抽樣及抽樣分配

(1)

(2)

58 統計學商業與管理的應用

抽樣及抽樣分配

8.1

假設學生會請您幫忙估計全校同學每學期平均的教科書花費為若干，若您決定由修統計課的同學中隨機抽取 30 名同學來調查，請問如此抽樣可能會發生什麼問題？您還會考慮使用哪些不同的抽樣方法？

解 a.

：可能會產生樣本代表性不足的問題，因為全校同學可能會由於科系

不同，而導致每學期平均的教科書花費亦不同。

b.

：建議採用簡單隨機抽樣或分層隨機抽樣。

8.2

何謂抽樣誤差與非抽樣誤差？試舉例說明。

解

當誤差的來源是因為由隨機抽樣代替普查所發生之不確定性，這一類的

誤差稱為抽樣誤差；其他種種非因隨機抽樣之不確定性所造成的誤差，

則稱之為非抽樣誤差。

舉例來說，假設我們欲瞭解某上市公司全體員工之平均薪資，隨機由該

(3)

公司抽取 100 名員工進行瞭解，則該 100 名員工的平均薪資與真正全體

員工平均薪資的差別，就是抽樣誤差。

若我們故意只選擇該公司所有一級主管之薪資進行瞭解，而這些一級主

管的平均薪資與真正全體員工的平均薪資之差別，就屬於非抽樣誤差。

8.3

^{若以系統抽樣方法每隔}10 個樣本抽出總共 60 個樣本，請問母體大小為何？

解

60×10＝600

8.4

設一有限母體包含四個元素 7 2 4 3

a.

若自該母體以抽出後不放回之方式隨機抽出兩個樣本( ＝2)，請問有多少種不同的抽出結果？

n

b.

^請列出n＝2 時所有可能的抽出結果。

c.

^請計算

b.

中各不同樣本的樣本平均X 。

d.

^請繪出^{X 之抽樣分配直方圖}

e.

若該有限母體之四個元素被抽到之機會均等，試計算母體平均μ 。試問在

b.

中有哪一組樣本之樣本平均X 等於μ ？

f.

^試計算

c.

^中各X 之平均 E( X )，是否等於μ ？

g.

^{試計算母體變異數}^Var⁽^X⁾^與

c.

^中各^{X 之變異數}^Var⁽^X⁾^，請描述^Var⁽^X⁾^與

) X (

Var 之關係。

解 a.

^：ⁿ^Pr⁼₂⁴_!^!⁼¹²

(4)

60 統計學商業與管理的應用

b.

：(7, 2), (7, 4), (7, 3), (2, 4), (2, 3), (4, 3), (2, 7), (4, 7), (3, 7), (4, 2), (3, 2), (3, 4)

c.

^：

(X1, X2) (X)

(7,2) 4.5 (7,4) 5.5 (7,3) 5 (2,4) 3 (2,3) 2.5 (4,3) 3.5 (2,7) 4.5 (4,7) 5.5 (3,7) 5 (4,2) 3 (3,2) 2.5 (3,4) 3.5

d.

^：

X P(X)

2.5 6

1

3 6

1

3.5 6

1

4.5 6

1

(5)

5 6 1

5.5 6

1

e.

^： ⁼^∑ ⁼

= N 1

i i i

X X P(X ) 4

μ

f.

^：^E⁽^X⁾ ⁿ ^X ^P⁽^X ⁾ ⁴

1

i i i =

∑ ×

=

g.

^：^Var⁽^X⁾ N⁽^X ^μ ⁾2 ^P⁽^Xi⁾ ³^.⁵ 1

i∑ i − X × =

=

67 . 1 ) X ( P ) μ X ( ) X (

Var ⁿ ² _i

1

i∑ i − X × =

=

17 . 3 1 2 2

5 . 3 1 n

n N n

) X ( ) Var X (

Var = × =

−

× −

=

8.5

根據過去經驗，某銀行信用卡部門對於其信用卡申請者的通過率為80%。今若隨機自所有申請者中抽取100 名檢驗，試問該 100 名申請者之通過比例高於90%的機率為若干？

解

) P(Z 2.5) 0.0062

100 2 . 0 8 . 0

8 . 0 9 . 0

n ) P 1 ( P

P ( Pˆ P ) 9 . 0 Pˆ (

P = > =

×

> −

−

= −

>

8.6

^{某麵包店每週平均賣出}500 條麵包。若該麵包店每週賣出之麵包量為常態分配且其標準差為20 條麵包，試問

a.

