掌握玄機

掌握玄機—骰子各面出現機率之剖析 國立新竹高級中學 林紘睿

指導老師 張世標 中文摘要

本文跳脫對骰子和硬幣的既有印象，先討論正 n 角柱體、正稜台及角錐柱體，觀察改變 高度及重心時機率的變化；也比較圓柱體用三維與二維空間理論所算出機率的不同；此外，

也在攝影機下觀察三維空間理論的可行性。

接下來，將我們熟知的正多面體截角，觀察與機率的關係，可以找出不等面的公平骰子。

其中在最大截角後，發現對偶正多面體會變成相同的多面體。

將正多面體藉由面心及稜線中心延長來增加頂點，只要依照本文所找出的規則，也可產 生等面的公平骰子；將正八面體及正二十面體的部份頂點向外接球半徑方向延伸，此時可產 生相同頂點數的不等面公平骰子。再一次發現對偶正多面體可以變成相同的多面體。

如果要產生指定機率的骰子，只要控制正四面體稜台高度或是正多面體面心延伸再截角 時的深度都可達到。最後，利用頂點軸線的轉動、或面對角線的截面，也可以在不增加頂點 數時產生公平骰子。

其實立體的變化可用康威多面體表示法將其系統化，本文將研究其中的一些運算，並觀 察其機率的變化。

壹、研究動機

在第 52 屆全國科展"旋轉硬幣的機率" (參考﹝一﹞)中，用有厚度的錢幣為出發點，探討 在垂直錢幣圓心的向旋轉時，正面、反面及側面各面出現的機率分佈，但實際上錢幣一定是 各方向都有的三維方向旋轉，所以應該用三維空間的立體角（即4π）而非一維的 2π。在高 中數學第三冊中提及機率的概念，第四冊第一章中介紹立體幾何的一些性質，我思考如何結 合這些內容來解決問題。

目前一般大眾熟知的骰子每一面都是相同的，是否能找出不同面的公平骰子，甚至指定 機率的骰子，是我們的研究方向。

貳、 研究目的

一、探討骰子出現各面的機率。

二、探討非均質骰子（即重心可移動時），所有面機率與移動量的相對關係。

三、探討同一類型骰子在形狀改變時，機率如何演變。

四、探討形狀改變時，不同骰子的機率如何演變。

五、探討由正多面體延伸出來每面機率相同的骰子。

參、 研究設備與器材

電腦軟體 Wolfram Mathematica、Cabri 3D。

肆、 研究過程或方法

名詞定義與預備知識 (一) 立體角：

立體角是從多面體重心對多面體投影到以多面體重心為圓心所張出的球殼面積與 球半徑平方值的比，這和在二維中「平面角是圓的弧長與半徑的比」類似。

對極小立體角作曲面積分即可得立體角 灰色環形面積為(2π ∗ rsinθ) ∗ (r ∗ dθ)，

圓弧形面積S 為2πr²∫ sinθdθ = 2πr₀^{θ 2} (1 − cosθ)， 此時立體角ω =_r^S₂ = 2π(1 − cosθ)，

所以球面（三度空間）立體角為4π（當𝜃＝π）。

(二) 物體面上三個頂點的立體角公式：

陳威尹（1999）之高維正形體(參考﹝二﹞)。

(三) 球面上矩形的面積公式：

利用項武義（2004）之基礎幾何學七、球面幾何和球面三角學(參考﹝三﹞)。

(四) 角錐體的重心：根據科學教育期刊第259 期多面體重心的幾何作法（參考﹝四、五﹞）

一文中，提及四角錐體重心的計算方式，可知四角錐的重心位於一頂點和其對面重 心的連心線上，且距離頂點為高的 倍處。

(五) 假設條件、定義、引理及證明：

1. 定義 1：設一個多面體的重心為 X，如果從 X 點向任一面作垂線，其垂足都在該面 上，則稱該多面體為正常多面體，否則為非正常多面體。

假設1：我們討論的骰子為凸多面體和定義 1 中所提及的正常多面體；而地面為黏 滯性無限大，骰子著地後即貼在地上，不受平面與地面不貼平時產生力矩的影響，

擲骰子時對各面抓握度也視為相同，每個面的機率以著地時為主。

2. 我們將物體運動的方式分成移動和旋轉兩部份；因水平移動不影響落地時間，故對 結果不造成影響；至於旋轉，因為會有各種的旋轉角度，而互相抵消。故針對此兩 者，本次皆不予討論。

假設2：設一個非均勻立方體骰子其重心為 X，從某一高度靜止落下，從 X 點指向 空間任何方向的直線都有可能成為重力作用線，空間各方向成為重力作用線的機率 都相等，可得引理1。

θ

r

引理1：每個面機率等於該面立體角除以4π。

= ， = 1 。

證明1：骰子各面出現的機率與立體角的關係可由下圖來表示。

由假設2 可得骰子重心經由綠色面頂點投影到球面會形成一面積，只要骰子著地時 落在此區域都會是出現綠色面，此球面積的立體角即可視為正比於骰子綠色面的機 率。

引理 2：不論是否有無外接球，不同骰子只要立體角相同機率就會一樣。

證明 2：如下圖，正八面體骰子上下頂點 A 與 E，往直徑內移相同距離，此時重心 X 仍保持不動，而 = ，∠ = ，所以面 ABC 與面 A1BC 立體 角仍保持不變，即機率仍會一樣。

