、 D 兩點之中點，E 點為 C 、 F 兩點之中點。

110 學年度新北市(新店高中)

普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽 數學科筆試（一）試題

編號：___________（學生自填）

注意事項：

1. 本試卷共三題計算證明題，滿分為 49 分。

2. 考試時間：2 小時。

3. 試題及計算紙必須連同答案卷交回。

4. 將演算過程依序填寫在答案卷內。

問題一：一直線上相異 6 點 A

、 B 、 C 、 D 、 E 、 F(如圖)，其中 B 點

為 A

、 D 兩點之中點，E 點為 C 、 F 兩點之中點。

已知 𝐵𝐵𝐵𝐵 ∙ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐵𝐵²，試證 𝐴𝐴𝐴𝐴 ∙ 𝐷𝐷𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐵𝐵²。

問題二：給定一遞減實數列 𝑎𝑎₁ ≥ 𝑎𝑎₂ ≥ ⋯ ≥ 𝑎𝑎_𝑛𝑛 > 0，

滿足 𝑎𝑎₁+ 𝑎𝑎₂ + ⋯ + 𝑎𝑎_𝑛𝑛 < 2𝑛𝑛，𝑎𝑎₁²+ 𝑎𝑎₂² + ⋯ + 𝑎𝑎_𝑛𝑛² > 𝑛𝑛²。 證明：𝑎𝑎₁+𝑎𝑎₂ > 𝑛𝑛。

問題三：已知數列 𝑎𝑎₁ = 1, 且 3𝑎𝑎_𝑛𝑛+1 = 5𝑎𝑎_𝑛𝑛+ �9 + 16𝑎𝑎𝑛𝑛2

(a) 求 𝑎𝑎_𝑛𝑛 的一般式。

(b) 試證對於所有的正整數 n

， 滿足

∑ _𝑎𝑎¹

𝑖𝑖

𝑛𝑛𝑖𝑖=1 < ³₂。

<試題結束>

110 學年度新北市(新店高中)

普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽 數學科筆試（一）解答

問題一：(16 分)

一直線上相異 6 點 A

、 B 、 C 、 D 、 E 、 F

(如圖)，其中 B 點為 A

、 D

兩點之中點，E 點為 C

、 F 兩點之中點。已知

𝐵𝐵𝐵𝐵 ∙ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐵𝐵²，試證 𝐴𝐴𝐴𝐴 ∙ 𝐷𝐷𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐵𝐵²。

【參考解答】

以 B 為圓心，𝐴𝐴𝐵𝐵����為半徑做圓 B。

以 E 為圓心，𝐴𝐴𝐵𝐵����為半徑做圓 E。

設圓 B 與圓 E 交於 G，

= 2 BC BF BG ⋅

 　 　

， 由圓冪定理知 BG

為圓 E 之切線，

故 BG ⊥

GE

( )

( )

2 2

2 2

2 2

2 2 2

EF EG

BE BG

BD DE BD BD DE DE DE BD DE

DE AE

⇒ =

= −

= + −

= ⋅ +

= +

= ⋅ 　　　　 　　　　

　　　　 　

　　　　 　　　　

問題二：(16 分)

給定一遞減實數列 𝑎𝑎₁ ≥ 𝑎𝑎₂ ≥ ⋯ ≥ 𝑎𝑎_𝑛𝑛 > 0，滿足 𝑎𝑎₁+ 𝑎𝑎₂ + ⋯ + 𝑎𝑎_𝑛𝑛 < 2𝑛𝑛 ，𝑎𝑎₁²+ 𝑎𝑎₂²+ ⋯ + 𝑎𝑎_𝑛𝑛² > 𝑛𝑛²。證明：𝑎𝑎₁+𝑎𝑎₂ > 𝑛𝑛。

