連續隨機變數
討論連續隨機變數的機率時，所討論的機率是 樣本空間中的某一段區間或某一塊區域，而不 是樣本空間中的某一點。
9.1 連續分配
下面右圖的連續曲線，稱為機率密度函數。
特 徵
機率密度函數的值不可能是負數
機率密度函數曲線下方的面積總和一定等於 1
連續曲線下方介於 a 與 b 之間的面積，即是其可 能值出現在 a 與 b 之間的機率。
一： f(x) 大於或等於零；
二：從 x ＝ 0 至 x ＝ 4 ，這條線下方的面積等於 1 。
1) 機率值是 x ＝ 2 的虛線左側的三角形面積；
底為 2 ，高為 1/4 ，所以面積為 1/4 。 2*(1/
4)/2=1/4
2) 與上一小題相同，皆為 1/4 。
9.2 常態分配
常態曲線的數學方程式為
常態分配的圖形是一個鐘型曲線
常態分配的一項重要特點
常態分配由兩個參數決定： μ 及 σ( 平均數和變異數 )
標準常態分配
μ= 0 ， σ= 1 時，稱為標準常態分配
標準單位
標準單位：
標準常態分配表
附表 I ：標準常態分配曲線下方， z ＝ 0 與其他 z 值之間的面積 ( 機率值 )
介於 -1.20 與 0 之間的面積
＝ 介於 1.20 與 0 之間的面積 ( 對稱 ) 查附表 I ，面積 ＝ 0.3849 。
(a) z ＝ 0.94 的面積加上 0.5 ，得到 0.5 ＋ 0.3264 ＝ 0.8264 。 (b) z ＝ 0.65 的面積，加上 0.5 ，得到 0.7422 。
(c) 0.5 扣掉 z ＝ 1.76 的面積，得到 0.0392 。 (d) 0.5 扣掉 z ＝ 0.85 的面積，得到 0.1977 。 (e) z ＝ 0.87 與 z ＝ 1.28 的面積差異：
0.3997 － 0.3078 ＝ 0.0919 。 (f) z ＝ 0.34 與 z ＝ 0.62 的面積總和：
0.1331 ＋ 0.2324 ＝ 0.3655 。
查附表 I ，得到 0.1554 與 0.3413 ，
機率為 0.3413 － 0.1554 ＝ 0.1859 。
將 x ＝ 12 與 x ＝ 15 轉換成標準單位，得到
(a) z 0.01 表示附表 I 的數值為 0.5 － 0.01 ＝ 0.49 ， 0.4901 對應的 z 值為 2.33 ，所以
z0.01＝ 2.33 。
(b) z0.05 表示附表 I 當中的數值為 0.4500 ， 最接近的數值，有 0.4495 與 0.4505 ， 對應的 z 值分別為 1.64 與 1.65 ，所以 z0.05＝ 1.645 。
*9.3 檢驗常態性
常態機率方格紙
9.4 常態分配的應用
(a) x = 5 ， (5-4.35)/0.59=1.10 ， z ＝ 1.10 ，其對應值（機率）為 0.3643 ，
超過 5 的機率 = 0.5000 － 0.3643 ＝ 0.1357 ，或大約 0.14 。
(b) x = 3 與 4 ， z ＝ 2.29 與 z ＝ 0.59 ，對應機率為 0.4890 與 0.2224 ，
介於 3 與 4 的機率為 0.4890 － 0.2224 ＝ 0.2666 ，或大約 0.27 。
連續性修正
以常態分配曲線概算〝整數變數〞的機率時使用。
次數是「整數」。
超過 15 次以上，即 x = 14.5 右側的面積。
機率大約為 0.89
。
σ= 0.04 、 x ＝ 6.00 ，面積 = 2%
最接近的數值是 0.4798 對應的 z 值為 2.05
解方程式，得
μ= 6.00+2.05(0.04)=6.082
9.5 二項分配的常態近似法
當 n 增加時，二項分配的直方圖愈來愈接近 左右對稱的鐘型分佈、愈來愈像常態分配。
經驗法則
以常態分配來近似二項分配的條件：
np 與 n (1 － p) 都大於 5 ，即，
np ＞ 5 且 n (1 － p) ＞ 5
n ＝ 16 、 p ＝ 0.5 ， np ＝ 8 ， n (1 － p)
＝ 8
可以用常態分配來近似此二項分配。
μ= 8 ， σ= 2
表 I 對應的數值分別為 0.3944 與 0.2734 ， 所求機率為 0.3944 － 0.2734 ＝ 0.1210 ，
而附表 V 中所查得的二項分配機率為 0.122 。
150*0.05=7.5 ， np ＝ 7.5 ， n (1 － p) ＝ 142.5 均大於 5 ，可以用常態近似法
連續性修正：至少 9 塊＝大於 8.5 的區間。
μ= 7.5 ， σ= 2.67 ，
表 I 對應的數值為 0.1443 ，
所求機率為 0.5000 － 0.1443 ＝ 0.3557 ；
至少有 9 塊出現瑕疵的常態近似機率為 0.3557 。
