物理科理論試題

九十九學年度高級中學數學,資訊,自然科能力競賽第六區(中投)分區複賽

物理科理論試題

編號___________

**本試題共五頁,請連同答案卷一起繳回**

(一一一一) 12 分分分分

(a) 利用費馬原理(Fermat’s principle---即光線走最短時間的路程)證明 反射定律(即入射角 θi等於反射角 θi，顯示於下圖中)。(6 分分分分)

(b) 下圖顯示一束光從介質 1(其折射率為 no，入射角為 θi)入射至介質 2(其 厚度為 t，折射率為 nf，折射角為 θt)產生一道 AD 的反射光，同時亦產生一 道透射再反射之 ABC 光線，證明這兩束光線(AD 和 ABC)的光程差為 2 nf t cos(θt) 。(6 分分分) 分

( ((

(二二二二)))) 161616 分16分分分

(a) 一般真實氣體的內能是溫度及體積的函數，但對於理想氣體而言，內能函數 只是溫度的函數，這一性質可用何種熱力學過程的實驗來證實？請描述此實 驗的內容並給予解釋(試使用氣體動力論的觀點來推斷)。(4 分分分) 分

- 1 -

(b) 請以氣體動力論推導理想氣體之狀態方程式。(6 分分分) 分

(c) 有 1 莫耳的理想氣體初始時裝入 1 公升的容器中，其壓力為 3 大氣壓。(1)若 氣體在定壓下膨脹為 2 公升，請計算此過程中氣體系統的吸放熱以及其內能 的變化量。(2)之後此氣體系統又在等體積的情況下進行與外界之熱交換，使 壓力降為 1.5 大氣壓，請計算在此過程中系統的吸放熱及其內能變化量。

(氣體常數 R = 0.082 L⋅atm/K⋅mol = 8.31 N⋅m/K⋅mol) (6 分分分分)

(三三三三) 14 分分分分

太空船以速率 v 繞地心做半徑為 R 的等速率圓周運動。太空船上的推進器於 某瞬間沿著軌道的切線方向噴射，使其速率變成 4v/3。設地球的半徑遠小於

R ，且地球的公轉與自轉效應均可忽略。試求:

(a) 太空船離地心的最遠距離為何？(6 分分分) 分

(b) 太空船離地心最遠處的瞬時速率為何？(3 分分分) 分 (c) 太空船環繞地球運行之週期變成多少？(5 分分分) 分 (

((

(四四四四)))) 13 13 13 13 分分分分

均質薄圓幣(半徑R，質量M)如右圖所示，試求:

(a) 圓幣對垂直於直徑的中心軸之轉動慣量。(3(3(3(3 分分分分)))) (b) 圓幣以任意直徑為轉軸之轉動慣量。(3(3(3(3 分分分分))))

(c) 圓幣起始垂直豎立在水平檯面上，現輕觸其上端，

使該幣自靜止向一側傾倒，如右圖所示。假設在圓幣傾倒 過程中，其底部和檯面的接觸點不滑動。當θ^{趨近90 時， 0} 求圓幣質心之速率。(7(7(7(7 分分分)分)))

( ((

(五五五五)))) 12 12 12 12 分分分分

有一片很大的彈性橡皮膜，占據了x-y 平面的右半部 ( 0 ≤ x < ∞, - ∞ < y

< ∞ )。假如這片橡皮膜在x = 0 處的邊界為自由端，而在 ( 0, d/2 ) 和 ( 0, -d/2 ) 各有一個點狀波源上下 ( z方向) 振動，產生橫波在膜上傳播。現在有 一個觀察者在x = L ( L >> d ) 處沿著 y 方向觀察橡皮膜的振動。

(a) 假如兩個波源同相位，觀察者在x = L處所看到最接近 x 軸的節點約在y = L/100 和 y = -L/100 處。若橡皮膜的能量損耗可忽略，請問其橫波的波長約是 多少？(4(4(4(4 分分分)分)))

[提示： 1 x+ ^{2 ≈} 1 2

x2

+ if x² << 1.]