【參考解答】

由 (𝑎𝑎₁+ 𝑎𝑎₂+ ⋯ + 𝑎𝑎_𝑛𝑛)² ≥ ∑^𝑛𝑛_𝑖𝑖=1𝑎𝑎_𝑖𝑖² > 𝑛𝑛²。 得到 𝑎𝑎₁+ 𝑎𝑎₂ + ⋯ + 𝑎𝑎_𝑛𝑛 > 𝑛𝑛 。

假設 𝑎𝑎₁ ≥ 𝑛𝑛 馬上有 𝒂𝒂_𝟏𝟏+𝒂𝒂_𝟐𝟐 > 𝒏𝒏

否則存在 k ≥ 1, δ > 0 使得：𝑎𝑎₁+ 𝑎𝑎₂ + ⋯ + 𝑎𝑎_𝑘𝑘 + 𝛿𝛿 = 𝑛𝑛。

據此和 𝑎𝑎₁+ 𝑎𝑎₂+ ⋯ + 𝑎𝑎_𝑛𝑛 < 2𝑛𝑛 得到𝑎𝑎_𝑘𝑘+1+ 𝑎𝑎_𝑘𝑘+2 + ⋯ + 𝑎𝑎_𝑛𝑛− 𝛿𝛿 < 𝑛𝑛 。

𝑛𝑛² < 𝑎𝑎₁²+ 𝑎𝑎₂²+ ⋯ + 𝑎𝑎_𝑛𝑛²

= 𝑎𝑎₁²+ 𝑎𝑎₂²+ ⋯ + 𝑎𝑎_𝑘𝑘²+ 𝑎𝑎_𝑘𝑘+1𝛿𝛿 + 𝑎𝑎_𝑘𝑘+1(𝑎𝑎_𝑘𝑘+1− 𝛿𝛿) + 𝑎𝑎_𝑘𝑘+2² + ⋯ + 𝑎𝑎_𝑛𝑛²

≤ 𝑎𝑎₁(𝑎𝑎₁+ 𝑎𝑎₂+ ⋯ + 𝑎𝑎_𝑘𝑘 + 𝛿𝛿) + 𝑎𝑎_𝑘𝑘+1(𝑎𝑎_𝑘𝑘+1+ 𝑎𝑎_𝑘𝑘+2 + ⋯ + 𝑎𝑎_𝑛𝑛− 𝛿𝛿) <n𝑎𝑎₁ + 𝑛𝑛𝑎𝑎_𝑘𝑘+1 ≤ 𝑛𝑛𝑎𝑎₁+ 𝑛𝑛𝑎𝑎₂。得證。

問題三：(17 分)

已知數列 𝑎𝑎₁ = 1, 且 3𝑎𝑎_𝑛𝑛+1 = 5𝑎𝑎_𝑛𝑛 + �9 + 16𝑎𝑎𝑛𝑛2

(a) 求 𝑎𝑎_𝑛𝑛 的一般式。

(b) 試證對於所有的正整數 n

，

滿足∑ _𝑎𝑎¹

𝑖𝑖

𝑛𝑛𝑖𝑖=1 < ³₂。

【參考解答】

(a) 原式化簡成 ²₁ ² 10 ₁ 3 1

n n n n

a

₊ −

a

−

a a

₊ = 。 且 ^{2 2}₁ 10 ₁

3 1

n n n n

a

−

a

₋ −

a a

₋ = 。

兩式相減得 _{1 1 1} 10 ₁

( )( ) 0

n n n 3 n n

a

₊ −

a

₋

a

₊ −

a

+

a

₋ =

又因為遞增，所以 ₁ 10 ₁

3 0

n n n

a

₊ −

a

+

a

₋ = 為齊次差分方程。

由特徵根 3，1

3 與 _{1 2} 10 1, 3

a

=

a

= ，解得 8 1 (3 ( ) )

3 3

n n

a

n = − 。 (b) 因為

1 1 1 1

1

8 1 8 1 8 1

(3 ( ) ) 3 (3 ( ) ) 3 (3 ( ) ) 3

3 3 3 3 3 3

n n n n n n

n n

a

= − = × ⁻ − ⁺ > × ⁻ − ⁻ =

a

₋ 所以

1

1 1

n 3 n

a

<

a

₋ 。因此

1

1 1 1 1

1 1 1 1 1 3

( ) ( )

3 3 2

n

i i

n

i i i i i i i

S a a a

∞ ∞ ∞

−

= = = =

≡ ∑ ∑ ∑ < < < ∑ =