淺談統計
魏慶榮
統計是門有系統地研究數據的學科, 大 致可以分成三個部分。 一是數據的收集, 二是 數據的整理, 三是數據的分析。 以下, 我們用 一些例子, 來說明統計的這三個課題。
一 . 數據的收集
首先我們談數據的收集, 表面上看來這 是很簡單的事情, 只要到圖書館翻翻文獻就 能了結的事。 這種已經擺在那邊, 我們無法插 手的數據, 統計裏叫它做 「觀察」 得來的資料。
這種資料由於不知道它的來源, 有時不太可 靠。 另外有兩種搜集資料的方法, 那就是 「抽 樣」 和 「實驗」。
像民意調查就是抽樣調查的一種。 本來 抽樣的目的, 是想設計一套方法, 在一群很大 的母體 (如選民), 抽出一小部分具有代表性 的樣本來, 然後就他們的意見來做分析。 為了 具代表性, 不偏那個部分 (如特定族群), 有 時還靠丟銅幣的方式 (隨機) 來抽樣。 可是報 紙上報導的民調, 常常是各個黨派用來造勢 而不在反映真實狀況, 因此選前三黨都號稱 民調對他們有利, 造成選民認為統計是騙人
的戲法。 還有一些人誤以為到街頭隨便問幾 個人, 就能代表民意, 這跟認為 Call in 就 能代表一般人的意見一樣是不對的, 因為這 種樣本是取自於一特殊的人群 (上街的, 或想 Call in 的), 常常無法代表整個母體。 有些 廣告也和這個相似, 譬如說, 「三個醫生當中 有兩個推薦 ×× 藥」。 這句話暗示我們, 所 有醫生當中, 三分之二的醫生推薦該藥。 事實 上, 我們應該問一問藥廠, 是不是只問過三個 醫生的意見? 而且那三個醫生和藥廠的關係 又如何? 譬如說, 其中推薦的那兩位是不是藥 廠老闆的親友? 如果是, 這種樣本根本就是 數目太少又有偏, 教人如何能相信?
其次, 我們來談實驗。 實驗設計是教我 們有系統地找 「配方」 的方法。 先舉一個例 子。 我們常常聽人家說, 有人生病了, 到某個 廟裏抽藥籤, 結果吃好了, 因此便說這神明 很靈。 可是仔細想一想, 我們會發現吃不好的 人, 都怪自已沒福氣 (誰敢怪神明?), 因此在 報喜不報憂的情況下, 聽到的就只有好的一 面了 (有偏樣本)。 那麼我們如何才能確定神 明是否靈驗呢? 有一個方法便是安排個實驗, 同時找兩組病人, 病症相似, 一組給神明的藥
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吃, 另一組給白開水喝, 再比較結果, 便能明 白神明究竟靈不靈了。 近代藥品的臨床實驗, 就採取類似的設計來檢定新藥有效與否。 在 工業製造裏, 為求產量高、 品質好, 對進料的 成分, 溫度的高低等等, 則常利用一些比較複 雜的實驗設計來安排。
二 . 數據的整理
現在, 我們來講數據的整理。 通常數據 有時非常雜亂, 有時非常龐大, 我們不可能從 這些原始資料直接看出所要的訊息。 譬如說, 大專聯考所有考生的成績, 由於多到只能放 在磁碟片裏, 如果我們想問, 今年的數學成 績是不是比去年考得好, 即使有辦法看遍原 始成績, 也很難回答這個問題。 這時我們先得 把資料重組、 分類, 用幾個簡單的量 (叫描述 統計量), 或畫個圖形, 清晰而有效地把訊息 傳達出來。 常常看見的百分比圖或直方圖都 屬於資料整理的部份。 至於做摘要的統計量, 一般用來描述數據的中心值或最具代表性值, 常見的有平均值、 中值和眾數 (最常出現的 那個值)。 其次, 用來描述這組數據離中心值 發散的程度, 如級距 (最大值和最小值的差)、
標準差、 百分位數 · · · 等。 這些量有什麼用 呢? 大家可能都用過中文電腦吧, 其中字音 輸入法很大的困擾是同音字太多, 電腦會把 所有的同音字列出來教我們選。 可是那個字 要列在最前面呢? 當然是最常用的字!可是 那個字又是最常用的呢? 我們當然不可能把 所有的書、 雜誌、 信件拿出來檢查一下, 只 有選擇一些樣本來統計一下各個字的使用次 數 (頻數)。 譬如說, 有人拿小學六年的課本,
有人拿一年的報紙來分析。 分析出來的眾數, 就是排在最前面的字。 而輸入法的好壞, 就決 定於這些樣本是不是能代表平常使用的習慣。