- 2 -

(b) 假如 ( 0, d/2 ) 處波源的相位比 ( 0, -d/2 ) 處波源提早了π/3，請問 這兩個節點會移到何處？(4(4(4(4 分分分)分)))

(c) 假如橡皮膜的 y ≤ 0 部份被固定住不能上下振動，且只有 ( 0, d/2 ) 處 點波源有動作，請問觀察者在 y > 0 處還能觀察到節點嗎？如果不能，為什麼？

如果可以，最接近 x 軸的節點在哪裡？(4(4(4(4 分分分)分)))

((((六六六六)))) 10 10 10 10 分分分分

小球以速度 V 沿水平直線運動，在點 A 掉落於半徑為 R，深為 H 的圓柱形井中，

小球速度與過點 A 的直徑成角度θ如下圖所示，假定小球與井壁和井底的碰撞均 為完全彈性且重力加速度為 g。(5(5(5 分(5分分分))))

(a) 小球掉入井後能夠出來的必要條件？( 即 V、Ｒ、Ｈ、θ、g 要滿足的條件 ) (b) 說明此亦為充份條件。(5(5(5(5 分分分)分)))

(七七七七) 11 分分分分

考慮一物體，由兩種材料組合成三明治結構，置於空氣中，如下圖所示。

(a) 光線 Light 1 由 A 點入射，B 點射出，請問入射角為 30°時，B 點穿透角 為幾度，請列出計算過程。(n1、 n2為折射率，n1 = 2，n2 = 1.3) (2 分分分分) (b) 光線 Light 2 由 C 點入射 Medium 2，請問入射角小於幾度時，光線可延

Medium 2 傳遞至 D 點射出。(n1 = 1.4，n2 = 1.5) (3 分分分分)

(c) 假設(b)中 n2與入射光波長λ(nm)呈現 n2 = 1.5 - 0.0001×(λ)的關係式，請 問波長為多少時，(b)中的入射角度將減小至 10° ? (6 分分分) 分

- 3 -

R θ

V

A

(八八八八) 12 分分分分

兩端開口的 U 形玻璃管，半徑為 R ，垂直高度為 H，水平長度為 L (R << H， L)，垂直置於無摩擦力的水平桌面上，並灌入長度為 L，密度為 D 的液體柱，此 時大氣壓力為 p0，如圖(a)所示。

(a) 將 U 形管兩端封閉後，使其向右做等加速度運動，此時觀察到左側的液面高 度為 h，如圖(b)所示。以 R 、H、L、D、p0與 h 表示在 A、B、C 處的壓力 pA、pB、pC及水平加速度值 a。(6 分分分分)

(b) 承上題，若 U 形管離開桌面，此時垂直方向的運動為自由落下，但水平方向 仍維持原先的等加速度運動，觀察到的左側液面高度變為 h′。以 R 、H、L、

D、p0與 h′表示在 A、B、C 處的壓力p′_A、p′_B、p′_C及水平加速度值 a。(6 分分分分) (假設在運動過程中，系統的溫度均保持不變，液體與管壁無摩擦力或黏滯力)

- 4 - Medium 1, n1

Medium 2, n₂ Medium 1, n₁

A

B

C D

Light 1 Light 2

- 5 -

九十九學年度高級中學數學,資訊,自然科能力競賽第六區(中投)分區複賽

物理科實驗試題

編號___________

**本試題共一頁,請連同實驗報告一起繳回**

(一) 題目: 擺繩質量對擺動週期的影響.

(二) 問題說明: 通常單擺的週期公式是在忽略擺繩質量且擺角小於 10°的情況 下推導出來的.本實驗將使用一條細鍊子(質量不能忽略)當擺繩來測試其 吊掛不同質量擺錘及不掛擺錘之擺動週期(此已不能稱為單擺)並與細線擺 繩(質量可忽略)之單擺的擺動週期做比較.

(三) 器材: 鍊子一條,不同大小鋼珠三顆,碼錶一個,橡皮筋三條,直尺(50cm)一 支,剪刀一把,膠帶一卷,夾子一個,縫衣線一軸,鐵架附 S 形轉接頭及鐵夾 一套,方格紙三張,電子秤(每間實驗室各一具).

( ((

(四四四四)))) 實驗內容: 50505050 分分分 分

(1) 用縫衣線分別吊掛三顆不同質量鋼珠,使用六個不同擺繩長度來測量單 擺週期之變化,然後在方格紙上標示出週期平方對擺長關係的數據點.

(2) 其次垂直懸吊鍊子,讓鍊子在小擺角(<10°)且筆直不彎曲,不扭轉的情 況下擺動, 使用六個不同擺繩長度來測量單擺週期之變化,然後在方格 紙上標示出週期平方對擺長關係的數據點.

(3) 同(2)之裝置,但在鍊子的下端分別吊掛三顆不同質量鋼珠, 使用六個 不同擺繩長度來測量單擺週期之變化,然後在方格紙上標示出週期平方 對擺長關係的數據點.

(五) 實驗結果及討論: 50505050 分分分分

(1) 在方格紙的數據點上繪出最佳符合曲線(要包含誤差分析).倘若為直線 者,請求出其斜率(實驗值).