A 及 E 頂點沿直徑等距內移到 A1E1時立體角與機率仍相等 引理3：所有面的機率和等於 1。

₂ = ² = 1

證明3：因為骰子為內部任一點向外所有角度延伸都會接觸到的凸多面體，所以各 面接觸地上的機率皆大於0，以長方體為例，六個面立體角（ω ω ）總和為 4π。

o

o

ω

1

ω

2

ω

3 ˇ

ω

4 ˇ

ω

5 ˇ

ω

6

ˇ

ω

1

地面

以下將討論四種類型的骰子（如下圖）：

(一) 骰子為一正n 角柱體，上下面相同。

(二) 骰子為一正稜台，上下面不同但相似。

(三) 骰子為一角錐柱體。

(四) 骰子為正多面體的延伸。

一、骰子為一正 角柱體：

在此會探討改變柱體高度與重心位置對機率的影響（如下圖），在 Cabri-3D 下可以發現 當重心往上移時，四個側面的機率（面積即立體角）會變小（如下圖右）。

本文探討骰子出現上面的機率。

(一) 骰子為正三角柱體（如右圖）：

1. 質量均勻：中心 、重心 X 為同一點。

令正三角形頂點距中心 ，柱體高度 ，

先將三角柱體體頂點座標化：以重心 為原點，將其它點座標調整如下，

(

₂

)， (

₂ ^√ _{2 2}

) ， (

₂ ^√ _{2 2}

)， (

₂

)， (

₂ ^√ _{2 2}

) ， (

₂ ^√ _{2 2}

)

因為 為正三角柱體的重心，所以 與正三形 的三個邊的夾角相同，

即 = = 。

利用餘弦定理可知：

cos =

^{̅̅̅̅2＋ ̅̅̅̅2－ ̅̅̅̅2}

2∗ ̅̅̅̅∗ ̅̅̅̅

=

^{( 2 2 2)}

^{2 2} ，

sin =

^2√ _{2 2}

√

^{2 2}

。

利用立體角公式， 對應的立體角ω 為

rccoscos − cos cos

sin sin rccoscos − cos cos

sin sin rccoscos − cos cos sin sin − π

= 3 ∗ rccos

₂₍ ^{2 2} ₂ ²₂₎

− π

，

A C

B D F E

a b ^D

F E

X

C A

B

D

G E

F

H

A B

D C

E F

H G

I

A B

C

D E F G

H

A B K

L

C E

H I J

正立方體骰子及立體角 改變骰子高度及立體角 移動骰子重心（往上）及立體角

所以出現 面的機率為

=

∗ rccos

^{2 2 2}

2( ^{2 2})

− 。

在何種狀況下正三角柱體五個面是不等面的公平骰子？

令 = 1，機率

∗ rccos

^{2 2}

2( ²)

−

須等於¹ ，所以此時柱體高 24。

2. 質量不均勻，重心 和中心 只有在 座標不同，且比 大c，上下三角形面的立體角 及機率可求出如下。

上三角形面DEF 對應的立體角ω 為

3 ∗ rccos

² ₂₍ ² _{2 ( 2 )}² ₂₎²

− π，

出現的機率為

=

∗ rccos

^{2 2 2 2}

2( ² ( 2 )²)

− ，

下三角形面 為

3 ∗ rccos

² ₂₍ ² _{2 ( 2 )}² ₂₎²

− π，

出現的機率為^ω

=

∗ rccos

^{2 2 2 2}

2( ² ( 2 )²)

− 。

(二) 骰子為正四角柱體（如右圖）：

1. 質量均勻：中心 、重心 為同一點。

令正四角柱體頂點距中心 ，高度 ，

對應的立體角ω 為

rccos( 1 −

_{(2 2 2)2}

)，

正四角柱 對應的立體角為ω

= 2 ∗ rccos(1 −

_{(2 2 2)2}

)，

所以出現 面的機率為

=

_2π¹

∗ rccos( 1 −

_{(2 2 2)2}

)

。

而柱高比與正方形面機率如下圖，可以發現，當正立方體骰子切成一半時（即高度 為正方邊長一半），原來正方形面機率會從 變成0.295。

2. 同上質量不均勻，但重心 和中心 只有在 座標不同，且比 大c，上下正方形面機 率如下：

上正方形面 出現的機率為 ₂ ∗ rccos(1 −_{(2 2 ( 2 ) 2)2})，

C A

B

D

G E

F

H

G E

F

H X

重心 X 從物體中 心移到最上面

X

a

b

下正方形面 出現的機率為 ₂ ∗ rccos(1 −_{(2 2 ( 2 ) 2)2}) 在正立方體骰子，即

√2 ＝ ＝1

，當重心X 從物體中心趨近於 最上面時（如右圖，即c 從 趨近 5）

上下兩正方形面及側面的機率如下圖，發現重心越遠離中心時，側面機率就會越小。

(三) 骰子為正 角柱體（如右圖）：

1. 質量均勻：

令正n 邊形頂點距中心 a，高度 b，

₂對應的立體角ω ₂為

2 ∗ rccos

√ ²( )^{2 2}

−

^{( 2)}

，

所以正n角形立體角面出現的機率為

∗ ₂

=

2

∗ rccos

√ ²( )^{2 2}

−

^{( 2)} 。

另外，在何種狀況下正n角柱體的n 2個面是不等面的公平骰子？

令 = 1，此時機率₂ ∗ rccos

√ ( )^{2 2}−^{( 2)}須等於 ₂。所以，柱體高

2 ∗ =

^{( ) (}

2( 2))

√ ( ( ))² ( (_{2( 2)} ))²（如下圖）。

固定n = 3，將 b 代不同的數字進入₂ ∗ rccos

√ ( )^{2 2}−^{( 2)}中，發現當b 愈來 愈大的時候，正n角形立體角面出現的機率乘上高度平方會趨近於一定值，固定

A

1

A

n

a D

B

1

B

2

a C B

n

b 四個側面

上正方形面

下正方形面

重心由中心往上移

n = 4時也可以觀察到類似的現象。於是猜測對於任意不小於 3 的正整數 n，是否都 會有類似的情形發生？

經過一段利用幾何的推導證明過程，發現當b 趨近於無窮大，則此定值為_2𝜋^𝑛 sin^2𝜋_𝑛，

即當b 趨近於無窮大，機率會以 ₂的速度趨近於零。

另外，可觀察並證明，當 n 趨近於無限大時， ^{( ) (}

2( 2))

