單元

單元 3 平面上的比例 二年____班 座號：____ 姓名：

重點 1：相似形

1.兩個三角形為相似三角形的判定方式有：

(1) AAA相似 (2) AA相似 (3) SAS相似 (4) SSS相似 2.兩個相似多邊形有以下的性質：

(1)對應角相等 (2)對應邊長成比例

(3)面積比等於對應邊長平方邊長平方邊長平方邊長平方的比 3. A系列紙張規格：

規格的設計原理：將長邊對摺成兩半後，依然維持相同的長寬比

紙張裁切法：兩張 A4 紙可以合併印成一張 A3，或是合併縮印成一張 A4

例 1.1：一矩形的長邊與短邊分別為 15 公分和 10 公分，試問：此矩形與下列哪一個矩形相似？

(1)長邊與短邊分別為 5 公分和 3 公分的矩形 (2)長邊與短邊分別為 9 公分和 8 公分的矩形 (3)長邊與短邊分別為 8 公分和 6 公分的矩形 (4)長邊與短邊分別為 6 公分和 4 公分的矩形

Ex1.1：下列哪些選項的三角形與右圖的三角形相似？

(1)邊長為 6、8、10 (2)邊長為 6、9、12 (3)邊長為 7、7、7 (4)邊長為 2、3、4

Ex1.11：下列哪一個選項正確？

(1)任意兩菱形必相似 (2)任意兩長方形必相似

(3)任意兩等腰梯形必相似 (4)任意兩等腰直角三角形必相似

例 1.2：將矩形 ABCD 用影印機縮小為原來的 60%，得縮小後的矩形A′B′C′D′。選出所有正確的選項。

(1) AB ：A′B′＝3：5 (2)∠C＝∠C′ (3)矩形A′B′C′D′的周長是矩形 ABCD 周長的 0.6 倍 (4)矩形A′B′C′D′的面積是矩形 ABCD 面積的 0.36 倍

Ex1.2：將六邊形ABCDEF用影印機縮小為原來的95%，得縮小後的六邊形A′B′C′D′E′F′。選出所有正確的選項。

(1) AB ：A′B′＝0.95 (2) ∠C＝∠C′ (3)六邊形A′B′C′D′E′F′的周長是六邊形ABCDEF的0.95倍 (4)六邊形A′B′C′D′E′F′的內角和與六邊形ABCDEF的內角和相同

