 0 (C) (x -3)² + (y -1)² = 10 (D) x y = 0。

21、洋基隊新球季 5 大先發投手輪值表，欲由下列七位選手「王建民、穆西納、佩特提、

井川慶、帕瓦諾、克雷斯坦、雷納」排定，已知「王建民、穆西納、佩特提」

三位選手必在 5 大先發投手輪值表上，則總共有多少不同先發投手輪值表?

(A) 120 (B) 720 (C) 2520 (D) 5040 種。

(7)

22、好吃餐廳為與同業進行促銷戰，推出「三人同行一人免費」的活動。該餐廳共有四

種套餐可供選擇，其價格如下：

此活動規定結帳時只計算三人用餐價格較高的二數總和（例如：若點餐為甲、

甲、乙，則其結帳金額為 420×2=840）。若阿坤一家三口前往用餐，則阿坤付款金額共有幾種？

(A) 10 (B) 6 (C) 5 (D) 4 種。

23、某高職餐管科甲班，含小美在內的一組學生共 12 人，任選 3 人到乙飯店實習，則小美被選上的機率為 (A)

4 1 (B)

3 1 (C)

5 2 (D)

3 2。

24、某次會計平時測驗中，其單選題每題有四個選項，其中只有一個選項正確。答對一題可得 4 分，答錯一題則倒扣S分。若「靠運氣」猜某題答案，則S之值為何時？

使得此題得分的期望值為 0 (A)

4

3 (B) 4

5 (C) 3

4 (D) 3 5。

25、調查某班 50 名學生每週上網時數，統計結果如右﹕

下列關於該班學生每週上網時數的敘述，何者可由右列結果推斷為正確﹖

(A)該班學生每週上網時數時數最多者 10.0

＋2 × 3.0＝16.0 小時

(B)每週上網時數超過 10.0 小時的學生數不超過 25 名 (C)約有 10 名學生每週上網時數時數超過 10.0 小時

(D)每週上網時數時數在 9.0 到 10.0 小時之間的學生數為 0。

套餐甲乙丙丁價格 420 340 250 180

算術平均數 10.0 小時標準差 3.0 小時中位數 9.0 小時

(8)

參考公式

1.在直角坐標系中，A(x₁,y₁)，B(x₂, y₂)，若P(x,y)在AB 上，且 AP ： BP =m：n，則x＝

n m

mx nx

+ + ₂

1 ，y＝

n m

my ny

+ + ₂

1

2.三角恆等式

（1） sinθ²+cosθ²=1（2）tanθ²+1=secθ²（3）1+cotθ²=cscθ² 3.正弦定理：在∆ABC中

（1） C

c B b A a

sin sin

sin = = =2R（R 為外接圓半徑）

（2）a：b：c=sinA：sinB：sinC 4.三角形面積公式：

（1）a ∆ = s

(

s−a

)(

s−b

)(

s−c

)

（s=

2 c b a+ +

）【海龍公式】

（2）a ∆ = 2

1 ab SinC = 2

1bc SinA = 2

1ca SinB

（3）a ∆ =2R² sinA sinB sinC 5.點到直線的距離

設P(x₁,y₁)為直線L：ax+by+c = 0 外一點，則P點到L之距離以d(P,L)表示為 d(P,L) =

2 2

1 1

b a

c by ax

+ + +

6.向量的內積：av

．bv

＝av bv

cosθ

7.P^m_n＝m（m-1）…（m-n+1）

Hⁿ_m＝C^m_m⁺ⁿ⁻¹

(9)

（五）參考題型解析

參考答案： C

測驗目標： 1.能瞭解數學名詞的基本定義與性質。

4.能瞭解數學中的基本運算。

5.能瞭解數學模型於生活中與實務上之相關應用。

課綱內容：直角坐標系 1.

解答說明：

2006 年的銷售額 ) (2006,800) 2

900 ,700

2 2007

(2005+ + =

參考答案： D

課綱內容：數列與級數 2.

解答說明：設第n天起才能達到目標，則

21 , 20 1

) 2 )(

1 ( 5 45

=

−

− +

=

n n

n

參考答案： B

課綱內容：式的運算 3.

解答說明： Qf(x)＝g(x) ∴各類項係數相等

3＝a-1 a＝4，-b＝5 b＝-5，4＝c-2 c＝6 a+b+c＝4+（-5）+6＝5

參考答案： A

2.能瞭解數學名詞間的聯結。

課綱內容：直線方程式與二元一次不等式 4.

解答說明：

1 3

) 2 ( 4

−

− ＝

1 2

) 2 (

−

k 3＝k+2 k＝1

(10)

參考答案： D

解答說明： Qx²－(k－2)x－(k－2)＝0 有兩實根

∴判別式 D＝b²−4ac≥0

[－(k－2)]²－4×1×[－(k－2)] ≥0 k²－4 k＋4＋4 k－8≥0

k² ≥4 k≤－2 或k≥2 參考答案： C

課綱內容：行列式 7.