√ ( ( ))² ( (_{2( 2)} ))²和√ 的比值會趨近 於 2。這意謂，若一個均勻的正 n 角柱體骰子是公正的，且任一頂點與其所在底面 的中心的距離為 1 單位，則當 n 相當大的時候，其高度 2b= ^{( ) (}

2( 2))

√ ( ( ))² ( (_{2( 2)} ))²，

「基本上」為 2√ (嚴格地說，是 2√ (√ ) )。

2. 同上質量不均勻，但重心 和中心 只有在 座標不同，且比 大c：

上n角形出現的機率為₂

∗ rccos

^{( 2 )}

√ ²( )² ( 2 )²

−

^{( 2)} ， 下n角面出現的機率為 ₂

∗ rccos

^{( 2 )}

√ ²( )² ( 2 )²

−

^{( 2)}

。

(三) 骰子質量均勻的圓柱體（可視為正n角柱體中，當 n 趨近無限大）（如右圖）：

令圓形底面半徑為1，高度 ，圓形底面出現機率

∗ ₂

=

2

∗ rccos

√ ²( )^{2 2}

−

^{( 2)}

=

2

−

2√ ²

，

同樣可觀察並證明，當 b 趨近於無限大，機率會以 ₂ 的速度趨近於零。

現在，把我們所算出的機率與參考資料﹝一﹞中所算出的圓形底面機率為

𝜋=

(

⁄2)

𝜋 來比較如下圖

可以發現，圓形底面的機率會比52 屆全國科展算出的值小，且隨著柱高變大，圓 形底面的機率會更快趨近零。兩種理論最大的差別是參考資料﹝一﹞中認為硬幣旋 轉時的對稱軸一定要垂直過上下兩圓的圓心的直線，而我們的則可允許任意方向的 對稱軸，即若旋轉限定在垂直過圓心的對稱軸，圓形底面機率會大於旋轉允許任意 方向的對稱軸機率。

b 1

當圓柱半徑為 1，不同柱高 b(0~10000)時，圓形面的機率

52 屆科展二維空間的理論

三維空間立體角的理論

另外，當柱體高 = ^√2₂，上下圓形面及側面的機率皆相同（即 ），即此時為不等面 的公平骰子。

實際上，由師長協助用 3D 列印製造出此比例的骰子後，經過五次，每次有三十次 投擲(共 150 次)，同時在桌面鋪上極厚的毛巾，以便在攝影機的慢動作下可以觀察 骰子接觸桌面時的情形；經過統計，側面出現的比率為 ₀。由立體角求骰子機率的

理論與中央極限定理可知，將 ₀ 標準化後的值為 Z=₍ ^{| |}

⁄√𝑛) = ^{| |}

(

√2

√ 0

⁄ )

= ^√ ₂ 6，

小於在 95%信心區間的 1.96，因此在這次實驗中用立體角求骰子機率的理論有通過 考驗，且較 52 屆全國科展更接近理論值（如下表)。

二、骰子為一正 稜台，上下面不同但相似。

(一) 上下面皆為正三角形的質量均勻稜台：

令上三角形 的面積小於下正三角形 ， 頂點距中心 ，正三角形 頂點 距中心c，高度 （如下圖），

上下面的機率如下（令 = 1），

機率為

∗ ( 3 ∗ rccos

^{2(c4 4c3 1 c2 12c )− c2(c4 2c3 3c2 2c 1)}

2( ².c⁴ 4c³ 1 c² 12c ) 4c²(c⁴ 2c³ 3c² 2c 1)/

− π )

， 機率為 ∗ (3 ∗ rccos₂₍ ²₂^{( 2 2 )2 ( 2 )2}

( ² 2 )² ( ² )²)− π)。

(二) 上下面皆為正方形的質量均勻稜台（如右圖）：

令下正四角形 頂點距中心 ，上正四角形 EFGH 頂點距中心c，高度 。所以令 = 1，c 1，

上下面的機率如下，

上四角形面 機率為

立體角理論 52屆理論 實驗數據 上下面 0.333 0.391 0.3 側面 0.333 0.216 0.4

A B

C

D E

F

^b

√3 a

√3

c

h

b X

G

H a c

A B

C

D E F G

H

c

b

a

∗ (4 ∗ rccos

_{√((2 2} ^{( 2 2 )}

)( ² 2 )^{2 2}( ² )²)

2 ∗ rccos

_{2 2( 2 2 )} ²⁽ ₂ ^{2 )}_{2( 2}² ₎₂₎

− 2π)

， 下四角形面 機率為

∗ (4 ∗ rccos

_{√,(2 2)( 2} ⁽ _{2 )}^{2 2 )}_{2 ( 2 )2-}

2 ∗ rccos

_{,(2 2)( 2} ⁽ _{2 )}^{2 )}_{2 (} ²_{2 )2-}

− 2π)

。 (三) 上下面皆為正 邊形質量均勻稜台（如右圖）：

令下正n邊形 ₂ ，頂點距正n邊形中心 ， 上正n 邊形 ₂ 頂點距正n邊形中心c，高度 ， 上下面的機率如下，

上正n邊形出現的機率

∗ (2n ∗ rccos

^{( 2 2)}

√0. ²( ²)²( )²/ ²( 2 ²)²1

− (n − 2)π)

， 下正n邊形出現的機率為

∗ (2n ∗ rccos

^{( 2 2)}

√ ( ²)²( )^{2 2}( 2 ²)²

− (n − 2)π)