4 6

8

例1.3：已知右圖中的每個三角形都是等腰直角三角形，求紅色與綠色三角形的邊長比與面積比

Ex1.3：如右圖，設每個小正三角形皆全等，且大正三角形 ABC 與小正三角形A′B′C′相似，試求：

(1)AB AB

′

′ ＝______

(2) ∆ABC 面積是∆A′B′C′面積的_____倍

Ex1.31：已知下圖中的圓內切於大正方形，且外接於小正方形，求大正方形與小正方形的面積比

例 1.4：A 系列紙張的規格是長與寬的比值對半裁切後仍維持相同，試求此長與寬的比值

Ex1.4：已知某相片紙的長邊與短邊比為 4 : 3。今沿著長邊等分成兩張小長方形紙片，如右圖所示，

試問：大長方形與小長方形是否相似？

例 1.5：魔術師變魔術將撲克牌變成原來的一半大，這其實是使用了一種特製的撲克牌，如右圖所示：

(1)原來的撲克牌總是能分割成兩張一樣的小一號撲克牌 (2)小一號的牌與原來的牌形狀相似

試問這種魔術用的特製撲克牌之長寬比是多少呢？

A

B C

A′

B′ C′

Ex1.5：生活中常用的 A 系列的紙張也是依照這個比例來製作的。例如：如右圖，

A1 與 A2 紙張的面積比為 2：1，其邊長比為 2：1，以此類推，依此比例設計，

只要由長邊中點對裁紙張，即可得到各式的影印紙，毫不浪費 試求 A 系列紙張中 A1 與 A5 的面積比為何？

例 1.6：ISO216 訂定了影印紙的規格，標準如下表，試求 A6 影印紙的尺寸

Ex1.6：國際標準化組織中 ISO 216 規定 B 系列紙張規格為 B4 的長＝

A 4 的長 × A 3 的長

A 4 的寬 × A 3 的寬

，試求 B4 紙張長與寬的比值

例 1.7：如圖，兩路燈 AE 與 BF 高 6 公尺，距離為 AB ＝20 公尺。某人直立於 C 點，其身高

CD

(1)求光源 E 照在此人身上的影長

BC

CG

Ex1.7：如圖，有一光源 O 照在四邊形 ABCD 上，投影成四邊形A′B′C′D′，已知 A O

OA

′＝ B O

OB

′＝ C O

OC

′ ＝ D O

OD

′＝ 2 1

且四邊形 ABCD 的周長為 9，求四邊形A′B′C′D′的周長 紙張 ISO216 長寬（單位：毫米）

A2 594×420 A3 420×297 A4 297×210 A5 210×148

重點 2：單點透視法

1.意義：在描繪空間圖形的時候，常常需要在平面上平面上平面上平面上表現出空間空間空間空間的立體感。就是將立體三維空間的形象表現在二維平面上 的繪畫方法，稱為「單點透視法單點透視法單點透視法單點透視法」

2.實例：一個畫家站在筆直的鐵軌上，想將鐵軌畫在畫布上(圖1)，我們可以先想像手拿的這張畫紙是透明的，然後畫家 將實際看到的景物呈現在這張紙上(圖2)。

首先，設畫家的眼睛為一定點，畫布為一與地面垂直的平面，而視線(即眼睛與各物體的連線)與畫布的交點就是 各處應該落在畫布上的位置，如圖 3 所示，較近的地點在畫布上的位置較低，當風景愈來愈遠時，投影點會愈來 愈高，但是向上爬升的速度會愈來愈慢；當我們看向無窮遠處時，視線會是與地面平行的水平線水平線水平線 水平線

3.單點透視法一：地面上一點在畫布上離地的高度

如圖 4，畫家眼睛 O 看著鐵軌上 N 點的視線 ON 與畫布的交點 B(鐵軌上 N 點在畫布上的位置)

因∆NBC相似於∆NOP，則

BC

OP

NC

NP

4.單點透視法二：物體在畫布上的長度

畫家使用單點透視法將物體畫在畫布上，畫布側面的示意圖如右。

若設畫家的眼睛為一點 O，

MN

MN AB ＝

ON OB＝

PN PC ＝

畫家與物體的距離 畫家與畫布的距離

5.消失點(VP)：如圖 5，單點透視法中，由於人類視覺上的限制，兩條平行的鐵軌看起來 會交於很遠很遠的某一點，此點稱為消失點消失點消失點消失點

(視線與畫布的交點、原本互相平行的直線交會的點) 註：透視圖中只有一個透視消失點，因而稱之為單點透視法單點透視法單點透視法單點透視法

註：一般而言，只要是平視，而且面向物體的正面，都屬於單點透視

◎單點透視法的作圖

例 2.1：右圖是單點透視圖中的一個長方體，試畫出消失點

Ex2.1：請將圖中的正立方體 ABCDEFGH，依下圖的消失點 P 畫出對應的單點透視圖

圖 5

消失點

圖 1 圖 2 圖 3 圖 4

消失點

• P

A B

C D

E 作正方形 ABCD 的各頂點與消失點 P 的線段 過 E 點作平行 AB 的直線使交 BP 於 F 點 以 EF 為邊作正方形 EFGH

Ex2.11：請將圖中的正立方體 ABCDEFGH，依下圖的消失點 K 畫出對應的單點透視圖

Ex2.12：試畫出下圖長方體之單點透視圖的消失點

Ex2.13：下圖為台東知名的伯朗大道，試著在照片上標示出消失點

◎單點透視圖中的比例位置

例 2.2：畫家使用單點透視法將鐵軌畫在畫布上，畫布側面的示意圖如下圖(1)。畫家眼睛的高度為 150 公分，畫家與畫布 距離為 40 公分，鐵軌上一點 N 與畫布的距離為 60 公分，則：

