141 第七章 控制系統之頻域分析

第七章 控制系統之頻域分析

7-1 由系統轉移函數到頻域響應

基於以下幾點，頻域分析可推展至控制系統，藉以了解 系統的頻域響應：

1. 系統之時域輸入信號可經由 Fourier 轉換變換成各種頻率 信號的組合。

2. 線性系統滿足重疊原理，故輸出信號可視為各種頻率信 號個別輸入至線性系統所得輸出之組合。

因此透過實驗的方式，分別以不同頻率的正弦信號輸入 系統，可以得到系統的頻率響應藉以完成頻域分析，且其響 應圖由系統增益及相位移兩部份構成(如下圖所示)。

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7-2 正弦輸入(Sinusoidal Input)

首先，吾人將證明一系統的頻率響應特性可直接由正弦 轉移函數求得，即在轉移函數中的 s 以 jω 代替之，此處 ω 為輸入頻率。

一不隨時間變化的線性系統－如下圖所示，其輸入與輸 出分別以 x(t)及 y(t)表示，又此系統的轉移函數為 G(s)。其輸 入 x(t)為正弦函數，可表為

x(t) y(t) X(s) Y(s) 不隨時間變化的線性系統

x(t) = X sinωt

假設轉移函數 G(s)可寫為二個 s 多項式的比例，即 p(s) p(s)

G(s) = =

q(s) (s+s1) (s+s2)…(s+sn) 則輸出的拉氏轉換 Y(s)為

Y(s) = G(s)X(s) = [p(s)/q(s)]X(s) 其中 X(s)為輸入 x(t)的拉氏轉換。

讓吾人把將要討論的僅限於穩定的系統，關於此種系統 一 s_i的實部為負值。一穩定的、線性的、不隨時間變化的系 統對於正弦波輸入的穩態響應不受初值條件的影響(如此則 可假設為零初值條件)。

若 Y(s)的極值皆不相同，那麼上式的部份分式展開式為

G(s)

p(s) ωX Y(s) = [p(s)/q(s)]X(s) =

(s+s1) (s+s2)…(s+sn)(s²+ω²) = a/(s+jw) + a’/(s-jw) + b1/(s+s1) + b2/(s+s2) +…+

bn/(s+sn)

式中 a 與 b_i為常數，而 a’為 a 的共軛複數，上式的反拉氏轉 換為

t s n t

s 2 t s 1 t j t

j _{1 2 n}

e b ...

e b e

b e

a ae

) t (

y  ^{ }   ^  ^  ^   ^

對於一穩定系統，- s₁，- s₂，…，- s_n，有負值的實部，因此 當 t 趨近於無窮大時，e^s1t ，e^s1t ， …，e^snt項將趨近於零，

那麼除了上式等號右邊的前二項外，其他諸項在穩態時均可 忽略。

若 Y(s)中 s_i 有 m 個重根時，y(t)將含有t^hje^sjt 項，因為 對於一穩定系統而言- s_j的實部為負值，所以t^hje^sjt項在 t 趨近 於無窮大時將趨近於零。

那麼不論一系統是否為極值互不相同的形式，其穩態響 應都為

t j t

j ae

ae ) t (

y  ^{ }   ^ 式中的常數 a 及a_{可求得如下：}

j 2

) j ( ) XG

j s s (

) X s ( G

a _{2 2}  _{s j} 







 

 _

j 2

) j ( ) XG

j s s (

) X s ( G

a _{2 2}  _{s j} 







 

 _

因 G(jω)為複數，故可寫為如下的形式

G(jω) = ∣G(jω)∣e^jΦ

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其中∣G(jω)∣為 G(jω)的幅，Φ為其角度，即 Φ = ∠G(jω) = tan^-1[G(jω)的虛部／G(jω)的實部]

角度Φ可為負值、正值或零。同樣地，我們可得到下面的 G(-jω)表示法：

G(-jω) = ∣G(-jω)∣e^-jΦ = ∣G(jω)∣e^-jΦ 那麼

e^j(ωt+Φ)－e^-j(ωt+Φ) y(t) = X∣G(jω)∣

2j = X∣G(ω)∣sin(ωt+Φ) = Ysin(ωt+Φ)

式中 Y=X∣G(jω)∣，我們可知一個輸入為正弦波之穩定 的、線性的、不隨時間變化的系統，在穩態下輸出為其頻率 與輸入頻率相同的正弦波，但一般而言，其幅及相位與輸入 的幅及相位不同，事實上，輸出幅為輸入幅與∣G(jω)∣的乘 積，其相位與輸入相位相差Φ = ∠G(jω)。一個輸入與輸出 訊號為正弦波的例子示於下圖中。

根據此基礎，我們得到此重要結論：對一正弦波輸入，

∣G(jω)∣=∣Y(jω)/X(jω)∣=輸出正弦波的幅對輸入正弦波幅的比值

∠G(jω) = ∠Y(jω)/X(jω) =輸出正弦波對輸入正弦波的相位移

因此，一系統對正弦波輸入的響應特性可直接由下列得到

G(jω) = Y(jω)/X(jω)

正弦波轉移函數 G(jω) 或 Y(jω)對 X(jω)的比值是一複數值，

而且可以都以頻率為變數的幅及相位表示之，任何線性系統 的正弦波轉移函數可以 jω 代替此系統轉移函數中的 s 而得 到。要在頻域中完全表示一線性系統，我們必需同時表明出

