Stefano Bianchini 教授、 鄔似玨教授與尤釋賢教授

有朋自遠方來一一專訪

Stefano Bianchini 教授、 鄔似玨教授與尤釋賢教授

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Bianchini

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Stefano Bianchini,畢業於 Politecnico di Milano, 1995 B.S.、M.S., SISSA, 2000 Ph.D。 先後受聘於 Max Planck (Leibzig), 中研院數學所2000-2001, CNR- Rome 2001-2004, 自2004年為 SISSA 教授。 Bianchini 教授的研究領域為守恆 律及測度論。

Sijue Wu (鄔似玨), 畢業於北京大學, 1983 B.S., 1986 M.S., Yale University 1990 Ph.D。 先後受聘於 NYU, IAS, Northwestern University, University of Iowa, University of Maryland,自 2003 年為 University of Michigan 教授。 鄔 教授的研究領域為調和分析及水波運動。

Shih-Hsien Yu (尤釋賢), 畢業於台灣大學, 1986 B.S., 1989 M.S., Stanford University 1994 Ph.D。 先後受聘於 IMA, UCLA, Osaka University, City Uni-

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versity of Hong Kong,自 2007 年為 National University of Singapore 教授。

尤教授的研究領域為守恆律, 空氣動力學及偏微分方程之邊界關係。

三位教授正當盛年, 皆以獨步的創見、 深入的分析, 分別在其研究領域作出重要 的貢獻。

劉太平 (以下簡稱 「劉」): 這星期的研討會¹, 演講的人照姓氏字母排序。 Stefano 不想按照這 個順序發言, 他說這樣不太公平, 那我們就倒過來, 從字母在後面的開始。 釋賢, 你是熟悉這 種訪談的。

尤釋賢 (以下簡稱 「尤」): 是的, 我以前跟你一起訪問過很多人。

劉: 我們常常從這個問題開始 : 你為什麼及如何走上數學這條路?

尤: 如何走上數學這條路? 我感覺命運很奇妙, 其實我那時也沒什麼選擇。 考大學的時候, 一開 始想要念物理, 那時認識了一個台北人, 讓我覺得台北很有意思, 就把志願的順序改了。 不 知道是幸還是不幸, 我進了數學系; 分數不到, 進不了物理系, 卻以高分進了數學系。 我試過 轉物理系, 成績太差, 轉不成, 只好留在數學系。 最後才意識到我的心是在數學上的, 這是上 天決定的。 當時如果選了其他科系, 日子會很難過。

鄔似玨 (以下簡稱 「鄔」): 所以不是因為你喜歡數學。

尤: 我真心喜歡數學, 不過那時候, 湊巧上天給了我更多機會去尋找我真正的興趣。

鄔: 用刪去法?

尤: 現在我對科學有更多要抱怨的。 早期物理學家和數學家是同一群人, 當初我想要念物理, 是 因為同時也可以悠遊於數學, 所以當時比較想成為物理學家, 不過現在情況不同了。

劉: 你認為念數學和念物理沒什麼差別, 都是數理科學。 這是你的想法?

尤: 沒錯。 從18、19世紀的例子看來, 他們本質上是相同的。 只不過物理學家有更多自由想像的 空間。

Stefano Bianchini (以下簡稱 「B」): 我這麼說可能有點怪異 : 從集合論當中我們可以找到某些 跟現實相關的東西^, 而只要深入去研究, 這是探尋普世視野的關鍵。 我真的相信我們的思考 方式, 也就是說 集合論的法則^, 是從天地萬物學來的^, 這應該是宇宙間知識的本質。

鄔: 我不大明白你所說的集合論是什麼。 你可以闡釋一下嗎?

B : 我們所用的, 從假設演繹出定理的推論, 是一種真實的東西。 為什麼我們會學到這個法則, 這 是因為數千年的經驗讓人腦了解這些簡單的推斷法則, 並且對現實進行演繹。我們演繹的方 式不是創造出來的^, 是歸納出來的^, 它根源於自然的選擇。

12012非線性分析, 發展偏微分方程和空氣動力學, 國際研討會, 10 月 29 日至 11 月 2 日在中央研究院數學研究所舉行。

鄔: 這是普世的真理。

尤: 我們處理很多可知的資訊, 不需要無中生有。 在這之上, 我們可以做更多的事。 舉例來說, 我們使用語言, 但不創造語言。

B : 即便是不同的語言, 都有共通的規則, 這一點是真的。

劉: 你一直想念數學, 是這樣嗎?

