3.1 二維軸對稱有限元素模式

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(1)

第三章 有限元素數值模式與套裝軟體 ANSYS 分析

3.1 二維軸對稱有限元素模式

本論文研究之現地案例與數值模擬對象主要為圓柱形的單樁,因 此整個基礎結構系統是以軸對稱的型式對稱於基樁的中心軸線,如圖 3.1 所示即為一基樁埋入土壤中的情況。根據這種假設,則可使用二 維軸對稱之有限元素模式來模擬[4],圖 3.2 即是對應於圖 3.1 之結構 系統所建立之軸對稱有限元素模式的右半邊前視平面圖。在對稱中心 線上的節點是以受輥(roller)支承束制的方式來模擬實際基樁在該線 上之質點僅能作垂直方向上之運動,在此模式中所使用的有限元素為

m m 0 . 1 1 .

0 ×

之4 個節點的線性元素,則令

N

1

N

2

N

3

N

4分別代表元 素中節點1 到節點 4 的形狀函數,如圖 3.3 所示。則這些形狀數的方 程式為:

) )(

(

) )(

) ( , (

1 2 1 2

2 2

1

r r z z

z z r z r

r

N − −

= −

………(3.1)

) )(

(

) )(

) ( , (

1 2 1 2

2 1

2

r r z z

z z r z r

r

N − −

− −

=

………(3.2)

) )(

(

) )(

) ( , (

1 2 1 2

1 1

3

r r z z

z z r z r

r

N − −

= −

………(3.3)

) )(

(

) )(

) ( , (

1 2 1 2

1 2

4

r r z z

z z r z r

r

N − −

− −

=

………(3.4)

(2)

基 樁 長 度

L

基樁半徑

r

基樁的中心線

P(t)

土壤 地表

圖3.1 二維軸對稱有限元素法中基樁與土壤關係及施力狀況示意圖。

N

v 元 素

(3)

圖3.3 有限元素數值模型所使用之軸對稱 4 節點元素。

3.2 動力積分方程式

將控制前述基樁與土壤結構系統行為之微分方程式以有限元素 法來離散化後,可得如下在任一瞬間的動力平衡矩陣式:

M U &&

t

+ C U &

t

+ KU

t

= P

t ………(3.5)

式中令

U

t

U& 及t U&& 分別代表質點在時刻t

t

時之位移、速度與加速度,

且 M

C 與 K 分別為該結構系統之質量、阻尼和勁度矩陣,

P

t則是在 該時刻 t 時於各有限元素節點上之外加作用力的大小。為了簡化計算 起見,本研究不考慮阻尼效應,即 C = 0。上式中,各矩陣亦可表示 為:

z

2

z

1

r

1

r

2

r z

4

3

1 2

(4)

M =ρ N

T

N dv

………(3.6)

K =B

T

D B dv

… ………(3.7)

P =N

T

P ( t ) dA

………(3.8)

上式中

ρ

為密度;

⋅ dv

為對定義域之體積積分;

⋅ dA

為受力區域之面積積分;

B 為 應 變 - 位 移 關 係 矩 陣 ( strain-displacement relationship

matrix);

D 為材料性質矩陣(material property matrix);

N 為有限元素模式中之形狀(或內插)函數矩陣。

令應力向量為

T r z

r }

{σ σ σθ τθ σ=

而應變向量為

ε={εr εz εθ γrθ}T

 

 

 

 

 

 

 

 

∂ ∂

=

N N

N N

N N

N

N r

N r

N r

N r

N

z N z

N z

N z

N

r N r

N r

N r

N

B

4 4

3 3

2 2

1 1

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0

0

(5)

 

 

 

 

 

 

 

 

+

− +

− +

− +

− +

− +

− +

− +

− +

− +

=

) 1 ( 0 2

0 0

) 0 2 1 )(

1 (

) 1 ( )

2 1 )(

1 ( ) 2 1 )(

1 (

) 0 2 1 )(

1 ( ) 2 1 )(

1 (

) 1 ( )

2 1 )(

1 (

) 0 2 1 )(

1 ( ) 2 1 )(

1 ( ) 2 1 )(

1 (

) 1 (

ν ν

ν ν ν

ν ν ν

ν

ν ν ν

ν ν

ν ν ν

ν

ν ν ν

ν ν

ν ν ν

ν ν

E E

E E

E E

E

E E

E

D

t

表示動力積分時所使用之時間步幅[16],在進行分析時,本研究 所用的時間步幅

∆t = 2 . 225 × 10

5秒,則利用中央差分法可得在時刻

t

之速度及加速度方程式為:

