半導體數學漫談

半導體數學漫談

劉 晉良

一 . 半導體簡介

半導體工業是目前我國最重要的工業之 一, 半導體也是現代人生活中不可或缺的工 業產品, 電話、 音響、 電腦、 汽車, 甚至玩具 和電鍋裡面都會有半導體, 不過當大家在講 半導體時, 往往還不太清楚什麼是半導體, 什 麼是半導體呢? 首先我們先來看1945年物理 學諾貝爾獎得主包利 (W. Pauli) 在 1932年 寫給他同事的一段文字 [1]:

On semiconductors one should not do any work, that is a mess, who knows whether there are semiconductors.

這段文字充分地顯示出當時對 「半導 體」 這個物理現象是非常模糊的, 其實半導 體還沒被人們發現之前它只是一些不值錢的 石塊, 可是當人們學會怎麼利用它時, 它卻變 得如此的重要; 我們可以這樣說: 「半導體是 一堆不值錢的石頭」, 我們也可以這樣說: 「半 導體是非常有價值的東西」; 之所以會有這樣 矛盾的結果出現, 是因為半導體的材料是一 種具雙重性質的物質, 它可以是一種導體也 可以是一種絕緣體, 而到底是導體還是絕緣

體? 取決於半導體工業界中最重要的兩件事 (A 與 B 事件):

A、 What is done to it?

B、 How to control the current?

這兩個動作可以說是點石成金, 如果 加了該加的東西, 再加上知道怎麼控制電流 (Current), 那它就會變成半導體; 相反的, 它就是一塊沒有用的石頭, 以下是科學百科 全書 [2]對半導體的詮釋:

A semicondutor is a material that can behave either as a conductor or an insulator de- pending on what is done to it.

We can control the amount of current that can pass through a semiconductor.

現在我們來看一下半導體的歷史發展, 法拉第 (Michael Faraday, 1791-1867) 是 第一個注意到有半導體這種材料的人, 法拉 第的發現很多, 最有名的是磁可以轉化為電 的電磁感應現象。 這裡我們要講的則是法拉 第較少為人所知的一項發現, 那就是他在西 元 1833 年發現硫化銀 (Silver Sulfide) 的

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電阻與普通的金屬不同, 它的電阻隨著溫度 的上升而降低, 而普通金屬的電阻都是隨著 溫度的上升而增加的。 半導體從 1833 年被 Faraday 發現後, 其中經歷相當多的屈折 故事, 事實上在發現後近一百年內, 科學家 對半導體現象仍存在有截然不同的正反見解, 也就是說半導體從發現到完全被證實足足有 一百多年之久, 可見半導體的奧妙與艱深難 懂, 但是近年來半導體的發展卻是相當的快 速, 從1969年第一顆包含一個電晶體 (Tran- sistor) 的晶片 (Chip) 被發明至今, 短短的 三十年之間, 技術已經可以做到把超過兩千 萬個電晶體放到同一片晶片上了。 以下為半 導體在發展上所發生的一些大事:

1833 – Faraday discovered semicon- ductivity in Ag2S

1841 – Hittorf showed Faraday wrong 1902 – Straints showed Faraday right 1911 – Koenigsberger and Weiss ter-

med “semiconductor”

1920 – Juband showed Faraday wrong 1933 – Wagner showed Faraday right 1935 – Gudden “Si is not a semicon-

ductor”

1947 – Bardeen, Brattain, Shockley discovered transistor

1962 – First semiconductor laser 1969 – Single transistor on one chip 1999 – Over 10¹⁰ transistors on one

chip

二 . 半導體元件與半導體工業 的發展

現在我們來看一些半導體元件以及近年 來半導體工業是如何的發展, 首先我們先來 看一下半導體元件是如何產生的, 一般來講, 半導體元件的產生需要通過晶圓、 黃光、 切割 等 · · · 幾個步驟, 如圖一所示 [3]。

半導體的主要材料是從石頭或砂子中萃 取出矽, 經高溫溶化成 99.9% 的純矽鑄塊 (Ingot), Ingot 長得像一個純銀色的不鏽鋼 圓柱, 經鑽石鋸切割後成一塊塊直徑為4、6或 8 吋大的晶圓 (Wafer), 經過消毒、 磨光後的 晶圓像一面光滑的鏡子, 每一塊晶圓最後將 含上百個相同的晶片 (Chip), 這些晶片就是 我們去電腦零售商購買的微處理器 (Micro Processor) 或動態記憶體 (DRAM)。

