高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：93.01.02 班級
範
圍 4-2 圓與直線+ANS 座號
姓 名 一、複選題 (共 8 分)
1. 設x2 + y2 − 4x + ky + 5 = 0 之圖形為一圓C，且點(k，k − 3)在圓C之外部，則實數k可為(A)
− 3 (B) − 1 (C) 1 (D) 3 (E) 5。
Ans： (A)(D)(E) 解析：
x2 + y2 − 4x + ky + 5 = 0⇒ (x − 2)2 + (y + 2
k )2 = − 5 + 4 + 4 k =2
4
k − 1 為一圓 2
∴ 4
k − 1 > 0 ⇒ k2 2 − 4 > 0 ⇒ (k + 2)(k − 2) > 0 ⇒ k > 2 或k < − 2……c 又點(k，k − 3)在圓之外部， k2 + (k − 3)2 − 4k + k(k − 3) + 5 > 0 ⇒ 3k2 − 13k + 14 > 0 ⇒ (3k − 7)(k − 2) > 0 ⇒ k >
3
7或k < 2……d 由cd得k >
3
7或k < − 2 ∴ k可為 − 3，3 或 5，選(A)(D)(E)
二、 填充題 (共 10 分)
1. 兩圓C1：x2 + y2 + 6y − 28 = 0，C2：x2 + y2 + 6x − 4 = 0 相交於A，B兩點，則 AB 方程式為 。
Ans： x − y + 4 = 0 解析： 圓系⇒HJJGAB
：(x2 + y2 + 6x − 4) − (x2 + y2 + 6y − 28) = 0 ⇒ AB ：x − y + 4 = 0
2. 點(6，3)至圓x2 + y2 − 4x + 2y + 3 = 0 的最短距離d，最長距離D，則(d，D) = ____ 。 Ans： (3 2 ，5 2 )
解析：
x2 + y2 − 4x + 2y + 3 = 0 ⇒ (x − 2)2 + (y + 1)2 = 2，
圓心A(2，− 1)，半徑r = 2 。
設P(6，3) ∴ 62 + 32 − 24 + 6 + 3 > 0 ∴ P點在圓外
∴ d =PA− r = 16+16− 2 = 4 2 − 2 = 3 2 D =PA+ r = 4 2 + 2 = 5 2
3. 圓x2 + y2 − 6x + 8y = 0 上任一點P到直線 4x + 3y = 30 的距離最 大值 = ，此時P點的坐標為 。
Ans： 11，( − 1，− 7) 解析：
(1)圓x2 + y2 − 6x + 8y = 0 ⇒ (x − 3)2 + (y + 4)2 = 52
圓心A(3 ，− 4)，半徑 5， P點到直線L：4x + 3y = 30 的最大距離
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= d(A，L) + r = 5 11 5
5 30 3
4
| 30 12 12
|
2
2 + = + =
+
−
−
(2)
(Sol一)設P(3 4 ,+ t − +4 3 )t ，代入x2 + y2 − 6x + 8y = 0
(Sol二)過A(3，− 4)，作L：4x + 3y = 30 的垂直線L′：3x − 4y = 25，
L與L′交點Q
2 2
(3 4 ) ( 4 3 ) 6(3 4 ) 8( 4 3 ) 0 1 1 ( 1, 7 )
t t t t t
t P
+ + − + − + + − + = ⇒ =
= ± ⇒ − −
2
5) 2 5
(39，− ，因AP=5 ， AQ=6，
設P(a，b)，則由分點公式得(3，− 4) = )
6 5
2 6 6 5
39 (6
+
− +
+ b
a ，
⇒ (a，b) = ( − 1，− 7)
⎩⎨
⎧
−
=
−
= +
44 2
6
33 39 6
b a
4. 直線 3x − 4y = k與圓x2 + y2 + 4x − 6y − 12 = 0 交於A、B兩點，若AB= 6，則k之值為
。
Ans： k = 2 或 − 38 解析：
圓x2 + y2 + 4x − 6y − 12 = 0 ⇒ (x + 2)2 + (y − 3)2 = 52 圓心P( − 2，3)，半徑r = 5。
過P作直線 3x − 4y = k的垂直線垂足M，則M為AB中點
∴ AM = 3，又PA= r = 5 ∴ PM = 4
∴ d(P，AB) =
16 9
| 12 6
|
+
−
−
− k = 4⇒ k + 18 = ± 20 ，∴ k = 2 或 − 38
5. 若圓x2 + y2 − 6x + ky + ℓ = 0 切直線 3x − 4y = 8 於點(4，1)，則 2k + ℓ的值為 。 Ans：3
7
解析：
圓x2 + y2 − 6x + ky + ℓ = 0 切直線 3x − 4y = 8 於點 (4，1)，
故圓在點(4，1)的切線方程式 4x + y − 6． + + + +A 2 1 2
4 k
k k = 0
⇒ 2x + (2 + k)y + k + 2 − 24 = 0，此即為 3x − 4y − 8 = 0
∴ 8
24 2 4
2 3 2
−
−
= +
−
= +k k A 解得k = 3
−14，ℓ = 3
35，所求 2k + ℓ =
3 7 3 35 3
28+ =
−
6. 過點A(1，1)，作直線L與圓C：x2 + y2 − 2x + 6y + 1 = 0 交於P，Q兩點，則AP ．AQ之積 為 。
Ans： 7 解析：
點A在圓C之外部；圓C的圓心為B(1，− 3)，半徑r = 3，
