例題3.5 解答繪製現金流圖：

(1)

3 3 --2929

例題3.5 遞減的等差變額與等額多次付款系列

• 2003年秋季，英代爾宣布將在中國成都興建一座 半導體組裝及測試設施。

• 假設2005年底為時間零

• 此專案的第一階段投資在2006年支付2億美元。

• 英代爾後續預計再投資額外的1.75億元，分成兩 筆款項支付

– 於2007年支付1.25億元 – 於2008年支付5,000萬元

• 假設年利率為15%，請問這些投資在2008年時的 等値未來值為何？

第三章-Part2

3 3 --3030

例題3.5 解答

繪製現金流圖：

(2)

3 3 --3131

• 將現金流拆為等額多次付款系列與等差變額兩組：

則欲求解的F可拆為：F = F_A

- F

_G – 已知A = 2億美元，求F_A

= ？

– 已知G = 7,500萬美元，求F_G

= ？

• 可得未來值F：

• 因此，英代爾的投資案在2008年底時價值4.5825 億 美元。

( / , , ) $200 ( / ,15%,3) F

A

= A F A i N = M F A

( / , , ) $75 ( / ,15%,3) F

G

= G F G i N = M F G

$200 ( / ,15%, 3) $75 ( / ,15%, 3) $200 (3.4725) $75 (3.1500)

$694.50 $236.25 4 5,825

A G

F F F M F A M F G

M M

= − = −

= −

= − = 億萬美元

• 現金流會從第1期的初始值 A ₁ ，以固定比率g增加或縮減

複利總額因子(F)

等比變額系列分析

0 1 2 3 N

A₁

A₁(1+g)

A₁(1+g)²

A₁(1+g)^N-1

(3)

3 3 --3333

0 1 2 3 N

F

0 1 2 3 N

A₁ A₁(1+g)

A₁(1+g)²

A₁(1+g)^N-1

複利總額因子(F)

等比變額系列分析

轉換為

透過複利總額因子而等值

若在帳戶中連續N期存入A₁

, A

₁

(1+g), …, A

₁

(1+g)

^N-1， 在N期結束會累積多少錢？

3 3 --3434

已知A₁與g ，F為何？

0 1 2 3 N

A₁ A₁(1+g)

A₁(1+g)²

A₁(1+g)^N-1

2 1

1( / , , 1) 1(1 )( / , , 2) ... 1(1 )^N ( / , ,1) 1(1 )^N F=A F P i N− +A +g F P i N− + +A +g ⁻ F P i +A +g ⁻

等比變額系列複利總額因子

1 2 2 1

1 1 1 1

1 1

When ,

(1 ) (1 ) (1 ) ... (1 )(1 ) (1 )

(1 )

N N N N

N

i g

F A i A i g A i g A g

NA i

− − − −

−

=

= + + + + + + + + + +

= +

複利總額因子(F) 等比變額系列分析

1 2 2 1

1 1 1 1

1 1 1

(1 ) (1 )(1 ) ... (1 ) (1 ) (1 )

(1 ) (1 )

= ( / , , , ),

N N N N

N N

A i A g i A g i A g

i g

A A F A g i N i g

i g

− − − −

= + + + + + + + + + +

⎡ + − + ⎤

= ⎢⎣ − ⎥⎦ ≠

(4)

3 3 --3535

例題3.6 複利總額因子- 等比變額系列

• 瑞典的Haldex AB取得供應Volvo及Renault 中型卡車氣動碟剎系統的五年合約。

• 這筆交易價値超過2億瑞典克朗，於2006年開始交貨。

– 假設第一年的交易貨品價値為4,000萬瑞典克朗 – 此項金額會以每年3.5%的速率增長

– 假設年利率為12%。

• 請問這筆訂單的未來値(2010年)為何？

例題3.6 解答

• 繪製現金流圖：

**40M*(1+3.5%)=41.4M**

每年增長速率

(5)

3 3 --3737

• 時間2010時的未來値F爲

• 利用公式(3.4)，複利總額因子的運算式，可得

F ：

1

( /

1

, , , ) $40 ( /

1

,3.5%,12%,5) F = A F A g i N = M F A

1 1 1

5 5

(1 ) (1 ) ( / , , , )

(1 0.12) (1 0.035)

$40 0.12 0.035 2.7043 ( )