。 (四) 上下面皆為正方形且質量均勻：中心 、重心 為同一點。

所以令 = 1、 = √2，上正四角形c由1到 時（如下圖），

上下面立體角的關係：

原來下面 對應的立體角為2 ∗ ω

= 4 ∗ rccos

_{√ ( 2 2 )}^√2( ₂^{2 2 )}_{2( 2 )2)}

2 ∗ rccos

_{( 2 2 )} ²₂^{( 2 )}_{2( 2}² ₎₂

− 2π

， 原來上面 對應的立體角為2 ∗ ω

= 4 ∗ rccos

_{√ ( 2}^√2( _{2 )}^{2 2 )∗} _{2 ( 2 )2}

2 ∗ rccos(

_{( 2 2 )} ²⁽ _{2 (} ^{2 )}_{2 )}² ₂

) − 2π

， 所以當c由1到 時，上下面的機率(立體角 4π)如下圖。

C A

B

D

G E

F

H C

G B E

F GF

C A

B

D E H

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

上正方形 縮小的比例

正立方體骰子上正方形縮小時出現的機率

上正方形機率 下正方形機率 其餘的機率

B1

b

B2

A1

An

1 1 D c C

Bn

三、骰子為一質量均勻的柱體和角錐體的合體。

在這個部份，我們探討骰子出現錐體部分的機率。

(一) 柱體為正立方體，正方體邊長 為1，四角錐的高為 ， 四個角錐面的立體角與機率如下，

立體角為：

∗ rccos

²

√2( ² 2 2)

− 2π ，

機率為 ²∗ rccos ²

√2( ² 2 2)−₂。

所以當 由 趨向 時，四角錐四個側面的立體角和如下圖：

當 趨近 , 四個側面的立體角和趨近於

∗ rccos

2

− 2π =

，

當 趨近 , 四個側面的立體角和趨近於

∗ rccos

√2

− 2π = 4π。

可以發現，當錐高 b 從 0 趨向∞時，四角錐四個側面立體角和 會從 趨近到4π。

(二) 柱體為正五邊形之角錐柱體（如右圖）：

正五邊形頂點離中心距離為1，柱體高度 2，

角錐的高為b。

五個角錐面的機率如下，

(1 rccos ^{√ 0(2}

2)√( √ )

√ ( 2 ( √ ) ² 2 ( √ ) 2( √ ) 5 rccos ^{( √ ) 2} ( 0√ 2) ( 0√ )

( )² − 5π)。

(三) 柱體正 邊形角錐體（如右圖）：

正n邊形頂點離中心距離為1，柱體高度2，

角錐的高為 。

n個角錐面的機率如下，

∗ (2n ∗ rccos ^{(2 2)}

√ ²(( )² 2) 2 . ( )²/ .2 ( )²/ n ∗ rccos ^{( )}₍₂ ^{2( 2 (} ₂₎₂ ⁾²⁾ − nπ) 角錐高b從0到10時，

角錐四個側面的立體角合

角錐高b從0到1000000時，

角錐四個側面的立體角合

當角錐高度b由0到10時，

四角錐四個側面的立體角和

當角錐高度b由0到1000000時，

四角錐四個側面的立體角和 A B

D C E F

H G I

a a a

b

A

1

A

n

a 2

B

1

B

2

C

B

n

K

D

A B

E C

I

F G

J H

2 1

四、骰子為一質量均勻正多面體，對其做截角（截角在康威多面體表示法之運算符號：t）：

康威多面體表示法（參考﹝七﹞)是用來描述多面體的一種方法，一般用種子多面體為基 礎並表示對種子多面體做的操作或運算。截角操作在康威多面體表示法之運算符號為t，

而當最大截角時則為a，本作品使用的種子多面體為正多面體，且下文中提及之運算皆 為康威多面體表示法之運算符號。

正多面體有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體五種。

(一) 骰子為正四面體：令邊長為2（如右圖），頂點座標為

.

^2√

/ ， .

^√

1 / ， .

^√

−1 / ， .

^2√

/ 。

重心 .

^√

/，

以 為原點，新座標為：

(

^2√

^√

)， (

^√

1

^√

) ， (

^√

−1

^√

)， (

^√ ₂

)

。 每個頂點等距離 產生新的面，令被截的頂點為 點，

則新面 的座標為

(^{√ √} ₂ −^√ )， ( ^√ ₂ ^√ ₂ −^√ )， ( ^√ ₂ ^√ ₂ −^√ )。

̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ = ， ̅̅̅̅ = ̅̅̅ = ̅̅̅̅ = √

²

− 2

₂

，

cos = cos = cos = ^̅̅̅̅2_2∗ ^＋ _̅̅̅̅∗ ^̅̅̅̅2_̅̅̅̅^{－ ̅̅̅̅2}= ₂ ²₂ ，

sin = sin = sin =

^{√ 2}

2 ² 。 截面 對應的立體角ω 為

rccoscos − cos cos

sin sin rccoscos − cos cos

sin sin rccoscos − cos cos sin sin − π

= 3 ∗ rccos

− π = 3 ∗ rccos

²

²

− π 。

機率為

(3 ∗ rccos

²

²

− π) 4π

，

正四面體等距離截角後新產生的三角形面機率如下圖：

圖中「原本正面機率」即為原本正面被截角後，剩餘部份的機率；底下如有出現「原

0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

邊長為2的正四面體頂點等距離X產生新的面機率

新增面機率 原本正面機率

本正面機率」，也是相同意義的簡寫。

可以發現，正四面體在等距離最大截角時（當截角等於邊長一半時），此時正四面 體就會變成正八面體，此時出現各面的機率都相等。

(二) 骰子為正六面體（如右圖）：

邊長為2距每個頂點等距離截角後 產生新的面 ， 截面 機率如下，

∗ rccos ₂ ² − π，

正六面體等距離截角後新產生的三角形面與原本正面機率如下圖左 。 (三) 骰子為正八面體（如右圖）：

邊長為2，截面 的機率如下，

截面機率為

(2 ∗ rccos

²

√ ²

rccos

²

( ² )

− π) 2π

，

正八面體等距離截角後新產生的正方形面與原本正面機率如下圖右，

當新增面出現的機率等於原本正面機率時，即

(2 ∗ rccos

²

√ ²

rccos

²

( ² )

− π) 2π =

，

計算之後可得當 6時，所以會產生由八個六邊形面（邊長 6與 2 ）與六個 正方形面（邊長 6）所構成的十四不等面公平骰子。

而在最大截角時，正六面體與正八面體這兩個對偶多面體會變成相同的多面體。

(四) 骰子為正十二面體（如右圖）：

邊長為2，截面 的機率如下，

(3 ∗ rccos

^{( √ ) 2} (√ )