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外冪性質：AP ．AQ=(切線段長)2=( 12+ − × + × +12 2 1 6 1 1)2 = 7
7. 設k ∈ R，已知點P(− 1，7)在C：x2 + y2 + kx + (k − 2)y − 12 = 0 上，則圓C過P點的切線方 程式為 。
Ans： 3x − 4y + 31 = 0 解析：
點P(− 1，7)在圓C：x2+y2 + kx + (k − 2)y − 12 = 0 上
⇒ 12 + 72 − k + 7k − 14 − 12 = 0 ⇒ k = − 4， 圓C：x2 + y2 − 4x − 6y − 12 = 0。
代入切線方程式：− x + 7y − 2
4(x − 1) − 2
6(y + 7) − 12 = 0
⇒ − x + 7y − 2x + 2 − 3y − 21 − 12 = 0⇒ 3x − 4y + 31 = 0
8. (1)設有一圓C：x2 + y2 − 4x − 4y − 2 = 0，A(1，5)，過A之切線方程式為 。 (2) B( − 1，− 5)，過圓C之二切線，切點為P，Q，則直線PQ之方程式為 。 (3)UBPQ之外接圓為x2 + y2 + ax + by + c = 0，則序組(a，b，c) = 。
Ans： (1) x − 3y + 14 = 0 (2) 3x + 7y − 10 = 0 (3)( − 1，3，− 12) 解析：
(1) A ∈ C ⇒ 切線為 1．x + 5．y − 4．
2 +5
x − 4．
2 +5
y − 2 = 0 ⇒ − x + 3y − 14 = 0 ⇒ x − 3y + 14 = 0
(2) B ∈ C之外部⇒切點弦PQ所在之直線為 − 1．x − 5．y − 4．
2
−1
x − 4．
2
−5
y − 2 = 0 ⇒ − 3x − 7x + 10 = 0 ⇒ 3x + 7y − 10 = 0
(3)所求為以 OB 為直徑的圓，其中O為圓C之圓心，
(x − 2)(x + 1) + (y − 2)(y + 5) = 0 ⇒ x2 + y2 − x + 3y − 12 = 0 ⇒ (a，b，c) = (− 1，3，− 12)
9. 一圓C過點(2，1)且與兩坐標軸均相切，則圓C的方程式為 。（有二解）
Ans： (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1 或 (x − 5)2 + (y − 5)2 = 25 解析：
圓C過點(2，1)且與x軸，y軸均相切⇒圓心必在第一象限內且與x軸，y軸等距。
設圓心(a，a)，半徑a，則圓的方程式為：(x − a)2 + (y − a)2 = a2。
過點(2，1) ⇒ (2 − a)2 + (1 − a)2 = a2 ⇒ a2 − 6a + 5 = 0 ⇒ a = 1 或a = 5。
故圓的方程式為(x − 1)2 + (y − 1)2 = 1 或 (x − 5)2 + (y − 5)2 = 25
10. 求直線x + 2y − 3 = 0 垂直且與圓x2 + y2 − 2x + 2y + 1 = 0 相切的直線方程式 。 Ans： 2x − y − 3 + 5 = 0 或 2x − y − 3 − 5 = 0
解析：
設切線方程式為 2x − y + k = 0，圓：x2 + y2 − 2x + 2y + 1 = 0
⇒ (x − 1)2 + (y + 1)2 = 1，圓心(1，− 1)，半徑 = 1
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⇒
2
2 1
2
| ) 1 ( 2
|
+ +
−
− k = 1 ⇒ | 3 + k | = 5 ⇒ k = − 3± 5
∴ 切線方程式為 2x − y − 3 + 5 = 0 或 2x − y − 3 − 5 = 0
11. 已知圓C：x2 + y2 + 4x − 6y + 11 = 0 與直線x + y + k = 0 相切，則k = 。 Ans： 1 或 − 3
解析：
圓C：x2 + y2 + 4x − 6y + 11 = 0 ⇒ (x + 2)2 + (y − 3)2 = 2，與直線x + y + k = 0 相切
∴ 2
1 1
| 3 2
|
2
2 =
+ + +
− k
⇒ |1 + k| = 2 ⇒ 1 + 2k + k2 = 4 ⇒ k2 + 2 − 3 = 0
⇒ (k − 1)(k + 3) = 0，∴ k = 1 或 − 3
12. 求點P(2，− 5)到圓C：x2 + y2 + 2x + 3y − 4 = 0 所作切線段的長為 。 Ans： 14
代入切線長公式切線段長 = 22 +(−5)2 +2(2)+3(−5)−4 = 14
13. 試求通過x2 + y2 + 2x − 4y + 1 = 0 與直線 2x − y + 4 = 0 的交點，且切於x軸的圓方程式：
。（兩解）
Ans： x2 + y2 + 2x − 4y + 1 = 0 或x2 + y2 + 6x − 6y + 9 = 0 解析：
設過圓與直線的圓為x2 + y2 + 2x − 4y + 1 + α (2x − y + 4) = 0，(圓系)
切於x軸 代入 恰有一解
α = 0 或 2
∴ x
y 0
⇒ = x2+2x+ + α1 (2x+4)= ⇒0 x2+ α +(2 2)x+ α + =(4 1) 0 0 (2 2)2 4 1 (4 1) 0
D= ⇒ α + − × × α + = ⇒
2 + y2 + 2x − 4y + 1 = 0 或x2 + y2 + 6x − 6y + 9 = 0
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