(2) 分別使用相關的物理定律推導出以上三種實驗狀況的週期平方對擺長 之理論關係式.何者為正比於擺長?何者不正比於擺長?倘若正比於擺長, 請求出其斜率(理論值)並與以上之實驗值相比較.(g 以標準值計) (3) 以上三種理論關係式與三組實驗數據何者與擺繩或擺錘質量相關?理論

推算與實驗結果是否一致?請分別討論之.

九十九學年度高級中學數學,資訊,自然科能力競賽第六區(中投)分區複賽

物理科理論題參考答案

(一一一一) 12 分分分分, (a) 6 分分分分, (b) 6 分分分分

解答 解答 解答 解答:::: (a)

- 1 -

(b)

( ((

(二二二二)))) 161616 分16分分分, (a) 4, (a) 4 分, (a) 4, (a) 4分分, (b) 6分, (b) 6, (b) 6 分, (b) 6分, (c) 6分分, (c) 6, (c) 6, (c) 6 分分分分

解答 解答 解答 解答

- 2 -

(三三三三) 14 分分分分, (a) 6 分分分分, (b) 3 分分分分, (c) 5 分分分分

解 解 解

解答答答答：：：：噴射前，太空船做等速率圓周運動，故 ₂

2

R GmM R

mv = 。 噴射瞬間，太空船的總力學能為

²

2

9 1 3

4 2

1 mv

R v GmM m

E  − =−



 



=  ， (1)

故太空船此時應位於橢圓軌道的近地點(或遠地點)。

噴射後，行經軌道的遠地點(或近地點)之總力學能可表為 ( )

R v GmM m

E = ′ ² − ′ 2

1 。 (2)

由克卜勒第二定律知：vR vR 3

= 4

′

′ 。R′與 v′分別為遠地點(或近地點)與地 心間之距離及在該處太空船之瞬時速率。

根據總能守恆，亦即，(1) = (2)，可得 8 9 1 0

2

= +



 





− ′



 





′ R

R R

R 。解之得

- 4 -

(a) R′=R (不合捨去) 故 R′=8R (遠地點) 且 (b) v v

6

=1

′

由克卜勒第三定律知：太空船運行橢圓軌道週期的平方與半長軸長度的三 次方成正比，亦即

2 9 2

R R

a= R′+ = , 且

( ) ( )

3 2 3

2 2 /

2 /

9 R

v R R

T ₌ π _。

故得 (c)

v T πR

2

= 27

( ((

(四四) 13四四) 13) 13) 13 分分分, (a) 3分, (a) 3, (a) 3, (a) 3 分分分, (b) 3分, (b) 3 分, (b) 3, (b) 3分分分, (c), (c), (c), (c) 7 7 7 7 分分分分

解 解 解 解答答答答::::

a) ^{4 2}

0 2

1 2

1 4

2 r rdr 2 R MR

I

R

=

=

= ^πσ

∫

^{πσ # ←M =σπR2}

b) ₂ ² 4 1MR

I = # (利用垂直軸定理：I_z = I_x +I_y =2I_x QI_x =I_y)

c) ^{2 2 2}

4 1 2

1 ^ω



 



 +

= MR MR

MgR (利用平行軸定理、位能化為轉動能)

5 8 8

5 _{2 2} gR

v R

gR  → =



 



= ω ^{# ←v= R}ω

(((

(五五五五) 12) 12) 12) 12 分分分分, , , , (a) 4(a) 4 分(a) 4(a) 4分分, (b) 4分, (b) 4, (b) 4 分, (b) 4分, (c) 4分分, (c) 4, (c) 4, (c) 4 分分分分

解解 解解答答答答::::

(1) 設波長為，則最靠近y軸的節點滿足

2 2 2

2 2

2 ( ) ( )

2

/ = L + y+^d − L + y−^d

±λ

] ) ( 1 ) ( 1

[ ₂ ²

2 2 1 2 2

1

2 2

d L d

L y y

L + + − − −

≈ ⁼ yd/L,

故 y=

d L 2

±λ

100

± L

≡ ^⇒ .

50

= d λ

- 5 -

(2) 60°/360° = 1/6，在節點處來自( 0, d/2 ) 波源的波會比(1)的狀況多跑 l/6 波長，所以

6 λ/

− ±λ/2= L² +(y+ ₂^d)² − L² +(y−₂^d)²

yd /L = -λ/6 ±λ^/2 ⇒ y = -L/75 and L/150.