( √ ) ² 2(√ )

− π) 4π，

正十二面體等距離截角後新產生的三角形面機率如下圖左。

(五) 骰子為正二十面體（如右圖）：

令邊長為

√

²

(5 − √5)

，面 的機率如下，

2

D A

B

C

E F

G

J L P

N x y

x

A B K

L C E

H I J M N

A C B

B A

C D

F

E H G

I J

截面機率為= (1 ∗ rccos . √ √ √ 0/

√ √ √ ² 20√ 0√( √ ) 00

5 ∗ rccos ^√

( √ ) − 5π ) 4π，

正二十面體等距離截角後新產生的五角形面機率如下圖右，

當新增面出現的機率等於原本正面機率時，即

(1 ∗ rccos . √ √ √ 0/

√ √ √ ² 20√ 0√( √ ) 00

5 ∗ rccos ^√

( √ ) − 5π ) 4π

=

₃₂¹

。

計算之後可得當

3 ( = √ 4 ∗ (5 − √5)

時，新增面出現的機率為

2

，也等於原本 正面的機率，此時會產生由二十個六角形面（邊長 3 與 24 ）與十二個正五角 形面（邊長 3 ）所構成的三十二不等面公平骰子。

其中當截角為 時，此時六角形面與五角形面邊長皆為 ，即為由12個正五角形與2 個正六角形所組成的足球形狀32面體（如碳6 ，下圖），此時正五角形與正六角形 的機率為 24與 36，即立體角為 4π與 144π。

同樣地，在最大截角時，正十二面體與正二十面體會變成相同的多面體。

由以上的觀察可知，一個以施萊夫利符號（參考﹝八﹞)表示為* +之正多面體其 經過 t(或 a)的運算之後的立體具有正 p 邊形、2q 邊形兩種面，故只要計算出正 p 邊 形面出現的機率，就可知道全部面出現的機率。

五、骰子由正多面體，對其做康威多面體表示法之k(n 角化)或 t(截角)或 o(正交)或 m(元) 或j(會合)的運算，並重覆操作和其變化形態：

以下會討論三種類型及其限制

0.000 0.010 0.020 0.030 0.040 0.050 0.060 0.070 0.080 0.090

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

邊長為2的正十二面體頂點等距離X產生新的面機率

新增面機率 原本正面機率

0.000 0.010 0.020 0.030 0.040 0.050 0.060 0.070 0.080 0.090

0 0.05*a 0.1*a 0.15*a 0.2*a 0.25*a 0.3*a (1/3)*a 0.35*a 0.4*a 0.45*a 0.5*a 邊長為a(a=√0.4(5−√5) )的正二十面體頂點等距離X產生新的面機率

新增面機率 原本正面機率

正四面體 類型一 類型二 類型三

面心延伸及極值 頂點、兩稜線中點 頂點、兩稜線中點

(一) 骰子為正四面體

1. 面心延伸與頂點連線所構成的十二面體

(即為 n 角化或會合，運算符號 k 或 j)（如右圖）：

令原正四面體的重心 ，四頂點分別為 、 、 、 ， 、 、 、 為面 、 、 、 的中心，連

̅̅̅̅、 ̅̅̅̅、 ̅̅̅̅、 ̅̅̅̅，令 、 、 、 在 ̅̅̅̅、 ̅̅̅̅、 ̅̅̅̅、 ̅̅̅̅上，

且面心延伸量 ̅ 、 ̅ 、 ̅̅̅̅、 ̅̅̅̅皆相等，故對應到同一面的三面出現的機率和等於原 四面體該面之機率，及對應到原四面體同一面的三個面出現機率之和相同，又根據 對稱性，這三面出現的機率相同，故每一面出現的機率相同。

若 為凸多面體，令 ̅̅̅̅之中點為 （如下圖左），

則面 和面 所夾的角( )須小於π。因為伸長固定長度時，兩面和原平面所 夾之角度相同，故若原圖形之兩面角為 ，則延伸之後的新面最多可和

原來的面夾 ₂ ，而正四面體之兩面角為 rccos ，延伸之後的新面最多可和原來的

面夾 ^r ₂ ，令此角為θ，當 ̅̅̅̅邊長等於2，則 ̅ = ̅̅̅̅ t n θ = ^√ t n ^r ₂ =^√ ， 即面心延伸量須小於^√ ，這種變化方式其實就是對其進行k 的運算。當延伸量等於

√

時，於 ̅̅̅ = √2，此時十二面體就變成邊長為√2的正六面體（如下圖右），這種 變化方式其實就是對其進行j 的運算。

2. 等機率不等面多面體：面中心延伸與頂點連線所構成的十二面體再截角變成（即連 續的延伸再截角，(為重複進行 tk 或 tj 的運算) (如下圖）。

(1)一次延伸再截角：令在 ̅̅̅、 ̅ 、 ̅ 上取 、 、 ，使得 ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅，另外 兩個面也做相同的事情，則因由形體重心到原本的任何一個面截出來的正三角錐體 的重心的向量都垂直該面且大小相等，又原形體為正多面體，從重心到各面的向量 之和為 ，這種變化方式其實就是對其進行 tk 或 tj 的運算。

故其重心不變，各面機率為 ，以下計算該面到頂點之間的距離 =

A

B

C D I

E K

M A

B

C D I

K θ

A

B C D

I K

當面心延伸量 ̅̅̅等於

^√

I

A

B C

A1

B1 C1

面心延伸後再截面

變成等機率 16 面體

= ，令 = θ，立體角3 ∗ rccos θ θ θ

θ θ − π 須等於 ， 所以cos θ = ^{√2 √}

2 √2 √ ，令拉的時候拉 ，截的時候截 ，新面正三角形邊長 ，

： = ：2， =² ，利用餘弦定理，可得 、 須滿足

.