晶片的製造過程大致如下: 首先晶圓 需經過化學沉澱、 擴散以及離子植入方式使 其帶正電, 此謂摻入雜質 (Doping), 然後 此帶正電晶圓再置入一個 1200^◦C 的烘爐內 烘烤氧化而在表面形成一層不導電的氧化層 (Dioxide), 然後再舖上一層膠固狀的不透光 體 (Photoresist), 接著一片舖陳著複雜積體 電路設計圖的模版置於此晶圓上, 經過紫外 線照射使 Photoresist 依設計圖路徑被軟化, 此謂光罩 (Mask); 之後再置於黃光室將軟化 的 Photoresist 清除, 接下來再把 Dioxide 部份用熱氣蝕刻 (Etching) 掉而形成電路通 道, 這些通道再 Dope 成帶負電的矽化物, 最 後通道與通道之間再舖上一條條鋁 (或銅) 線 使其相連成一個完整的積體電路 IC (Inte- grated Circuit), 此步驟叫 Interconnect, 圖二是 IC 最基本的示意結構之一。

上述的這些步驟通常會重覆好多次, 因 此晶圓上一層一層的 IC 圖被舖設起像一層

層大樓被建造起來, 再經過切割、 封裝、 測試 後成為一片片像姆指甲大小般的 Chip。

臺灣今年 (2000 年) 可望成為全球第三 大 IC 生產國, 921大地震使得美國股市重挫 的現象顯示我國在全球高科技領域所扮演的

重要角色, 成功的原因很多, 教育與研究是其 一, 另外國人辛勤工作使這個產業從設計、 製 造、 光罩、 封裝到測試等過程, 皆有專業公司 負責而形成一個緊密且高效率的垂直整合工 業團隊也是一個重要的因素。

圖一. 半導體簡要製造過程

V_DD

D i₁

G S

N-MOSFTET2 V₀(t)

D

Vi(t) G C

i2 S N-MOSFET1

V₀(t) V_DD

V_i(t) i₁ i₂

S G D S G D

C

N-MOSFTET N-MOSFTET2

圖二. Metal-Oxide-Silicon Field Effect Transistor

現在我們來看看一個最基本的 IC 結構:

MOSFET Invertor (反向器), 如圖二, 圖 中 Vi 是輸入電壓, V₀ 是輸出電壓, 如果 MOSFET(在純矽上加了不同的雜質後的半 導體,A 事件) 的導電特性適當, 我們則可控

制 (B 事件) i1 與 i2 的電流大小進入而控制 電容 C 使其充電或不充電 (0 或 1 電腦的基 本運算於焉開始)。

上面的積體電路裡, 每一個 MOSFET 元件, 就長得如圖三:

Source Gate Drain

B C Cauchy boundary condition D E

C^′ D^′

n⁺ n⁺

Dirichlet Dirichlet

boundary boundary

condition condition

B^′ E^′

CD = 0.25µm 1 =µm = 10⁻⁶m AB = AF = 0.792µm

BB^′=EE^′= 0.13µm Tox= 0.007µm

−10¹⁶≤n, p ≤ +10²⁰

P

Dirichlet boundary condition

A F

Substrate

圖三. MOSFET 基本元件 當不同電壓加在 S(Source), G(Gate),

D(Drain) 時, 我們希望電子 (負電荷) 能有 效地從 C^′ 跑到 D^′ 而使 S 與 D 間通電, 當 CD 的距離愈小時, 元件的尺寸就愈小, 現在 台積電與聯電 (全球第一, 第二大的晶圓代工 廠) 已經可以量產 0.18 微米的元件了, 這裡 0.18微米就是代表 CD 的距離也就是導電線 的線寬。

最後我們要看的是整個半導體工業裡, 從 1969 年第一顆包含一個電晶體 (Transis- tor) 的晶片 (Chip) 被發明之後, 半導體元 件尺寸縮小 (也就是隨 CD 距離而相對縮 小的元件) 的演進情形如圖四所示, 圖中的 三條直線代表了半導工業最重要的觀察定律 Moore’s Law, 這個定律是由英代爾 (Intel) 創辦人之一 G. Moore 在 1960 年代即預測,

