淺談控制理論
葉芳柏 演講
林聖哲 記錄
在我們一般日常生活中, 常常看到一些 自動化的東西, 例如說: 冷氣的自動調溫系 統, 電視或熱水器的自動關閉電源, 或是一般 百貨公司的自動門等等, 這些為我們生活上 帶來了莫大的方便, 那它究竟是如何設計的 呢? 它發展的理論是那些呢? 接下來我們 便一一為你介紹。
首先, 我們先來看一下控制系統在這些 年來所發展歷史是什麼:
1784 −→ 離心錘調速器 1788 −→ 蒸氣機 1848 −→ 調速器
1860 −→ 魚雷自動控制系統 1900 −→ 自動電壓調節器 1910 −→ 大砲仰俯角器 1920 −→ 飛機自動穩定器 1930 −→ 自動燃燒控制; 石油廠 1940 −→ 自動導航系統; 武器控制系
統
≀ −→ 數位計算機理論建立 1950
≀ −→ 回饋控制理論建立
1960 −→ NC + 飛機、 飛彈、 東床
≀ −→ 估測理論、 最大原理 1970
≀ −→ 最佳控制、 最適控制 1980
≀ −→ H
∞
− control、 adaptive H∞
− control1990
所以由以上我們可以發現, 控制這門學問它 是由自動化而推進至自動控制, 且由簡單的 自動控制再發展成複雜的自動控制系統, 最 後再形成一套理論, 一般來說在 1930 年代至 1960 年代, 它是屬於一個經驗控制的時代, 且在嘗試錯誤中求進步的年代; 而 1960 至 1980 年代是屬於現代控制的時代, 這個年代 的所有控制系統皆是建立在H
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− control 理 論上。 從 1980 年之後, 控制這門學問就完全 建立在H∞
−control 理論上了, 而這時期我 們稱之為後現代控制理論時期 (Post mod- ern control)。好了, 那麼控制理論或控制這門學問它 究竟想要做些什麼東西呢? 事實上它所做的
1
2
數學傳播 十八卷四期 民83
年12
月就是為了讓我們能夠設計一個控制器 (con- troller) 來達到各種不同需求的目標, 如同我 們前面所舉的例子, 為了設計控制系統, 我們 就必須有一些先前的準備工作, 在這裡我們 將它分成 5 個步驟: 一是建立系統之數學模 式, 在我們想要設計一個控制系統之前, 我們 最首要的工作便是要寫出這控制系統的數學 模式, 之後我們再經由這模式做一些定量和 定性上的分析, 分析之後我們就必須設計一 些性能指標, 以便我們讀取數據, 之後我們再 用一些工具來模擬它, 以確定我們這數學模 式建立的是否完善; 若不完善, 則重新建立或 修正以前的步驟, 直至可接受, 則將之付諸實 務設計, 於是一套控制系統應運而生。
那麼控制系統有那些種類呢? 它分成二 種, 一是開迴路系統; 另一是閉迴路系統。 什 麼叫做開迴路系統? 它是指有一個訊號進來 到這個控制系統內, 於是控制器根據這個訊 號做一些反應, 交與系統執行, 如此便算完畢 了 (如圖):
... ... ...
輸入
控制器
反應
受控體
輸出
而閉迴路系統它卻多了一個步驟, 它會檢視 控制器所做出的反應有否改善情況, 進而做 一些修正, 所以閉迴路系統我們又稱它為回 饋控制系統 (如圖):
... ... ...
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輸入
控制器
反應
受控體
輸出
感應器
以下我們將以閉迴路系統為基礎, 討論一些 控制理論上的課題。 下圖是一個基本控制系 統的圖形, 其中C代表的是控制器, P 和F 代 表基本系統, r、d、n表示外界干擾信號。
... ... ... ... ...
. .. .. . ...
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...
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r + d
o C o u
P y
o n F v
e –
在這裡我們就遇見了兩個問題, 一是我們如 何去描述P 、u、y, 二是我們是否能從輸出y和 輸入u中去掌握P 的內部結構?
對於問題一, 一般我們有兩種解決辦 法, 即是物理定律和經驗法則兩種, 而物理定 律描述多半是一些微分方程上的問題, 下面 我們就舉一個彈簧問題來說明:
.
... ... ... .
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... ...
...
. y= 0
u y
k
1
k
2
γγγγγ m
k
1
代表摩擦係數, k2
代表彈性係數, 而y表示 位移, u 表示外力, 根據虎克定律和牛頓第二 運動定律, 我們得到以下的物理式子:m· d
2
ydt
2
= u − k1
dy
dt − k
2
y, t≥ 0 然後我們讓x1
代表y, x2
代表y對時間微分, 於是我們便可將式子轉換成下面的樣子:˙x
1
= x2
淺談控制理論
3
m˙x
2
= u − k1
x2
− k2
x1
將它寫成矩陣形態:
"
˙x
1
˙x
2
#
=
"
0 1
−k
2m
−k
1m
# "
x
1
x
2
#
+
"
0
1 m
#
u
y= [1 0]
"
x
1
x
2
#
這時我們主要的工作便是去找出x這解的軌 跡了, 以了解系統之動態。 然後我們再來問三 個問題, 一是u是否會影響x的解, 二是我們 能否由u和y估測到x(0)的值, 三是如果我們 做一個有界輸入, 是否能得到一個有界輸出 呢? 而從這三個問題來看, 我們不難發現事 實上前述的問題二已經包含在這三個問題中 了。 而這些問題袛是為了讓我們評估控制器 的可行性罷了。
所以通常我們要設計一個控制器之前, 我們都會先寫出它的數學模式, 然後做一些 定性上的分析, 如上述之問題一的可控性及 問題二的可觀測性, 以了解這控制器的存在 性, 看其存在的價值, 假設它有其存在的價值 的話, 最後我們便會考慮它的穩定性了, 畢竟 一個穩定的控制器才能發揮它最大的功用。
最後如何才能稱之為一個性能好的穩定 控制器呢? 最主要的性能之一便是要將誤差 信號控制到最小的情況, 如圖:
... ... ...
. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. ... .. .. .. . .. .. . .. .
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r + eo C u
P y -
e= r − y我們稱之為誤差信號。 所以我們最 大目的便是將之控制到最小, 就是說將k e k 逼近於 0, 例如說: 我們考慮e的能量, 即 k e k
2
= (R 0 ∞|e(t)|2
dt)12, 我們便是要在任
意外界干擾信號r之情況下把k e k2
降至接
近 0 的位置, 事實上此一動作就如同我們要
讓max(kek krk
2
2) 遠小於 1 是一樣的。 現在讓我 們來考慮e和r之間的關係:
e= r − y, y= P u, u= Ce y= P Ce, e = r − P Ce
如此一來我們就得到:
e= 1 1 + P Cr 所以說:
max ·k e k
2
k r k
2
= maxk
1+P C 1
rk2
k r k
2
= max
w
1
1 + P C(jw)
所以在設計一個穩定的控制器C的同時, 我 們要max
w
|1+P C 1
(jw)|愈小愈好, 這也就是 控制這門學問日以繼夜的不斷在追求的目標, 設計最佳性能的穩定控制器。從以上的討論看起來, 「控制」 這門學 問它不僅僅一個單一的學問, 它更結合了其 它不同學科的東西, 例如: 動力系統、 最佳化 理論、 數值分析、 系統原理等等, 所以說控制 它本身真是一科名符其實的應用科學。
—本文作者任教於東海大學數學系—