鄔: 不, 不完全是。 我一直認為數學並不是我想做的。

劉: 問錯問題了。 你是怎麼進入數學的?

鄔: 我成長的時候, 在中國不大有學習的機會, 然後在文化大革命之後, 政府大力提倡科學, 有 許多科學競賽, 其中最受矚目的是數學競賽。 高中時, 因為跳級的關係, 我物理和化學學得 不多, 基礎較弱。 其實我的文科很好, 這是我真心喜歡的, 一直到現在還是。 但是因為參加了 數學競賽, 而且脫穎而出, 從市級, 到省級, 最後到全國性的比賽。 在過程中, 為了參加下一 個階段的比賽必須缺課受訓。 一開始跳級, 就讓我處在弱勢, 再加上為了晉級比賽, 又缺更 多課, 最後, 我沒太多選擇了。 同時, 我們分為文科和理科, 理科被認為比文科好。 因為我是 好學生, 自然而然地我應該讀理科。 而因為參加了數學競賽, 數學就成了唯一的選擇。 後來 我沒有贏得全國性的比賽, 必須參加大學入學考試。 我考得不錯, 那時候, 數學是競爭最激 烈的科系之一, 北京大學又是最難考的, 而我以第一志願進入北大數學系。 不過當時我並不 知道念數學是為了什麼, 我以後想從事什麼樣的職業, 我可以用數學來做什麼, 一點概念都 沒有。 可是其他理科科目我懂得不多, 我沒有信心選擇其它科系。

劉: 釋賢說他找到了真愛。 你呢?

鄔: 這不是我唯一的愛, 但這是我的真愛之一。

尤: 事實上, 我覺得台灣的環境很好。 我在台大的大學生活很棒, 我們有自由。 我在宿舍交了很 多朋友, 宿舍裡有很多不同科系的人; 在系上, 也可以結識很多朋友, 有厲害的學生, 也有比 較弱的學生, 可以看到各式各樣的人, 有機會去找尋真正的興趣所在。

鄔: 但是不論有沒有跟人互動, 你都應能認識到自己心裡真正要的是什麼, 不是嗎?

尤: 嗯, 有時候是需要跟人互動的。

鄔: 我是直到最近才發覺數學是我真正喜歡的。

劉: 這讓我想起陳省身²先生的話 : 有些人談到對數學的興趣; 但是一個人有能力做, 自然會有 興趣。 我想你是有能力做數學的人。

鄔: 在潛意識裡, 我一直覺得我更喜歡別的東西。

2Shiing-Shen Chern陳省身 (1911-2004), 華裔美籍數學家, 詳第 1 卷第 2 期, 〈學算四十年〉; 第 11 卷第 2 期, 〈陳省身院士演講—我 的若干數學生涯〉; 第 35 卷第 2 期, 〈陳省身與漢堡大學〉, 與其它卷期的相關文章。

劉: 這是健康的態度。

鄔: 雖然我從沒做過其它事情; 也許別的事我可以做得更好, 我總認為我還有其它選擇。 這麼想 讓人自我感覺良好。

劉: 那叫做 「希望」。

鄔: 是啊, 我做其它事會做得更好。

劉: 或是 「願望」。

鄔: 「願望」。 那是真的。 直到最近我才發現數學是我的真愛。 當你知道為什麼做數學, 這點很重 要, 數學才會變得有趣。

劉: 似玨, 你早上剛給演講時, 我看得出來你樂在其中。

鄔: 雖然我過去不知道我喜不喜歡數學, 但是剛開始教書的時候, 學生們總是說, 「顯然你很喜歡 你的科目。」

尤: 所以你喜愛它吧?

