數學統測最前線

(1)

統測數學 B 考情趨勢與考題剖析

110 年統測數學 B 考情趨勢

一、試題分析

本次考題難易度分析如下表：

易 3、5、7、8、11、17、18

中 1、2、4、6、9、10、12、13、14、15、19、20、23 難 16、21、22、24、25

自 106 年統測數 B 附參考公式以來皆為課本公式之提醒，然而今年卻出現必須使用參考公式方能解題之參考（

sin 37 ³

  5

或

tan 37 ³

  4

）。在考題的設計上，簡易題型仍占多數，並且仍著重基本觀念及定義之熟悉，但最大特別之處在於中等難度考題幾乎在測驗學生細心及計算能力，而難題除了計算繁瑣外，更挑戰學生作答時的制約習慣。學生必須有足夠信心及對於計算方向明確方能正確解出。

1. 簡易題皆為知悉其數學符號或定義，都能輕易直接計算求解。

2. 中等難度題型分析：

第 1 題：考指數基本定義與圖形的遞增遞減觀念。

第 2 題：雖簡單，但易粗心誤認為是國中所學「兩個聯立組有相同解」之題型，

導致解題方向錯誤。

第 4 題：由於選項的角度表示法不同，利用常使用的同界角差量為 360 的整數倍數會提高計算量。

數學統測最前線

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◆ 110 年統測數學 B 考情趨勢與考題剖析（P.1）

◆ 110 年統測數學 C 考情趨勢與考題剖析（P.15）

110 年

(2)

第 10 題：考資料距離愈集中，其標準差愈小的觀念。

第 15 題：需要耐心計算兩邊的 3 階行列式，若用降階需注意正負號。

第 19 題： A、 B 、C 相關位置畫正確即可。

第 20 題：利用敘述無窮級數而非前 n 項級數和 S 來命題，也容易讓學生混淆，但

_n

由於選項沒有 ⁵  ^{5 1} 

2 15

   ，減少同學錯誤之計算。

其餘中等題皆為計算較多步驟但觀念不難。

3. 較難難度題型分析：

第 16 題：難題考出學生大量計算能力及公式之推廣。此題需使用到兩次二倍角公式，大大增加其計算量，並且若先計算出 cos 4  ，將還有判斷正負之困難。

第 21 題：較偏普通高中考題，命題巧妙用選取方法數較少的方式，讓考題符合技術型高中範圍，但其實仍有許多不必要的重複計算。

第 22 題：選項答案整理後表示法與計算思維過程有偌大的差異，會影響學生思考過程。

第 24 題：觀念不算難，但會有  ^x ^{ 、} ¹   ^x  及使用餘式定理的錯覺，而忽略直 ¹ 

式除法。

第 25 題：題目敘述為考古題，但必須使用參考資料37的三角函數值，增加計算之不熟悉。

【統測望遠鏡】

接下來為 108 課綱第一年考題，課綱精神著重於數學素養，從這次的考題中可看出兩大特性：第一，開始有許多考題結合生活經驗，如這次星座、電玩設定、投資股票、店家位置等皆是生活中常見情形。第二，生活中的數據常常不是整數，開始有37

等角度出現，同學需特別注意參考公式所給的資訊。

二、配分比例表

單元名稱題數單元名稱題數

直線方程式 1 不等式及其應用 2

三角函數 2 排列組合 2

向量 0 機率 2

指數與對數及其運算 2 統計 2

數列與級數 1 三角函數的應用 3

式的運算 1 二次曲線 3

方程式 2 微積分及其應用 2

(3)

數學 B 參考公式

1. 二倍角公式：sin 2   2sin cos   ； cos 2   cos

²

  sin

²

  2cos

²

    1 1 2sin

²

 2. 橢圓方程式   

²



²

2 2

1 x h y k

a b

 

  ， a b   ：中心 0   ^{h k ，焦點} ^,  ^{h c k} ^ ^,  ^，

其中 c  a

²

 b

²

3.  

!

n r

P n

 n r

 ，

 

!

