1 1 -

數列與等差級數

1 ^- 1 ^數列 1 ^- 2 ^等差級數

1

1

˙ 因數與倍數　˙ 倍數的簡易判別法　˙ 質數與合數　˙ 標準分解式

1

1. 下圖是某學期安排的值日生輪值表，從1 號開始依序輪值，已知這學期 從 9 月 1 日開始每個星期一到星期五都有排值日生，而阿達的號碼為 23 號，則他第一次排到值日生的日期是星期　　　　　。( 學生號碼從 1 號 開始沒有跳號 )

㗇㛇㖍ġ 㗇㛇ᶨ 㗇㛇Ḵ 㗇㛇ᶱ 㗇㛇⚃ 㗇㛇Ḽ 㗇㛇ℕ

1ġ 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11

12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25

ḅ㚰↮㚰㙮

1嘇 2嘇 3嘇

6嘇 7嘇 8嘇

4嘇 5嘇

11嘇 12嘇 13嘇

9嘇 10嘇

16嘇 17嘇 18嘇

14嘇 15嘇

2. 用等長的火柴棒排成如下的圖形，試完成下列的空格：

4 根 7 根 10根 13根

五

1. 下圖是某學期安排的值日生輪值表，從1 號開始依序輪值，已知這學期 從 9 月 1 日開始每個星期一到星期五都有排值日生，而阿達的號碼為 23 號，則他第一次排到值日生的日期是星期　　　　　。( 學生號碼從 1 號 開始沒有跳號 )

㗇㛇㖍ġ 㗇㛇ᶨ 㗇㛇Ḵ 㗇㛇ᶱ 㗇㛇⚃ 㗇㛇Ḽ 㗇㛇ℕ

1ġ 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11

12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25

ḅ㚰↮㚰㙮

1嘇 2嘇 3嘇

6嘇 7嘇 8嘇

4嘇 5嘇

11嘇 12嘇 13嘇

9嘇 10嘇

16嘇 17嘇 18嘇

14嘇 15嘇

2. 用等長的火柴棒排成如下的圖形，試完成下列的空格：

4 根 7 根 10根 13根

五

　　在日常生活中，常常可以看到數列的例子。

例如：大樂透的開獎號碼，如右圖，依開獎順序 為34 , 38 , 42 , 17 , 22 , 6 , 20。

1 ^{數列的意義}

2020 ²⁰

20

34 38 42 17 22 06 20

開獎實況 開獎實況

1 1

1 ^{- 數列}

˙ 數列的意義　　˙ 等差數列　　˙ 等比數列　　˙ 等差中項與等比中項

溫故

啟思

1

的每一個數稱為項，

第一個數稱為第1項 ( 或首項 )，可記為 a1； 第二個數稱為第2項，記為 a2；

　 ……

第 n 個數稱為第 n 項，記為 an。

而數列中的最後一項稱為末項。這個數列共有7項，即項數n＝7。

　　再舉個例子，我們知道圓周率寫成小數形式記成3.14159265358979……。

如果我們以第一個數字視為第一項，第二個數字視為第二項，可紀錄如下：

　　　　　　3 , 1 , 4 , 1 , 5 , 9 , 2 , ……

其中第 1項 a₁＝3，第2 項 a₂＝1，……，第7項 a₇＝2。

某田徑隊有十名隊員，他們做了一個百米賽跑的檢測，檢測結果依檢測先 後順序記錄成一數列如下：

　　　　12 , 13 , 12.1 , 12.8 , 14.5 , 14 , 12.7 , 15.6 , 14.9 , 14

則此數列項數 n＝　　　　，a1＝　　　　，a2＝　　　　，a10＝　　　　。

　　某些數列的排列會有規律性，例如溫故啟思2，我們把每一個圖所用到的火 柴棒數量記錄下來，分別為4 , 7 , 10 , 13，這一連串的火柴棒排法蘊含了一種特 別的規律性，也反映在這一個數列中，我們可藉其規律性，找出數列中的其他 項。

↑ a1

↑ a2

↑ a3

↑ a4

↑ a5

↑ a6

↑ a7

隨堂練習

10 12 13 14

找出數列的規律

觀察下列數列的規律，並在空格中填入適當的數：

优 11 , 13 , 15 , 　　　 , 19。

悠 17 , 12 , 7 , 　　　 ,－3 , 　　　 ,－13。 忧 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 　　　 , 128 , 　　　。

优 觀察數列 11 , 13 , 15 , 　　　 , 19，

可發現從第2^項起，各項均比前一項多 2， 所以接下來的數應為 　17　 , 19。

故空格中填入的數為17。

悠 觀察數列 17 , 12 , 7 , 　　　 , －3 , 　　　 ,－13， 可發現從第2^項起，各項均比前一項少 5，

所以接下來的數應為 　2　 ,－3 , 　－8　。 故空格中填入的數依序為 2、－8。

忧 觀察數列 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 　　　 , 128 , 　　　， 可發現從第2項起，各項均為前一項的 2倍，