最近有些字音輸入法, 不需要一次選一個字, 電腦會自動選字, 打完一句還會自動修改, 這 些功能都是利用比較複雜的統計方法做出來 的。
再舉一個例子, 假設你是成衣廠的老板, 如何決定成衣大小型號的件數呢? 某種型號, 做太少搶不到市場的先機, 做太多又怕賣不 出去, 怎麼辨呢? 這時要是有個成衣型號調 查的頻率圖那就好, 我們就會明白特大號、 大 號 · · ·、 小號等等佔人口的比率有多少, 就能 幫我們做決定。
在選取描述統計量時, 有時要很小心。
底下是個有關大學入學是否歧視女性的例子。
實際的例子發生在美國柏克萊大學, 他們沒 有大專聯考, 憑介紹信申請的。 我們把數據簡 化, 並假設全校只有兩個系:
男 女
接受 拒絕 接受 拒絕 電機系 30 30 10 10 英文系 5 15 10 30 全 校 35 45 20 40 女權運動的人說學校有性歧視, 因為男 生入學率是 35/80=0.4375, 大於女生的入 學率 20/60=0.3333· · ·。 學校緊張了, 就去 問各個系。 每個系都說, 我們絕對男女平等。
查一下的結果, 電機系男、 女生入學率都是 1/2, 英文系男、 女生入學率都是 1/4。 這怎 麼可能呢? 那裡出了錯誤呢? 我們看看電
機系總共收了 40個學生, 遠比英文系的 15來 得大, 而大部分的的女生,60個中的 40個, 卻 又申請英文系, (相對的, 男生 80 個中, 只有 20 個申請英文系), 雖然拒絕率相同, 總個數 卻相當可觀, 因此造成各個系沒歧視而整體 看來貌似歧視的現象。 換句話說, 在系的層 次, 以男女入學率做為描述統計量是合適的, 在學校的層次就會產生問題了。 一個比較合 理的全校性統計量要考慮到各個系佔的比重, 所以用
男 (女) 生入甲系的比率×申請甲 系的學生比率 +男 (女) 生入乙系 的比率×申請乙系的學生比率
比較能反映出全校的男女生個別入學率。 上 面的例子, 依照這個方法算, 男女生入學率都 是 1/2, 相當合理。
三 . 機率論
最後, 我們來談談數據的分析。 這部份 的統計叫做推論統計, 是要從計算出來的統 計量做出結論。 像剛剛提到成衣廠的例子, 有 了頻率圖後, 就要決定各個型號的製造個數。
由於統計量是由部份樣本算出來的, 和由母 體算出來的量總難免有誤差, 誤差的大小也 會隨樣本的不同而變化。 機率論就是來描述 這些誤差大小的工具。
機率論是個很有趣的題材, 常有出人意 料之外的結果。 假設有一天我們走在街上, 突 然被邀去檢查, 看看有沒有感染到某種危險 疾病 (如愛滋病), 而結果是陽性反應。 碰到 這種情況, 我們不免會怨天尤人, 說這種疾病
非常少, 總人口的一小部份 (假設是10
− 6
) 才 有, 為何偏偏就落在我的身上。 接著可能會有 人來安慰, 說這個檢查不是百分之百準的, 沒 有病而測出陽性反應是有的, 而且大到十分 之一。 可是我們還是憂心忡忡, 直覺地認為有 百分之九十的機會還是會得到。 真的是 9/10 嗎? 其實, 檢查還有一種誤差, 也就是有病卻 得到陰性反應。 如果這個機率是 1/100 的話, 那麼我們真 正得病的機率應該是P (得病 | 陽性反應)
= 10
− 6
· (1 − 0.01)/[10− 6
×0.99 + (1 − 10
− 6
) × 0.1]< 10
− 6
/0.1= 10
− 5
。上式表明的是: 有了陽性反應後, 得病的機率 小於十萬分之一。 這個數字相當小, 因此除非 有其它症狀, 否則不必那麼緊張。
和機率相關的一個常用語是 「隨機」。 如 果我們從 1 到 10 隨機抽出一個數字來, 通常我們認為任一特定數字被抽中的機會是 1/10。 我們事實上“私下”假設了機率的分布 是均勻的。 這種把 「隨機」 和等機率等同起來 的做法 , 在可能值, 如 1 到 10, 是有限個 時還好。 可是在可能值是無限、 連續時, 這種 直覺就會產生麻煩了。 想想看, 給定一個單位 圓,「隨機」 選取一條弦, 那麼這條弦的長度大 於內接正三角形的邊長的機率有多大?
