數學(S)卷 102-3-S

102-3共同科目 數學(S)卷

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102 學年四技二專第三次聯合模擬考試 共同科目 數學(S)卷 詳解

數學(S)卷 102-3-S

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C A A B A B D D A B C D D C B A B C D D C B A B C

1. 圖示⇒PR_：RQ=2_：3_{且 − −}P R Q順序

2( 10) 3(10) 10 2 3 5 2

− +

= = =

x +

2( 20) 3(20) 20 2 3 5 4

− +

= = =

y + ⇒ R(2 , 4)

2 2

(2 1) [4 ( 1)] 1 25 26

= − + − − = + =

RS

2. 令x+1=0⇒ = −x 1

31 20 7

1 ( 1) 5( 1) 4( 1) 3( 1) 2

⇒r =a= f − = − + − + − + 5 4 3 2 2

= − + − + = − 再令x−8=0⇒x=8

2

2 17 9 7 10 8 16 8 8 8 16

2 1 1 1 2 16 0 16

− + − − +

⇓ + − + + −

− + + − + − = = ⇒ =

k

k r k

2 16 14 + = − + = a k

3. 圖示：L1：x+2y=10⇒ x 0 10

y 5 0

2：4 + =12⇒

L x y x 0 3

y 12 0 L1、L2解聯立方程式得 C 點坐標為 (2 , 4)

其中可行解區域中 (0 , 5)

A 、 (3 , 0)B 、 (2 , 4)C 、 (0 , 0)O ( , )=2 − +8

f x y x y ⇒ f(0 , 5)=2(0) 5 8− + =3=m (2 , 4)=2(2)−4 8+ =8

f

(3 , 0)=2(3) 0 8− + =14=

f M

(0 , 0)=2(0) 0 8− + =8 f

故M +m=14 3 17+ =

4. eq：(k+3)x²+(k+4)x+2=0有實根

2 4 0

b ac

⇒判別式 − ≥

(k+4)2−4(k+3)(2)≥0

2 8 16 8 24 0

k k k

⇒ + + − − ≥

2 8 0 ( 8)( 8) 0

k − ≥ ⇒ k− k+ ≥ 8

⇒k≤ − 或k ≥ 8，且k ≠ −3 5. ∵1

2、 x 、 y 、32 成 G.P.

令 1

1 2

a = 、a2 =x、a3 =y、a4 =32

∴ 4 1 ^{3 3 3 3}

32 1 64 4 4

a =a r ⇒ =2r ⇒r = = ⇒ = r

2 2

3 1

1 1

( )(4) 16 8

2 2

= = = × = =

a a r y

2 1

1(4) 2 2

= = = =

a x a r 故y−x=8 2− =6

6. ₁ 180

2 2 2 1 2 2 57.3 114.6

θ

π

= = 弳= × 弳= × °≒ × ° = °

1− 2≒114.6° − −( 20 )° =134.6° ∈Ⅱ θ θ

7. ∵

sin 0 tan 3 0

4

 < ⇒ ∈



= − < ⇒ ∈



Ⅲ或Ⅳ

Ⅱ Ⅳ或

θ θ

θ θ ^{，∴ ∈ Ⅳ}

θ

圖示： ∈ Ⅳθ _時之tan ³ 4 θ = −

2 2

( 3) 4 5

⇒ =r − + = cos 4

5

⇒ θ =

1 5

sec cos 4

= =

θ θ

4 5

5 cos 6sec 5( ) 6( )

5 4

⇒ θ− θ= −

15 8 15 7

4 2 2 2

= − = − = −

8. _{2 2} 1

(2 , log sin 30 ) (2 , log ) (2 , 1) 2

= ° = = −

∵ ⊥ _{，∴ 0}

(2 , 1) ( 2 , )4 0

⇒ − ⋅ − _k = ⇒2( 2 ) ( 1)− ⁴ + − ⋅_k=0

∴k= −2⁵

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9. =(99 ,−99)+ −( 100 , 100)= −( 1 , 1) 的單位向量=

2 2

( 1 , 1) ( 1) (1)

= −

− +

( 1 , 1) 1 1

( , )