所以接下來的數應為 　64　 , 128 , 　256　。 故空格中填入的數依序為 64、256。

觀察下列數列的規律，並在空格中填入適當的數：

优 6 , 12 , 18 , 　　　　 , 30 , 　　　　 , 42。

悠 10, 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 　　　　 , 3。

忧 1 , 4 , 9 , 16 , 25, 　　　　 , 49, 64。

1

例

解

隨堂練習

　24 36

4 　36　

數列的規律

在網路上出現過一個問題：

「已知一個數列的前 3項為 1 , 2 , 4，你覺得第4項會是什麼呢 ?」

香香認為答案是 8，小可認為答案是 7，你認為他們的答案合理嗎？

他們是如何推得答案的呢？兩人的想法都合理。

連續偶數的數列

某個運動中心有個雙層置物櫃，上面都有編號，

而下排的號碼形成一個連續偶數的數列：

　　　2 , 4 , 6 , …… , 200 , 202

优 寫出第 1項 a₁、第2項 a₂、第6項 a₆。 悠 寫出第 n 項 an。( 用 n 來表示 )

忧 寫出第 50項 a₅₀。

优 觀察數列可發現 a1＝2，a2＝4，a6＝12。 悠 因為編號是連續偶數，

所以 a₁＝2×1，a2＝2×2，a3＝2×3，可推知第 n 項 an＝2n。

忧 因為第 n 項 aⁿ＝2n，當 n＝50^時，a50＝2×50＝100。

　　在例題2^中，數列的第 n 項可表示成2n，我們稱此數列的一般項為2n。

設某數列的一般項 an＝2n－1，則 a1＝　　 　，a2＝　　 　，a10＝　　 　。 探索活動

香香的想法　　 1248 × 2　× 2　× 2

小可的想法

1247 ＋1　＋2　＋3

2

例

解

隨堂練習

1 3 19

　　關於數列的規律，我們還可以去檢視某些分數化成小數的情形，譬如 1 3 ^寫 成小數為 0.3333333……，將小數點後的每一位數作為數列，令小數點後第 n 位 為 an，則 a1＝3，a2＝3，a3＝3……，此數列的一般項 an＝3。

求數列的第 n 項

計算機按法請參考附錄　　　 將分數 26

111^{化成小數，得到} 26

111^＝0.234234 ……。請問： 优 小數點後第7位數字為何？

悠 小數點後第27位數字為何？小數點後第37位數字為何？

优 用計算機計算後可看出小數點後第 7位數字為2，而且可以觀察到小 數點後的數字 2 , 3 , 4 , 2 , 3 , 4 , ……，「2 , 3 , 4」這一組數字一直 重複循環出現。

悠 將小數點以後的數字依序排成數列 2 , 3 , 4 , 2 , 3 , 4 , ……，

因為27÷3＝9 ... 0 　　 37÷3＝12 ... 1

所以 a27＝a3＝4，a37＝a1＝2。

故小數點後第 27位數字為 4，小數點後第37位數字為2。

已知 412

999 ^＝0.412412……，將小數點以後的數字依序排成數列4, 1 , 2 , 4 , 1 , 2 , ……，求小數點後第60^位數字。

3

例

^

解

隨堂練習

60÷3＝20 ... 0，

故第60位數字＝第3位數字＝2。

圖形的規律

阿達拿了一堆正方形地墊要鋪在廣場。第一次放 1片地墊，如圖渝；

第二次放 4片地墊，排出一個大正方形，如圖渔；

第三次放 9片地墊，排出一個大正方形，如圖隅；……。

圖渔

圖渝 圖隅

阿達每次鋪的時候，每邊的地墊數都比前一次多一片，若將每次排出圖形 的地墊個數，依序排成一個數列，求此數列的第 4項 a₄及第10項 a₁₀。

由圖可知，排出的圖形中，每邊的地墊數依序為1片、2片、3片， 因此 a1＝1，a2＝2²＝4，a3＝3²＝9。

觀察前三項後，可發現之後的圖予、圖宇的圖形每邊各有4片、10片地墊， 因此第 4項 a₄＝4²＝16，第10項 a₁₀＝10²＝100。

承例題 4，如果每一片地墊的邊長為1 ^單位，則圖渝的周長為4 ^單位，將 這些圖的周長依序寫成數列，求此數列的第4 項 a₄、第10項 a₁₀及第 n 項 an。

4

例

解

隨堂練習

a₄＝16，a10＝40，an＝4n

　　義大利數學家費波那契 ( Leonardo Pisano，別名 Fibonacci，西元 1170

～ 1250 ) 在他的著作《計算書》中，曾提出兔子的繁殖問題，他設定出一 種生長規則，去探討兔子每一個月會生長成幾對，記錄成數列如下：

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233……

這個數列的前兩項都是 1，從第 3 項開始，每一項都是 由之前的兩數相加而得出，此數列即稱為費氏數列。

( 相關延伸請參閱附錄二 )

數養時光 機 費氏數列 數學史

　　生活中常常出現有規律的數列，譬如球鞋尺寸，

以美制 ( US ) 來看，男鞋的尺碼由小到大依序為 　　　6 , 6.5 , 7 , 7.5 , …… , 12.5 , 13

我們可以觀察到上面數列後項減前項的差都是 0.5。 　　一般而言，如果數列中的任意相鄰兩項，後項減 前項的差都相同，那麼這個數列稱為等差數列，而這 個差稱為此數列的公差，公差通常用小寫字母 d 表示，

亦即 a_n+1－an＝d。例如上面數列的公差 d＝0.5。 　　也可以說，每一項 ( an ) 加上公差 ( d ) 即為下一項 ( a_n＋1 ) 的值，寫成an+₁＝an＋d。