(

t t 1

)

t

U U

U = −

t 1

&

∆ …….……….………(3.9)

(

t t t 1

)

t

U U U

U =

+

2 +

t

1

2 1

&&

∆ ….……….………(3.10)

式中:Ut1 = U

( t

t )

( ) t

t

U

U

=

( t t )

1

t+ =

U

+

U

代入方程式(3.5)後,整理可得下述反應矩陣方程式

(

t t

)

t t 1 1

2 1

t+ =

t M

P

KU

+

2 U

U

U

.….……….…(3.11)

由上式可利用某瞬間與之前的位移及外力情況而求出下一瞬間之 反應[22-24]。

3.3 商用有限元素分析軟體 ANSYS 之三維實體元素模式

為了驗證上述軸對稱有限元素模式的正確性,也為了更加逼近真

(6)

實結構系統的反應,本研究亦另外使用了商用套裝軟體ANSYS 來進 行單樁基礎的暫態動力反應模擬。其中,模擬基樁所使用之元素為 SOLID92 四面體立體元素(Tetrahedral Solid Element),如圖 3.4 所 示。令

N

1

N

2

N

3

N

4分別代表 SOLID92 元素中節點 1 到節點 4 的形狀函數(shape functions),則在自然座標系統(natural coordinate system) {

ξ , η , ζ

} 下之形狀函數可表示為[25]:

2

) 1

(

1

ξ η ζ − −

= −

N

………(3.12)

2 ) 1 (

2

ξ

= +

N

………(3.13)

2 ) 1 (

3

η

= +

N

………(3.14)

2 ) 1 (

4

ζ

= +

N

………(3.15)

以ANSYS 軟體來進行模擬分析時,基樁及土壤依四面體立體元素做 網格切割,該軟體本身提供了自動網格生成的功能。針對本基樁問 題,該軟體所產生之有限元素網格如圖 3.5 所示。而圖 3.6 所示即為 此網格之局部放大圖。中間密集之柱狀網格部份即為基樁。周圍之大 型網格則為土壤。

(7)

圖3.4 商用軟體 ANSYS 中之 SOLID92 四面體立體元素示意圖。

圖3.5 以 ANSYS 之四面體立體元素來模擬單樁與土壤系統之網格示 意圖。

1

2 4

3

(8)

圖3.6 以 ANSYS 之四面體元素來模擬基樁系統之網格局部放大圖。

3.4 衝擊荷重之定義

在有限元素數值模擬中,模擬基樁之音波回音或敲擊反應檢測

時,其衝擊錘敲擊基樁的外加動力荷重

P(t)為一作用於樁頂中心的垂

直向均佈荷重,P(t)常以半個正弦波函數來模擬。其形狀如圖 3.7 所 示,其定義為:

t P

t

P ( ) =

0

sin ω

0 ≤ tT

D ….…….…………... (3.16)

0 ) ( t =

P

T

D

t

….…….…………... (3.17)

其中, T

ω = π ………

(3.18)

(9)

0.00E+00 2.00E+03 4.00E+03 6.00E+03 8.00E+03 1.00E+04 1.20E+04

0.00E+00 2.00E-04 4.00E-04 6.00E-04 8.00E-04 1.00E-03 1.20E-03 1.40E-03 1.60E-03 1.80E-03 2.00E-03

時間 T

D

P0

作 用 力

圖 3.7 模擬衝擊外力所使用之半個正弦波荷重的示意圖。

T

D為外加動力荷重

P(t)之作用時間或延時(duration),P

0 為此動 力荷重之尖峰值。此衝擊荷重的位置,是在基樁頂面且在中心軸上;

其作用寬度為

W

L,作用方向為垂直向下,尖峰值為

P

0且均勻的分佈 在受力區域內。本研究初步採用的數值如下述:

P

0 = 9000

N / m

2

W

L = 0.0508

m

T

D =

1 . 5 × 10

3

sec

(或 1.5

ms)

3.5 驗證用之基樁的幾何組態

(10)

為了能較完全地模擬現場基樁之檢測反應,數值模式中之參數應 儘量符合現場之土壤環境及材料性質。本節即定義與實際案例相似長 度之兩種基樁,其長度分別為14 公尺及 16 公尺,其直徑皆為 1.5 公 尺。而土壤面則位於樁頂面以下0.5 公尺。假設土壤與基樁皆為均質 材料。在進行衝擊反應檢測時,衝擊錘敲擊的位置在於基樁頂面之中 心點處(施力之模擬詳見前一節);接收器則置放在樁頂面上介於基 樁中心點與基樁邊緣的二分之一距離處,衝擊錘施力之接觸樁頂時間 為

