數列與級數

 4－1 1. (1)16

(2)256  2. 丙 甲 乙 3. 82  ⁸⁶⁰   4. 5. 6. (1) (2) 99 7. 33 8. (E) 9. ^(B) 10. ^(B) 11. (A)(C)(D) 12. (A)(B)(D) 13. , 14. 670 15. 2450 16. 20825 17. 476

一、概念題

1.數列 〈 〉，已知 ⁴，若：

(1)〈 〉為等差，求 。 (2)〈 〉為等比，求 ^{∙ ∙ ∙} 。

(1) 2 8 ∴所求 16

(2) 16 ∴所求 16 256

2.甲、乙、丙三人存錢，甲從今天起每日存 1 元，乙從今天起每隔一天存 2 元，丙從明天起每隔一天存 2 元。

若按日以複利計算，則 10 天後三人都存入 10 元，所得的本利和由小而大為 。

設利率為 r，則甲 ∑ 1 1 ，乙 ∑ 2 1 ，丙 ∑ 2 1 比較得丙 甲 乙

3.已知^∑ 9，則^∑ 3 ，^∑ 10 2 。

①所求 3 ∑ ∑ 3 9 17 55 82

②所求 10 ∑ 2 ∑ 10 9 2 90 770 860

4.若數列^{〈 〉}滿足 ^{⋯ 2} ，求 。 

64 16 80， 49 14 63 17 

5.數列^{〈 〉}滿足 ²⁷， ^∈ ，則公比 。 

6.(1)求^∑ (2)若^∑ _{√ √} ⁹ ，則 。 

(1)所求 ^∑ ⋯

(2)所求 ∑ √ 1 √ √2 √1 √3 √2 ⋯ √ 1 √ √ 1 1 9  √ 1 10  1 100  99

7.若循環小數^2.612乘上正整數 k 之後變為有限小數，則最小的 k 值為 。 

2.612 ，最少乘 33 才能變有限小數

數列與級數

4

4－2 

二、單一選擇題

8.如右圖，有 n 個正方形並列在 x 軸正向上，其邊長依序為 1、2、4、

8、…、² ，則各正方形的右上頂點 、 、 、 、…、 ， 所在位置的 x、y 值為下列哪個函數關係？

(A) 2 (B) ^{2 1} (C) ^log (D) ⁰ (E) ^{2 1 0}。 

  ^{, 的 1 2 4 ⋯ 2}₂ ^{2 1}

∴ 2 1，即 2 1 0，選(E)  

9.等差數列^{〈 〉}的前 n 項和為 ，若 ⋯，則下列選項何者正確？ 

(A)公差為負且前 4 項為負 (B)公差為正且前 4 項為負  

(C)公差為負且前 4 項為正 (D)數列^{〈 〉}各項均大於 0 (E)數列^{〈 〉}各項均小於 0。 

  0， 0， 0， 0，…，

得公差 0 

∴ 、 、 、 為負， 、 、 、…為正，選(B)   

10.設 a、b、c、d 四正數成等比數列，若 ⁸， ⁷²，則公比為何？

(A)2 (B)3 (C) 3 (D) (E)4。 

 ^{設公比為 r，則 ， ，}  

8  8  1 8…① 

72  72  1 72…②

得 9  9  3（負不合），選(B)

三、多重選擇題

11.等差數列^{〈 〉}的前 n 項和 ^∑ ，其中 p、q、r、s 為定數，則下列 選項哪些正確？(A) ⁰ (B) ⁰ (C) ⁰ (D)公差為² (E)首項為 r。

得 0， ，公差 2 ，而首項 ∴選(A)(C)(D) 

12.用火柴拼成下列圖形：

表示第 n 個圖形的火柴數，請問下列選項哪些正確？

(A) 16 (B) 22 (C)^{〈 〉}不是等差數列 (D) 是質數 (E)若有 100 根火柴，可拼成 34 個正方形。

 由圖形觀察 4， 3， 3，…得 3 

② 　 

 4－3

數列〈 〉是首項為 4，公差為 3 的等差數列 

1  4 3 1 3 1  (A) 15 1 16，合 (B) 21 1 22，合  (C)〈 〉是等差數列，不合 (D) 61是質數，合 

(E)3 1 100  33，可拼成 33 個正方形，不合      ∴選(A)(B)(D)  

四、填充題

13.若數列^{〈 〉}滿足 且 ¹ ， ¹，求數對 ^, 。

， ， ， ，…

∴ ⋯ ， ⋯ ，所求 ,

14.觀察下列圖（一）到圖（四）的數字排列規則，若按此規律，則圖（十）的所有數字之和為 。

圖（一） 圖（二） 圖（三） 圖（四）

圖（十）有 1 個 10，4 個 9，8 個 8，12 個 7，…，36 個 1 所求 1 10 4 9 8 8 12 7 ⋯ 36 1

1 36 2 32 3 28 ⋯ 9 4 10 1

∑ 4 40 10 4 ∑ 40 ∑ 10 1140 1800 10 670

15.兩個等差數列^{〈 〉}與^{〈 〉}， ³¹， ⁶⁷，求數列^{〈 〉}的前 50 項之和為 。

∵^{〈 〉} ∴

∴所求 50 50 50 49 50 2450

16.從 1 到 50 的自然數中，所有奇數平方和為 。

1 3 5 ⋯ 47 49 1 2 ⋯ 50 2 4 6 ⋯ 50

1 2 ⋯ 50 4 1 2 ⋯ 25 50 51 101

2 4 25 26 51

6 42925 22100 20825

17.等差數列^{〈 〉}共有 10 項， 5， 7，任取兩項相加得 、 、…、  

，再把重複的數字消去，則所剩的數字由小而大也成等差，請問這個新的等差級數之和為 。 

〈 〉 5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，兩兩相加得 12，14，16， … ， 28，16，18， … ，30，…，44

│ │ │ │ │ │ │ │

5 7 5 9 5 11 5 23 7 9 7 11 7 23 21 23

去掉重複的和並由小而大得 12，14，16，…，44，共 17 項，所求 17 28 17 476 1

12 1 1 1

21

1 1

3 2 1 2 1 1 2 1

1

32 1

2 2

1 1

4 3 2 1 3

2

1 1 1

1 1

2

2 1

1 3 21