2 ^等差數列

尺寸表

US Eure CM

6 6.5

7 7.5

8 8.5

9 9.5 10 10.5

11 11.5

12 12.5

13

38.5 39 40 40.5

41 42 42.5

43 44 44.5

45 45.5

46 47 47.5

24 24.5

25 25.5

26 26.5

27 27.5

28 28.5

29 29.5

30 30.5

31 男鞋

認識等差數列

判斷下列數列是否為等差數列。如果是，求出其公差。

优 2 , 5 , 8 , 11 , 14 , 17 , 20 悠 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 忧 1

1 ^, 1 2 ^,

1 3 ^,

1 4 ^,

1 5 ^,

1 6 ^,

1 7

优 2　,　5　,　8　,　11　,　14　,　17　,　20　

　 因為後項減前項的差皆為 3，所以是等差數列，

公差 d＝3。

悠 3　,　3　,　3　,　3　,　3　,　3　,　3

　 因為後項減前項的差皆為 0，所以是等差數列，公差 d＝0。 忧 1

1 ^, 1 2 ^,

1 3 ^,

1 4 ^,

1

5 ^, 1 6 ^,

1 7

　 因為後項減前項的差不相等，所以不是等差數列。

判斷下列數列是否為等差數列。如果是，求出其公差。

优 0 , 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 _悠 1 , 2 , 1 , 2 , 1 , 2 , 1 , 2 　

忧 5 , 3 , 1 ,－1 ,－3 ,－5 ,－7　

5

例

解

an＋1－an＝5－2

＝8－5＝11－8

＝……＝3

＋3 ＋3 ＋3 ＋3 ＋3 ＋3

＋0 ＋0 ＋0 ＋0 ＋0 ＋0

－ 12 － 1 6

隨堂練習

是，公差 d＝5。 不是。

是，公差 d＝－2。

完成等差數列

在下列空格中填入適當的數，使各數列成為等差數列：

优 5 , 4 1

2 ^, 4 , 　　　 , 　　　 , 2 1 2 ^。 悠 　　　 , 12 , 19 , 　　　 , 33。

忧 a＋5, 　　　 , 　　　 , a－10 , a－15。

优 公差 d＝4 1

2 ^－5＝－1 2 ^， 4＋(－ 1

2 ^)＝3 1

2 ^，3 1

2 ^＋(－

1

2 ^)＝3， 5 , 4 1

2 ^, 4 , 　3 1

2 ^, 　3 , 2 1 2 成等差數列。

悠 公差 d＝19－12＝7， 12－7＝5，19＋7＝26，

　5　 , 12 , 19 , 　26　 , 33^{成等差數列}。 忧 公差 d＝( a－15 )－( a－10 )＝－5，

( a＋5 )＋(－5 )＝a，a＋(－5 )＝a－5，

a＋5 , 　a　 , 　a－5　 , a－10 , a－15^{成等差數列}。

在下列空格中填入適當的數，使各數列成為等差數列：

优 64 , 　　　　 , 34 , 　　　　 , 4 ,－11。

悠 　　　　 , 3 , 2 3 , 　　　　 , 4 3 , 　　　　。

忧 b , b＋3 , 　　　　 , b＋9 , 　　　　。

6

例

解

由 an＋1＝an＋d a4 ＝a3＋(－1

2 ⁾

＝4＋(－1 2 ^)＝3

1 2

隨堂練習

49 19

0 3 3 5 3

b＋6 b＋12

找出等差數列的每一項

如果知道一個等差數列的首項 a₁及公差 d，那麼依據等差數列的定義，

就能求出該數列的任何一項。

例如：一等差數列的 a1＝7，d＝2。 优 寫出此數列的前五項：

　　　　 , 　　　　 , 　　　　 , 　　　　 , 　　　　。

悠 a2＝7＋　　　　×2 a₃＝7＋　　　　×2 a₄＝7＋　　　　×2

忧 a100＝7＋　　　　×2。

　　從上面的探索活動，可得 a100＝7＋( 100－1 )×2， 即第 n 項＝首項＋( 項數 n－1 )×公差

a₁　,　a₂　,　a₃　,　a₄ , …… , an　

由此可知：

等差數列第 n 項

若等差數列的首項為 a1，公差為 d，則第 n 項 an＝a1＋( n－1 ) d。

探索活動

7 9 11 13 15

a₁ a₂ a₃ a₄

d d d

1 2 3

99 a₁₀₀＝7＋99×2

( n－1 )×d

d d d

利用 a

_n

＝ a

₁

＋

( n－

1 ^{) d，求 a}

n

或 n

已知一等差數列的首項 a₁為－5 ，公差為3，求：

优 此等差數列的第10項 a₁₀。

悠 28是此數列中的一項嗎？如果是，則 28是第幾項？

忧 35是此數列中的一項嗎？如果是，則 35是第幾項？

优 首項 a1＝－5，公差 d＝3，n＝10， 代入 an＝a₁＋( n－1 ) d，

得 a₁₀＝－5＋( 10－1 )×3＝－5＋9×3＝－5＋27＝22。 悠 設第 n 項 aⁿ＝28，

將 a₁＝－5，d＝3，an＝28，代入 an＝a₁＋( n－1 ) d，

得 28＝－5＋( n－1 )×3，28＝－5＋3n－3，3n＝36，n＝12。 故 28是此數列中的第12項。

忧 設第 n 項 aⁿ＝35，則35＝－5＋( n－1 )×3， 得 35＝－5＋3n－3，3n＝43，n＝ 43

3 ^。

因為項數 n 須為正整數，所以35 不是此數列中的一項。

已知一等差數列的首項 a1為3，公差為－5，求：

优 此等差數列的第15項 a15。

悠 －23是此數列中的一項嗎？如果是，則－23是第幾項？

忧 －32^{是此數列中的一項嗎}？如果是，則－32^是第幾項？

7

例

解

隨堂練習

a₁₅＝3＋( 15－1 )×(－5 )＝3＋(－70 )＝－67

－23＝3＋( n－1 )×(－5 ) 圯 n＝ 31

5 ^。故－23不是此數列中的一項。

－32＝3＋( n－1 )×(－5 )圯 n＝8。故－32^{是此數列中的第}8 ^項。

等差數列的應用

利用等長的火柴棒排列如下圖，試問：

圖 (1) 圖 (2) 圖 (3)