鄔: 是啊, 甚至不自覺地, 也沒有試著去承認我喜歡它。

B : 我高中畢業時, 想要念物理, 不過我父母說, 「不, 不, 不, 這樣子你找不到工作, 學工程吧。」

事實上, 我學的是工程。 但是在學習過程中, 我改變了方向, 因為我發現數學不需要知道很多 概念就能了解, 只需要知道初始的定義, 或是只需要知道定理的敘述, 然後自己建構證明或 定理所需要的許多步驟。 只要有一個明確的陳述, 循此你可以自己判定是不是走錯了方向, 有點像是一個遊戲, 讀了證明, 就可以看出對或錯, 所以我決定申請攻讀數學博士。 然後遇到 許多偉大的數學家, 這對我很重要, 我因此了解到不同的可能會引向不同的路。 為什麼喜歡 數學? 數學不只是規則或競賽,數學是一種思考和詮釋生命的方式^, 它是唯一一種我們可以 確切陳述的知識^;我們無從了解宇宙, 這是每個哲學家都知道的假設。 在這個情況下, 數學不 是如古典力學、 量子力學、 或是更複雜的理論中得到的描述;數學是方法^,是我們從假設得到 定理的方法^, 是事實的關鍵^, 是真理。 如果時光倒流, 再選擇一次, 嗯· · · 由於我認可這種 思考方式的重要性, 當然不願意因為改變學科而失去這樣的思考方式, 我需要這種對生命的 了解, 所以我會再選擇數學。 在已知的宇宙中, 只有人類能夠做數學問題, 沒有電腦或動物 有這個能耐。 不過未來或許不是如此, 就像下棋, 現在電腦比人腦厲害, 所以我想很久以後, 可能一個要緊的事是, 人類發展出比我們自己還會思考的機器和演算法。

尤: 你對伽利略³ 說的 「數學是上帝的語言」 有什麼想法?

B : 那正是我的想法, 不過我說的還要更深一層。 數學不僅是 「現實 (reality)」 的模型, 雖然你 可能永遠不會了解或證明這是不是個正確的模型, 但是數學語言代表的是我們對萬物真正

3Galileo Galilei (1564-1642),義大利物理學家、 數學家、 天文學家和哲學家, 被尊為現代科學之父。

的知識。

尤: 那是造物者的語言。 這是所有領域共通的。

劉: 真好。 你訪問過中研院數學所幾個月, 我記得你爬山和打太極拳, 同時, 你做了中心流形座 標 (center manifold coordinates)。 可以談談嗎?

B : 這含有兩個部份。 第一, 中心流形座標的想法是來台灣前才想到的。 我不知道該怎麼說, 有 些地方讓你一下飛機或一下車, 就有回家的感覺, 對我來說台北就是這樣的一個地方。 你們 讓我可以安靜的做自己的事, 感覺有點不像是真的, 因為在那之前我在德國的時候, 一群人 有專題討論要參加, 這對有些人來說可能是好的, 可是對我卻是分心。 在這裡我認認真真的 做了三個月, 我喜歡這個地方, 可以爬山或打太極拳, 這一切的一切構成了適合我工作的環 境。

劉: 你如何想到中心流形座標的?

B : 如果你有一個非線性方程, 在座都知道的標準工具, 主要就是找出能做估計 (estimates) 的 部份, 估計它, 其餘的項, 在某種意義上來說, 不會破壞這個估計, 也就是說維持了這個估計。

在這個情形下, 如果它是行進波 (traveling waves), 就不會隨時間改變, 一個正確的座標 中必須把它當作常數, 而不能視為源項 (source term), 因此我們必須找出方法, 把這個看 似源項的移到能做估計的部份。 中心流形座標做的正是這個, 只要是這些不變解 (invariant solutions), 凡是在不變流形 (invariant manifold) 上的, 源項一定要是零, 這是關鍵。

鄔: 所以在不變流形上源項是零。 如果做法正確, 不應該有任何源項。

劉: 但是以前沒有人想到。

鄔: 可能有人想過, 可是他們不知道怎麼去做出來。

尤: 我不覺得是這樣子, Stefano 是第一個想到。

B : 我的碩士論文做的是動力系統, 所以我有常微分方程的背景, 不然我就需要去學不變流形的 概念。

尤: 所以這是基因混合。

鄔: 我覺得我的話應該以更廣義的方式來理解。 不變流形是 Stefano 的選擇。 一般來說, 如果所 考慮的情形是沒有源頭的, 那麼做法正確的話, 就不應該有源項。

B : 這是一種思考的觀點。 如果是動力系統, 我立刻就可以看出裡面的端倪, 我有背景讓我知道 什麼是正確的部份。

劉: 似玨, 妳研究水波 (water waves)。 妳今天早上的演講真好。 原本妳是做調和分析的, 對吧?

鄔: 我同意 Stefano 說的, 這也是我在想的。 理論上, 我也覺得我的方程應該是沒有任何源項的,

問題是如何把方程式放在正確的架構上, 得出乾淨俐落的結果。 Stefano 有不變流形, 至於 我, 我還不知道該用什麼工具。 您問我為什麼研究水波嗎?