! !

n r

C n

r n r

 

4. 設有一組抽樣資料 x x

₁

, ,...,

₂

x ，其算術平均數為 x ，

_n

則樣本標準差為

2 1

( ) 1

n i i

x x

S n





 



5. 參考數值：1   180  、 3 sin37

  、 5 4 cos37

  、 5 3 tan 37

  4

單選題（每題 4 分，共 100 分）

( ) 1. 若  

4

x

f x _{ } 

     ，則下列何者為 ^{f x 之圖形？}  

(A) (B) (C) (D)

( ) 2. 若 a 、b 為常數且兩方程組 2 3 6 9 x y ax y

 

   

 與 2 5

4 10 x y x by

  

  

 皆為相依方程組，則

2a b   ？

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8。

總分

110 統測數學 B 考題剖析

(4)

( ) 3. 下列數對   x y 何者滿足聯立不等式 ^, 100 2 100 0 2 100 100 0

x y

  

    

 ？

(A)   ^{0,0 (B)}   ^{1,1 (C)}   ^{2,1 (D)}  ^{2, 2} ^{ 。} 

( ) 4. 若下列四個選項中，其中有三個互為同界角，則下列何者不是另外三個選項的同界角？

(A) 9 5

  (B) 36   (C) 5

 _{(D)1116。}

( ) 5. 若下表為某些名人之星座統計表，則星座代號之眾數為何？

(A) 8.5 (B) 9 (C) 10 (D) 12。

名人代號出生年月日星座星座代號

A 1887/10/31 天蠍座 10 B 1891/08/13 獅子座 7 C 1905/10/23 天秤座 9 D 1910/04/27 金牛座 4 E 1923/01/15 魔羯座 12 F 1950/10/12 天秤座 9 G 1950/07/13 巨蟹座 6 H 1956/08/31 處女座 8 ( ) 6. 若 a  log 2 ， b  log3 ，則 10

²^{a b}^

 ？

(A) 2 (B) 3 (C) 12 (D) 24。

( ) 7. 若圓 C : x

²

 y

²

 8 x  6 y  ，則圓C 之直徑為何？ 0 (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12。

( ) 8. 某款電玩在開始闖關前需進行設定：第一個步驟是選擇難度，由入門、普通或高手等 3 種難度擇一；第二個步驟由 4 種盔甲擇一；第三個步驟由 5 種武器擇一。若必須依序完成這三個步驟，設定才算完成，則有幾種闖關前設定？

(A) 12 (B) 23 (C) 36 (D) 60。

( ) 9. 袋中有 5 顆相同的紅球及 3 顆相同的白球，今甲、乙兩人互賭，從袋中隨機抽出 3 顆球。若皆為紅球，則甲給乙 420 元，否則乙須給甲 140 元。求甲獲取金額的期望值為多少元？

(A) 40 (B) 20 (C) 20  (D) 40  。 ( ) 10. 下列哪一組樣本的標準差最小？

(A) 1、4、7、10、13 (B) 55、57、58、59、61

(C) 100、101、102、103、104 (D) 216、218、220、222、224。

(5)

