數列

數列

1 數列

n 數列：依序排列的一串數就稱為數列。 【說明】小明原有50 元，每天再存入 5 元，則存 款的數目50、55、60、65、70、75……

就是一組數列。

n 首項：數列的第一個數稱為第 1 項或首項，

通常記為a₁。

【說明】上述的數列中首項為50。

n 末項：數列的最後一個數稱為末項。 【說明】50、55、60、65、70、75……、100 的數列中末項為100。

其中 60 為第三項記為a₃。 如果是第 n 項就記為a_n。 n 數列規則：

觀察下列棉花棒數目與圍成的正方形個數的 關係：

棉花棒數目呈現規則性的遞增

4、7、10、13、16、19、22……

【說明】數列50、55、60、65、70、75……、1 00 稱為等差數列。

【說明】數列1、3、9、27、81、……稱為等比 數列。

【說明】數列1、1、2、3、5、8、13、21……

稱為費不列屈數列或黃金數列。

範 例 講 解

Ex1.已知下列各數列分別隱含某種規律，試依其 規律在空格中填入適當的數。

(1). 6 , 1 , -4 , -9 , -14‚【 】 , -24。

(2). 1 , -1 , 1 , -1 , 1‚【 】 , 1。

(3). 1 , 2

1, 3 1,

4 1,

5

1‚【 】 , 7

1。

Hw1.已知下列數列分別隱含某種規律，試依其規 律在空格中填入適當的數。

(1). -1 , 1 , 3 ,【 】 , 7

(2). 32 , 16 , 8 , 4 , 【 】 , 【 】 , 2 1

(3).

2 3,

3 4,

4 5 ,

5

6 , 【 】 , 【 】 , 8 9

2 等差數列

n 等差數列：如果數列中所有相鄰兩項後項減前 項的差都相同，這樣的數列稱為等差數列，後 項減前項的差稱為公差。

等差數列a₁、a₂、a₃、a₄、……、a_n 公差 d=a₂-a₁=a₃-a₂=a₄-a₃=……

【說明】數列4、7、10、13、16、19……是一 組等差數列，公差為 3。

【說明】數列－3, －3, －3, －3……是一組等差 數列，公差為 0。

n 首項、公差與末項的關係：

等差數列a₁、a₂、a₃、a₄、……、a_n中 a₂=a₁+d

a₃=a₂+d=a₁+d+d=a₁+2d a₄=a₃+d=a₂+2d+d=a₁+3d

：

：

a_n=a₁+(n-1)d a₁= a_n-(n-1)d d=a_n-a₁

n-1 n=a_n-a₁

d +1

【說明】等差數列4、7、10、13、16、19……

的第30 項為：

a30=a1+29d a₃₀=4+29×3 a30=91

【說明】等差數列的第11 項為 55，公差為-3，

則首項為：

a1=a11-10d a₁=55-11×(-3) a1=88

【說明】等差數列的第8 項為 45，第 12 項為 65，

則公差為：

d=a₁₂-a₈

4 =65-45 4 =5 首項為：

a₁= a₈-7d=45-7×5=10

【說明】等差數列的首項為12，公差為-2，則第 第n 項會是為-10：

n=-10-12

-2 +1=12

範 例 講 解

Ex2.請在下列空格中填入適當的數,使得各數列成 為等差數列。

(1). 【 】 , 【 】 , 6 , 【 】 , 16 , 【 】。 (2) . 1 , 【 】 , 【 】 , 【 】 , -17 , 【 】。

Hw2.請在下列空格中填入適當的數,使得各數列 成為等差數列。

(1). 5 , 8 , 【 】 , 【 】 , 【 】 (2). a+d , a-d , 【 】 , 【 】 , 【 】

【 】。 (5). -3 , 【 】 , 【 】 , 【 】 , 9 Ex3

(1).若一數列之首項為3，公差為5，求其第三 項？

(2).若一數列之首項為11，第三項為21，求公 差?

Hw3.

(1).若一數列之首項 2，公差為 6，求其第七 項?

(2).一數列之第三項為 23，第五項為 27，求 公差及首項?

Ex4.

(1).數列之第五項為6，公差為3，求第十項為 何?

(2).數列之第十五項為-25，第三十二項為 -42，求第二十五項為何?

Hw4.

(1).一數列之第二十項為 32,公差為 2,求第十 項為何?

(2).等差數列第三項為 10,a₁₅=34,求 a₂₇之 值。

Ex5.設 2、5、8、...、a_n為等差數列，求第十 項為何？若a_n=50，求 n 之值。

Hw5.求等差數列 6、12、18、...之第十項及二 十一項為何？若a_n=180，求 n 之值。

Ex6.設 2a-b、4a-3b、6a-5b...為等差數列，求 第五項為何？

Hw6.求等差數列 a-3d、a-d、a+d、...的第十 五項為何？

Ex7.

(1).已知一等差數列首項為17，第十三項為 -1，求公差？

(2).等差數列第七項為21，第十四項為70，求 公差？

Hw7.