(1)已知 N 點被畫在畫布上 B 點的位置，求 B 點離地的高度

BC

(2)如上圖(2)所示，已知鐵軌上兩枕木的距離

MN

Ex2.2：畫家使用單點透視法將鐵軌畫在畫布上，畫布側面的示意圖如下圖(1)。畫家眼睛的高度為 150 公分，畫家與畫布 距離為 40 公分，鐵軌上一點 N 與畫布的距離為 60 公分，已知 Q 點被畫在畫布上 D 點的位置，如下圖(2)。

求 AD 的長度

•

A B

D C E K

任取長方體的一個面，將該面上兩條斜線 作延長所得交點即為消失點，如圖

作正方形 ABCD 的各頂點與消失點 K 的線段 過 E 點作平行 AD 的直線使交 DK 於 H 點 以 EH 為邊作正方形 EFGH

圖(1) 圖(2)

圖(1) 圖(2)

例 2.3：畫家使用單點透視法將模特兒畫在畫布上，畫布側面的示意圖如右。

已知畫家與畫布的距離為 40 公分，畫布與模特兒的距離為 120 公分，

且模特兒身高為 160 公分，求畫布上模特兒畫像的身長 AB 之值。

Ex2.3：畫家使用單點透視法將模特兒畫在畫布上，畫布側面的示意圖如右。已知畫家與畫布的距離為 40 公分，

畫布與模特兒的距離為 120 公分，且模特兒身高為 160 公分。

今模特兒再退後 40 公分，求畫布上模特兒畫像的身長

◎平分一線段或等分一線段的作圖

例 2.4：如圖所示，在單點透視圖中給定兩平行線 L1，L2，其中 A，B 是直線 L1上的兩點，

試作線段 AB 之中點

單點透視法所畫出來的作品視角就是畫家 的視角，觀眾在觀賞畫作時，等同於站在畫 家的位置看著畫家看到的景物，因此，運用 單點透視法的作品會讓觀眾對畫作有立體 感與臨場感

右圖《白楊樹大道》是知名荷蘭畫家梵谷的 作品之一，該畫作運用了單點透視法，可以 看到畫作中大道兩旁的樹由近至遠愈來愈 小，最後延伸於消失點

電玩遊戲也常有單點透視法的應用，以遊 戲玩家的視角進行而有身歷其境的感受 畫面中延伸的賽道在遠方交於一點，左右 的景物也由近而遠逐漸縮小

Ex2.4：如圖所示，在單點透視圖中給定兩平行線 L₁，L₂，其中 A，B 是直線 L₁上的兩點，

試在直線 L₁上作一點 C，使得 B 點為線段

AC

◎平分一線段或等分一線段的長度

例 2.5：右圖是單點透視圖中的一個長方體，四邊形 ABCD 是長方體的一個面，V 是消失點。

在此透視圖中，若 AB ＝3，

VA

VD

CD

Ex2.5：右圖是單點透視圖中的一個長方體，四邊形 ABCD 是長方體的一個面，V 是消失點。

在此透視圖中，若 AB ＝3，

VA

VB

BC

例 2.6：如圖所示，在坡度 18°的鮑德溫街道上行走了 20 公尺，試求垂直高度 上升了約多少公尺？(四捨五入至小數點後第二位)

Ex2.6：如圖所示，在坡度 18°的鮑德溫街道上行走了 20 公尺，若垂直高度上升 10 公尺，試求共要往上走約多少公尺？

(四捨五入至小數點後第二位)

重點 3：黃金比例

1.定義：設線段 AB 被 P 點分割成兩段，其中 PA＞ PB ，如右圖 當PB

PA＝ PA AB ，即

較短線段 較長線段＝

較長線段

整條線段 成立時，這樣的分割就稱為黃金分割金分割金分割金分割，此時的比值就稱為黃黃黃黃金比例金比例金比例金比例

2.黃金比例：常以符號

φ

如右圖，令 PA＝

φ

φ

φ φ

⇒滿足

φ

φ

φ

5 1+

，即PB PA＝

PA

AB＝

φ

5

1+ ≈ 1.618

3.黃金矩形：當一個矩形的長與寬滿足 寬

長＝黃金比例

φ

註：當一個黃金矩形截掉以寬為邊長的正方形時，剩下的矩形仍為黃金矩形

◎黃金比例

例 3.1：如右圖所示，將一條線段 AB 分成兩段不等長的線段 PA＞ PB ，使 BP AP＝

AP AB， 這個比值為黃金比值，以符號

φ

φ

Ex3.1：有關於

φ

5 1+

，下列選向哪些是正確的？

(1)