( ) 11. 已知兩多項式函數 ^{g x 及}   h x 之導函數分別為   ^{g x} ^   ^及 ^{h x} ^   ^，

且 ^{h x}   ^ ⁴ ^{g x}   ^ ⁷ ^x ^{ 。若} ⁹ ^g   ⁰ ^{ ，則} ³ ^h   ⁰ ^{ ？}

(A) 5 (B) 9 (C) 14 (D) 21。

( ) 12. 若直線 L

₁

: y m x b   與直線 L : 2 x  3 y  平行，且直線 1 L 與 x 軸的交點之

₁

x 坐標為 2，則下列何者正確？

(A) 2

m b   (B) 3 m b   (C) 6 2

m   b 3 (D) m   b 9 。

( ) 13. 若圓 C

₁

: x

²

 y

²

 2 x  2 y  0 、圓 C

₂

: x

²

 y

²

 4 x  4 y  0 ，則直線 : 4 0

L x y    與兩圓 C 、

₁

C 共有幾個交點？

₂

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。

( ) 14. 已知 7

tan   25 。若 sin cos    ，則下列何者正確？ a (A) 1

2   (B) a 1 1

0   (C) a 2 1 2 a 0

   (D) 1 1 a 2

    。

( ) 15. 若

2 3 4 0 2 0 1 4 6 5 0 6 2 0 3 1

b

a   ，則 a b   ？

(A) 9  (B) 1  (C) 3 (D) 5。

( ) 16. 已知 0

2  

  ，且 3

sin   。若sin 4 5   ，則下列何者正確？ a (A) 1

0   (B) a 4 1 1

4   (C) a 2 1 3

2   (D) a 4 3

4   。 a 1

( ) 17. 若橢圓曲線上的任意點到兩點  ^{2, 3} ^{ 、}     的距離和為 10，則此橢圓之 ^{4, 3} 

短軸長為何？

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 8。

( ) 18. 若小林準備 600 萬元投資股票 x 萬元及債券 y 萬元，而投資股票金額不會低於債券金額的 2 倍，則下列何者為題意之限制條件？

(A)

600 2 0 0 x y x y x y

  

  

  

  

(B)

600 2

0 0 x y x y x y

  

 

  

  



(C)

600 2 0 0 x y x y x y

  

  

  

  

(D)

600 2

0 0 x y x y x y

  

 

  

  



。

(6)

( ) 19. 已知 A、 B、C 三家某知名商店， B 店位於 A店往西 240 公尺往北 120 公尺處，而C 店位於 B 店往東 180 公尺往南 40 公尺位置。求 A店與C 店的距離為多少公尺？

(A) 100 (B) 120 (C) 140 (D) 160。

( ) 20. 若無窮級數為  

1

1 2

n

n n





  ^，則前 ^{5 項之和為何？}

(A) 35 (B) 40 (C) 45 (D) 50。

( ) 21. 若從 1、2、3、4、5、6、7 七個數字中取兩個相異數字排成二位數，則所有這些不同的二位數之總和為何？

(A) 42 (B) 924 (C) 1848 (D) 3696。

( ) 22. 已知某校新生的生日都沒有 2 月 29 日，而其他每個出生日期的可能性均相等，且新生分班是隨機的。若某新生班級共有 30 位學生，則該班學生生日皆不同的機率為何？

(A) 364

29

365  

 

  (B)

³⁰₂

1 1  C  365 (C)

30 365

30

1 C  365 

    (D)

30 365

30

1 P  365 

    。 ( ) 23. 若 ^{f x}   ^  ^x

²

^ ¹ 

¹⁰⁰

^，則 _

¹₀

^ _ ^2x ^ ^{f x dx} ^{ } ^ _ ^ _

₁³

^{f x dx} ^{ } ^ _

⁰₃

^{f x dx} ^{ } ^ ^？

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3。

( ) 24. 已知 ^{f x}   ^ ^x

²

^ ^{bx c} ^ ^{為二次多項式。若} ^{f x 被}    ^x ^ ¹ 

²

^{除的餘式被} ^x ^{ 整} ¹

除，且 ^{f x 被}    ^x ^ ¹ 

²

^{除的餘式被} ^x  整除，則 c  ？ ¹ (A) 3  (B) 1  (C) 1 (D) 3。

( ) 25. 孫悟空師徒四人取經途中經過一廣闊平原，看到前方有一尊高大佛像，其頂部仰角為 37，四人往佛像前行 31 公尺後，佛像頂部仰角變為53。求佛像高度約為多少公尺？

(A) 57 (B) 53 (C) 37 (D) 31。

(7)

110 年統一入學測驗數學 (B)

本試題答案係依據統一入學測驗中心公布之標準答案

1.

(1) 瞭解指數函數的圖形

(2) 0   a 1 ^{f x}

 

^^a^x^{為遞減函數}

∵

 

⁰ ⁰ ¹

f   4 

  故通過

 

^{0,1 點……}

考慮底數 4

4 4 1

  

∴ 圖形為遞減函數……

承條件，故選(D)

2.