……

优 圖 (4) 需要多少根火柴棒？

悠 圖 (n) 需要多少根火柴棒？

忧 這些圖形中是否存在其中一個圖形，恰好使用了 999根火柴棒？

优 圖 (1^)需要4 根，　　　　　　 圖 (2^)需要4＋3＝7 ( 根 )，

圖 (3^)需要7＋3＝10 ( 根 )，　　圖 (4^)需要10＋3＝13 ( 根 )。

悠 設圖 (n) 需要 aⁿ 根火柴棒，

因為每個圖都比前一個圖多3^根，所以 d＝3。 an＝a₁＋( n－1 ) d＝4＋( n－1 )×3＝3n＋1 ( 根 )。

忧 若 aⁿ＝3n＋1＝999，3n＝998，n＝ 998 3 ^。

因為項數 n 須為正整數，所以999不是此數列中的一項，

因此恰好使用 999根火柴棒的圖形並不存在。

如右圖，此因劇場的表演場地第1^排有40^個座位， 最後一排有70^個座位，且每一排均比前一排多2 個座位，試問：

优 表演場地共有幾排座位？ 悠 第 n 排有幾個座位？

　 　

忧 若第 m 排有 58 個座位，則 m＝？

8

例

解

隨堂練習

...

表演臺 第 1 排 第 2 排

第 3 排

a₁＝40，an＝70，d＝2，

70＝40＋( n－1 )×2，n＝16， 故共有 16^排座位。

an ＝a₁＋( n－1 ) d

＝40＋( n－1 )×2＝2n＋38， 故第 n 排有 ( 2n＋38 ) 個座位。

2m＋38＝58，m＝10。

　　有一種比賽制度是採取單淘汰制，每一階段都分別由兩組各自比賽，勝者晉 級，如果一開始有16組隊伍參賽，經過一階段的比賽後，會有 8組晉級，每個 階段結束後，剩下來的隊伍數量紀錄如下：

16 , 8 , 4 , 2 , 1

A B

IJķ஼ Ĺ஼ ĵ஼ ࠅॖᗉ ࠅॖ

C D E F G H

A D

D

H

D

D

I I

I

I J

K K

L

M M

N O

P P

P F

F

　　觀察上述數列，我們可以將相鄰的兩項，後項除以前項都是 1

2 ^，亦即 8÷16＝4÷8＝2÷4＝1÷2＝ 1

2

　　一般而言，如果一個數列從第 2 項起，後項除以前項所得到的比值都相同，

那麼這個數列稱為等比數列，而這個比值稱為此數列的公比，公比通常用小寫字 母 r 表示，亦即 a_n＋1

a_n ＝r。例如：上面數列的公比 r＝ 1 2 ^。 也可以說，每一項 ( an ) 乘上公比 ( r ) 即為下一項 ( a_n+1 ) 的值，

寫成 a_n＋1＝an×r。

3 ^等比數列

認識等比數列

优 下列哪些數列為等比數列？

淤 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18_于 3 , 6 , 12 , 24 , 48 , 96 盂 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3

悠 空格中填入適當的數，使各數列成為等比數列。

淤 5 , 25 , 125 , 625 , 　　　。 于 3 , 3 , 3 3 , 　　　 , 　　　。

优 淤 3　,　6　,　9　,　12　,　15　,　18

　 因為後項除以前項的比值不相等，所以不是等比數列。

于 3　,　6　,　12　,　24　,　48　,　96

因為後項除以前項的比值皆為 2，所以是等比數列，公比 r＝2。 盂 3　,　3　,　3　,　3　,　3　,　3

因為後項除以前項的比值皆為 1，所以是等比數列，公比 r＝1。 悠 淤 公比 r＝25÷5＝5，625×5＝3125，

　 5 , 25 , 125 , 625 , 　3125　 成等比數列。

于 公比 r＝3÷ 3 ＝ 3，3 3× 3 ＝9，9× 3 ＝9 3， 3 , 3 , 3 3 , 　9　 , 　9 3　 成等比數列。

优 判斷此數列是否為等比數列？

1 2 ^,

1 4 ^,

1 8 ^,

1 16 ^,

1 32 

悠 空格中填入適當的數，使數列成為等比數列。

1 , 10 , 100 , 1000 , 　　　　。

9

例

解

×2 × 3 2

×2 ×2 ×2 ×2 ×2

×1 ×1 ×1 ×1 ×1

隨堂練習

是，因為 1

2 ^為公比

10000

　　依霖在某銀行存了 10000元，利息以一年計算，中間不能提領，假設年 利率是 2％，過了一年之後，除了原本的10000 元 ( 本金 ) 之外，還可獲得利 息：10000×2％＝200 ( 元 )，換句話說，過了一年後，存款 ( 本利和 ) 就是：