1 . 5 × 10

3秒(即1.5 ms)。混凝土基樁與土壤之材料性質則如下所 述:

混凝土的材料性質:

楊氏係數

E

c : 3.31 ×10

10 N/m 2

浦松比

ν

c : 0.2

密度

ρ

c : 2300

kg/m 3

土壤的材料性質:(模擬現地土壤性質)

楊氏係數

E

s : 4.20 ×10

8 N/m 2

浦松比

ν

s : 0.4

密度

ρ

s : 2070

kg/m 3

上述混凝土所對應之桿件縱波波速為

V

bar = 3800 m/s,剪力波波速 為2450 m/s,表面波波速為 2100 m/s。本研究有限元素模式中所使用

(11)

之網格大小取為0.1m × 0.1m,此大小是進行收斂研究後之結果。本 研究曾將網格細分至0.05m × 0.05m 及 0.01m × 0.01m,所得之曲線與 網格為0.1m × 0.1m 所得者幾近相同,因此可知原來 0.1m × 0.1m 之 網之網格大小的精度,已收斂至滿意之結果。

3.6 兩種有限元素模擬驗證結果之比較

為了驗證本研究中所使用的二維軸對稱有限元素模式與商用套 裝軟體ANSYS 之正確性,本研究首先對上述之兩種基樁進行模擬之 研究,此兩種案例之基樁長度分別為 14m 及 16m。以下即提出這兩 種模式在時間領域以及頻率領域下之初步分析結果與比較。

3.6.1 時間域結果之比較

首先考慮長 14m 之無樁帽單樁。模擬現地檢測之衝擊力的歷時 曲線,如圖3.8 所示。其衝擊力之接觸時間為 1.5

ms,施力大小幅度

之尖峰值為 9000。由圖中可清楚看出當時間為 0 秒時,衝擊錘開始 接觸到樁頂面,直至達到尖峰值

P

0 後開始回彈,衝擊力逐漸遞減,

最終回歸至零點。

圖 3.9 所示即為使用二維軸對稱模式與 ANSYS 實體元素模式所 得之位移反應歷時曲線之比較圖。圖3.10 則為圖 3.9 之部份放大圖。

從圖中可以較清楚地標出樁底之反射波的抵達時間為

PD = 7.5 ms

由此可反推出樁長,其計算如下:

(12)

t V s m s m

L

p

14 . 3

2

3800 10

5 . 7 2

3

× =

= ×

×

= ∆

誤差百分比為

1 . 8 14

14 3 .

14 − =

%

由圖上亦可看出兩種有限元素模式的結果相當的接近。由此可互相驗 證此有限元素模式之正確性。

接著考慮長 16m 之無樁帽單樁的案例。圖 3.11 所示即為使用軸 對稱元素與ANSYS 之實體元素模擬所得之位移比較圖。為了更清楚 展現反射波的結果,本文將圖 3.11 作局部放大而得圖 3.12。由圖中 可清楚地標出樁底反射波的抵達時間為

PD = 8.66 ms,藉此可推估出

樁長如下:

t V m

L

p

16 . 5

2

3800 10

66 . 8 2

3

× =

= ×

×

= ∆

誤差百比為

2 . 8 16

16 5 .

16 − =

%

針對圖3.10 所示之位移反應圖,圖 3.13 所示即為此 14m 長之無 樁帽單樁的速度反應曲線。將此曲線經過低通濾波的技術處理,可得 圖 3.14 所示之清楚曲線。再從該圖中可清楚地標示出樁底反射波的 抵達時間為

PV=7.4 ms,則樁長可推估為:

L 14 . 1 m 2

3800 10

4 .

7 ×

3

× =

=

14

1

.

14 −

(13)

同理,可將對應於圖 3.12 所示位移曲線做處理,即得圖 3.15 所 示之 16m 長之無樁帽單樁的速度反應曲線。再將圖 3.15 經過低通濾 波之技術處理可得圖 3.16 所示之清楚曲線。從該曲線中可以很清楚 地標示出樁底反射波的抵達時間為

PV = 8.46 ms,則樁長可推估為:

L 16 . 1 m 2

3800 10

46 .