30 年來半導工業的演進與其預測幾乎相同不

禁令人佩服 Moore 的遠見。 這三條線的意義

解釋到我們使用電腦的情形, 即: 電腦每一年 半左右, 其運算功能便加強一倍, 這就是人們 疲於更新電腦的軟硬體設備的原因 [5]。

半導元件尺寸縮小之演進

Exponential decrease of (a) minimum feature length, (b) junction depth, and (c) gate oxide thickness of MOSFET. (Chang & Sze : ULSI Technology, 1996, McGraw Hill)

圖四. 摩爾定律 從上圖我們可以看出,1997 年的 0.25 微

米元件已量產, 同時可以預測 2006 年將會有 0.1 微米的元件產生, 下面兩個表格顯示出這

幾年來半導體工業主要技術的發展情形:

積體電路技術的發展概況:

年份 (西元) 1989 1992 1995 1998 2001 最小線寬 (µm) 0.7 0.5 0.35 0.25 0.18

電晶體數量 — 3 × 10 800K 2M 5M

DRAM容量 (Mb) 4 16 64 256 2000 邏輯電路-IC 大小 (mm²) — 250 400 600 800 DRAM-IC大小 (mm²) — 132 200 320 500 晶圓 (Wafer) 直徑 (mm) 150 150 ∼ 200 200 200 ∼ 300 300 ∼ 400

MOS元件的發展概況:

年份 1980 1989 1992 1995 1998 2001 MOS閘厚度 (A) 400 200 150 90 80 70 MOS閘長度 (µm) 2 0.9 ∼ 0.8 0.6 ∼ 0.5 0.4 ∼ 0.3 0.25 0.18 MOS接面深度 (µm) 0.6 0.2 0.15 0.15 0.1 0.08

Vcc電壓 (V) 5 5 5 3.3 3.3 3.3

NMOS-I^dsat(mA/ ∼ m) 0.14 0.36 — 0.48 0.55 0.65 PMOS-I^dsat(mA/µm) 0.06 0.19 0.27 0.22 0.26 0.32

三 . 半導體數學簡介

半導體數學其實是指半導體物理與工程 中相關的數學問題, 而半導體物理是探討半 導體特性的學科, 需要用到以下幾種物理課 程:

1、 基礎物理 2、 近代物理 3、 量子力學 4、 固態物理 5、 統計力學

主要的觀念是守恆率、 運動方程式、 電場、

電荷; 而在半導體數學方面主要是專門處 理半導體的模式與分析, 用到了以下幾種數 學:

1、 微積分 2、 高等微積分 3、 實變函數 4、 泛涵分析 5、 微分方程 6、 數值分析

7、 統計 8、 機率

研究主題含模式推導、 數學性質、 模式的求 解、 以及用電腦來模擬元件物理特性; 而這 些簡稱為半導體數學為什麼要存在於半導體 工業中呢? 我們可以從它的製作過程:「沙子」

→晶圓 → · · · → 封裝 → 切割 → 販賣, 這 整個點石成金術可不是三天兩夜就變的出來 的, 從最原始的矽元素, 到 IC 晶片, 起碼需要 花三個月的時間才能成就一顆有價值的 IC, 在這段漫長的時間裡, 有數以百計的程序需 要被處理, 只要其中有一步驟稍微出了差錯, 就全功盡棄, 因此, 如果我們能先透過半導體 數學的模擬計算, 來預測某個條件下, 元件所 具有的物理特性, 我們便能快速的找出最適 合某類元件的組成係數, 就能節省開發新元 件所需的成本, 這樣的好處在越往小元件發 展, 所節省的成本就越明顯, 圖五是製程、 元 件、電路模擬關聯圖, 從此圖就可以看出半導 體數學在製作過程中所佔居的位置。

圖五. 製程、 元件、 電路、 模擬關聯圖 從 1969 年第一顆包含一個電晶體

(Transistor) 的晶片 (Chip) 被發明至 今, 短短的三十年間, 技術已經可以做到把 超過兩千萬個電晶體放到同一片晶片上了。

隨著半導體產業的突飛猛進, 元件的尺寸越 來越小, 電晶體的數目越來越多, 相對的 研發的成本也越來越高, 在此情況下, 想 要對每一種設計理念, 包括不同的元件尺 寸 (Device Geometry)、 元件材質 (De- vice Material)、 不同的偏壓 (Bias)、 以 及製程技術中的微影 (Lithography)、 參雜 (Diffusion、Implantation)· · · 等, 都加以實 際實驗是非常不實際的, 其付出的成本可以

說是天文數字, 因此就有人把數學引進半導 體業界, 主要分成元件模擬 (Device Simu- lation) 和製程模擬 (Process Simulation), 以下主要討論元件模擬的部分, 希望能以數 學的方程式來描述半導體的特性。 但是此時 就會遇到兩個無法避免的難題:

1. 如何找到可以描述半導體特性的數學方 程式?

