三、試求出下列級數之值

110 學年度普通型高級中等學校數學科能力競賽試題 第 5 區(屏東高中) 筆試(二) 編號：

注意事項 :

(6) 時間分配: 1 小時。

(7) 本試卷共4題，滿分21分。第一題5分，第二題5分，第三題5分，第四題6分。

(8) 將計算、證明過程依序寫在答案卷上。

(9) 不可使用電算器。

(10)試題與答案一同繳回。

一、設𝒙𝒙、𝒚𝒚與𝒛𝒛皆為質數，試求出所有滿足下列方程式的序對(𝒙𝒙, 𝒚𝒚, 𝒛𝒛)：

𝒙𝒙^𝒚𝒚− 𝒛𝒛 = 𝟏𝟏，𝒛𝒛 ≤ 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟐𝟐𝟏𝟏。

二、給定 30 個互不相等的正整數，這些數字均小於或等於 155。試證明這些數字兩兩 相減(大數減小數)所得的差之中，至少有四個相等。

三、試求出下列級數之值：

� (−𝟏𝟏)^𝒏𝒏

𝟐𝟐𝟎𝟎𝟐𝟐𝟏𝟏 𝒏𝒏=𝟏𝟏

𝒏𝒏^𝟐𝟐+ 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏 𝒏𝒏!

四、已知𝒎𝒎為實數，考慮圓系𝑨𝑨: 𝒙𝒙^𝟐𝟐 + 𝒚𝒚^𝟐𝟐 + 𝟐𝟐(𝒎𝒎 − 𝟏𝟏)𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝒎𝒎𝒚𝒚 + 𝟑𝟑𝒎𝒎^𝟐𝟐− 𝟐𝟐 = 𝟎𝟎。

(1) 上列所表實圓最大面積 = ，此時 𝒎𝒎 = 。 (2) 上列所表圓截𝒙𝒙軸所得最大弦長 = 。

110 學年度普通型高級中等學校數學科能力競賽試題 第 5 區(屏東高中) 筆試(二) 編號：

注意事項 :

本試卷共4題，滿分21分。第一題5分，第二題5分，第三題5分，第四題6分。

一、設𝒙𝒙、𝒚𝒚與𝒛𝒛皆為質數，試求出所有滿足下列方程式的序對(𝒙𝒙, 𝒚𝒚, 𝒛𝒛)：

𝒙𝒙^𝒚𝒚− 𝒛𝒛 = 𝟏𝟏，𝒛𝒛 ≤ 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟐𝟐𝟏𝟏。

[參考解答]

因為

^x

−1 = ^z

x ^, y > ¹

所以

^{x − 1}

x

− 1

x = 2

x

− 1

因為

²

− ¹ = z ≤ ²⁰²¹

2

− 1 ≤ 2021

y = 2 , 3 , 5 , 7

z

( x , y , z ) = ( 2 , 2 , 3 ), ( 2 , 3 , 7 ), ( 2 , 5 , 31 ), ( 2 , 7 , 127 )

二、給定 30 個互不相等的正整數，這些數字均小於或等於 155。試證明這些數字兩兩 相減(大數減小數)所得的差之中，至少有四個相等。

[參考解答]

將 30 個正整數由小到大排列，記為𝑎𝑎₁, 𝑎𝑎₂, … … , 𝑎𝑎₃₀。

若命題不成立，則𝑎𝑎₃₀− 𝑎𝑎₂₉, 𝑎𝑎₂₉ − 𝑎𝑎₂₈, … … , 𝑎𝑎₂− 𝑎𝑎₁共 29 個數之中，沒有四個相等。

可知1,2, … … ,9至多出現三次，而 10 至多出現兩次。

由154 ≥ 𝑎𝑎₃₀− 𝑎𝑎₁ = (𝑎𝑎₃₀− 𝑎𝑎₂₉) + (𝑎𝑎₂₉ − 𝑎𝑎₂₈) + ⋯ + (𝑎𝑎₂− 𝑎𝑎₁) ≥ 3(1 + 2 + ⋯ + 9) + 2 × 10 = 155，可得出矛盾。

三、試求出下列級數之值：

∑^{𝟐𝟐𝟎𝟎𝟐𝟐𝟏𝟏}_{𝒏𝒏=𝟏𝟏} (−𝟏𝟏)^{𝒏𝒏𝒏𝒏𝟐𝟐+𝒏𝒏+𝟏𝟏}_𝒏𝒏! . [參考解答]

� (−1)^𝑛𝑛

2021 𝑛𝑛=1

𝑛𝑛² + 𝑛𝑛 + 1

𝑛𝑛! = � (−1)^𝑛𝑛

2021 𝑛𝑛=1

� 𝑛𝑛 (𝑛𝑛 − 1)! +

𝑛𝑛 + 1 𝑛𝑛! �

(−1) �_0!¹ +_1!²� + �_1!² +_2!³� − �_2!³ +_3!⁴� + ⋯ + (−1) �_2020!²⁰²¹+_2021!²⁰²²�

= −1 + (−1)_2021!²⁰²²

= −1 −_2021!²⁰²²

四、已知𝒎𝒎為實數，考慮圓系𝑨𝑨: 𝒙𝒙^𝟐𝟐 + 𝒚𝒚^𝟐𝟐 + 𝟐𝟐(𝒎𝒎 − 𝟏𝟏)𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝒎𝒎𝒚𝒚 + 𝟑𝟑𝒎𝒎^𝟐𝟐− 𝟐𝟐 = 𝟎𝟎。

(1) 上列所表實圓最大面積 = ，此時 𝒎𝒎 = 。 (2) 上列所表圓截𝒙𝒙軸所得最大弦長 = 。

[參考解答] (1) 實圓最大面積 = 4𝜋𝜋，此時 𝑚𝑚 = −1 (2) 最大弦長= √14

(1) 圓𝐴𝐴之半徑 𝑟𝑟 =

¹ ₂

所以 𝑟𝑟 之最大值 = 2，實圓最大面積 = 𝜋𝜋 ⋅ 2² = 4𝜋𝜋，此時 𝑚𝑚 = −1 (2) 令 𝑦𝑦 = 0，𝑥𝑥²+ 2(𝑚𝑚 − 1)𝑥𝑥 + 3𝑚𝑚²− 2 = 0 二根為 𝑥𝑥₁、𝑥𝑥₂ 得知

� 𝑥𝑥₁+ 𝑥𝑥₂ = −2(𝑚𝑚 − 1) 𝑥𝑥₁𝑥𝑥₂ = 3𝑚𝑚²− 2

△= (𝑚𝑚 − 1)²− 3𝑚𝑚²+ 2 > 0 設所截弦長 ≡ 𝐴𝐴𝑃𝑃���� = |𝑥𝑥₁ − 𝑥𝑥₂|，則 𝐴𝐴𝑃𝑃����² = (𝑥𝑥₁− 𝑥𝑥₂)² = (𝑥𝑥₁+ 𝑥𝑥₂)²− 4𝑥𝑥₁𝑥𝑥₂ = 4(𝑚𝑚 − 1)²− 4(3𝑚𝑚²− 2)

= −8 �𝑚𝑚 +¹₂�²+ 14 ≤ 14 所以 𝐴𝐴𝑃𝑃���� 之最大值 = √14