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

例 3.2：下列市售電腦螢幕的長寬比，哪一種最接近黃金比例？

(1) 4：3 (2) 16：9 (3) 16：10 (4) 18：9 (5) 21：9

Ex3.2：將一個圓分成兩個弧，若兩個弧的長度比為黃金比例(約 1.618)，則小弧的圓心角我們稱之為黃金角，則黃金角約 為 度。(四捨五入至小數點後第一位)

A •

P B

A •

P B

φ

紐西蘭但尼丁的鮑德溫街曾獲金 氏世界紀錄，大全認證為世界最陡 的街道，總長約 350 公尺，最陡處 的坡度約 1：2.86(19°或 35 %)，即 水平方向每移動 2.86 公尺，高度 就上升 1 公尺，如圖

A •

P B

例 3.3：下圖中，ABCD 為一黃金矩形，且 AEFD 為一正方形。已知 AD ＝1，求 BE BC的值

Ex3.3：將黃金矩形 ABCD 截掉以寬為邊長的正方形 1，剩下的矩形再截掉以寬為邊長的正方形 2，重複這樣的步驟，

如右圖所示。已知 AD ＝1，求 之值

例 3.4：法國建築設計大師柯比意(L. Corbusier)在著作中描述一手臂高舉的男性，其手臂高舉的 點、頭頂、肚臍與腳底將整個高度分成 a

，

(1)求等比數列 a，b，c 的公比 r

(2)已知此人手臂高舉離地 226 公分，求此人的身高。(四捨五入到整數位)

Ex3.4：右圖為某人手掌的 X 光照片，其中 a，b，c，d 分別為食指四段骨頭的長度(單位：公分)。

已知 a，b，c，d 四數成等比數列且 c＝a＋b (1)求公比的值 (2)驗證 d = b + c

A B

D C

E F

正方形○² 的邊長 正方形○³ 的邊長

a b c d

例 3.5：每個人對身材的完美比例定義不同，其中一個與黃金比例相關的定義為

身高 肚臍高度＝

肚臍高度 肚臍與頭頂的距離

現有一身高 150 公分，肚臍高度 90 公分的女孩，欲穿高跟鞋來提高身高與肚臍高度來滿足以上定義。

試問：女孩該穿下列哪個選項的高跟鞋？( 5≈2.236) (1) 5 公分 (2) 7 公分 (3) 9 公分 (4) 11 公分

Ex3.5：據研究顯示，當

室溫

人得體溫為黃金比例時，人的生理機能會處於最好的狀態。已知某人的體溫為37°C，欲使用空調

的設定來滿足以上比例。試問：空調該設定於幾度？( 5≈2.236)(四捨五入到整數位)