^√

− /

^{2 2}₂

− 2 .

^√

− /

^{2√ √2−√3}

2 √2−^√3

=

² ₂²的關係，且拉的距離同樣不能大於^√ 。令

− =

即稜台高度，所 以

.

^√

/

^{2 ( )} ₂ ²

− 2 .

^√

/

^{2√ ( ) √2−√3}

2 √2−^√3

=

^{2( )}₂ ²，x 與 L 的關係如下圖：其中 x 愈 大代表稜台愈斜，所以高度L 就要大才能維持一定的立體角。

(2) n 次延伸再截角：若重複做拉頂點再截的動作n次，可得一有12n 4個面的多 面體，要變成等機率多面體時，第一次拉出去 ，第一次截 ，第二次拉出去 ₂， 第二次截 ₂ 第n次拉出去 ，第n次截 的關係式須符合：

第一次.^√ − /^{2 2}₂− 2 .^√ − /^2√

√2 2 ^{( )} _{( )}=² ₂²，

第i 次.^√ ∑ ( − )/² ∑ ²₂− 2 .^√ ∑ ( − )/^2√ ∑

√2 2 ^{( 2 )} _{( )} =^{2 ∏}_{∏ 2}²

第n 次.^√ ∑ ( − )/² ∑ ₂²− 2 .^√ ∑ ( − )/^2√ ∑

√2 2 ^{( 2)} _{( )}=^{2 ∏}_{∏ 2}²

。

因為截的距離必小於拉出去的距離，所以 ， _{2 2} ，又同前面討 論由正四面體中心向四面中心連線延伸得到的十二面體的原理，後一次拉的面和前 一次的不能夾超過π，得 ^√ ，_2√ ²

2√ _2√

2√ 2

2

， ^√ ，

2 ，即^√ _{2 2} ，這種變化方式其 實就是對其重複進行tk 或 tj 的運算。

3. 面心延伸與稜線中點延伸連線所得到的十二面體 (即為正交，運算符號 o) （如下圖）：

令形體重心 ，面 的中心為 ， ̅̅̅̅之中點為 ， ̅̅̅̅之中點為 ，連 ̅̅̅̅、 ̅̅̅、 ̅̅̅̅，

令 、 、 在 ̅̅̅̅、 ̅̅̅、 ̅̅̅̅上，且 ̅ = ̅̅̅̅，若面 和面 共面，當正四面體邊長

L

滿足 16 不等面公平骰子時面心延伸量 x 與稜台高度 L

為2√2，則面心延伸量 ̅̅̅̅與線稜中點延伸量 ̅ 須符合( ̅̅̅̅ − 3) . ̅ ^√ / 4√3 = ， 這種變化方式其實就是對其進行o 的運算

。

4. 四面中心和稜中點延伸，和頂點延伸所得到的二十四面體(即為元，運算符號 m)（如 下圖）。

承上，當面APT 和面 APV 不共面且為凸多面體，面心延伸量與稜線中點延伸量比 值須大於

√ ，這種變化方式其實就是對其進行m 的運算

。

(二) 骰子為正六面體

1. 面心延伸與頂點連線所構成的二十四面體(為 k 或 j 的運算)：

令 ̅̅̅̅之中點為 ，則面 和面 所夾的角（如下圖左）須小於 π，則面心延伸 量須小於1，這種變化方式其實就是對其進行 k 的運算。

另外，但當延伸量等於1 時 ̅̅̅̅ = √3，此時二十四面體就變成邊長為√3，長軸為2√2 的菱形十二面體（如下圖右），這種變化方式其實就是對其進行j 的運算。

2. 面中心延伸與頂點連線所構成的二十四面體後再截角變成等機率不等面多面體（即 連續的延伸再截角）(為重複進行 tk 或 tj 的運算)：

重複做拉頂點再截的動作n次時， 第一次拉出去 ，第一次截 ，第二次拉出去 ₂， 第二次截 ₂ 第n次拉出去 ，第n次截 ，

第一次(1 − )² 2 ²₂− 2√2(1 − ) cos θ =² ₂²，

第i 次(1 ∑ ( − ))² 2 ∑ ²₂− 2√2(1 ∑ ( − )) ∑ cos θ =^{2 ∏ 2}

∏ ²，

第n 次(1 ∑ ( − ))² 2 ∑ ²₂− 2√2(1 ∑ ( − )) ∑ cos θ =^{2 ∏}_{∏ 2}²

。

因為截的距離必小於拉出去的距離，所以 ， _{2 2} ，又同前面討 論由正四面體中心向四面中心連線延伸得到的十二面體的原理，後一次拉的面和前

A

B

C P V

U

D T

A

B

C P V

U

D T

A

B

C U

I E

K P V

T

T

D A U

E

H

B

C P R

T θ M

U A

P R

B

C D

T E

H

當面心延伸量等於

一次的不能夾超過π，得 1，_√2 ²

√2 _√2

√2 2 2

， 1， ₂

，即1 _{2 2} ，這種變化方式其實就是對其重複進 行tk 或 tj 的運算。

3. 面中心延伸和稜中點延伸連線所得到的二十四面體(為 o 的運算)（如下圖左）與面 中心延伸和稜中點延伸即頂點連線所得到的四十八面體(為 m 的運算)（如下圖右）：

承上，當不共面且為凸多面體，面心延伸量與稜線中點延伸量比值須大於

√2，這種 變化方式其實就是對其進行m 的運算。

(三) 骰子為正八面體

1. 正八面體中心向八面中心連線延伸得到的二十四面體(為 k 或 j 的運算)（如下圖左）。 如同正六面體一樣，面 和面 所夾的角(即 π)，則面心延伸量須小於^√ ，