2. 如何找出這些方程式的真正解?

對於第一個問題, 經由數學家和物理學 家的不斷努力下, 現在已找到了許多可以描 述半導體特性的方程式, 下面列出一些可以 描述半導體特性的方程式及其所適用的元件

大小 (約略尺寸):

1、 Drift Diffusion Model (大於 0.7µm) 2、 Energy Transport Model (大於

0.3µm)

3、 Hydrodynamic Model (大於 0.07µm)

4、 Boltzmann’s Transport Equation (大 於 0.03µm)

5、 Quantum Transport Model (可用於小 於 0.01µm)

以下為示意圖:

圖六. 適用於不同元件尺寸的數學模式 一般來講較上方的方程式是由下方的方

程式做了一些關鍵性的假設或忽略所得到的, 但隨著元件的大小漸漸的變小, 這些可以簡 化方程式的假設也變得不成立了, 所以越下 方的方程式其複雜度會遠遠超過上方的, 對 此我們可以依據元件的大小來選擇所需的方 程式, 以免大才小用。

至於第二個問題, 很不幸的答案是沒有

方法, 對於工程界有興趣的問題, 現今的數學 並沒有方法求得這些方程式的真正解, 那怕 是最簡單的 Drift Diffusion Model 都沒有 辦法, 更不要說是 Boltzmann’s Transport Equation 或 Quantum Transport Model 了。 相信大家一定會覺得很奇怪, 既然沒有辦 法解這些方程式, 那如何把數學帶進半導體 產業呢? 雖然數學沒有辦法解出真正的解,

但借由數值方法和高運算能力的電腦, 我們 可以得到近似的解, 只要近似解夠接近真正 解, 我們就可以用此近似解來當作實驗所得 的數據, 如此就可以把一些不良的設計在此 階段就先加以剔除。 但是隨著方程式的逐漸 複雜化, 如今連想要求得近似解的難度也越 來越高了, 對此我們只有期望能有新的方法 來計算這些方程式, 及更快速的電腦能早日 被發明出來以滿足呈爆炸性成長的計算量。

四 . 半導體數學模型的意義

在上面, 依元件尺寸的大小, 我們看到 了相當多的數學模式可以用來描述半導體特 性, 在這裡我們選擇最基本的 Drift Diffu- sion (漂移擴散)Model 來簡略地看看這些數 學方程式的物理意義 [6]:

Drift Diffusion Model:

(1) ∆φ = q εs

(n − p + D) (2) ∂n

∂t = ∇ · (Dn∇n)−∇ · (µnn∇φ)+R (3) ∂p

∂t= ∇ · (Dp∇_p)−∇ · (µpn∇φ)+R 對這三個方程式, 我們想要尋求三個未 知函數 (φ, n, p) 的解, 這裡 n 代表在圖三正 方形區域 ABEF 內的電子濃度 (單位面積內 電子的個數), 如果 ABEF 依摩爾定律 (圖 四) 一路往下縮小, 我們可以想像將來的元件 只有一個電子, 的確, 這即是目前科學界非常 重要的研究課題之一 「單電子電晶體」, 高中 化學我們學過原子最外層能階的電子可能受 外在環境影響而逃脫原子的束縛而在物質晶

格上遊走 (即漂移), 因此 n 是代表這批“游 離”電子的濃度, 如果原子沒辦法留住它的電 子而任其遊走天涯 (形成電流), 原子將帶正 電荷我們稱之為電洞, 而 p 即代表電洞的濃 度。 電學最基本的定律庫倫定律告訴我們帶 電的東西 A(如電子本身) 會形成一個電場 E, 而 E 對另外一個帶電的東西 B 形成有 位能 φ 存在的現象, 電位能與電場的關係是 E = − (位能變化) / (位置變化) 以二維空 間而言