10000×( 1+2％ )＝10000×1.02＝10200 ( 元 )

　　如果依霖一直不提領出來，每過一年，連同利息在內，本利和就是前一年金 額的1.02倍 ( 成為下一個年度的本金 )，以此類推，本利和計算如上：

承課文，按照上面的規律，請問存滿 3年之後的本利和會是多少元？ (以四捨五入法求至個位 )

　

這樣的利息計算方式稱為「複利」，相關 的介紹詳見數養超展開 ( P.42 ～ 43 )。

隨堂練習 ^

10404×1.02＝10612.08≒ 10612 ( 元 )

，我們可以根據規律找出每一個數字，但是如果根據前面的例 子，我們想直接推出10年後的本利和為何，是否有比較快速的找法呢？

找出等比數列的每一項

如果知道一個等比數列的首項 a₁及公比 r，那麼依據等比數列的定義，

就能求出該數列的任何一項。 例如：一等比數列的 a1＝3，r＝2。 优 寫出此數列的前五項：

　　　　 , 　　　　 , 　　　　 , 　　　　 , 　　　　。 悠 a2＝3×　　　　。

a₃＝3×　　　　。 a₄＝3×　　　　。 忧 a100＝3×　　　　。

　　從上面的探索活動，可得 a100＝3×2^{( 100－1 )}，即第 n 項＝首項×公比 ^{(項數 n－1 )} a1　,　a2　,　a3　,　a4 , …… , an　

由此可知：

等比數列第 n 項

若等比數列的首項為 a₁，公比為 r，r≠0，則第 n 項 an＝a₁×r ^n－1。 探索活動

3 6 12 24 48

2 2² 2³

2⁹⁹

r ^{( n－1 )}

r r r

利用 a

_n

＝ a

₁

×r

^n－1

，求 a

_n

或 n

計算機按法請參考附錄　　　

优 已知一等比數列的首項 a1為2，公比為 3，求此等比數列的第5項 a₅ 悠 已知一等比數列的首項 a1為16，公比為 3

2 ^，則81是第幾項？

优 首項 a1＝2，公比 r＝3，n＝5， 代入 an＝a₁×r ^n－1，

得 a₅＝2×3^5－1＝2×3⁴＝2×81＝162。 悠 首項 a1＝16，公比 r＝ 3

2 ^，an＝81， 代入 an＝a1×r ^n－1，

得 81＝16×( 3 2 ⁾

n－1，( 3 2 ⁾

n－1＝ 81 16 ^＝(

3 2 ⁾

4， n－1＝4，n＝5。

因此81^是第5^項。

优 已知一等比數列的首項 a1為1，公比為－2，求此等比數列的第 8項 a8 　

悠 已知一等比數列的首項 a1為7，公比為－2。請問 448是此數列中的一 項嗎？如果是，則 448是第幾項？

10

例

^

。

解

隨堂練習

。 a⁸ ＝1×(－2 )^8－1

＝(－2 )⁷

＝－128

448＝7×(－2 )^n－1，

64＝(－2 )^n－1，n－1＝6，n＝7， 故 448是此數列的第7 項。

等比數列的應用

計算機按法請參考附錄　　　

有一個培養皿中有一隻細菌，已知這隻細菌每過一小時就會一分為四，

再過一小時每一隻又會分裂成四隻，即一小時後會變成4 隻細菌，兩小 時後會變成16隻細菌，請問：

优 這一隻細菌在十小時之後會變成幾隻細菌？

悠 如果我們需要培養出 2000隻細菌，請問至少要幾小時？

优 一開始為1 隻細菌，列為 a1＝1，

每過一小時就會一分為四，即公比 r＝4，

則十小時之後為 a11，其值為 a11＝1×4^11－1＝1048576， 故十小時之後有1048576隻細菌。

悠 用計算機可以算出 4⁵＝1024，4⁶＝4096^＞2000， a7＝1×4^7－1＝4096，

故至少六小時之後就有超過2000隻細菌。

某樣物質 A 的「半衰期」為一年，代表此物質 A 在一年之後的重量為原來 的一半，假使物質 A 原來有96^公克，過了一年後變成48^公克，再過一年 為 24^公克，以此類推，試問96公克的物質 A 過了七年之後的重量為何？

11

例

^

解

隨堂練習

原來有 96^公克，列為 a1＝96，

一年之後的重量為原來的一半，即公比＝ 1 2 ^， 則七年之後為 a₈，其值為 a8＝96×( 1

2 ⁾

7＝96× 1 128₄^＝

3 4 ^， 故七年之後的重量為 3

4 ^公克。

3

解鎖問題

有一款客製化的密碼鎖，要滿足條件才能解鎖，請問：

优 已知這個鎖的前後兩個數字如右圖，如果中間的 數字設置後呈現出等差數列才能解鎖，請問中間 的數字為何？

悠 承上題，如果更改解鎖條件，中間的數字設置後呈現出等比數列 才能解鎖，請問中間的數字為何？

　　當 a , b , c 三數成等差數列時，b 稱為 a、c 的等差中項。因為 b－a＝c－b，

所以2b＝a＋c，b＝a＋c

2 ，亦即 a、c 的等差中項 b 就是 a、c 的平均數 a＋c 2 ^。 例如：5 , 10 , 15^{是等差數列}，則5、15^{的等差中項}10＝ 5＋15