這種變化方式其實就是對其進行k 的運算。另外，但當延伸量等於^√ 時，此時也會 變成邊長為^√ ₂，長軸為2的菱形十二面體（如下圖右）。

2. 面中心延伸與頂點連線所構成的二十四面體後再截角變成等機率不等面多面體（即 連續的延伸再截角）(為重複進行 tk 或 tj 的運算)。

重複做拉頂點再截的動作n次時， 第一次拉出去 ，第一次截 ，第二次拉出去 ₂， 第二次截 ₂ 第n次拉出去 ，第n次截 ，

第一次.^√2 − /^{2 2}₂− 2 .^√2 − /^2√ cos θ =² ₂²， 第i 次.^√2 ∑ ( − )/² ∑ ²₂− 2 .^√2 ∑ ( − )/^2√ ∑

√2 2 ^{( )} _{2( )} =^{2 ∏}_{∏ 2}²

第n 次.^√2 ∑ ( − )/² ∑ ²₂− 2 .^√2 ∑ ( − )/^2√ ∑

√2 2 ^{( )} _{2( )} =^{2 ∏}_{∏ 2}²

。

因為截的距離必小於拉出去的距離，所以 ， _{2 2} ，又同前面討 論由正四面體中心向四面中心連線延伸得到的十二面體的原理，後一次拉的面和前

B2

C2

D2

D A U

E

H

B

C P R

T A2

D A U

E

H

B

C P R

T A2

B2

C2

D2

當 AA

2PB 不共面

且為凸多面體

A

E

B F

C S

P T

W M

當面心延伸量等於

^√

P C S

A

W

T B E

一次的不能夾超過π，得 ^√2，_2√ ²

2√ _2√

2√ 2

2

， ^√2，

2 ，即^√2 _{2 2} 。

同理只要我們在截角的時候，適當調整距離，即可製造出一些各面機率為指定的骰 子，只要新的多面體為凸的且正常的即可，也是為重複進行tk 或 tj 的運算。

3. 八面體面中心和稜中點延伸所得到的二十四面體(為 o 的運算)（如下圖左）與面中 心延伸和稜中點延伸即頂點連線所得到的四十八面體(為 m 的運算)（如下圖右）。

承上，當不共面且為凸多面體，面心延伸量與稜線中點延伸量比值須大於²

√ ，這種

變化方式其實就是對其進行m 的運算。

(四) 骰子為由正十二面體或正二十面體變成的多面體

這些立體的性質和由正方體和正八面體變成的多面體相似，詳細形體列在以下的研 究成果中。

正多面體

（令稜長 2）

類型 1：

多面體中心 向面中心和 頂連線

成為凸多面 體之面心延 伸需小於

等於延伸值 極值

A2

B2

C2

I2

J2

A

E

I2

C

P T

W B F2

S A

E

I2

B F

C S

P T

W A2

B2

C2

I2 F2

J2

當 SA

₂F₂B 不共面

且為凸多面體

正二十面體 正十二面體

正八面體 正六面體

正四面體

1

二十四面體

√6 6

二十四面體 六十面體

√ 0 22√

2

六十面體

√ √

√6 3

十二面體

類型 2：

多面體中心 向面中心和 稜中點連線

類型 3：

類型 1 面中 心和稜中點 連線

六、骰子為一質量均勻正多面體，對其做過截角（運算符號：i）操作：

因為對一個立體過截角等於對其對偶的立體截角，故可利用其對偶後之截角過程來觀察 其機率變化。

(一) 骰子為正四面體：

因為正四面體的對偶多面體仍為正四面體，故其機率演變同前文所提正四面體的截 角。

(二) 骰子為正六面體和正八面體：

因為正六面體和正八面體互為對偶多面體，故其機率演變同前文所提正六面體和正 八面體的截角。

(三) 骰子為正十二面體和正二十面體：

因為正十二面體和正二十面體互為對偶多面體，故其機率演變同前文所提正十二面 體和正二十面體的截角。

七、骰子為一質量均勻正多面體，對其做小斜方（運算符號：e）：

可看成將將每個面的頂點向重心等距離靠近，使得原正多邊形的面縮小並產生其它的面 來定義座標系，若一個頂點接 n 個面，則看成有 n 個點的位置相同，運算後分別向個別 所屬面之重心移動。

十二面

體

二十四面

體

二十四面

體

六十面體 六十面體

二十四面

體

四十八面

體

一百二十面體

過截角

面中心延伸後的多 面體之對偶多面體

小斜方

各面等比例縮小後

所產生的多面體

(一) 骰子為正四面體：

令頂點 (1 1 1) (1 −1 −1) (−1 1 −1) (−1 −1 1) ，經過 e 運算後每個頂點等 距收縮 x， 原來面 的機率變為：(3 ∗ rccos ^{√ 0 2 2 √ 2}

2 √ ² 0√ − π) 4π，

新截出三角形面的機率為：(3 ∗ rccos ²₂ ^√

√ − π) 4π，

剩下的長方形面機率也可以算出。

(二) 骰子為正六面體：

原來藍色正方形面的機率變為( ∗ rccos

√( ² 2√2 )− 4π) 4π，

新截出三角形面的機率為(6 ∗ rccos ^√2

√( ² √2 2)− π) 4π，

剩下的長方形面機率也可以算出。

(三) 骰子為正二十面體：

原來紅色正方形面的機率變為(

3 ∗ rccos

⁻

2 ²

15√3 (5−√^{5 2√}₅⁵

2−2√₁₅²(5−√^{5) 2 2}₅^√5

− π

) 4π，

新截出白色長方形面的機率為_𝜋²

∗ rct n√(

⁽

2 2√ . _√ /) 2 ²

√ )∗( ^√ ₂) ( ² 2√ ²( √ ) _{√ 2})

)