劉: 我聽人說過調和分析是個核心科目, 做調和分析的人可以轉入偏微分方程, 比方說像 Bourgain⁴ 那些人, 以直接的方式把調和分析應用到偏微分方程上。 不過你的情形, 從調和 分析到偏微分方程的銜接方式在我看來不是很直接明顯, 是這樣嗎?

鄔: 您是問我怎麼開始的? 我在聽完 Thomas Beale⁵ 在 ICM⁶ 的演講之後開始做水波。 我覺 得這個主題很有趣, 他的分析中有邊界積分 (boundary integrals) 出現, 而我有了解邊界 積分的工具。 這是我真正喜歡調和分析這種基礎科目的地方, 就像 Calder´on⁷, Coifman⁸- McIntosh⁹-Meyer¹⁰ 的工作, 他們證明何時定義在曲線上的柯西積分 (Cauchy integral) 或是希爾伯特轉換 (Hilbert transform) 是從 L²到 L² 的有界算子, 這是個很基本的問題, 做的時候不見得會瞭解它都有些什麼應用。 有趣的是, 如果你能夠證明這麼基本的東西^, 自 然會有很多應用。 我聽到水波問題的時候, 意識到我有分析它的一些工具, 所以決定踏進去, 仔細看看。 不過, 在做的過程中, 注意力是集中在問題本身、 在想了解的事情上, 不是因為 有了工具就一定要應用, 而是看著想要解決的問題, 思考其中最關鍵的是什麼? 那個時候, 我只是覺得, 我可能多少佔些優勢, 因為我是 Coifman 的學生, 我了解一些調和分析的工 具, 知道很多研究偏微分方程的人可能不知道的定理。 不過, 具體要解決哪個問題, 用什麼 方法解決, 那又是另一回事。

劉: 你說當有了問題, 不應該一直想著如何應用你的工具, 而是要試著去了解問題本身, 對嗎?

鄔: 對。 當你弄懂了問題, 你就有了起點。 你不會去做一個完全沒有感覺的問題^, 必須要有一些 感覺的。

劉: 這是真的, 是個真理, 可以寫在我們的大門上。

B : 可是有時候我會做我一開始不知道的問題。

鄔: 最開始的時候我也不懂。 我開始做水波是因為已經思考了一陣子 vortex sheet 的問題。 拿 到博士學位之後, 我意識到調和分析發展得算是成熟了。 調和分析的發展, 是因為有偏微分 方程作它的源頭之一。 所以 必須到源頭去找問題。 我一個人到處看, 想找問題, 卻找不到問 題, 這時候我遇到看來簡單的 Euler 方程, 我開始考慮其中的 vortex sheet 問題。 可是到 底要解決什麼, 人們關心什麼, 我那時一點想法都沒有, 我不知道我該做什麼, 就卡在那裡。

4Jean Bourgain (1954∼ ), 比利時數學家, 1994 年以在調和分析的深入研究而獲頒菲爾茲獎。

5James Thomas Beale,現任教杜克大學 (Duke University), 研究興趣包括偏微分方程和流體力學。

6The International Congress of Mathematicians (國際數學家大會, 簡稱 ICM), 每四年舉行一次, 由國際數學聯盟主辦。

7Alberto Calder´on (1920∼1998),, 阿根廷數學家, 於偏微分方程和奇異積分算子的研究有重要貢獻。

8Ronald Raphael Coifman,數學家, 現任教耶魯大學 (Yale University), 研究興趣包括基波理論和奇異積分。

8Alan McIntosh,數學家, 研究興趣包括調和分析和偏微分方程。

10Yves F. Meyer (1939∼ ), 法國數學家, 基波理論之父之一。

然後我聽到這個水波問題, 看起來有相似的地方, 我就想, 何不試試這個呢? 當然, 在過程 中, 我瞭解了泰勒符號條件 (Taylor sign condition) 很重要, 在 Thomas Beale、 Tom Hou¹¹和 Lowengrub¹²的論文中假設了這個條件。 那時候我在西北大學, 在那裏很容易看 到波浪, 因為學校就在密西根湖邊。 我看著波浪, 發現就算它翻過來, 也沒有破碎, 它不應該 破碎, 這個條件無論如何都應該是對的, 然後我證明了它。