第一個答案: 由於弦的一個端點落在那 裡都一樣, 我們把它固定在 A, 由 A 點做一 個內接正三角形 ABC。 由於另一端點只有 落在弧 BC 上, 弦長才會大於邊長, 因此機 率是 BC 弧長/圓周長 = 1/3。
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A B
C
第二個答案: 由於每一條弦都由其中點 唯一決定, 所以隨機取一條弦等於隨機取圓 內一個點。 若點落在半徑為 1/2 的同心圓內, 則弦長大於內接正三角形的邊長, 因此機率 是同心小圓面積/圓面積 = 1/4。
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第三個答案: 跟上面一樣只考慮弦的中 點 X, 由圓心經過 X 畫一條半徑 OR, 其中 點為 D。 經 D 點畫一垂直於 OR 的弦 AC, 由 AC 可造一內接三角形 ABC。 不難看出:
X 只有落在 OD 上, 弦長才會大於 AC 長, 因此機率是 OD 長/ OR 長 = 1/2。
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··
A B
C
R D
X O
同一個問題, 居然有三個答案, 什麼地方出了 問題? 在第一個答案中, 隨機取弦變成隨機
在圓周上取一點, 而在第二個答案變成隨機 在圓內取一點, 在第三個答案卻又變成隨機 在半徑上取一點。 每個說法都滿足直覺, 可是 答案卻都不同。「隨機」 就是等機率, 這個直覺 行不通了。 因此我們談機率時, 一定要確定樣 本空間 (是圓周? 是圓內? 是弦? ) 和機率 (是否等機率? )。
有了樣本空間和機率函數, 現在我們能 描述數據發生的機率了。 數據 x 的可能值如 果是有限或可數個 (離散型), 我們用機率密 度函數 f (x) = P [X = x] 來描述。 如果是 連續型的, 我們用密度函數f (x)在 (a,b) 的 積分,
P [a < x < b] =
Z b
a
f (x)dx
來表達 x 落在 a, b 之間的機率。 最有名的密 度函數就是鐘形的正態密度函數
f (x) = 1
√2πσe
−
(x−µ)22σ2 ,−∞ < x < ∞,
其中µ 代表中心點 (平均值),σ 是標準差, 可 以用來量數據離中心散開的程度。 正態密度 在許多領域經常出現。 物理學家說數學家證 明了在正常狀況下, 密度是正態的, 而數學家 卻說, 物理學家發現了自然界是正態的。 當然 這都只是部分事實, 一般人認為在穩定的狀 況下, 數據 (如產品的規格) 可以當做是正態 的。 心理界與教育界認為上智與下愚人很少, 大部份人在中間, 因此構成正態分布 (常態分 班的由來)。 底下, 我們舉一個實例來看看正 態分布在統計推論上的應用。
四 . 數據的分析 — 推論統計
這個實例與衛星接收器相關。 台灣做的 衛星接收器曾在中東戰爭出了名。 為了便於 說明, 我們把故事稍微加油添醋。 有個美國廠 商, 想要買台灣工廠製造的衛星接收器。 他要 求兩家工廠各做三個樣本, 從三個樣本他要 判斷那個工廠的產品不良率合乎標準, 比如 說, 那家工廠產品不良率小於 20%, 就選那 個。 現在假設對某個規格的要求是大於 1.5 (工業界叫做望大需求),A、B 兩廠做出來的 結果如下:
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廠商 數據
A B
1 2 3
1.51 1.53 1.7
1.51 1.53 1.48
很顯然,A 廠三個都合乎規格, 而 B 廠 卻有一個接收器, 其規格小於要求。 猜猜看, 美商選了那個工廠? B 廠! A 廠很不服氣, 要求說明。 美商就傳真一份計算如下:
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廠商 統計
A B
平均值 標準差 不良率
1.58 0.0109 0.2524
1.506 0.000048 0.1928
傳真中並說明了, 不良率是根據正態分 布計算的。 A 廠還是一頭霧水。 事實上, 我們
用白話來說是這樣的: 美商假設工廠的製程 是穩定的, 產品規格的大小依正態密度來分 佈。 A 廠商雖然都合乎規格, 但是產品值的 大小發散程度 (標準差) 太大, 如果正態分布 是對的話, 將來出現不合規格的產品機會就 比 B 廠大。 B 廠雖然有個不合規格, 但是其 大小變化很小, 依正態分布計算, 不良率小於 20%, 所以可取。 用圖來說明
B
A
1.5
B A
A 密度較肥胖,B 密度較陡瘦, 因此 1.5 左邊的面積 B 比 A 小。
這個例子似乎違反常理, 當然還有很多 可討論的地方。 比如說, 用三個樣本來估計平 均值和標準差是不是太少了? A 廠是不是逐 步在改善他的製程, 因此愈做愈好, 正態分布 是不是還適合呢? 這些都是很有趣的問題, 特別是要選多少樣本才合乎道理, 正是推論 統計裡一個重要的課題。
五 . 結論
在這篇文章裡, 我們簡單地介紹了統計 的內容, 並且用幾何的例子來說明統計的數 學工具 – 機率論, 也用了民意調查、 藥物臨床 實驗、 電腦輸入法、 工廠製造、 性別歧視和病 症檢定等做例子, 來說明統計應用的廣泛。 事
實上, 做為方法論的統計, 在人文社會科學、
生命科學、 自然科學都扮演著重要的角色, 歡 迎大家走進這個領域共同努力。
註: 本文將同時發表於通識教育季刊。
參考資料
(1) 比較通識性的入門書, 可以參考
Statistics, Concepts and Controversies 2nd ed., D. S. Moore, 1985, Freeman and Company, New York.
(2) 有關抽樣調查的入門書, 可以參考 抽樣調查, 林進田,1993, 華泰書局。
抽樣方法之應用, 韋端,1990, 中國統計學社。
(3) 有關實驗設計的入門書, 可以參考
Statistics for Experimenters. G.E.P.
Box, W.G. Hunter and J.S. Hunter 1978, Wiley, New York.
(4) 有關統計的誤用, 可以參考
跨越數字陷阱, 董時叡,1991, 遠流。
(5) 第三節裡舉的隨機選取弦的例子, 叫做 Bertrand’s paradox, 比較詳細的說明及 其它相關例子可以參考
Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, C.J. Szekely, 1986 Akademiai Kiado, Budapest.
(6) 有關常態分班與自學方案的討論, 可以參看 論國中自學案班級常模五分制之公平性, 林 妙香, 國科會研究彙刊, 人文及社會科學, 民 83,7 月,4 卷,2 期,246-263 頁。
(7) 統計在生物、 政治、 社會和物理世界的許多實 例, 可以參看
Statistics: A Guide to the Unknown.
3rd ed. J. M. Tanur et al., 1989, Wadsworth, California.
(8) 統計在品管方面的應用以及 Deming 之貢獻 可參考
Dr. Deming, The American Who Taught the Japanese About Quality, R.
Aguayo, 1990, Carol.
台灣有翻譯本: 品管大師戴明博士, 汪益 譯,1991, 聯經。
—本文作者任職於中央研究院統計科學研究 所—