重點 4：費式數列

1.費式數列：若數列 a_n 滿足遞迴定義







≥ +

=

=

=

−

+ 2

1

1 1

2 1

n a a a

a a

n n

n ， ，稱數列 a_n 為費式數列 即 a_n ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……

2.相鄰兩項的比值

相鄰兩項的比值逐漸趨近

φ

5

1+ ≈1.61803…，稱為黃金比例黃金比例黃金比例 黃金比例 希臘著名的帕德嫩神廟，其寬與高寬與高寬與高寬與高

的比值約為黃金比例，且柱子的頂柱子的頂柱子的頂柱子的頂 點約為神廟高

點約為神廟高 點約為神廟高

點約為神廟高的黃金分割點

義大利畫家達文 西著名的畫作蒙 娜麗莎的微笑，

在畫作中，可看 到蒙娜麗莎上半上半上半上半 身與頭長

身與頭長 身與頭長

身與頭長的比值 約為黃金比例

邊長為 1 的正五邊形其對角 線長 x 恰為黃金比例

數列 1 1 2 3 5 8 12 21 34 … 比值 1 2 1.5 1.6666 1.6 1.625 1.61538 1.619047 …

例 4.1：試寫出費氏數列的前 12 項

Ex4.1：已知費氏數列 a_n 的a ＝102334155，₄₀ a ＝165580141，試利用計算機求₄₁

40 41

a

a 之值

解：165580141

1.618033989 102334155≈

例 4.2：希臘 雅典著名的帕德嫩神廟據說就是按照黃金比例所設計的，其立面寬與高的比值是 1.618 (1)若小甄在現場測得立面的寬為

30.9 公尺，試估計帕德嫩神廟立面 的高度約為多少公尺？

(2)建築師研究發現，神廟地面到柱頂 的高度與柱頂到神廟頂高度的比值，

居然也近似黃金比例 1.618，如圖

試估計帕德嫩神廟地面到柱頂的高度約為多少公尺？

Ex4.2：如圖的向日葵，數數看往左旋(逆時針)以及往右旋(順時針)分別有幾條曲線？

你發現費氏數列的關係了嗎？

解：往左旋(逆時針)有 21 條，往右旋(順時針)有 34 條，正好是費氏數列的前後兩項

例 4.3：鸚鵡螺符合黃金比例的曲線則最為人們所熟悉。試動手描繪出符合黃金比例的曲線

•

•

•

•

•

•

P A

B

C

D E

Ex4.3：試利用尺規仿照鸚鵡螺曲線圖的繪製方式，在下圖上描繪出接續的圖形

重點 5：平面幾何與設計

圓角：將角的頂點與兩邊之一部分置換成一段圓弧，使圓弧與角的兩射線平滑相接，也就是角的邊恰為圓的切線 如右圖，是一個由∠A 與圓 C 所設計成的圓角

註：圓角是用一段與角的兩邊相切的圓弧替換原來的角，

使原來尖銳的角變得圓潤一般長方形的桌面，常常 也都改成圓角，既美觀又安全。

生活中其實已處處有圓角的存在：

如交通標誌、電腦鍵盤上的按鍵、手機等

這些圓弧所形成的曲線會近似於一條等角螺線等角螺線等角螺線等角螺線，，，，自然界中最典型的例子 就是鸚鵡螺的外殼切面。事實上，鸚鵡螺的螺殼每生長出一固定角度，

殼內的身體就會生長出一固定比例，因此，從螺旋形貝殼的形狀就可以 清楚地看出生長的速率，並利用較高深的數學知識可推知，其外殼形成 的曲線與指數函數有關

蜘蛛結網時，先結出放射狀的骨架，接著由內往外繞圈編織 就是對數螺線對數螺線對數螺線對數螺線，對數螺線每繞一圈，與中心的距離會等比例 增加。第一條螺線留下的空隙，會用第二條螺線來填補

例 5.1：在右圖中，試求 AB 與

BC

Ex5.1：在簡報軟體中，若想做一個右上角與左下角為圓角的正方形，可先做一正方形與兩個同大小的圓，再利用分割與聯 集的功能來製作。

已知正方形的邊長為 10 公分，而圓的圓半徑為 2 公分，如右圖，則：

(1)右上角的圓心 P 應在 A 點右方______公分，下方______公分處 (2)左下角的圓心 Q 應在 A 點右方______公分，下方______公分處

Ex5.11：依照相關規範，在交叉路口畫設紅線時，自兩側路緣交叉頂點起算左右各十公尺。

現有交叉路口之一角要以圓角方式畫設紅線，並如右示意圖。

若直線 AB 與直線 AC 為圓 M 的切線，切點分別為點 P 與點 Q。

已知AB＝AC＝10公尺，而
APQ 為等腰直角三角形且PQ＝ 公尺， 4 則所畫紅線的總長度為______公尺

例 5.2：如圖所示，小美為了設計一個圓角，將圓 C 的圓心 M 放在 y 軸上，使得直線 OA、OB 分別與圓 C 切於 A、B 兩點。若∠AOB＝60°，圓 C 的半徑為 2，試求：

(1)圓心 M 的坐標 (2) A、B 兩點的坐標

Ex5.2：如圖所示，小美為了設計一個圓角，將圓 C 的圓心 M 放在 y 軸上，使得直線 OA、OB 分別與圓 C 切於 A、B 兩點。若∠AOB＝90°，圓 C 的半徑為

2

(1)圓心 M 的坐標 (2) A、B 兩點的坐標