劉: 很多人希望自己也可以說 「這應該是對的, 然後我證明了它。」

鄔: 在我看來它是對的, 但是實際上剛證明出來的時候許多人都還不相信。 他們說浪一旦翻過 來, 就應該破碎了, 它是不穩定的。 但是在我看來, 雖然翻過來了, 仍然是好的, 因為觀察 的時候, 必須把風以及其它東西造成的效應區隔出來。 來這裡之前, 我在香港訪問。 那裡有 人問我 : 「你做實驗嗎?」 我說 : 「我不做, 但是我觀察波浪。」 「可是你很難區隔出風的效 應· · · 」 確實, 不過我認為如果觀察夠用心、 夠仔細, 你會知道到底是怎麼一回事。 既然 你提起調和分析, 我可以說調和分析提供一種語言, 應該說是一種工具。

尤: 是一種載體。

鄔: 對, 是一種載體, 但這不是全部。 關鍵是如果你懂調和分析^, 那麼當你面對一個奇異積分時^, 你不會害怕^; 調和分析的知識讓你有一個基本的感覺, 知道它什麼時候有界, 為什麼有界。

不過要解決問題, 你必須了解方程式的本質, 而這不僅只是調和分析。

劉: 因為每個情況都不同。

鄔: 對, 這是最重要的部份。 一旦把水波問題化約成一個邊界上的問題, 就會得到奇異積分, 就 必須處理這個奇異積分。 比方說你知道什麼時候 u × v 是有界的 : 你知道當 u 是有界的, v 是有界的, 那麼 u × v 就會有界。 可是現在我們有一個積分的形式 (integral form), 也 想知道它什麼時候有界, 而調和分析讓你對於它是否有界、 什麼時候應該有界, 有些基本的 概念。 一般來說, 如果是一個直接了當的方程式, ut− ∆u = u², 你直接去解它就是了。 但 如果方程中包含著某些積分的形式, 你不免擔心, 這個積分是什麼意思。 如果你熟知調和分 析, 你會說, OK, 這是我可以處理的, 我不需要擔心。

劉: 所以你不會把注意力放在不必要的地方。

鄔: 沒錯。 只需要專注在需要了解的地方, 也就是方程本身, 而不是顧慮這個積分是否有界或是 在什麼意義下有界。

尤: 那給了你信心。

鄔: 正是。 不會為一些基礎的東西而分心。

11Thomas Yizhao Hou,數學家, 研究興趣包括渦流動力學和計算。

12John S. Lowengrub (1964∼ ), 美國數學家, 研究興趣包括渦流動力學和多相流。

劉: 這跟你從動力系統得到的幫助有點不同, 對吧?

B : 對, 有一點不一樣。

鄔: 可能一樣。

B : 我想你要強調的是, 在你的情況, 調和分析讓你能夠專注在需要研究的部份, 但這不是標準 的調和分析; 而我換了很多主題, 也寫了一些測度論和線性傳遞 (linear transport) 的論 文。 我剛開始做數學的時候, 碩士論文寫的是動力系統, 然後做了一些測度論, 接著改做雙 曲方程 (hyperbolic equation)。 我完全從零開始, 之前動力系統並沒有任何對雙曲方程直 接或是甚至接近的應用。 事實上, 中心流形只是其中的一小部份, 因為動力系統是個很廣、

涵蓋很多部份的科目, 不變流形只是其中的一小塊。 說起來我只是運氣好。

鄔: 我覺得沒有幸運這種事。 可能直覺上你覺得這個行得通。

劉: 在比較表面的層次上, 可以說是運氣好; 做出這樣深度的研究, 那就不可能是運氣好。 你會 碰到某個東西, 那是運氣。

鄔: 你得往那個方向走才會遇到, 是吧? 那不是幸運, 因為你有那麼多方向可以走。

劉: 釋賢, 我不大清楚你怎麼最後會去研究邊界關係 (boundary relation)。 在偏微分方程裡有 初始值問題、 邊界值問題, 可是你做的是不一樣的東西。

尤: 大家覺得我會試著走相反的方向。我相信如果問題經過那麼久還在那兒^,一定有什麼地方出 錯了^,沒做對^, 因此做不出結果^, 所以要回歸最基本的地方。 我決定從頭開始重新思考這個 問題。 舉例來說, 當大家都用一個方法做問題, 我總會試試別的方法, 看看會發生什麼事。 當 我檢視這、 檢視那, 發現有很多東西含混在一起, 所以我有機會思考什麼才是真正應該探究 的東西。 我捨棄了很多別人已經建立的東西, 從零開始。 如此,去掉了知識的包袱^, 可以自由 地、 無拘束地看東西^, 最後所有的事都變得很簡單。

