從 「聯考試題」 談 「數學教育」

從 「聯考試題」 談 「數學教育」

羅添壽

有檢討, 才有革新, 才會進步, 為使大 家對聯考試題有進一步的了解與溝通之機會,

「數播」 每年必開闢 「聯考專欄」 談談聯考試 題命題之得失, 使其盡善盡美, 進而促進數學 教育之正常化, 實乃科學教育之大幸。

今年聯考試題由於命題教授, 精心設計 用心良若, 故不論自然組社會組其命題皆非 常靈活, 且難易適中, 故必能測出學生們真正 的程度, 相信今後同學們必更重視數學的學 習。

今筆者將自然組與社會組試題命題, 提 出下列值得探討的問題:

(A) 自然組方面

1. 理科數學今年分數比例提高, 杜絕乙丁組 之跨組夢

數冊 一 二 三 四 理科 (上) 理科 (下) 統合 分數 5 分 20 分 20 分 15 分 20 分 10 分 10 分

今年理科數學共考 30 分且命題合理學 生得分容易, 靠基礎數學提高分數很難, 希望以後命題繼續注意理科分數之比 例, 如此可防止學生有投機的心態, 同 時能提高學生微積分之程度一舉兩得。

(註) 第一冊僅佔 5 分, 希望以後命題教 授能注重其比例。

2. 填充題第 (1) 題有補充之學校佔計算上 之便宜。

〈題目〉: 設 L 為通過橢圓 Γ₁ : ^(x−1)₃ ² +

(y−2)²

4 = ¹₄ 與橢圓 Γ2 : 4x² + 3y² − 18y + 25 = 0 兩交點的直線, 則直線 L 的方程式為 , 橢圓 Γ2 中心 點到直線 L 的距離為 。

解)

(1) Γ1 : ^(x−1)₃ ² +^(y−2)₄ ² = ¹₄

⇒4x²−8x+4+3y²−12y+12=3 (i)

又 Γ₂: 4x²+3y²−18y+25=0(ii) 由錐線系知, 過交點之直線根軸 為(i)–(ii) 得 L : 4x−3y +6 = 0 (註) 若不用此觀念, 則必先求交點 坐標, 浪費不必要的時間。

(2) d(0, L) = ^|0−9+6|₅ = ³₅, (0 為 Γ₂ 之中心點)

3. 計算題三, 題意不清, 造成學生解題上之 困擾。

1

2

₈₂

₉

〈題目〉 拋物線 Γ : y = p(x) 的對稱軸 平行 y 軸, 且 Γ 與 x 軸交於點 (2,0) 並在 x = 1 時與函數 y = x⁴+ 1 的圖 形相切, 試求 p(x)。

(註) (i) 課本對兩函數圖形相切並沒 有定義。

(ii) 試題該改為兩圖形在 x = 1 時有公切線較妥當。

(B) 社會組方面

1. 有特殊解法之試題該注意其命題方式, 以 免失去評量之價值。

〈題目1〉選擇題第(2) 小題 2x + 2 log₁₀(2 + 10^−x) − log10(¹₄ + 10^x+ 20^2x) =

(A) 2 × 10^x (B) x log₁₀¹₄ (C) 1 (D) 2 log₁₀2 (E) 2x + 10^2x

〈特解〉因為為選擇題故令 x = 0 代入 所求式 = 0+2 log₁₀3−log10(¹₄+ 2) = log₁₀ 9

9 4

= log₁₀4 = 2 log 2

又將 x = 0 代入選擇題一一檢查 得 (D) 為所求

〈題目2〉(填充題第(3) 題)

若 a 與 a + 2 為異號的兩實數, 且 均為方程式 x²+ |x| + 3k = 0 的 解, 則 k = 。

〈特解〉因為 a · (a + 2) < 0 所以

−2 < a < 0

故取中間值 a = −1 = x 代入即 得 1 + 1 + 3k = 0

所以 k = −2

3 為所求 2. 自然組剛考完之題型不宜立即在社會組

出現, 有失公平性。

〈題目〉計算題 〈三〉

設 L 為通過拋物線 Γ1 : 2y − 3x²+ 12x − 14 = 0 與拋物線 Γ2 : y + x²− 2x − 1 = 0 之兩交 點的直線。 求 Γ₁ 的焦點 F 至 L 之距離。

(註) 此題與自然組填充題第(1) 題命 題型式完全相同且用錐線系求直線 (根軸) 較快。

解)

(1) Γ1 : 2y = 3x²− 12x + 14 (i) Γ2 : y = −x² + 2x + 1 所以 3y = −3x²+ 6x + 3 (ii) 由錐線系知 (i) + (ii) 得 5y =

−6x+17 ⇒ L : 6x+5y−17 = 0 為過兩交點的直線。

(2) 因為 Γ1 : (x − 2)² = ²₃(y − 1) 所以 頂點 (2.1) 又 4c = ²₃ 所以 c= ¹₆

所以 焦點 F (2, 1 +¹₆) = F (2,⁷₆) 所以d(F, L) =|6 × 2 + 5 × ⁷₆ − 17|

√36 + 25 = 5√

61 366

期望與建議

從 「聯考試題」 談 「數學教育」

₃

1. 希望命題教授, 今後命題其深淺與合理性能 與今年一樣, 相信能提高學生們學習數學的 興趣, 且分數必會提高。

2. 建議聯招會, 增加高中數學資深教師入闈, 使

數學試題更合理化。

—本文作者任教於台南縣新化高中_—