， 剩下的藍色五邊形面機率也可以算出。

八、骰子為一質量均勻正多面體，對其做大斜方（運算符號：b）操作：

頂點最大截角 頂點截角

大斜方

圖片出處：康威多面體表示法．維基百科 各面等比例縮小

後所產生的多面 體

小斜方

圖片出處：康威多面體表示法．維基百科

小斜方

圖片出處：康威多面體表示法．維基百科

因為運算元 b 可用替代同構 ta 來表示，故下文對立體做 b 運算，表示為先做 a(截半)的 運算，再做 t(截角)的運算。

(一) 骰子為正四面體：

因為對立體做 b 運算，表示為先做 a(截半)的運算，再做 t(截角)的運算，且正四面 體的截半變為正八面體，故其機率變化同前文所提及正八面體截角之結果。

(二) 骰子為正六面體和正八面體：

令截的深度為x，藍色正方形面機率為 ( rccos

(2 √2 )( ² √2 2)) π 黃色六邊形面機率為

(3 ∗ rccos − 3 rccos( √2 2 ). √ ² √2 2 2 √2/

2( ² 2√2 ) − 6 rccos( √2 2 )( √ ² √2 2 2 √2)

2( ² 2√2 ) 2π) 4π，

剩下的紅色八邊形面機率也可以算出。

九、骰子為一質量均勻正多面體，對其做 s 的運算(扭稜)：

觀察可得其圖形為一個立體先經小斜方後再經過旋轉，旋轉的過程中原來的面形狀大小 不改變，一個頂點向各方移動所形成的面形狀大小不改變，而由相鄰兩原來的面共用的 邊形成之面則分成兩個全等的圖形，故和小斜方的結果相比，除了相鄰兩原來的面共用 的邊形成之面之機率會便成原來的₂外，其他兩種面出現的機率不改變。

十、骰子為正多面體，在部份對應頂點沿球心延伸下所演變而成的相同頂點數公平骰子。

選擇部份球心對稱頂點往外等比例延伸，使得重心不變，但每個面不是相同；因為移動 頂點依然在半徑方向，所以立體角仍不變；如果此時頂點可圍成共平面的話，會是等機 率的不等面公平骰子；因正四面體無球心對稱頂點，故此次不予討論。

(一) 骰子為正六面體：

選定正六面體的一組對頂點，從原點拉長其它的點（如下圖左），

但 不共 面（如下圖右），故不可行。同理正十二面體也不行。

小斜方 扭曲

扭稜

圖片出處：康威多面體表示法．維基百科

(二) 骰子為正八面體：

選定正八面體的一組對頂點，從原點拉長其它的點x，

如圖，令正八面體的六頂點為 ，重心為 ，令⇀

FA 為 方向的正向，則 、 、 、 的 座標相同，連 ̅̅̅̅、 ̅̅̅̅、 ̅̅̅̅、 ̅̅̅̅，令 、 、 、 分別在 ̅̅̅̅、 ̅̅̅̅、 ̅̅̅̅、 ̅̅̅̅上，且 ̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅，因為上下兩錐體的重心位於頂 點和底面重心連線上，且距離底面 ，而底面重心和頂點不動，故其重心不變，以 下分析新圖形三角形面的種類：

令

( √2)， (√2 )， ( √2 )， (−√2 )， ( −√2 )， ( −√2)，

(√

2

)， (

√

2

)

， (−

√

2 − )， ( −

√

2 − )，

̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅ = √ ² 2√2 4，

̅̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅̅ = √2 ² 4√2 4，此時為腰長√ ² 2√2 4，

底邊長√2 ² 4√2 4的等腰三角形。

(三) 骰子為正二十面體：

此正二十面體座標化，令⇀

為 軸正向

，⇀

為 軸正向

， ( )可知 ( 1)，

(^{2√ √} )， ( ^√ ₀ √ ^√ ₀ ^√ )， ( ^√ ₀ √ ^√ ₀ ^√ )， ( ^√ ₀ −√ ^√ ₀ ^√ )，

( ^√ ₀ −√ ^√ ₀ ^√ )， ( ^√ ₀ √ ^√ ₀ ^√ )， ( ^√ ₀ √ ^√ ₀ ^√ )， ( ^{2√ √} )，

( ^√ ₀ −√ ^√ ₀ ^√ )， ( ^√ ₀ −√ ^√ ₀ ^√ )， ( −1)當正二十面體之正三角形 邊長為√2 −_√ ² 時，從原點拉長其它的點 x，

(二十面體：第一、三層三角形面腰長為√ ^{2 0 2√ 0 2√} ，邊長為

√. ^{0 2√} / ^{2 20 √ 0 2√} 等腰三角形；第二層三角形為長度為

√. ^{0 2√} / ^{2 20 √ 0 2√} 正三角形。

E B

C

F A

F A

E1

C1

B1

當三軸中有

兩軸等距離延伸

十一、 產生指定機率的骰子：除了之前的例子，以下作法也可以達到此目的。

(一) 控制正四面體稜台高度：

代入底部正三角形面機率

∗ (3 ∗ rccos

^{2( 2 2 )2 ( 2 )2}

2( ²( ² 2 )² ( ² )²)

− π)

中，所以控制 正四面體稜台高度，底部正三角形面的機率會從正四面體（ 25）變到稜台到最後 厚度趨近0 的正三角形（ 5）（如下圖）

(二) 控制正多面體面中心延伸與頂點連線後再截角時的深度（如下圖）：

用前述正四面體為例，令 = θ， = = ，如欲正三角A1B1C1

面指定機率為P，則立體角3 ∗ rccos θ θ θ

θ θ − π 須等於 4π ∗ ，所以cos θ =

^{( )}

^{( )} ，當 x, y 滿足

.

^√

− /

^{2 2}₂

− 2 .

^√

− /

^2√

cosθ =

² ₂²

−

的關係，

就可以產生機率為 的骰子。舉例：原來不等面公平骰子之正三角面與三個梯形面機率 皆為 ，現將正三角面機率P 指定為 ，則梯形面將變成₂ ，此時cos θ = ，所以 就變成^√ − =^√2

√ ，即當正三角面機率為 時的x,y 方程式。

A B

K

L E C

H I J

K

L I1’

A1’ B1’ C1’ E1’

H1 J1’

當六軸中有 五軸等距離延伸

I

A

B C

A1

B1 C1

面心延伸後再截面

變成指定機率 16 面體

正四面體骰子切面時底面正三角形機率