劉: 我想每個年輕人都要自由, 不過這樣常常讓他們變成遊民。 所以這種想要自由的渴望絕對不 是能夠成就的充分理由。

尤: 那是情感。

鄔: 既有的成規也許有其意義, 你不能把它都摧毀掉。

尤: 我覺得應該要摧毀。 成規不代表一定得遵從。 例如, 亞里斯多德 的學說風行了兩千年, 可是 化學出現後, 就需要做更深入的探究。

B : 那是人們對於亞里斯多德¹³的詮釋。 我認為亞里斯多德對於新的概念是很開放的, 人們誤解 了他。

尤: 成規是可以的^, 但是不要把它變成宗教。

13Aristotle (384 BC∼322 BC), 希臘哲學家, 和柏拉圖、 蘇格拉底一起被譽為西方哲學的奠基者。

B : 人們喜歡有人可以告訴他們該做什麼。

鄔: 對, 那很不幸。 其實我很年輕的時候, 總是覺得應該要跟隨什麼。 或者說, 至少我不知道要 做什麼; 那是一段很黯淡的日子, 然後, 我做水波, 用自己的方式做^, 從此感覺脫胎換骨, 對 於做研究才真正樂在其中。

尤: 回到太平問的問題。 我從頭開始, 檢視所有的東西, 發現每個步驟都有困難的地方, 有些東 西破壞了所有的程序。 我也試過以逆變換 (inverse transformation) 的方式去做, 等等, 可 是初始數據 (initial data) 在那裡, 我發現哪裡也去不了, 卡住了很久。 那麼, 何不拿掉初 始數據! 拿掉初始數據之後^, 所有事情都不一樣了。 我們的教育是這樣的, 在偏微分方程課, 分離變數, 把邊界值拿掉, 考慮初始值問題, 全部都是齊次項。 我們的知識是這樣來的, 回頭 去看才發現初始數據是問題的癥結。

劉: 你求邊界關係, 初始和邊界數據給你困難, 於是你兩者皆拋。

尤: 對。 國中、 高中的時候, 我們學習如何控制參數。 做物理實驗的時候, 不會把複雜的東西都 放在一起。 我想數學可以跟做實驗一樣, 要簡化問題^, 嘗試找出困難的主要原因。

劉: 我聽了你們三位敘述為何做目前的題目、 如何進行、 又如何得出結果, 可是基本上我覺得這 其中仍有神祕不可言說的地方。

鄔: 像釋賢說的, 你必須真正給自己自由。

B : 你選擇做一個問題, 不只因為你喜歡它, 也因為知道解決那個問題時會學到新東西。

劉: 你有那個想望。

B : 不然就算問題解決了, 什麼也沒學到。

鄔: 你能夠發掘出一些未知的東西。

尤: 你不必創造新東西, 只是做出一些東西。

鄔: 其實是想要了解一些不曾了解的東西。

劉: Stefano, 我知道你在做測度論, Pisa 學派或是義大利學派的東西。 一直以來你都主張測度 論是真實的、 重要的。

B : 我覺得測度論對於許多如多維雙曲方程尚未解決的問題, 將會有根本上的影響, 這就是為什 麼我從完全不相關的問題開始。 我有一點背景, 因為博士班的前兩年做測度論, 後來才換了。

我喜歡測度論, 一方面因為它是完全理論的, 你可以用測度論重新有系統的表述數學邏輯, 產生關於矛盾的問題。 一旦空間變得很弱, 或一旦假設變寬, 可以出現失序的狀況; 可是另 一方面, 因此可以把很多方程式解釋為測度的傳遞 (transport), 這樣一來, 解就不再是古典 解, 甚至不是弱解, 甚至不是可以計算的。 測度的非線性 (nonlinearity) 沒有意義, 因為它 不是函數, 你一無所有; 但是這個障礙 (obstruction) 讓你專注在重要的東西上, 例如消散

(dissipation), 因為消散是定義在測度上的。 有些情形, 例如可壓縮 Euler 方程的消散, 已 經可以做出來了, 不過這只是我的詮釋。 我們應該可以把方程式重寫成測度或空間的運動^, 這些測度和空間描述局部狀態。 因此, 測度是一個更為複雜的東西, 實際上已經不再是局部 了, 其意義需要加以詮釋, 我覺得這是一件很好的事。數學裡很重要的一部份是給先驗上本 無意義的事情賦予意義。 而數學內在的核心在於 : 你在一些事實之間。 我現在想要思考的 是, 即便只有公式, 是現實裡不存在的東西, 如果理論正確, 仍然可以正確詮釋, 通過正確的 詮釋, 對於現實將有新的體悟。 許多問題互相關聯, 現在沒有人能夠賦予這些問題意義。 十 到十五年來, 有許多被規避掉、 尚未解決的問題, 它們本身很有趣, 這些問題引領我們汲取 知識, 取得工具, 提示未來的方向。