^{某一週賣出之麵包超過} ^{475 條的機率。}

b.

隨機選取四週麵包之每週平均銷售量超過475 條的機率。

c.

^請解釋

a.

^與

b.

^{之答案何有異。}

解 a.

^：^P⁽^X^>⁴⁷⁵⁾⁼^P⁽^X⁻_σ^M^x ^>⁴⁷⁵₂₀⁻⁵⁰⁰⁾⁼^P⁽^Z^>⁻¹^.²⁵⁾⁼⁸⁹^.⁴⁴^%

(6)

62 統計學商業與管理的應用

b.

^： ⁾ ^P⁽^Z ²^.⁵⁾ ⁹⁹^.³⁸^%

4 20

500 475

n σ

M (X P ) 475 X (

P − ^x > − = >− =

=

>

c.

^{：X 為隨機變數，}^X^~^N⁽^μ^,^σ²⁾

X為樣本平均數， )

n ,σ μ ( N

~

X ²

8.7

某工廠生產之燈泡壽命呈常態分配，其平均壽命為10000 小時，變異數為 3600 小時。今自該廠生產之一批燈泡中隨機抽取 25 個檢驗，若檢驗出來的平均壽命低於某一標準值，則該批燈泡全數驗退。今若驗退率訂為 5%，請問驗退之標準值應訂為若干小時？

解

_X_~_N₍₁₀₀₀₀_,₃₆₀₀₎ _X_~_N₍₁₀₀₀₀_,₁₄₄₎

% 5 ) Y X (

P < = ) 0.05 144

10000 Z Y

(

P < − =

645 . 12 1

10000 Y− =−

Y＝9980.26

8.8

某超市平均每人消費金額為650 元，標準差為 100 元，今隨機抽取 100 名顧客，試問

a.

^該 100 名顧客之平均消費之抽樣分配為何？

b.

^該 100 名顧客之平均消費介於 640 元與 670 元之機率。

解 a.

^：^X^~^N⁽⁶⁵⁰^,¹⁰⁰⁾

b.

^：

(7)

% 85 . 81 ) 2 Z 1 ( P

10 ) 650 670

n σ

M X 10

650 (640 P ) 670 X 640 (

P ^X

=

<

−

=

< −

= −

<

8.9

^{某魚市平均每天賣出} 120 公噸的魚，標準差為 40 公噸。假設每天魚市生意的好壞皆獨立。今隨機抽取一個月（30 天）記錄賣出魚之重量，試問

a.

該月總共賣出魚重量之抽樣分配為何？

b.

該月總共賣出魚重量超過4000 公噸之機率。

解 a.

^：^X^~^N⁽³⁶⁰⁰^,⁴⁸⁰⁰⁰⁾

b.

^： ⁾ ^P⁽^Z ¹^.⁸³⁾ ³^.³⁶^%

48000 3600 4000 σ

M (X P ) 4000 X (

P − ^X > − = > =

=

>

8.10

^{某公司員工有}200 人，其平均薪資為 40,000 元，標準差為 6,000 元。

a.

若以抽出放回的方式隨機抽取36 人，試問此 36 人之平均薪資介於 38,000 元與42,000 元之間的機率。

b.

若以抽出不放回的方式隨機抽取36 人，試問此 36 人之平均薪資介於 38,000 元與42,000 元之間的機率。

解 a.

^：

(8)

64 統計學商業與管理的應用

% 44 . 95

) 2 z 2 ( P

) 36 000 , 6

000 , 40 000 , 42

n σ

μ X

36 000 , 6

000 , 40 000 , (38 P

) 000 , 42 X 000 , 38 ( P

X

=

<

−

=

< −

= −

<

b.