2 ^{。由此可知：}

等差中項

當 a , b , c 三數成等差數列時，a、c 的等差中項 b＝a＋c 2 ^。

　　當 a , b , c 三數成等比數列時，b 稱為 a、c 的等比中項。因為 b÷a＝c÷b，

所以 b a ＝ c

b，交叉相乘後可得 b²＝ac。例如：3, 6 , 12^{是等比數列}，則3、12 的等比中項為6，且6²＝3×12。由此可知：

等比中項

當 a , b , c 三數成等比數列時，a、c 的等比中項為 b，且 b²＝ac。

4 ^{等差中項與等比中項}

探索活動

2 ? 8

假設中間的數字為 x，8＝2＋2d，d＝3，故 x＝2＋3＝5。

假設中間的數字為 y，8＝2×r²，r²＝4，r＝2 或－2， 故 y＝2×2＝4 或 y＝2×(－2 )＝－4。

等差中項的問題

若 3、12的等差中項為 x，求 x。

因為 3、12的等差中項為 x，所以 x＝ 3＋12

2 ^＝

15 2 ^。

优 若 x 為 7

2 ^、7 ^{的等差中項}，求 x。

　

悠 若 a , b , c 三數為等差數列，且等差中項為 8，求 a＋c。

等比中項的問題

若 3、12的等比中項為 x，求 x。

因為3、12的等比中項為 x，

所以 x²＝3×12＝36，x＝±6。

优 若 x 為 6、24 的等比中項，求 x。

　

悠 若 a , b , c 三數為等比數列，且等比中項為8，求 a×c。

12

例

解

隨堂練習

2x＝ 7

2 ^＋7＝ 21

2 ^，x＝

21 4 ^。

a＋c＝2×8＝16。

13

例

解

隨堂練習

x²＝6×24＝144，x＝±12。

a×c＝8²＝64。

1 9

2 4 3 6 0 8 5 1 3 5 6 9 7 4 0 7 3 8 6 5

6 9

3 4 8 6 5 0 8 7 5 1 3 5 6 9 7 4 0 9 5 8 6 5 6 ¹ 3 ^{3 9} 9 2 6 7 1 4 8 9 3 1 8 2 4 6 4 1 9 2 3

6

4 1 9

8 9

3 9

9 9

2 9

8 9

3 9

1 9

3 9

4 9 3 2 4 8

4 2 3

2 6 7

3 5 4

0 8 7

3 1 5

3 6 1

2 2 9

3 4 9 3

8

1 9

2 4 3 6 0 8 5 1 3 5 6 9 7 4 0 7 3 8 6 5

6 9

3 4 8 6 5 0 8 7 5 1 3 5 6 9 7 4 0 9 5 8 6 5 6 ¹ 3 ^{3 9} 9 2 6 7 1 4 8 9 3 1 8 2 4 6 4 1 9 2 3

6

4 1 9

8 9

3 9

9 9

2 9

8 9

3 9

1 9

3 9

4 9 3 2 8

4

4 3 2

2 7 6

3 4 5

0 7 8

3 5 1

3 1 6

2 9 2

3 9 4

3 8

重點整理 重點整理

1 等差數列

优 在一數列中，如果 a2－a₁＝a₃－a₂＝……＝an－a_n－1＝d，則稱此數列為 等差數列，d 稱為此數列的公差。

悠 第 n 項 an＝a₁＋( n－1 ) d，其中 a1為首項，d 為公差，n 為項數。

例 已知等差數列1 , 3 , 5 , …… , 29，則 a1＝1，d＝2， a₁₀＝1＋( 10－1 )×2＝19。

2 等比數列

优 在一數列中，如果 a₂ a₁ ＝ a₃

a₂ ＝……＝ an

a_n－1 ＝r，r≠0，則稱此數列為 等比數列，r 稱為此數列的公比。

悠 第 n 項 aⁿ＝a₁×r ^n－1，其中 a1為首項，r 為公比，r≠0，n 為項數。

例 已知等比數列1 , 2 , 4 , …… , 512，則 a1＝1，r＝2， a₁₀＝1×2^10－1＝512。

3 等差中項

當 a , b , c 三數成等差數列時，a、c 的等差中項 b＝ a＋c 2 ^。

例 已知5 , x , 15三數成等差數列，則 5、15 的等差中項 x＝ 5＋15

2 ^＝10。

4 等比中項

當 a , b , c 三數成等比數列時，a、c 的等比中項為 b，且 b²＝ac。

例 已知3, x , 12^{是等比數列}，則 x²＝3×12＝36，因此 3、12 的等比中項 為 x＝±6。

1 ^{- 1}

26

1 9

2 4 3 6 0 8 5 1 3 5 6 9 7 4 0 7 3 8 6 1 8 5 9 7 3 5 4 6 3 8 5 6 1 8 9 7 3 5

6 9

3 4 6 5 0 8 7 1 3 5 6 9 7 4 0 9 5 8 6 1 8 5 9 7 3 5 4 6 0 8 5 6 1 8 9 7 3 5

8 5

6 ¹ 3 ^{3 9} 9 2 6 7 1 4 8 9 3 1 8 2 4 6 4 1 9 2 7 3 4 2 1 3 8 9 2 7 4 3 6 2 1 5 6 7