劉: 關於可壓縮流, 你的觀點很受歡迎, 因為現在有個危機, 就是解應該在什麼函數空間裡, 你 提出了不一樣的說法。

B : 即使方程不正確, 也可以的。 我們需要的是有正確性質的時間軌跡, 為什麼必須是方程呢?

測度論是個廣泛的科目, 我並不了解它的所有面向, 但我可以用它做為基本的工具。 有些偏 微分方程問題和幾何測度論相關, 我真的很喜歡, 因為測度論很簡潔。 另一方面, 它跟數學 邏輯很相近, 讓它非常乾淨俐落。 它有下面令人驚嘆的事實 : 一個函數的基礎特性是它可 以被局部化, 所以如果有一個點, 函數給你一個值。 但測度不是這樣, 測度必須作用在一個 集合, 或是特定的集合, 但它竟然也可以被局部化。 這個很棒, 因此有一個測度關於另一個 測度的導數概念, 以及其它許多可以討論的東西, 我對於測度論的看法主要是這樣。 如果函 數不足以描述你的系統, 譬如說, 有一個函數乘以勒貝格 (Lebesgue) 測度, 就不再是函數, 但卻是一個測度, 所以某種意義來說, 測度是函數觀念的延伸。 因此, 或許在這個新空間裡, 可以解決以往無法解決的問題。 例如, 在 F. Golse¹⁴的演講¹⁵中, 如果不用測度論處理, 會 非常複雜。 不過一旦把流 (flow) 詮釋成作用在測度上, 就會變得很乾淨俐落。

鄔: 測度論提供你描述時需要的語言, 所以你仍然有目的, 每件事都有個目的。

劉: 所以在博士生的訓練過程中, 必須在某一個核心領域有扎實的訓練, 對它有不錯的感覺, 並 不只是解決一個好的問題就好。

B : 人的精神體力隨著年紀增長而降低, 但最重要的是時間少了, 這是最大的困難, 你可以海闊 天空學習的時間變少了。 仍然可以做, 不過時間變少了。

鄔: 我想年紀越長, 開始意識到有那麼多的問題可以解決, 去做可以用手邊已有工具解決的問題 要簡單多了, 比較沒有動機學習完全無關的東西。

B : 不過這跟時間變少也有關係。

14Fran¸cois Golse (1962∼), 法國數學家, 詳第 33 卷第 2 期 「有朋自遠方來」 專訪。

152012非線性分析國際研討會, 2012 年 10 月 29 日至 2012 年 11 月 2 日, 演講標題為 “Propagation of Monokinetic Measures with Rough Momentum Profiles”。

鄔: 你必須自覺的學習新東西; 必須要有強烈的願望。

B : 當學生的時候, 修課是基本的, 你選擇一個科目, 必須徹底了解。 而教書, 是另一種強迫自 己學東西的重要方法。

鄔: 我覺得如果想要把書教好, 教的科目必須是你有所涉入的, 比方說, 如果要我現在教代數, 我 不知道代數所為何來, 我講課一定很枯燥無趣。

劉: 對了, 說到代數, 這些日子釋賢都在想著代數。

尤: 伽利略相信數學是上帝的語言¹⁶。 我想代數是數學的精髓。

鄔: 真是這樣, 我同意。 在我做了我的方程事實上不含二次非線性的工作之後不久, 做了一場公 開演講。 我們系主任 Mel Hochster¹⁷,一位很好的代數學家, 跑來跟我說, 「其實你最關鍵的 工作是代數。」 我說, 「沒錯。」需要做代數運算把方程式重新制定成那個好的形式^, 這些運算 是等式^,不是不等式。

尤: 例如, 在代數裡, 可以做加減乘除這些事情。 這不只是等式, 這是物件, 可以作運算, 可是如 果把它分成幾個部份, 頭和手和腳等等四處分散, 移動其中一個, 就走樣了。 不過有代數在那 裡^, 一個方程式是一個物件^,如果移動另一個物件^, 仍然會有完美的平衡^,我特別要說的, 多 項式就是這樣的一個物件。