(1).已知一等差數列首項為 42，第十一項為 12，求公差？

(2).等差數列第十項為 3，第十五項為-7，求 公差？

3 等差中項

n 等差中項：如果a、b、c 三數成等差數列，

則b 稱為 a 與 c 的等差中項，b 也是 a 與 c 的算術平均數。

等差數列a、b、c 中 公差 d=b-a=c-b

2b=a+c b=a+c

2

【說明】等差數列4、7、10、13、16、19……

中

7 是 4 和 10 的等差中項。

10 是 7 和 13 的等差中項。

10 也是是 4 和 16 的等差中項。

範 例 講 解 Ex8.

(1).試求4與7之等差中項？

(2).8與x之等差中項為12，求x之值。

(3). (a+b)²與(a-b)²之等差中項為何？

Hw8.

(1).試求 x²+1 與 x²-1 之等差中項？

(2). 7 與 x+3 等差中項為 9 求 x 之值。

(3). m-n 與 m+n 之等差中項為何？

Ex9.

(1).設9x+7、7x+1、3x-4為等差數列求x之值。

(2).設兩數之積為48，其等差中項為7，求此 兩數？

Hw9.

(1).設 a+1、3a-2、2a+3 為等差數列，求 a 之值。

(2).若兩數差為 6，等差中項為 6，求此兩數？

Ex10.已知 a 、8、 b 三數成等差數列，且 2a-3b=-38，求 a、b 的值。

Hw10.若 a、b 兩數的等差中項為 9，且 3a+b 與 a-b 的等差中項為 14，求 a、b 的值。

Ex11.設二數 x、y 之等差中項為 4，且 2x-y 與 x+2y 之等差中項為9，試求 x、y 之值。

Hw11.x-3 與 2x+4 之等差中項為 13，求 x 之值。

綜 合 應 用

Ex12.試從 5、13、17、21、29、41 中選出三個 數(不重複)，將選出的三個數由小到大排成 一等差數列。

Hw12.下列數線中的四數，何者可為等差數列？

(A) (B)

(C) (D)

Ex13.f(x)=3x-2，問 f(1)、f(2)、……、f(8)是否為 等差數列？公差為何？

Hw13.f(x)=5x+1，則 f(1)、f(3)、f(5)、...、f(19) 是否為等差數列？公差為何？

Ex14.等差數列-23、-20、-17、……

(1).求第n項為何？

(2).問第幾項始為正數？

Hw14.一等差數列第 n 項為-2n+31，此數列之第 幾項始為負？

70，第 2 項為 6，那麼第 9 項與第 30 項之 和為何？

16，第五項與第九項之和為 12，求其首項、

公差及第16 項？

Ex16.三數成等差數列，其和為 15，其積 150，

求此三數？

Hw16.設四數成等差數列，其和為 20，首項和末 項之積為16，求此四數?

Ex17.直角三角形之邊長成等差數列，公差為 2，

試求此邊長？

Hw17.三角形之內角成等差數列最小角為 15^。， 則最大角為何？

Ex18.f(x)=2x-1，且 f(2)、f(a)、f(b)、f(8)為等差 數列，求a、b 之等差中項為何？

Hw18.a、b、6、c、d、30 為等差數列，a、x、

c、y 亦為等差數列，求 b-d+x-y 之值。

Ex19.在 24 與-8 間插入 m 個數，使成一等差數 列，已知插入之第三數為16，求 m 之值。

Hw19.若在-50 至 70 之間插入 23 個數，使其為 等差數列，則第11 個數為何？

Ex20.喬巴練習長跑，他計畫星期一跑 1200 公尺, 以後每天增加某相同的距離，星期六跑 3000 公尺，請問這六天喬巴每天各跑多少公尺？

Hw20.糖罐中原有 38 顆糖，姊姊一次放兩包糖進 去，放了五次後，糖罐中共有 228 顆糖，

若每包糖的顆數都是一樣的，則當姊姊第三 次放完糖，糖罐中一共有幾顆糖？

Ex21.小華在 7 月 1 日存 14 元，以後每隔一天存 14 元，問其存款於幾月幾日超過 205 元？

Ex21.虹君下定決心每天運動，第一週每天運動 10 分鐘，以後每一週都比前一週多運動 10 分鐘，則她到第幾週時，每天運動 1 小時 10 分？

Ex22.如圖每個方格中都可填入 一個數，若要使每一直行或 橫列的五個數都成等差數 列，且每一直行的公差都是 a，每一橫列的公差都是 b，

試求 a＋b＋m＋n＝？

Hw22.幼稚園的小朋友，如圖圍坐一圈，繞著老 師數數，甲說：「2」，乙說：

「4」，按順時針方向前進，

周而復始，老師說：「誰數 到 60，就發 3 顆糖果」，請 問誰會是得到糖果的幸運兒？

Ex23.臺南市計程車費率起跳 60 元，每跳一次表 加 5 元。若邱老師從臺南車站搭乘計程車回 家，下車時一共跳了 18 次表（起跳不算），

則邱老師共要付多少元的車資？

Hw23.有一隻青蛙在數線上坐標為－2 的 D 點向 右跳，每次跳的距離都相等，且方向不變，

當牠跳第 18 次時，落到坐標為 70 的 E 點，當牠跳第 21 次時，落到 F 點，則 F 點 的坐標為何？