以頻率 ω 為函數的幅比值及其相角。

7-3 二階系統之弦波響應

標準二階閉迴路控制系統其輸出與輸入之關係則如下 式所示：

C(s) ωn 2

=

R(s) s² + 2ζωns +ωn 2

其正弦波轉移函數如下：

C(jω) ωn 2 M(jω) = =

R(jω) (jω)² + 2ζω_njω +ω_n² 1

=

1 +j2(ω/ωn)ζ －(ω/ωn)² 令 u =ω/ωn，則上式變成

2 2

1

1 u ) ju

j (

M   

 

∣M(ju)∣= M(u) = 1／ [(1u² )² (2u )² ∠M(ju) = Φ_m(u) = －tan^-1[2ζu/(1-u²)]

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因此 M(ju)的最大值(共振頻率)係將 M(u)對 u 微分後令等於零 而得，如下

dM(u)/du = (-1/2)[ (1-u²)²+(2ζu)²]^-3/2(4u³-4u+8uζ²) = 0 4u³-4u+8uζ² = 0

up = 0 → ωp =0 無意義

u_p = (1-2ζ²)^1/2 → ω_p = ω_n(1-2ζ²)^1/2

將上式代入 M(u)得 M_p = 1/[2ζ 1 ² ]

下圖表示 M_p 與ζ之關係圖，由圖知ζ≧0.707 後，

Mp=1，即ζ≧0.707 後，此二階系統將無共振尖峰值。

下圖表示 Mp 與 u=ω/ω_n 之關係圖，由圖知ζ≧0.707 後，此二階系統將無共振尖峰值，當ζ＜0.707 後，ζ值愈 小，其尖峰值愈大，當ζ=0 時，M_p達無窮大。

7-3-1 頻域響應規範

了解系統頻率響應的計算後，本節將討論系統在頻域上 的性能與規格。

(1) 共振尖峰值(peak resonant) M_p

定義為∣G(jω)∣之最大值，其對應於階級響應中之最大 超越量值，一般伺服系統約為 1.1 至 1.5。

(2) 共振頻率(resonant frequency)ωp

定義為發生共振尖峰值 M_p時之頻率。

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(3) 頻寬(bandwidth)

定義為∣G(jω)∣降至零頻率增益(直流增益)值之 0.707 倍 時之頻率或-3dB 時頻率。

系統頻域響應之增益值與頻率之關係大致如下圖所 示，如其橫軸的頻率及縱軸的增益均取其對數加以繪圖，即 得到所謂的波德圖(Bode plot)。

7-4 頻域分析的一般概念

反饋控制系統的頻域分析通用形式如下圖所示，則經由 對此通用形式的研究，就可發展出一些關於頻域分析一般性 且有用的觀念。

閉環路方程式

讓 x(t)代表上圖(a)中反饋系統的輸入信號，該系統的目 的是使反饋信號 x_f(t)能緊緊跟隨 x(t)，使得其稱為誤差信號 xe(t)的差異儘可能的小。在實際的系統中，這些信號 x(t)、xf(t)

及 x_e(t)可能代表電壓或電流，甚至也可能是如位置或速度等

的參數值。誤差通過了具有轉移函數 H₁(ω)的線路而產生所 要之輸出 y(t)，此一輸出經由反饋途徑上的轉移函數 H₂(ω) 而產生了 x_f(t)後，再加以反饋而完成了此一閉環路系統。則 其閉環路轉移函數如上圖(b)所示。

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環路增益值

上圖(b) 閉環路轉移函數中之 H₁(ω) H₂(ω)稱為環路增益 值，它的性質決定了整個閉環路的性質。例如，如果環路增 益值很大，則閉環路轉移函數變成：

) ( H ) 1 ( H

2 

 

上式顯示出閉環路轉移函數幾乎完全由反饋路徑決定。

7-5 穩定性及尼奎士圖

7-5-1 相對穩定性－增益邊限(Gain Margin)及相位邊限 (Phase Margin)

衡量閉迴路系統的相對穩定性的方法是環路增益值 H₁(ω) H₂(ω)(或 G(s)H(s)) 的尼奎士圖法。在極座標圖中，

G(j ω)H(jω)和點(-1,0j)接近的程度，表示閉迴路系統穩定或 不穩定的程度。為了說明相對穩定性的觀念，典型的二階系 統的尼奎士圖及所對應的步級響應和頻率響應，以四種不同 的迴路增益值 K 繪於下圖中。

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7-6 波德圖

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總之，在倪奎士圖與波德圖中，增益邊限與相位邊限表 示法的比較，如下圖所示。

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7-8 頻域響應總結

(1) 波德圖採用對數座標之原因大至有以下幾點：

i. 取對數可增大繪製波德圖時座標軸涵蓋的範圍，使觀 察者可一覽頻率響應的全貌。

ii. 取對數的作用使乘積運算便為加法運算，因此在繪製 複雜系統的波德圖時，可以將其分解成多個簡單的系 統，再個別繪製疊加而成。

iii. 在控制器設計時，直接疊加控制器的頻率響應至受控 系統的波德圖上，可立即觀察出系統受控後的頻率特 性。

(2) 綜合以上頻域響應分析可以得到以下結論：

i. 物理系統可以看成是一種低通濾波器。

ii. 系統的暫態反應，主要受系統頻率響應高頻時的增益 影響。

iii. 頻率為零時的增益又稱為直流增益，代表系統穩態時 的增益值。

iv. 頻寬愈寬，可以通過系統的激勵愈多，所通過的高頻 激勵對系統輸出的增益也較大，故系統的反應愈快。

v. 系統時域響應之尖峰值與頻域響應之諧振峰值代表 不同的意義，但都與系統的阻尼比ζ有關。