6

4 1 9

8 9

3 9

9 9

2 9

8 9

3 9

1 9

3 9

4 9

3 9

2 9

3 9

0 9

3 9

4 9

2 9

3 9

4 9 3 2 4 8

4 2 3

2 6 7

3 5 4

0 8 7

3 1 5

3 6 1

2 2 9

3 4 9

3 8 9

3 2 9

3 4 9

3 8 9

3 1 9

3 6 9

3 2 9

3 1 2

8 4 2

3

1 1 8 9 7 3 1 8 9 7 3 6 2 ⁹ 1 5 6

3 9

4 9 9 3 1 2

8 4 2

3

4 6 0 8 5 1 5 6 9 7 4 7 8 6 1 8 5 7 3 5 4 6 3 8 5 6 1 8 7 3 5

6 9

3 4 6 5 0 8 7 1 3 5 6 9 7 4 0 9 5 8 6 1 8 5 9 7 3 5 4 6 0 8 5 6 1 8 9 7 3 5

8 5

6 ¹ 3 ^{3 9} 9 2 6 7 1 4 8 9 3 1 8 2 4 6 4 1 9 2 7 3 4 2 1 3 8 9 2 7 4 3 6 2 1 5 6 7

4 1 9

8 9

3 9

9 9

2 9

8 9

3 9

1 9

3 9

4 9

3 9

2 9

3 9

0 9

3 9

4 9

2 9

3 9

4 9 3 2 8

4 3

2 7

3 4

0 7

3 5

3 1

2 9

3 9

3 9

3 9

3 9

3 9

3 9

3 9

3 9

3 2

8 4

3 1 8 7

1 8 9 7 3 6 2 ⁹ 1 5 6

3 9

4 9 9 3 2

8 4

自我評量 自我評量

3

27

4 6 0 8 5 1 5 6 9 7 4 7 3 8 5

6 9

3 4 8 6 5 0 8 7 5 1 3 5 6 9 7 4 0 9 5 8 6 5 6 ¹ 3 ^{3 9} 9 2 6 7 1 4 8 9 3 1 8 2 4 6 4 1 9 2 3

4 1 9

8 9

3 9

9 9

2 9

8 9

3 9

1 9

3 9

4 9 3 2 8

4 3

2 7

3 4

0 7

3 5

3 1

2 9

3 9 3

1 9

2 4 3 6 0 8 5 1 3 5 6 9 7 4 0 7 3 8 6 5

6 9

3 4 8 6 5 0 8 7 5 1 3 5 6 9 7 4 0 9 5 8 6 5 6 ¹ 3 ^{3 9} 9 2 6 7 1 4 8 9 3 1 8 2 4 6 4 1 9 2 3

6

4 1 9

8 9

3 9

9 9

2 9

8 9

3 9

1 9

3 9

4 9 3 2 8

4

4 3 2

2 7 6

3 4 5

0 7 8

3 5 1

3 1 6

2 9 2

3 9 4

3 8

重點整理 重點整理

P.14例6

1

在空格中填入適當的數，使各數列成為等差數列： ^{（每格 3 分）}

优 5 , 9 , 13 , 　　　　　 , 21 , 25 , 　　　　　。

悠 24 , 18 , 　　　　　 , 6 , 　　　　　 ,－6 , 　　　　　。

P.16例7

2

設某等差數列的一般項 an＝3n－1，請問： ^{（ 每小題 4 分）}

优 a1＝　　　　　。

悠 a50＝　　　　　。

P.16例7

3

^{已知一等差數列 3 , 7 , 11 , …… ，求： （ 每小題 4 分）}

优 首項 a1＝　　　　　。

悠 公差 d＝　　　　　。

忧 第8項 a₈＝　　　　　。

尤 一般項 an＝　　　　　。

17 29

12 0 －12

2 a1＝3×1－1＝2

149

a₅₀＝3×50－1＝149

3

4

31 a₈＝3＋( 8－1 )×4＝31

4n－1

an＝3＋( n－1 )×4＝4n－1

1 ^{- 1}

1 9

2 4 3 6 0 8 5 1 3 5 6 9 7 4 0 7 3 8 6 1 8 5 9 7 3 5 4 6 3 8 5 6 1 8 9 7 3 5

6 9

3 4 6 5 0 8 7 1 3 5 6 9 7 4 0 9 5 8 6 1 8 5 9 7 3 5 4 6 0 8 5 6 1 8 9 7 3 5

8 5

6 ¹ 3 ^{3 9} 9 2 6 7 1 4 8 9 3 1 8 2 4 6 4 1 9 2 7 3 4 2 1 3 8 9 2 7 4 3 6 2 1 5 6 7

6

4 1 9

8 9

3 9

9 9

2 9

8 9

3 9

1 9

3 9

4 9

3 9

2 9

3 9

0 9

3 9

4 9

2 9

3 9

4 9 3 2 4 8

4 2 3

2 6 7

3 5 4

0 8 7

3 1 5

3 6 1

2 2 9

3 4 9

3 8 9

3 2 9

3 4 9

3 8 9

3 1 9

3 6 9

3 2 9

3 1 2

8 4 2

3

1 1 8 9 7 3 1 8 9 7 3 6 2 ⁹ 1 5 6

3 9

4 9 9 3 1 2

8 4 2

1 9

2 4 3 6 0 8 5 1 3 5 6 9 7 4 0 7 3 8 6 1 8 5 9 7 3 5 4 6 3 8 5 6 1 8 9 7 3 5

6 9

3 4 6 5 0 8 7 1 3 5 6 9 7 4 0 9 5 8 6 1 8 5 9 7 3 5 4 6 0 8 5 6 1 8 9 7 3 5

8 5

6 ¹ 3 ^{3 9} 9 2 6 7 1 4 8 9 3 1 8 2 4 6 4 1 9 2 7 3 4 2 1 3 8 9 2 7 4 3 6 2 1 5 6 7