1 1 1

2 2 2

a x b y c a x b y c

 

  

 為相依方程組

 ¹ ¹ ¹

2 2 2

a b c a b c

2 3 6 9 x y ax y

 

  

 1 2 3 6 9

a    a 3

2 5

4 10

x y x by

  

  

 2 1 5

4 b 10  b 2

∴ 2a b     2 3 2 4 故選(B)

3.

兩個不等式的區域有無限多個點符合故此題將答案反代最適合

將選項(A)(B)(C)(D)分別代入 100 2 100

2 100 100 x y

x y

 

  



判斷哪個選項符合題目之不等式條件 (A)

 

^{0,0 代入}

 0 0 100 0 0 0 100 0

  

   



（不合）

(B)

 

^{1,1 代入}

 100 2 100 0 2 100 100 0

  

   



（合）

（不合）

(C)

 

^{2,1 代入}

 200 2 100 0 4 100 100 0

  

   



（合）

（不合）

(D)



^{2, 2}^{ 代入}



 200 4 100 0 4 200 100 0

  

   



（合）

故選(D)

4.

同界角之最小正同界角皆相同將四個選項角度化為最小正同界角 (A) 9 ²

5 5

 ^ 

 

(B)   36 ^³⁶⁰^ 324 (C) 5



1.D 2.B 3.D 4.B 5.B 6.C 7.C 8.D 9.A 10.C

11.A 12.A 13.C 14.B 15.C 16.C 17.D 18.A 19.A 20.A

21.C 22.D 23.B 24.D 25.B

(8)

(D) 1116 ^{3 360} 36 5



  

    只有(B)不同

故(B)不是另外三個選項之同界角

［備註］

互為同界角之角度差量為360 的整數倍數，

故此題也可將選項互減判斷，但選項有度及弧度兩種，不易計算相減

5.

利用正字符號計數

用正字符號計數星座代號次數

10 7 9 4 12 6 8 一一丅一一一一星座代號之眾數為9

故選(B)

6.

(1) 對數還原指數：若xlog_ab  a^x  b (2) 指數律：a^{m n}^ a^m ，aⁿ ^a^mn^

 

^a^m ⁿ

log 2

a  10^a 2 log3

b  10^b 3

所求¹⁰²^{a b}^ ^¹⁰²^a^¹⁰^b^

   

¹⁰^a ²^ ¹⁰^b

22 3 12

   故選(C)

7.

將圓的一般式化為圓的標準式

圓C : x²y²8x6y 0





^x²^⁸^x^⁴²

 

^ ^y²^⁶^y^³²



^⁴²^³²





^x^⁴

 

²^ ^y^³



²^^{25 5}^²

得圓C 半徑為 5

 直徑 2 5 10   故選(C)

［另解］

圓一般式x²y²dx ey   f 0 其半徑 1 ² ²

2 d e 4f

  

∴ 此題直徑 ² ¹

 

⁸ ² ⁶² ^{4 0}

   2     100 10

8.

排列組合中計數之乘法原理分三個步驟

每個步驟分別有3、4、5 種選擇數故每個步驟選一方法數之情形有

3 4 5 60   種選擇故選(D)

9.

(1) 古典機率

   

 

P A n A

 n S ，A 為事件，

S 為樣本空間

(2) 從n 件相異物品中選 m 件之組合數為C ⁿ_m (3) 期望值E   m P

共5 3 8  顆球取 3 球方法數為

8 3

8 7 6 3 2 1 56 C    

 

P（3 顆皆紅） ⁵³ 10 5 56 56 28

C  

P（非3 顆皆紅） 5 23 1 28 28

   故E（甲獲取金額）

 P（3 顆皆紅）^{ }



⁴²⁰



 P（非 3 顆皆紅） 140 ⁵



⁴²⁰



²³ ¹⁴⁰

28 28

    

^{  }⁵



¹⁵



^^{23 5}^ ^{  }^{75 115 40}^

故選(A)

［備註］

求機率時，因每件物品被選取之機率相同，

故需將物品想成相異物

(9)

10.