E = −∇φ = −( ∂

∂x, ∂

∂y)φ = −(∂φ

∂x,∂φ

∂y) 這裡 ^∂φ

∂x 即代表 φ 在 x 方向變化的情形。

ABEF 內的電子濃度由於受到外加電 場 ( φ 的邊界條件) 以及我們在純矽上加了 不同的物質 (A 事件, Doping) 而有所變化, 這即是 D 在 (1) 式右邊的意義, q 是基本電 荷常數, εs 是介電係數, 也是常數而 (1) 式 即代表電場因電子在不同位置有不同數量而 產生的變化, 即 −∇E 等於 _ε^q_s(n − p + D) 對 φ 而言, (1) 式是 φ 的二階偏微分方程式, 即

∆φ = ∇ · ∇φ = ( ∂

∂x, ∂

∂y) · (∂φ

∂x,∂φ

∂y)

=∂²φ

∂x² +∂²φ

∂y²

現在我們來看看第二個式子, 此式稱之 為電子連續方程式, 是依據質量不減定律算 來的, 為了簡化起見, 我們把問題放在一維 空間來考慮, 想像 x 軸是一條密度不均勻的 河流 (電子流; 高速公路上的車流), 其流速 在 x 點 t 時間時為 v 向東流去, 令 Q 代

表單位時間內通過 x 的電子數, 考慮電子 流在某一線段 I = (x, x + ∆x) 的情形:

Rx+∆x

x [n(s, t + ∆t) − n(s, t)]ds: 表示在時 段 ∆t 內電子在 I 的增加總數量, [Q(x, t) − Q(x + ∆x, t)]∆t: 表示在 ∆t時間內電子流 入與流出 I 的總數量,^R_x^x+∆x(R(s, t)∆t)ds:

表示電子在 I 與 ∆t 內因碰撞或與電洞相結 合而得的總增加量, 因此 R 代表一個生成或 消滅的函數, 質量不減定律告訴我們:

Z x+∆x

x [n(s, t + ∆t) − n(s, t)]ds

= [Q(x, t) − Q(x + ∆x, t)]∆t +

Z x+∆x

x (R(s, t)∆t)ds

兩邊除以 ∆t∆x 後再令 ∆t → 0, ∆x → 0 我們得 ^∂n

∂t = −^∂Q_∂x + R 現在我們想想看 Q 這個函數與 n 和 φ 的關係是什麼, 考慮 Q = Dn∂n

∂x+µnuE (其中 E = −^∂φ_∂x), 這裡 Dn代表電子在矽晶格上的擴散係數 (正數), Q 與 ^∂n_∂x 成正比, 意思是如果 ^∂n_∂x = 0 即在 x 點附近電子數相同, 即無擴散現象否則電 子會往較稀疏的地方疏散, 另一項 µnnE 其 中 µn 表示電子在元件內移動的能力 (Mo- bility), 可以想像得到的是如果 µn, n, 或 E 愈大, 則電子數量在時間 t 通過 x 點會愈大, 因此 µnnE 代表了 Drift Diffusion Model 中 Drift 的意義, 而 Dn = ^∂n_∂x 表示 Dif- fusion。 以上的解釋對電洞也成立, 因此有第 (3) 式。

我們在這裡省略了很多的物理參數, 條 件, 變數等, 沒有交待, 但是對於方程式 (1)

∼ (3) 的主要數學符號與相對應的物理意義 希望已經提供了輪廓性的描述, 簡單的說 (1)

∼ (3) 是一群電子在圖三中從 Source 跑到 Drain 的數學表示式且僅適用於某些元件尺 寸大小。

五 . 目前由半導體數學建構而 成的模擬工具

基於上節各種不同的數學模式 (Mod- els), 全球有許多大學、 相關研究機構, 甚至 如英代爾、IBM 等公司皆有研究群全力地發 展完整的半導體數值模擬器, 而功能較完整, 且技術較先進的學術研究群有:

1、 史丹福大學 – TCAD 研究群。

2、 麻省理工學院微系統科技實驗室。

3、 維也納大學 – TCAD 研究群。

4、 普渡大學 – 計算電子研究群。

5、 美國計算電子研究中心。

6、 交通大學半導體數學研究群。

其中, 史丹福大學的 TCAD 研發團隊, 結合了電子工程、 物理、 數學、 計算機等不同 領域的人才、 系所環境, 目前其技術領先世界 水準約 10 年, 其相關的研究從製程模擬、 元 件模擬、 電路模擬到系統都做, 也寫計算數 學核心。 它所研發的 SUPREM 和 PISES 兩套模擬器, 由於功能強大, 廣為商業界所愛 用。