解答說明： S = 0,第一二列成比例,T=0,第一二列之和為第三列,W=0,第一二三行之和為 0

參考答案： A

解答說明：由題意知 f(−1)=g(−1)所以−2(−1)² +3a(−1)−4=a(−1)⁶ −(−1)+1 整理得−3a−6=a+2

解得 a=−2

參考答案： A 參考答案： B

解答說明： P(-1,a)在第二象限 ∴a>0

2

2 4

3

5 4 ) 1 ( 3

+ + +

− a

＝2 ， 2+4a＝10 2+4 a=±10 ， a=2 或 a=－3（不合）

(11)

課綱內容：排列與組合

解答說明：一般項為 C(4,k)(-1)^4-k2^3k-4x^3k-4由題意知 3k-4=5, k=3,4(-1)2⁵= -128 參考答案： B

課綱內容：指數與對數 10.

解答說明：

a＝ ²

1

2)

(1 ﹐b＝ ⁴

1

4)

(1 = ⁴

2

2)

(1 = a﹐c＝ ⁸

1

8)

(1 = ⁸

3

2)

(1 , 故 a = b < c

參考答案： D

課綱內容：三角形的解法 11.

解答說明：

°

=

°

−

°

−

°

=

∠C 180 30 105 45 ，由正弦定理知

= °

° sin45 8 30

sin a

參考答案： B

課綱內容：指數與對數 12.

解答說明： 1.024ⁿ > 2⇒ n(10log2-3)>log2 ⇒ n>30.1 ⇒ n ≥ 31 參考答案： D

測驗目標： 4.能瞭解數學中的基本運算。

課綱內容：三角形的解法 13.

解答說明：

設樹高為h，則

x h

= + 5 . 0 5 . 0

5 .

1 ，故樹高 1.5+3x

參考答案： A

14.

課綱內容：三角函數

(12)

解答說明：

in 6 5π

cos 3 π – tan

4 π sin5

4

π ＝sin(

6 π−π )cos

3 π – tan

4 π sin(

4 π+π )

＝sin6 π cos

3 π – tan

4 π (－sin

4 π )＝

2 1×

2

1 －1×（－

2

2 ）＝2 2 1 4

+

參考答案： D

課綱內容：向量 15.

解答說明：

OB = OA + OC =2 OM + OC =2(-3 , 2) +( 1 ,-7) = ( -5 ,-3)

參考答案： C

課綱內容：圓 16.

解答說明：設圓的方程式為x² + y² = r² ，由題意知 84² +( r -72)² = r²，故r = 85 參考答案： A

解答說明：畫圖求可行解區域及其邊界直線方程式，利用點與直線距離公式求得目標函數

參考答案： C

測驗目標： 4.能瞭解數學中的基本運算。

課綱內容：直角坐標系 18.

解答說明：直線x - 1 = 0 為對稱軸，遠離對稱軸值愈大則a>0，因f(2) < 0，故 b<0，而f(-3) > f(-2)= f(4)> f(3)>0

參考答案： D 19.

(13)

課綱內容：數列與級數

解答說明：設年利率為r ，則由10200=10000(1+r)，解得r =0.02(即2%) 故第三年年底之本利和為

[ ]

) ( 31216

02 . 0

) 061208 .

0 )(

02 . 1 10000 (

1 02 . 1

1 ) 02 . 1 ( ) 02 . 1 10000 (

02 . 1 ) 02 . 1 ( ) 02 . 1 ( 10000

) 02 . 0 1 ( 10000 )

02 . 0 1 ( 10000 )

02 . 0 1 ( 10000

3 2 3

2 3

= 元

×

=

−

× −

=

+ +

=

+ +

+

參考答案： A

課綱內容：向量 20.

解答說明： _PA

v

_‧_PB

v

_{= 0 故(}_x_{-3 ,}_-1_)‧(_{-3 ,}_y_-1_{) = 0，3}_x₊_y₌₁₀

參考答案： B

課綱內容：排列與組合 21.

解答說明： C(4 , 2)5!=720 參考答案： A

3.能瞭解數學名詞與圖形或表格間的聯結。

課綱內容：排列與組合 22.

解答說明： 840：(甲甲甲) (甲甲乙) (甲甲丙) (甲甲丁) 590： (乙丙丙) (乙丙丁) 760：(甲乙乙)) (甲乙丙) (甲乙丁) 520：(乙丁丁)

670：(甲丙丙) (甲丙丁) 500：(丙丙丙) (丙丙丁) 600：(甲丁丁) 430：(丙丁丁)

680：(乙乙乙) (乙乙丙) (乙乙丁) 360：(丁丁丁) 23. 參考答案： A

(14)

課綱內容：機率

解答說明：必須選小美，則自剩下的 11 人中再選出 2 人即可，其法為C ， ¹¹₂ 故小美被選上的機率為

4 1 220

55

12 3 11

2 = =

C C

參考答案： C

課綱內容：機率 24.

解答說明：

猜對的機率為1

4，可得 4 分；猜錯的機率為3

4，須倒扣S分故期望值=1

4×4+3

4×(–S)=0 ∴ S=

3 4

參考答案： B

3.能瞭解數學名詞與圖形或表格間的聯結。

課綱內容：統計 25.

解答說明：算數平均數大於中位數故，故 B 為真

98 學年度四技二專甄試入學測驗