8

3

× =

= ×

誤差百分比為

0 . 4 16

16 1 .

16 − =

%

0.00E+00 2.00E+03 4.00E+03 6.00E+03 8.00E+03 1.00E+04 1.20E+04

0.00E+00 5.00E-04 1.00E-03 1.50E-03 2.00E-03 2.50E-03 3.00E-03 3.50E-03 4.00E-03

時間(秒) 二維軸對稱

P

0

作 用 力 振 幅 大 小

圖3.8 模擬 14m 長之單樁所受之衝擊力歷時曲線圖。

(14)

-1.6E-09 -1.4E-09 -1.2E-09 -1E-09 -8E-10 -6E-10 -4E-10 -2E-10 0 2E-10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

時間 (秒)

ANSYS 二維軸對稱

m︶

圖3.9 以二維軸對稱元素與 ANSYS 實體元素模擬 14m 長之單樁的位 移歷時曲線。

-1.6E-09 -1.4E-09 -1.2E-09 -1E-09 -8E-10 -6E-10 -4E-10 -2E-10 0 2E-10

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02

時間 ( 秒 )

ANSYS 二維軸對稱

PD

位 移︵

m︶

圖3.10 以二維軸對稱元素與 ANSYS 實體元素模擬 14m 長之單樁的 位移曲線局部放大圖。

(15)

-1.60E-09 -1.40E-09 -1.20E-09 -1.00E-09 -8.00E-10 -6.00E-10 -4.00E-10 -2.00E-10 0.00E+00 2.00E-10

0.00E+00 1.00E-02 2.00E-02 3.00E-02 4.00E-02 5.00E-02 6.00E-02 7.00E-02 8.00E-02 9.00E-02 1.00E-01

時間 ( 秒 )

( m )

ANSYS 二維軸對稱

圖3.11 以二維軸對稱元素與 ANSYS 實體元素模擬 16m 長之單樁的 位移歷時曲線。

-1.60E-09 -1.40E-09 -1.20E-09 -1.00E-09 -8.00E-10 -6.00E-10 -4.00E-10 -2.00E-10 0.00E+00 2.00E-10

0.00E+00 2.00E-03 4.00E-03 6.00E-03 8.00E-03 1.00E-02 1.20E-02 1.40E-02 1.60E-02 1.80E-02 2.00E-02

時間 ( 秒 )

位移 (m )

ANSYS 二維軸對稱

PD

圖3.12 以二維軸對稱元素與 ANSYS 實體元素模擬 16m 長之單樁的 位移曲線局部放大圖。

(16)

-1.50E-06 -1.00E-06 -5.00E-07 0.00E+00 5.00E-07 1.00E-06 1.50E-06 2.00E-06

0.00E+00 2.00E-03 4.00E-03 6.00E-03 8.00E-03 1.00E-02 1.20E-02 1.40E-02 1.60E-02 1.80E-02 2.00E-02

時間 ( 秒 )

(m / sec)

ANSYS 二維軸對稱

圖3.13 以二維軸對稱元素與 ANSYS 實體元素模擬 14m 長之單樁的 速度歷時曲線。

-1.00E-06 -5.00E-07 0.00E+00 5.00E-07 1.00E-06 1.50E-06 2.00E-06

0.00E+00 2.00E-03 4.00E-03 6.00E-03 8.00E-03 1.00E-02 1.20E-02 1.40E-02 1.60E-02 1.80E-02 2.00E-02

時間 ( 秒 )

( m / sec )

ANSYS 二維軸對稱

PV

圖3.14 以二維軸對稱元素與 ANSYS 實體元素模擬 14m 長之單樁經 低通濾波處理後的速度曲線圖。

(17)

-1.50E-06 -1.00E-06 -5.00E-07 0.00E+00 5.00E-07 1.00E-06 1.50E-06 2.00E-06 2.50E-06

0.00E+00 2.00E-03 4.00E-03 6.00E-03 8.00E-03 1.00E-02 1.20E-02 1.40E-02 1.60E-02 1.80E-02 2.00E-02

時間 ( 秒 )

( m / sec )

ANSYS 二維軸對稱

圖3.15 以二維軸對稱元素與 ANSYS 實體元素模擬 16m 長之單樁的 速度歷時曲線。

-1.00E-06 -5.00E-07 0.00E+00 5.00E-07 1.00E-06 1.50E-06 2.00E-06

0.00E+00 2.00E-03 4.00E-03 6.00E-03 8.00E-03 1.00E-02 1.20E-02 1.40E-02 1.60E-02 1.80E-02 2.00E-02

時間 ( 秒 )