鄔: 我不知道我們對於代數的觀點是否相同。

B : 代數是很廣的學科。

鄔: 至少對我而言, 我總想斤斤計較什麼都捨不得, 盡可能導出等式而非不等式。

劉: 或許可以把常說的一句話改成, 「每個好的理論的背後都有一個等式。」

鄔: 或許不是。 我說教代數是指教範疇論、 場論, 或是群論, 這些科目我無法告訴學生所為何來, 所以講課一定枯燥無味。 只有在知道為什麼要做一件事時, 你所做的這件事情才有生命。

尤: 我舉個例子。 在羅馬時代, 做乘法是很複雜的。 不過知道怎麼做乘法和除法之後, 事情就不 一樣了。 所以上帝賦予的語言帶有某一種簡潔。 大部份時間我的腦袋缺乏新的想法, 也無法 了解新的問題, 不過有時候新想法是在潛意識裡產生的, 一定有誰把想法放到我的腦袋裡, 這是個謎。 未來還有很多未知的物理現象要解決, 現在該是用物理和數學來探索新想法的時 候了。

劉: 你是說未來有很多自然現象等著探索, 而數學將扮演核心的角色。

尤: 對, 數學仍然可以成為科學之母。

鄔: 不是可以, 它是, 它應該是。 想想看, 無論數學家或物理學家都想要瞭解自然的規則, 如果這

16出自 1623 年在羅馬出版 Il Saggiatore 一書, 英文譯本 The Assayer 為 Stillman Drake 翻譯, 1957 年出版。

17Melvin Hochster (1943∼), 美國數學家, 現為活躍的交換代數學家。

是既定的目標, 我們就知道該做什麼。

尤: 對, 不過看看現在的情形, 沒有物理學家或工程師願意認真跟你對話。

鄔: 我今天早上跟曾根¹⁸教授談了一些, 我們在很多事情上意見一致。

劉: 我喜歡釋賢的說法, 要強調就要誇大。 你說 「沒有」, 不過當然你不是真的指沒有人。

鄔: 只要有一些人認真跟我們說話, 就夠好了。

劉: 只能希望如此。 你剛剛說要找出自然的法則。

鄔: 了解自然的法則, 就是要 「了解」, 因為各種現象就在身邊, 但是我們想要了解其規律。

B : Newton¹⁹的方程式很簡單, 卻可以從 Newton 到 Boltzmann²⁰到 Euler²¹, 這很複雜。

雖然現實的模型很簡單, 但現實很複雜, 即便是在古典力學裡, 都非常豐富。 另一方面, 只要 不是有限集合, 就像我們的情形, 就沒辦法描述或演繹每個假設, 這很複雜, 也很有趣。

劉: 釋賢, 你有其他的結論嗎?

尤: 有, 數學家還是有希望, 希望能夠占據科學的核心。

B : 媒體把事情扭曲了, 高能物理的領域中有很多數學家在做模型。 許多模型沒有內在一致性, 要從假設、 法則開始證明一致性。 這是數學的世界, 沒有模型能夠做這件事。 歐洲核子研究 組織 ^(CERN22)有個新機器^, 沒人注意到有多少數學家在那裡服務^, 數學家讓機器順利運 作^, 也分析結果。 人們以為那裡只有物理學家^, 但情況並不是這樣。

劉: 今天很謝謝你們, 未來希望能夠常在這裡見到你們三位, 無論是單獨或一起來。

—本文訪問者劉太平任職中央研究院數學研究所, 整理者甘濟維、 陳麗伍為中央研究院數學研 究所助理—

18Yoshio Sone曾根良夫 (1936∼), 日本物理學家, 詳第 28 卷第 2 期 「有朋自遠方來」 專訪。

19Issac Newton (1643∼1727), 英國物理學家、 數學家, 被譽為世界上最偉大、 影響最深遠的科學家。

20Ludwig Eduard Boltzmann (1844∼1906), 奧地利物理學家, 科學界尊為 「統計物理學之父」。

21Leonhard Euler (1707∼1783), 瑞士數學與物理學先驅, 在數學各領域, 微分方程, 拓樸, 數論等有開創性重大的貢獻。

22The European Organization for Nuclear Research (舊稱 Conseil Europ´en pour la Recherche Nucl´eaire), 簡稱 CERN,國際組織, 目的是運作世界上最大型的粒子物理學實驗室。