由威尼斯大學 TCAD 團隊所發展的 MINIMOS Simulation Tool, 是早期幾個 少數模擬器中, 功能最為完備, 最為成熟的模 擬器, 舉凡製程模擬, 元件模擬, 電路模擬都 有做, 廣為學術界所愛用。

而普渡大學的 Computational Elec- tronics Hub 是以 TCAD 整合為主, 它搜

集了所有可以見的到的 TCAD 相關資料, 並 以網際網路瀏覽介面開放給學術界免費使用。

這幾年來我與一群博士、 碩士與大學部 學生一起共同組織了 「半導體數學研究群」, 在交大已研發出一套在網際網路與平行計算 環境下的元件模擬, 稱之為 MONOMOS [8]。 主 要 的 數 學 理 論 依 據 是 單 調 迭 代 法 (Monotone Iteration) [9], 我們希望研究 出可以提供台灣進而全球半導體製造業或學 術界所能使用的元件模擬器軟體。

目前半導體工業界裡, 有許多公司投入 TCAD 的研發, 較著名的有: Silvaco、 In- tegrated Systems Engineering(ISE)、 和 Avant!, Silvaco 與 Avant! 兩公司的主 要技術核心源自於史丹福大學 TCAD 研究 群所開發出來的學術性軟體, 而 ISE 的技 術則源自於瑞士聯邦科技大學以及維也納大 學。 目前我們所知的所有元件模擬軟體對於 小於 0.1 微米的元件都無法獲得滿意的數值 計算結果, 我們也正朝這些困難邁進, 希望能 在此競爭非常激烈、 時效性非常緊迫的研究 領域有所突破與貢獻。

六、 結語

雖然半導體工業是目前我國最重要的工 業之一, 但是十之八九的半導體製造商甚至 學術研究實驗室仍然以實驗方式來取得所謂 的 what is done to it and how to control current, 這樣做有三個很大的缺點:

1. 成本過高、 費時費工。

2. 無法取得最佳設計籃圖與製造參數值。

3. 容易造成污染。

這是整個半導體工業裡很大的問題, 只 要在半導體工業裡帶入所謂的半導體數學與 軟體, 將有助於解決上述問題; 而且當半導體 元件的尺寸越小, 半導體工業就愈需要這些 相關的基礎研究了。

在半導體元件日漸縮小的情況下, 以 前所被簡略的物理特性也都一一呈現出其重 要性來, 因此我們需要更為精確更為複雜的 數學模式來替代物理實驗, 其所代表的意義 是在更小的區域中未知函數的變化更為複雜, 想要求得精確的近似解則需要更多的計算量, 進而使得模擬元件特性須要耗費更多的時間, 另外, 數值模擬結果必需與實驗相互驗證、 比 較, 因此數學、 物理與工程等領域的整合也是 非常重要的環結, 所以半導體模擬是需要非 常高度的科學計算技術與紮實的基礎科學基 礎。

謝誌: 這篇文章源自於一群與我一起埋 首研究有關於半導體數學、 物理與工程問題 以及開發軟體的學生們: 李義明、 陳仁純、 周 章、 王傳盛、 林水升、 陳璞、 陳正凱等人, 希 望藉此機會表達我個人對他們由衷感謝之意。

參考文獻

1. 陳永方_{, “}半導體的早期發展史_”, 物理雙 月刊(二十卷二期), 1998年四月, pp.225- 229。

2. The Kingfisher Science Enclydopedia, Kingfisher Books, 1991.

3. 台灣積體電路網站: http://www.tsmc.

com.tw

4. 劉晉良,“數學與半導體工業應用之簡介 演講稿_”,國家理論科學研究中心_,1999年 8月。

5. C.-Y. Chang and S. M. sze, “ULSI Technology”, McGraw Hill, 1996.

6. P. A. Markowich, C. A. Ringhofer and C. Schmeiser, “Semi conductor Equa- tions”, Springer-Verlag, 1990.

7. S. M. sze, “Semiconductor Devices, Physics and Technology”, Wiley, 1985 8. MONOMOS; http://mono.math.nctu.

edu.tw

9. Y. Li, S. S. Chung and J.-L. Liu, “A novel approach for the two-dimensional simulation of submicron MOSFET’s using monotone iterative method”, Proceedings of International Sympo- sium on VLSL Technology, Systems, and Applications, 1999, pp.27-30.

—本文作者任教於國立交通大學應用數學 系_—