N N

i g

F A F A g i N A

i g M

⎡ + − + ⎤

= = ⎢⎣ − ⎥⎦

⎡ + − + ⎤

= ⎢⎣ − ⎥⎦

= 億萬元瑞典克朗

3 3 --3838

例題 3.7 遞減等比變額系列

• 在產量顚峰時，位於蘇格蘭北海近海的Beatrice油 田，每日可以為Talisman Energy生產50,000桶原 油。20年後，每日產出量已經衰減至5000桶。

– 假設每桶原油的收入為40美元

– 第1年產量：(50,000桶/日)x(300日/年)=1千5百萬桶原油 第1年收入： ($40元/桶)x(1千5百萬桶) = $6億元

– 第二年起至20年每年產量減少11%

– 假設12%的年利率

• 請問此案的收入現金流系列的未來値為何？

(6)

3 3 --3939

例題3.7解答

• 繪製收入現金流圖：

600M*(1-11%)=534M 每年減少產量%

($40元/桶)x(15M桶/年)

= $6億元

• 在每日產量50,000桶，生產300日，每桶收入40美 元的情況下

– 第一年的收入(A1)總額爲$6億美元 – 生產量會每年衰減，則 g = -11%

• 應用公式(3.4)求解在第20年底的F值

1( / 1, , , ) $600 ( / 1, 11%,12%, 20)

F

=

A F A g i N

=

M F A

−

1 1 1

2 0 2 0

(1 ) (1 ) ( / , , , )

(1 0 .1 2 ) (1 0 .1 1) $ 6 0 0

0 .1 2 0 .1 1 2 4 9 .1

N N

i g

F A F A g i N A

i g M

⎡ + − + ⎤

= = ⎢⎣ − ⎥⎦

⎡ + − − ⎤

= ⎢⎣ + ⎥⎦

= 億美元

(7)

3 3 --4141

現值因子(P)

• 目的：將一組現金流轉換為現在或時間零的等值現金流

• 折價意味著金錢在時間中向後倒回移動 (金額隨正值利率而縮水)

3 3 --4242

現值因子(P) 單筆款項分析

已知F ，求 P = ？

0 1 2 3 . . . N

P=?

F

單筆未來款(F)的折價 透過現值因子而等值

. . . . . .

0 1 2 N-1 N

F

1/(1+i) 1/(1+i) 1/(1+i)

P=?

問題：如果要在N期結束時從帳戶中取出 F金額，那麼現在 要存入多少錢 (P)？

(8)

3 3 --4343

我們已有「已知P，求F=?」的公式與因子：

單筆款項現值因子

(1 )

^N

F = P + i

1 ( / , , )

(1 )

^N

P F F P F i N i

⎡ ⎤

= ⎢ ⎣ + ⎥ ⎦ =

現值因子(P)

單筆款項分析

已知F ，求 P = ？

例題3.8 現値因子：單筆款項

• 西門子出售給英國的Trans Pennine Express 56輛三節柴油火車

– 預定於2006年交貨

– 這些火車總價為$3.6億歐元，在2006年初列車 交貨時，西門子公司可獲得這筆應收帳款 – 假設18%的年利率

• 請問這筆應收帳款在2003年初的現値為何？

(9)

3 3 --4545

例題3.8解答

• 繪製現金流圖：

• 已知F爲$3.6億歐元，求P値？

或查附表A.24 (i=18%)：N=3之P/F因子值

3

1 1

( / , , ) $360 2.1911

(1 )^N (1 0.18)

P F P F i N F M

= = i = =

+ + 億元

02 03 04 05

P =?

02 03 04 05

360M

$360M( / ,18%, 3) $360M(0.6086) $2.1911

P = P F = = 億元

3 3 --4646

現值因子(P)

等額多次付款系列分析

0 1 2 3 . . . N

P=?