2 2 2

− −

= =

10. _a=7 7 log 7+ − ₇ ²−32=14 2 32− − = −20

2

10 10

log 100 log 10 2

= = =

b

2 20 2(2) 16

+ = − + = −

a b

11. 對數函數有意義時，必過(1 , 0) 故f x( )與g x( )僅有一個交點 12. 圓的標準式^⇒(_x−_h)²+(_y−_k)²=_r²

圓的一般式^⇒_x²+_y²+_dx+_ey+ _f =0 且_d²+_e²−4_f >0

∵(x+2)²+y²−4y−21=0

2 2

( 2) ( 2) 25

⇒ _x+ + _y− = _{的圖形為圓形} 13. 圖示：

SSA型⇒_正弦，∵

sin sin a = c

A C

3 sin 20 sin 60 2 1

sin 20 3 3 2

× × °

=^{c A}= = =

C a

sin 30

= °_或sin150°

(sin150°不合，∵ c a< ，∴ C∠ < ∠A₎ 故取∠_C=30° ⇒ ∠ =_B 180° −30° −60° =90°

1 1

sin 20 20 3 sin 90

2 2

∆_ABC= _{ca B}= × × × °

10 20 3 1 200 3

= × × = _{(平方單位)}

14. 圖示：

∵_OA=200_m，OB=100_m 且∠_AOB=37° +23° =60°

∴_AB² =_OA²+_OB²−2_{OA OB}⋅ cos(∠_AOB)

2 2

(200) (100) 2(200)(100) cos 60

= + − °

40000 10000 20000 30000 3 (100)2

= + − = = ×

且_AB>0_，取AB=100 3_m 15. 圖示：

∵_L2 ⊥_L1_，∴設

2 4 3 0

L _： x− y+k= _……(甲)

∵L2過 (sin , cos ) (sin 30 , cos 60 )

6 3

= ° °

P π π P

( , )1 1 2 2

=_{P 代入(甲)}

∴ 1 1

4( ) 3( ) 0

2 2

⇒ − +_k= 3 4 1

2 2 2

⇒_k= − = − _代入(甲)

2

4 3 1 0

2

⇒_{L ： x}− _y− = ⇒₈x−₆y−₁=₀ 16. deg ( )_{f x} =5_，deg ( )_{g x} =95

deg[ ( ) ( )] 5 95 100

⇒ _{f x} ⋅_{g x} = + =

17. 當0° <θ<90°_時，僅cosθ為遞減函數

18.

1 1 1 1 2 3 1

( , )(2 , 3) 2 ( 3)

2 2 2 2 2 2

− = × + − = − = −

19. ∵ 1 ⁵ ( ) 10

5

< −

n 1 5

log( ) log10 5

⇒ ⁿ < −

log 5⁻ log10⁻5

⇒ ⁿ < ⇒ −_nlog 5< −5

∴ 5 5

log 5 0.6990 7.15

> = _≒

n ，故取_n=8∈_Z

20. 由圓 C 可得圓心_O(3 ,−4)_，半徑r= 36=6

2 2

3(3) 4( 4) 8 3 4 + − −

=

+ d

9 16 8 15

5 5 3

− −

= = =

2 2 2 2

2 2 6 3

= − = −

PQ r d

2 36 9 2 27 6 3

= − = =

21. ABC∆ _中，令a=BC=5 3_、b= AC=9 3 60

C π

∠ = = °

∆ABC_之面積 1

sin 5 3 9 sin 60

2 2

= _{ab C}=1× × × °

1 3 135

5 3 9 ( )

2 2 4

= × × × = _平方單位

22. L_{與 AB 相交，即有}A_、B_{在直線上或}L_{之異側二種}

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情況，如圖示：

8 8 0

⇒y=mx+ ⇒mx−y+ = (2 4 8)( 2 8) 0

⇒ m− + −m− + ≤ (2 4)( m 6) 0

⇒ m+ − + ≤

(2 4)( 6) 0

⇒ − m+ m− ≤ (2 4)( 6) 0

⇒ m+ m− ≥

⇒

故m≤ −2_或m≥6 23. 圖示：

指數函數必過(0 , 1)

24. 原式 sin cot csc

( ) ( ) ( ) 1 1 1 1

sin cot csc

= − + + = + − =

− −

θ θ θ

θ θ θ

25. 令L1_：3x+4y=12

⇒ ^{x 0 4 ……}

y 3 0 ……

(實) 令L_2：2x−3y=6

⇒ ^{x 0 3 ……}

y −2 _{0 ……}

(虛)