( m / sec )

ANSYS 二維軸對稱

PV

圖3.16 以二維軸對稱元素與 ANSYS 實體元素模擬 16m 長之單樁經 低通濾波處理後的速度曲線圖。

(18)

3.6.2 頻率域結果之比較

首先考慮針對 14m 長之單樁的檢測反應。如圖 3.14 所示為其速 度反應歷時曲線。將其訊號以快速傅立葉轉換送至頻率域再將如圖 3.8 所示之施力歷時曲線亦送至頻率域。將二者相除,即得對應於此 基樁之力學導納曲線,其結果將如圖3.17 所示。該圖中之曲線即為 針對14m 長之基樁,使用二維軸對稱有限元素模式與商用 ANSYS 軟 體之實體元素模式所得之力學導納曲線比較圖。由圖3.17 可知,在 低頻率區域(即0~1000 Hz),可以很容易的找出大小級數相當且重 複出現的週期性波峰,如此可依第二章所列之公式推估出基樁之長 度。相關之計算如下述:

( )

5 . 2 137

274 549 − =

=

∆f

Hz

m

Hz m f

L V

c

13 . 8

5 . 137 2

3800 sec

2 =

= ×

= ∆

誤差百分比為

1 . 3 14

14 8 .

13 − =

%

同理,針對 16m 之基樁可進行類似之處理,而得到頻率域的曲 線。圖3.18 所示即為長度 16m 之無樁帽單樁,使用二維軸對稱有限 元素模式與商用ANSYS 軟體之實體元素模式所得之力學導納曲線比 較圖。由圖3.18 可知,在低頻率區域(即 0~1000 Hz),可以很容易

(19)

的找出大小級數相當且重複出現的週期性波峰,如此可依上述作法推 估出基樁之長度。其相關之計算為:

121 2

362 604 − =

=

∆f

Hz

m f

L V

c

15 . 7 121 2

3800

2 =

= ×

= ∆

誤差百比為

1 . 9 16

16 7 .

15 − =

%

0.00E+00 5.00E-11 1.00E-10 1.50E-10 2.00E-10 2.50E-10 3.00E-10 3.50E-10 4.00E-10 4.50E-10 5.00E-10

0.00E+00 2.00E+02 4.00E+02 6.00E+02 8.00E+02 1.00E+03 1.20E+03 1.40E+03

頻率 ( Hz )

力學導納值 ( V / F )

ANSYS 二維軸對稱

2 f=549-274=275

圖3.17 以二維軸對稱元素與 ANSYS 實體元素模擬 14m 長之單樁的 力學導納曲線比較圖。

(20)

圖3.18 以二維軸對稱元素與 ANSYS 實體元素模擬 16m 長之單樁的 力學導納曲線比較圖。

3.7 小結

針對本章使用二維軸對稱有限元素模式及商用 ANSYS 軟體之實 體元素模式,進行基樁動力反應之模擬驗證比較中發現:

(1)在時間域上,由位移圖來標示出樁底反射波之波抵時間,再反算出 基樁長度之誤差百分比都很小,顯示出此方法對於檢測十幾公尺 之單樁的精準度相當高。

(2) 同樣在時間域上,若使用速度曲線,亦可輕易標出樁底反射波之 波抵時間,且推算出的基樁長度亦有很好的可靠性與精度。

0.00E+00 5.00E-11 1.00E-10 1.50E-10 2.00E-10 2.50E-10 3.00E-10 3.50E-10 4.00E-10 4.50E-10 5.00E-10

0.00E+00 2.00E+02 4.00E+02 6.00E+02 8.00E+02 1.00E+03 1.20E+03 1.40E+03

頻率 ( Hz )

力學導納值 ( V / F )

ANSYS 二維軸對稱

2

Δ

f=604-362=242

(21)

範圍內)可以輕易地尋得週期性的一些波峰。而使用這些週期性 波峰間的頻率差

f

,可反算出基樁的長度。此方式所得之樁長資 料與實際長度的誤差很小。

(4) 綜合上述,二維軸對稱有限元素模式與 ANSYS 之三維實體有限 元素模式所得之結果,無論是在時間域或頻率域上,皆非常相近,

標示出之樁底反射波的波抵時間及頻率上之頻率差亦都相當接 近。所以,此兩種有限元素模式皆能有效地模擬無樁帽單樁之反 應。

Figure

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