6

4 1 9

8 9

3 9

9 9

2 9

8 9

3 9

1 9

3 9

4 9

3 9

2 9

3 9

0 9

3 9

4 9

2 9

3 9

4 9 3 2 4 8

4 2 3

2 6 7

3 5 4

0 8 7

3 1 5

3 6 1

2 2 9

3 4 9

3 8 9

3 2 9

3 4 9

3 8 9

3 1 9

3 6 9

3 2 9

3 1 2

8 2 4 3

1 1 8 9 7 3 1 8 9 7 3 6 2 ⁹ 1 5 6

3 9

4 9 9 3 1 2

8 2 4

自我評量 自我評量

P.17例8

4

^{小剛執行「30天鐵人計畫」，第一天做 5個仰臥起坐，每一天比前一天多做}

3個仰臥起坐，試問第30天做幾個仰臥起坐？ ^{（ 8 分）}

P.19例9

5

在空格中填入適當的數，使各數列成為等比數列： ^{（ 每格 3 分）}

优 5 , 10 , 　　　　　 , 　　　　　 , 80 。

悠 162 , 54 , 　　　　　 , 6 , 　　　　　 , 　　　　　 。

P.22例10

6

^{已知一等比數列 6 , 12 , 24 , ……，求： （ 每小題 4 分）}

优 首項 a1＝　　　　　。

悠 公比 r＝　　　　　。

忧 第8項 a8＝　　　　　。

尤 一般項 aⁿ＝　　　　　。 5＋( 30－1 )×3＝92 ( 個 )

20 40

18 2

2 3

6

2

768

a8＝6×2^{( 8－1 )}＝6×128＝768。

6×2^n－1 28

1 9

2 4 3 6 0 8 5 1 3 5 6 9 7 4 0 7 3 8 6 1 8 5 9 7 3 5 4 6 3 8 5 6 1 8 9 7 3 5

6 9

3 4 6 5 0 8 7 1 3 5 6 9 7 4 0 9 5 8 6 1 8 5 9 7 3 5 4 6 0 8 5 6 1 8 9 7 3 5

8 5

6 ¹ 3 ^{3 9} 9 2 6 7 1 4 8 9 3 1 8 2 4 6 4 1 9 2 7 3 4 2 1 3 8 9 2 7 4 3 6 2 1 5 6 7

6

4 1 9

8 9

3 9

9 9

2 9

8 9

3 9

1 9

3 9

4 9

3 9

2 9

3 9

0 9

3 9

4 9

2 9

3 9

4 9 3 2 4 8

4 2 3

2 6 7

3 5 4

0 8 7

3 1 5

3 6 1

2 2 9

3 4 9

3 8 9

3 2 9

3 4 9

3 8 9

3 1 9

3 6 9

3 2 9

3 1 2

8 4 2

3

1 1 8 9 7 3 1 8 9 7 3 6 2 ⁹ 1 5 6

3 9

4 9 9 3 1 2

8 4 2

3

4 6 0 8 5 1 5 6 9 7 4 7 8 6 1 8 5 7 3 5 4 6 3 8 5 6 1 8 7 3 5

6 9

3 4 6 5 0 8 7 1 3 5 6 9 7 4 0 9 5 8 6 1 8 5 9 7 3 5 4 6 0 8 5 6 1 8 9 7 3 5

8 5

6 ¹ 3 ^{3 9} 9 2 6 7 1 4 8 9 3 1 8 2 4 6 4 1 9 2 7 3 4 2 1 3 8 9 2 7 4 3 6 2 1 5 6 7

4 1 9

8 9

3 9

9 9

2 9

8 9

3 9

1 9

3 9

4 9

3 9

2 9

3 9

0 9

3 9

4 9

2 9

3 9

4 9 3 2 8

4 3

2 7

3 4

0 7

3 5

3 1

2 9

3 9

3 9

3 9

3 9

3 9

3 9

3 9

3 9

3 2

8 4

3 1 8 7

1 8 9 7 3 6 2 ⁹ 1 5 6

3 9

4 9 9 3 2

8 4

自我評量 自我評量

29

P.23例11

7

有一個聚寶盆，只要把錢放進去，每過一小時就會變成前一小時的十倍金額，

如果放了1元進去，請問： ^{（ 每小題 6 分）}

优 過了三小時後會變成多少元？

悠 過了幾個小時後，你會成為百萬富翁？ ( 得到一百萬以上 )

P.25例12 P.25例13

8

^{优 8和18}的等差中項為 　　　　　。 ^{（ 每小題 5 分）}

　

悠 8和18的等比中項為 　　　　　。

a₁＝1，每過一小時就會變成十倍金額，即公比 r＝10， 則三小時後為 a₄，a4＝1×10^4－1＝1000，

故過了三小時後有1000^元。

設過了 n 小時後，會變成百萬富翁，即為 an＋1， a_n＋1＝a₁×rⁿ＝1×10ⁿ＝1000000＝10⁶，

即 n＝6，故過了6 ^{小時後會成為百萬富翁}。

13 設等差中項為 x，則 x＝ 8＋18

2 ^＝13。

±12

設等比中項為 x，則 x²＝8×18＝144，x＝±12。