0 1 2 3 . . . N A A A . . . A

轉換為

問題：如果想從帳戶中連續N期領出金額A，則在 時間零時要存入多少錢 (P)？

透過現值因子而等值

(10)

3 3 --4747

現值因子(P)

等額多次付款系列分析 -- 已知A，求P = ？

已知連續N筆金額為A之現金流，請問時間0的現值

P為何？

0 1 2 3 N

A A

( / , , )( / , , )

(1 ) 1 1 (1 ) 1 (1 ) (1 ) ( / , , )

N N

P A F A i N P F i N

i i

A A

i i i i

A P A i N

=

⎡ + − ⎤⎡ ⎤ ⎡ + − ⎤

= ⎢⎣ ⎥⎦⎢⎣ + ⎥⎦= ⎢⎣ + ⎥⎦

=

由A轉換為F

(F/A,i,N)

由F轉換為P

(P/F,i,N)

等額多次付款現值因子

例題3.9 現値因子：等額多次付款系列

• 2003年夏季，三星電子宣布該公司總共將花費

170億美元在韓國首爾市郊興建一座工廠，以生

產電腦及電視的平面螢幕。

– 假設這筆投資從2004年1月開始，在5年内平均每年以 相等金額支付，即每年投資：170億元/5 = 34億元。

– 假設年利率為15%。

• 請問這一系列年金付款的等値現値(2003年1月)為 何？

(11)

3 3 --4949

例題3.9 解答

• A已知，P未知，利用查表

(請注意：$170/5=$34億) (課本有誤)

• 利用現值因子公式

( / , , ) $ 3.4 ( / ,15 % , 5) = $3.4 (3 .35 22 )= 1 14.0

P A P A i N B P A B

= =

億元

02 03 04 05 . . . 07

3.4B 3.4B 3.4B

. . .

3.4B

02 03 04 05 . . . 07

P=?

5 5

(1 ) 1 (1 0.15) 1

( / , , ) $3.4 114.0

(1 ) 0.15(1 0.15)

N N

P A P A i N A i B

i i

⎡ + − ⎤ ⎡ + − ⎤

= = ⎢⎣ + ⎥⎦= ⎢⎣ + ⎥⎦= 億元

查附表A.21 (i=15%), N=5之F/A值

3 3 --5050

現值因子(P)

等差變額系列分析

轉換為

3G

(N-1)G

1 G2

2G

3 4 ………

N

0

1 2 3 4 . . . N

P=?

0

問題：如果從帳戶中連續N期分別要領出 0, G, 2G, …, (N-1)G，

那麼在時間零要存入多少錢 (P) ？

透過現值因子而等值

(12)

3 3 --5151

現值因子(P)

等差變額系列分析 --

已知G ，求P =？

3G

(N-1)G

1 G2 3 4 . . . . . . . N

2G

0

由G轉換為F

(F/G,i,N)

由F轉換為P

(P/F,i,N)

2 2

( / , , )( / , , )

(1 ) 1 1 (1 ) 1

(1 ) (1 )

( / , , )

N N

P G F G i N P F i N

i Ni i Ni

G G

i i i i

G P G i N

=

⎡ + − − ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ + − − ⎤

= ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ + ⎥ ⎦ = ⎢ ⎣ + ⎥ ⎦

=

等差變額系列現值因子

例題3.10 現値因子：等差變額系列

• 2003年夏季，世界第三大貨櫃船運公司--台灣的 長榮集團宣布，將會向日本的三菱重工購買12艘

「S型」貨輪。一艘「S型」貨輪價格約$5,500萬 美元。

• 這些貨輪將於2005年到2007年期間交貨 – 如果三菱重工是在交貨時獲得應收帳款 – 假設時間零為2003年，交貨時程如下

2005年：2艘， 2006年：4艘， 2007年：6艘

– 假設5%的年利率。

• 請問三菱的收入等於2003年的等値現値為何？

(13)

3 3 --5353

例題3.10解答

• 請注意2004 年(第1期)並沒有現金流發生

• 此份現金流圖的等差變額

**G =2*$5,500萬元=$1.1億元**

3 3 --5454

• G為已知而P為未知，查表可得：

• 以現值因子公式(3.7)計算P如下:

( ^{, ,} ) ^$110 ( ,5%, 4 =$110 ) ( 5.1028 =5.6131 )

P G P G i N = = M P G M 億元

2

4

2 4

(1 ) 1

( / , , )

(1 ) (1 0.05) (4)(0.05) 1

$110 5.6131

(0.05) (1 0.05)

N N

i Ni P G P G i N G

i i M

⎡ + − − ⎤

= = ⎢ ⎣ + ⎥ ⎦

⎡ + − − ⎤

= ⎢ ⎣ + ⎥ ⎦ = 億元

查附表A.11(i=5%),

N=4之P/G值

(14)

