39 單元 9 二維數據分析
每題 10 分。
1. 右圖的散布圖中應去掉哪一點後，其相關係數會變大？
(1) A (2) B (3)C (4) D (5) E 。
因為去掉 D 點後，其餘 4 點比較接近一直線，所以相關係數變大。
故選(4)。
2. 下列散布圖中，選出表示兩變量間為負相關的選項。
(1) (2) (3)
(4) (5)
散布點的分布集中在斜率為負的直線附近即為負相關。
故選(2)(4)。
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3. 兩變量x與 y 的數據如下表：
x 1 3 5 2 4
y 9 1 9 3 3
求x與 y 的相關係數。
兩變量x與 y 的平均數分別為 1 3 5 2 4
5 3
x ， 9 1 9 3 3 5 5
y 。 依公式需要整理如下表：
xx yy xx2 yy2 xxyy
2 4 4 16 8
0 4 0 16 0
2 4 4 16 8
1 2 1 4 2
1 2 1 4 2
總和 Sxx 10 Syy 56 Sxy 0
代入相關係數的計算公式，得 0 0
10 56
xy
xx yy
r S
S S
。
4. 有20筆數據x yi, i都滿足yi 3xi ，其中1 i1，2 ，，20，求x與 y 的相關係數。
因為數據x yi, i都滿足 yi 3xi ，表示所有點都在一斜直線上，相關係數為1或 11 。 又該直線斜率小於0，x與 y 為負相關，所以相關係數為 。 1
41 5. 關於散布圖的敘述，選出正確的選項。
(1)若各數據點全落在一直線上，表示兩變量呈現完全正相關或完全負相關
(2)若以 當作原點，各數據點多半集中在第一、三象限，表示兩變量呈現正相關 x, y
(3)若各數據點散布上、下、左、右均成對稱，表示兩變量為零相關 (4)若各數據點散布在一平行x軸的直線上，表示兩變量呈現完全正相關 (5)散布圖上各數據點的迴歸直線，其斜率恰等於相關係數。
(1) 錯誤：若為鉛直線或水平線，則為零相關。
(2) 錯誤：反例：
x 1 2 1 2 10 10
y 2 1 2 1 10 10
x y 0，第一、三象限的數據點比第二、四象限的數據點多，
但是兩變量呈現負相關。
(3) 正確。
(4) 錯誤：若平行x軸，表示兩變量為零相關。
(5) 錯誤：當兩變量的標準差相等時方有此性質。
故選(3)。
6. 關於下列的敘述，選出正確的選項。
(1)相關係數 r 的變動範圍在 1 與1之間
(2)當兩變量x與 y 的相關係數愈大時，代表x與 y 的相關程度愈強 (3)迴歸直線 y mx k 中的斜率m的變動範圍在 與1之間 1
(4)由兩變量x與 y 的數據所求得的迴歸直線之斜率m與相關係數 r 正負號相同 (5)若兩變量x與 y 的數據皆滿足 yax b ，則x與 y 的相關係數r 。 1
(1) 正確。
(2) 錯誤：例如相關係數 1 ，表完全負相關。
(3) 錯誤：因為迴歸直線 y mx k 中的斜率m與相關係數r的關係為 y
x
m r
， 所以m的變動範圍未必在 與1之間。 1
(4) 正確。
(5) 錯誤：r可能為1、 1 或0。 故選(1)(4)。
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7. 兩變量x與 y 的數據如下表：
x 1 2 3 4 5
y 3 3 6 3 5
(1)已知x與 y 的相關係數為 5
k ，求k的值。
(2)求 y 對x的迴歸直線方程式。
(1) 兩變量x與 y 的平均數分別為 1 2 3 4 5
5 3
x ， 3 3 6 3 5 5 4
y 。 依公式需要整理如下表：
xx yy xx2 yy2 xxyy
2 1 4 1 2
1 1 1 1 1
0 2 0 4 0
1 1 1 1 1
2 1 4 1 2
總和 Sxx 10 Syy 8 Sxy 4 代入相關係數的計算公式，得
4 1 5
10 8 5 5
xy
xx yy
r S
S S
。故k 5。
(2) 代入迴歸直線方程式 y xy x
xx
y S x
S
，得 4 4 3
y 10 x ， 即 2 14
5 5 y x 。
8. 設有n 組數據x yi, i，i1，2 ，，n ，兩變量x與 y 的算術平均數分別為x ，5
y 3
，標準差分別為x ，2 y 6。已知 y 對x的迴歸直線過點 2, 6 ，求兩變量x與 y 的相關係數。
迴歸直線方程式yym x x，其中 y
x
m r
。
因為 y 對x的迴歸直線方程式為y 3 m x ，且通過點5 2,6 ，
所以6 3 m2 5 ，解得 m 1。
又 6
1 r 2
，得 1
r 。故兩變量3 x與 y 的相關係數為 1
。 3
43 9. 某班學生的身高x的平均數x 160公分、標準差x 10公分；體重 y 平均數y 50公
斤、標準差y 8公斤。已知身高和體重的相關係數r0.7。 (1)求體重 y 對身高x的迴歸直線方程式。
(2)利用迴歸直線預測：某人的身高為170公分，其體重約為多少公斤？
(3)當將身高單位改為x公吋時，求身高x公吋與體重 y 公斤的相關係數。
(1) 迴歸直線方程式yy m x x，其中 8
0.7 0.56 10
y x
m r
， 故迴歸直線為 y50 0.56 x160，即y0.56x39.6。
(2) 將x170代入y50 0.56 x160，得y50 5.6 55.6 （公斤）。
(3) 相關係數與單位無關。改變x的度量單位時，相關係數不會改變。
故x與 y 的相關係數為0.7。
10. 某飲料店根據過去的銷售紀錄，當每日最高氣溫在22 C 到39 C 時，該日飲料的銷售量 與當天的最高氣溫之相關係數為0.99，部分紀錄如下表：
最高氣溫C 25 27 29 31 33 35 銷售量（杯） 205 257 303 356 408 464
已知某日最高氣溫為38 C ，依據上述的資訊推測，試問該日飲料的銷售量應接近下列 哪個選項？
(1)490杯 (2)520杯 (3)542杯 (4)616杯。
若以最高氣溫當橫軸，銷售量當縱軸，作散布圖時，因為相關係數為0.99，所以散布 圖的所有點會相當靠近一條斜率為正的直線 L 。觀察紀錄表中銷售量的變化：
最高氣溫C 25 27 29 31 33 35 銷售量（杯） 205 257 303 356 408 464
52 46 53 52 56 得知：最高氣溫每增加2 C ，銷售量約增加52杯。
因此，直線 L 的斜率約為52
2 26。
令38 C 時的銷售量為x杯。由直線斜率的定義，得 464 38 35 26 x
， 解得x542，故選(3)。