(3) 有節點，因為一次反射波會和直接波干涉。

y=0 處振幅為零（固定端），相當於在y = -d/2 有一反相（相位差 180°）的 鏡像波源。因此第一個節點在 y = (λ/2⁺λ^/2)L/d = L/50,y = 0 也對.

( ((

(六六六六) 10) 10) 10) 10 分分分分, (a) 5, (a) 5 分, (a) 5, (a) 5分分, (b) 5分, (b) 5, (b) 5 分, (b) 5分分分

解答 解答 解答 解答::::

由於所有碰撞均為完全彈性，水平速度的大小永遠為 V ，方向隨著碰撞後改變，

當小球從井口出來時，所需時間必為2 cosR V

θ _的倍數。

同時間，小球亦作垂直來回自由落體運動，當小球到達井口高度時，所需時間必

為 2 2 H

g 的倍數。

條件是以上兩個時間相等，即是

2 cos 2

R 2 H

n m

V g

θ _{= ， ,}

n m 為正整數。

(七七七七) 11 分分分分, (a) 2 分分分分, (b) 3 分分分, (c) 6 分分 分分 分

解答 解答 解答

解答:::: (a) 30°, (b) 32.6°,

(c) Sin 10° = n2 Sin[90° -Sin (1.4/ n⁻¹ 2)], n2 = 1.5 - 0.0001×(λ) 由上左式可求得 n2 = 1.411, 因此λ= 890nm.

(八八八八) 12 分分分分, (a) 6 分分分分, (b) 6 分分分分

解答 解答 解答 解答:

- 6 -

[ ]

2 0 2

0 0

2 2

0

2 0 2

0

2 0 2

2 0 2

0 0

2 2

2

0 0

2 2

0

0

2 2

0

2 )

(

) (

1 )

(

) (

) (

) (

) (

) (

. 2

2 )

(

) (

1 )

(

) (

) ( )

(

) (

] ) [(

] ) [(

) (

) (

) ( U

. 1

h p H

h D

h L a H

h p H p H h H

H D h L D h L

p a p

Da R h L R

p p

h p H p H

R H p R h H p

p h p

H p H

R H p R h H p

p p

hg L p h h H

h D

h L a H

hp H Dgh H hp

H H D h L D

h L

p a p

a D R h L ma R

p p

D R h L m

Dgh hp

H Dgh H P

p B

hp H p H

R h H p R H p

hp H p H

R h H p R H p

h L

h L h

L

h

C B

C B C C

B A

A B A

C B

C B

A B

C

C A

A

− ′

′

− ′

=

⇒

 

 





+ ′

′ −

′ −

= −

− ′

− ′

= ′

⇒

− ′

′ =

′ −

+ ′

′ =

⇒

′ =

′ +

= ′

− ′

′ =

⇒

′ =

′ −

⇒

= ′

′

+ −

−

= −

⇒

− +

 

 





+

−

= −

−

= −

⇒

−

=

=

−

−

=

− +

= +

=

= +

⇒

+

=

= −

⇒

−

= +

−

−

π π

π π

π π

π π

π

π π

π π

水平管內的液體柱受力

時，

當垂直方向為自由落下 此質量受力

質量為 留在水平管內的液體的

處的壓力 在

右：

左：

。但溫度不變，故 膨脹，長度變成

，右側空氣柱 度變成

。左側空氣柱壓縮，長 支管內的液柱長度為

，則留在水平 動，高度

時，液柱向左側支管移

形管向右等加速度運動

九十九學年度高級中學數學,資訊,自然科能力競賽第六區(中投)分區複賽

物理科實驗題參考答案

(1) 單擺: 擺繩質量m=0,擺錘質量 M ,擺錘半徑 r,週期T ,擺長 l >> r , 由單擺公 式可得

=

= g l

T² 4π² _{直線斜率=常數.}

(2) 鍊子: 擺繩質量m, 擺錘質量 M =0, 此為複擺, 所以

=

= g l

T 3 8 ²

2 π _{直線斜率=常數.}

(3) 鍊子加擺錘: 擺繩質量m, 擺錘質量 M , 此亦為複擺, 所以

) 2 / (

) 3 / ( 4 ²

2

M m

g

M m

l T

+

= π + ,此不再是直線斜率,而與 l 有關.(因m=ρ l , ρ為擺繩密度)

當M >> m 或ρ→ 0 時即單擺之情況,當M → 0 時即鍊子之情況.因此以上三種 情況可以很容易的從週期平方對擺長關係的數據點看出來,一旦擺繩質量不能忽 略時,擺動週期將同時與擺繩質量及擺錘質量有關.所以單擺公式是相當簡化的 物理公式.