3 3 --5555

例題3.11 遞增的等差變額及等額多次付款系列

• 波音公司與愛爾蘭Ryanair航空公司在2003年春季 簽下一張100架波音737-800噴射機的訂單。

– 訂單的帳面總價為60億美金

(每架$6,000萬元，即$60億元/100架)。

• 假設Ryanair公司於飛機交貨時付款給波音公司，

交貨時程如下：

– 2004年：10架， 2005年：15架 – 2006年：20架， 2007年：25架 – 2008年：30架

• 請問波音這筆銷售所能獲得的收入等値於2003年現 値為何？假設年利率20%。

例題3.11 解答

繪製現金流圖：

(15)

3 3 --5757

例題3.11 解答

• 已知G，求P_G：

• 已知A ，求P_A：

• (P/G,20%,5)查附表A.26 (i=20%), N=5之P/G值

• (P/A,20%,5)查附表A.26 (i=20%), N=5之P/A值

• 2003年的現值：

( / , , ) 5 $60 ( / , 20%,5) P

G

= G P G i N = × M P G

( / , , ) 10 $60 ( / , 20%, 5)

P

A =

A P A i N

= ×

M P A

$300 ( / , 20%, 5) $600 ( / , 20%, 5) $300 (4.9061) $600 (2.9906)

$1471.83 $1794.36 32.7

G A

P P P M P G M P A

M M

= + = +

= +

= + = 億元

例題3.5 解答繪製現金流圖：

例題3.5 遞減的等差變額與等額多次付款系列

例題3.5 解答

- F

= ？

= ？

( / , , ) $200 ( / ,15%,3) F

= A F A i N = M F A

( / , , ) $75 ( / ,15%,3) F

= G F G i N = M F G

$200 ( / ,15%, 3) $75 ( / ,15%, 3) $200 (3.4725) $75 (3.1500)

$694.50 $236.25 4 5,825

F F F M F A M F G

M M

M M

= − = −

= −

= − = 億 萬美元

• 現金流會從第1期的初始值 A 1 ，以固定比 率g增加或縮減

複利總額因子(F)

等比變額系列分析

複利總額因子(F)

等比變額系列分析

, A

(1+g), …, A

(1+g)

i g

F A i A i g A i g A g

NA i

複利總額因子(F) 等比變額系列分析

A i A g i A g i A g

i g

A A F A g i N i g

i g

例題3.6 複利總額因子- 等比變額系列

• 瑞典的Haldex AB取得供應Volvo及Renault 中型卡車氣動碟剎系統的五年合約。

• 這筆交易價値超過2億瑞典克朗，於2006年 開始交貨。

• 請問這筆訂單的未來値(2010年)為何？

例題3.6 解答

• 繪製現金流圖：

40M*(1+3.5%)=41.4M

F ：

( /

, , , ) $40 ( /

,3.5%,12%,5) F = A F A g i N = M F A

i g

F A F A g i N A

i g M

例題 3.7 遞減等比變額系列

例題3.7解答

• 繪製收入現金流圖：

F

A F A g i N

M F A

i g

F A F A g i N A

i g M

現值因子(P)

• 目的：將一組現金流轉換為現在或時間零 的等值現金流

• 折價意味著金錢在時間中向後倒回移動 (金 額隨正值利率而縮水)

現值因子(P) 單筆款項分析

F

P=?

我們已有「已知P，求F=?」的公式與因子：

(1 )

F = P + i

1 ( / , , )

(1 )

P F F P F i N i

⎡ ⎤

= ⎢ ⎣ + ⎥ ⎦ =

現值因子(P)

單筆款項分析

例題3.8 現値因子：單筆款項

• 西門子出售給英國的Trans Pennine Express 56輛三節柴油火車

• 請問這筆應收帳款在2003年初的現値為何？

例題3.8解答

360M

$360M( / ,18%, 3) $360M(0.6086) $2.1911

P = P F = = 億元

= − = 億萬美元

• 現金流會從第1期的初始值 A ₁ ，以固定比率g增加或縮減

• 這筆交易價値超過2億瑞典克朗，於2006年開始交貨。

**40M*(1+3.5%)=41.4M**

• 目的：將一組現金流轉換為現在或時間零的等值現金流

• 折價意味著金錢在時間中向後倒回移動 (金額隨正值利率而縮水)

億元

**G =2*$5,500萬元=$1.1億元**

( ^{, ,} ) ^$110 ( ,5%, 4 =$110 ) ( 5.1028 =5.6131 )