^：

% 22 . 97

) 2 . 2 z 2 . 2 ( P

) 199 164 36

000 , 6

000 , 40 000 , 42

1 N

n ,N n σ

μ X

199 164 36

000 , 6

000 , 40 000 , (38 P

) 000 , 42 X 000 , 38 ( P

2 2

X 2

=

<

−

=

×

< −

−

< −

×

= −

<

8.11

^{假設根據調查，}72%的網際網路使用者有網路購物的經驗，今若隨機選取 100

名網際網路使用者調查其是否有網路購物經驗，試問其中有網路購物經驗的比例與72%之差距在 5%之間之機率為何？

(9)

% 3 . 73

) 11 . 1 z 11 . 1 ( P

) 100

28 . 0 72 . 0

% 5

n ) P 1 ( P

P Pˆ

100 28 . 0 72 . 0

% ( 5

P

%) 77 Pˆ

% 67 ( P

=

<

−

=

< ×

−

< −

×

= −

<

8.12

在下列t分配之條件下，請找出t_α值。

a.

自由度＝13，P( t >t_α )＝0.05。

b.

自由度＝25，P( t > )＝0.90。 t_α

c.

自由度＝12，P( t > )＝0.99。t_α

d.

自由度＝17，P( t > )＝0.10。 t_α

解

a.

^：t^{0.05, 13}^＝1.771

b.

^：t^{0.9, 25}^＝-t^{0.1, 25}^=-1.316

c.

^：t^{0.99, 12}^＝-t^{0.01, 12}^=-2.681

d.

^：t^{0.1, 17}^＝1.333

8.13

台中某公司過去評估其員工到台北出差，其每天基本消費（含交通、食宿）

平均為2,000 元，該公司因此明訂全公司所有員工出差至台北之出差費，不

(10)

66 統計學商業與管理的應用

論消費多寡，一律每人每天2,000 元。若干年後，該公司工會認為此出差費偏低而提出抗議。該公司經理遂主動隨機抽取調查了100 名員工最近至台北出差之實質基本消費金額，經計算得出每天平均消費為2,300 元，標準差為 1,000 元。該公司經理為了保守起見，仍假設至台北出差之平均基本消費為 μ =2,000 元，然後再檢驗這 100 名樣本員工之消費情形是否顯著顯示 2,000 元已不敷使用。因為員工出差至台北每天基本消費之母體標準差未知，故以樣本s=1,000 元估計之。

a.

^考慮以 100 個隨機樣本之所有可能的樣本平均為母體，試問以樣本平均 X 為母體之分配的形狀為何？

b.

假設至台北出差之平均基本消費確為μ =2,000 元的情形下，該 100 個隨機樣本之所有可能樣本平均的平均值為若干？

c.

現該經理所觀察到之樣本平均為2,300 元。假設至台北出差之平均基本消費確為μ =2,000 元的情形下，試求該經理觀察到之樣本平均 X 會大於或等於 2,300 元之機率為何？

d.

^根據^{c.的答案，您會相信}

(

a

)μ 仍然為 2,000 元，該經理只是在所有可能的樣本平均中得到了一個小於或等於2,300 元之樣本平均。

還是相信

(

b

)因為μ 大於 2,000 元，故該經理在所有可能的樣本平均中得到了一個小於或等於2,300 元之樣本平均。

請解釋您的選擇，並請您建議該經理是否應調升該公司員工至台北之每日出差費？

解 a.

： X ~N(2,300, 10,000)

b.

：E( X )=μ =2,000

(11)

c.

^： ²^,³⁰⁰₁₀₀²^,⁰⁰⁰⁾ ^P⁽^Z ³⁾ ⁰^.⁰⁰¹³

n s

μ (X P ) 300 , 2 X (

P ^X − = ≥ =

− ≥

=

>

d.

：因為根據 c.的答案發現，樣本平均數超過 2,300 元的機率只有 0.13%，

因此建議經理調升公司員工出差費。

抽樣及抽樣分配

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