1. 設數列〈

1-2 級 數

（每題 5 分﹐共 30 分）

1. 設數列〈

﹐試問下列何者不正確？

(1)

= (2) 2

= (3) 6

= 2

(4)〈

解：

(2)a₂=S₂−S₁= ﹒ 4 (3)an=Sn−Sn−1=2n﹒

(4)〈a 〉是首項_n a1= ﹐公差為 2 的等差數列﹒故選(2)﹒2

2. 設數列〈

﹐試問下列何者不正確？

(1)

= (2) 3

= 12 (3)

(4)〈

解：

(2)b₂=S₂−S₁= ﹒ 6 (3)b_n=S_n−S_n−1= ⋅3 2ⁿ⁻¹﹒

(4)〈b 〉是首項_n a₁= ﹐公比為 2 的等比數列﹒故選(2)﹒3

3. 有關Σ的運算中﹐試問下列何者不正確？

(1)

1

5 5

n

k

n

=

∑

⁽²⁾

1 n

k

k nk

=

∑

⁽³⁾

1 1

5 5

n n

k k

k k

= =

∑

∑ ⁽⁴⁾

1 1

( )

n n

k k

k k

= =

∑

∑ ^﹒

解：

1

5 5 5 5 5

n

k

n

=

= + + + =

∑

(2)

1

1 2 1 ( 1)

2

n

k

k n n n

=

= + + + = +

∑

(3)

1 1

5 5 10 5 5

n n

k k

k n k

= =

= + + + =

∑

∑

(4) ^{3 2 2 2 2}

1 1

1 ( 1)

( 1) [ ] ( )

4 2

n n

k k

k n n n n k

= =

= + = + =

∑ ∑

4. 試求由 1 到 100 的正整數中﹐所有 7 的倍數的總和﹒

解：

由等差級數的公式﹐得 14

(7 98) 735

S= 2 + = ﹒

5. 等差數列〈

﹐試問公差﹒

解：

2 2

(5n n) [5(n 1) (n 1)]

= + − − + −

10n 4

= − ﹐ 知公差d =10﹒

6. 試求等比級數

2+ + + +4 8 " 1024

的和﹒

解：

2 2

a = r= n= ﹐

10 10

1

1 1023 2 [1 ( ) ]

1 2 1024 1 2

S = − =

−

﹒

（每題 5 分﹐共 45 分）

1. 數列

+ 3,

+ 6, " ,

+ 3 ,

" ,

+ 30 共有 10 項﹐且其和為 300﹐試問

1 2 10

a

+

+ + "

的值﹒

解：

1 2 10

(a +a +"+a )+ + +(3 6 "+30)=300﹐ 因 3 6 9+ + +"+30 165= ﹐

1 2 10 300 165 135 a +a +"+a = − = ﹒

2. 已知等差數列共有 10 項﹐且知奇數項之和為 15﹐偶數項之和為 30﹐試求此 數列的公差﹒

解：

1 3 5 7 9

2 4 6 8 10

15 30

a a a a a

a a a a a

+ + + + =

⎧⎨ + + + + =

⎩

""

""

1 2﹐

由2 1 ﹐得− (a₂−a₁)+(a₄−a₃)+(a₆−a₅)+(a₈−a₇)+(a₁₀−a₉)=15﹐ 5d =15﹐得d = ﹒3

3. 等比數列〈

= + 4

﹐試問此數列的 公比﹒

解：

n= 時﹐4S₂= + ﹐因4 a_{2 1} 4 a = ﹐ 3

1 2 2

4(a +a )= +4 a ﹐得 ₂ 4 a = − ﹐ 9 由a₂= ⋅ ﹐得a r₁ 1

r= − ﹒3

4. 有一等比數列﹐首三項的和為 13﹐首六項的和為 364﹐試問此數列的公比﹒

解：

2 13

a+ar+ar = ﹐

2 3 4 5

a+ar+ar +ar +ar +ar

2 3 2

(a ar ar ) r a( ar ar )

= + + + + +

13 13r3

= + ﹒

由13 13+ r³=364﹐得r³=27﹐知r= ﹒3

5. 請逐項展開

10

1

(3 1)

k

k

=

∑

^{並求其和﹒}

解：

1

(3 1)

k

k

=

∑

^{= 3}

^{− 1}

10

1

(3 1) 2 5 8 29 155

k

k

=

− = + + + + =

∑

6. 已知等差級數 4 7 10 13 + + + + + " 301 ﹐試用

1

( )

n

k

ak b

=

∑

^{的形式表示﹒}

解：

= 3

+ 1

= 3

+ 1

4 7 10 13 + + + + + " 301

因此可表示為¹⁰⁰

1

(3 1)

k

k

=

∑

7. 等比數列〈

解：

2

S3= +a ar+ar ﹐

2 3 4 5

S6 = +a ar+ar +ar +ar +ar

2 3 2

(a ar ar ) r a( ar ar )

= + + + + + = +(1 r³)⋅ ﹐ S₃ 由1+r³= ﹐知9 r= ﹒2

8. 請善用Σ的運算公式﹐試求級數

的和﹒

解：

99 99 99 99

2 2

1 1 1 1

( 1) ( )

k k k k

k k k k k k

= = = =

=

∑

∑

∑

∑

99 100 199 99 100

333300

6 2

× × ×

= + = ﹒

9. 請善用Σ的運算公式﹐試求級數

的和﹒

解：

k 2

a k k k+

= + + + =" ﹐

得原式 ^{24 24 2 24}

1 1 1

( 1) 1

( )

2 2

k k k

k k k k

= = =

=

∑

∑

∑

1 24 25 49 24 25

( ) 2600

2 6 2

× × ×

= + = ﹒

（共 25 分）

1. 某巨蛋球場 E 區共有 25 排座位﹐此區每一排都比其前一排多 2 個座位﹒小 明坐在正中間那一排（即第 13 排）﹐發現此排共有 64 個座位﹐則此球場 E 區共有

個座位﹒（8 分）

解：

1 25 2 24 2 13 2 64

a +a =a +a ="= a = × ﹐ 得 ₂₅ 25( ^{1 25})

25 64 1600 2

a a

S +

= = × = （個）﹒

2. 右圖是從事網路工作者經常用來解釋網路運作的蛇形 模型；數字 1 出現在第一列；數字 2﹐3 出現在第 2 列；

數字 6﹐5﹐4（從左至右）出現在第 3 列；數字 7﹐8﹐

9﹐10 出現在第 4 列；依此類推﹐試問：

(1)第 20 列最右邊的數字﹒（4 分）

(2)第 21 列﹐從右至左﹐第 12 個數字﹒（4 分）

解：

211, 212, 213, …﹐第 12 個數字為 210 12+ =222﹒

3. 右圖是由一堆積木所組成﹐已知第一層有 1 個﹐第 2 層有 3 個﹐第 3 層有 6 個﹐…﹐依此規則堆成 12 層﹐試問：

(1)第 k 層的積木個數（用 k 表示）﹒（4 分）

(2)全部積木的總個數﹒（5 分）

解：

1 2 3

2 k k k+

+ + + + =" （個）﹒

(2)S₁₂ = + +1 (1 2)+"+ + +(1 2 "+12)

12

1

( 1) 2 364

k

k k

=

=

∑