除了利用標準差求出比較，觀察選項皆為五個數據，考題數據若經過設計則可利用差量推導標準差之大小

依序討論選項中數字的差量用



a b c d 序對表示 ^{, , ,}



(A) 1,4,7,10,13 



^3,3,3,3



(B) 55,57,58,59,61 



^2,1,1,2



(C) 100,101,102,103,104 



^1,1,1,1



(D) 216,218,220,222,224 



^2,2,2,2



各組樣本皆為五個數據明顯差量皆小的標準差必較小得標準差大小順序為

(C) (B) (D) (A)

S  S  S  S

故選(C)

11.

若 ^{f x}

 

^^{g x}

   

^^{h x} ^，且 ^{f x 、}

 

^{g x 、}

 

^{h x}

 

之一階導函數存在，則 ^{f x}^

 

^^{g x}^

 

^^{h x}^

 

∵ ^{h x}

 

^⁴^{g x}

 

^⁷^x^⁹

 ^{h x}^

 

^⁴^{g x}^

 

^⁷

∴ ^h^

 

⁰ ^⁴^g^

 

⁰      ^{7 4 3 7 5} 故選(A)

12.

(1) 斜截式L : y mx b  之斜率為 m (2) 若直線L : ax by c   ，則斜率為0 a

 b (3) 若L₁//L ，且斜率存在 ₂  m₁m₂

1 :

L y mx b  之斜率為 m

2 : 2 3 1

L x y 之斜率為 2

 3

∵ L₁//L ₂  2 m  3

 ₁ 2

: 3

L y  x b 又L 與 x 軸交點為₁

 

^2,0

 2

0 2

3 b

     4 b 3

∴ 2 4 2 3 3 3 m b     2 4 8 3 3 9 m b      故選(A)

13.

(1) 將圓一般式化成標準式求出圓心及半徑 (2) 圓心至直線距離^^{d O L}



^,



若^{d O L}



^,



  恰交於1點（相切） ^r ^{d O L}



^,



  交於 2 點（相割） ^r

 圓C₁ : x²y²2x2y 0





^x^¹

 

²^ ^y^¹



²^²

則圓心^O₁



^{1, 1}^{ 且半徑}



^r₁^ ²

   

1 2

 

2 1

1 1 4 2

, 2

1 1 2

d O L    r

   

 

 C 與 L 恰交於₁ 1點

 圓C₂ : x²y²4x4y 0





^x^²

 

²^ ^y^²



²^⁸

則圓心O2



2, 2 且半徑



r₂ 8

   

2 2

 

2 2

2 2 4

, 0 8

1 1

d O L    r

   

 

 C 與 L 交於 2 點 ₂

承故共有1 2 3  個交點，此題選(C)

14.

(1) sin cos 與



^tan^^^cot^



^互為倒數

(2) tan與cot互為倒數

（適用新課程）

tan 7

25

繪圖如右且斜邊 674

∵ 7

tan 0

25   、III I 若  I 7

sin 674， 25 cos  674

(10)

 175 sin cos

  674

若III  7

sin  ^674， 25 cos  ^674

 175

sin cos

  674

∴ 175 a674

［另解］（適用舊課程）

tan 7

 25  25 cot 7

∴ 7 25 674

tan cot

25 7 175

   

∵ 1 175 1

sin cos

tan cot 674 2

 

  



∴ 1

0  ，故選(B) a 2

15.

三階行列式展開

2 3 4

0 1

0 6 2 a 

 

2 a 2 0 0 0 0 2 6 1

           4a 12

 

0 2

4 6 5 0 3 1

b

0 0 2 4 3 0 4 b 1 0

          24 4b

 

依題意得4a12 24 4  b  4a4b12  a b  3 故選(C)

［備註］

此題明顯第一行皆有2 個元素為 0，故此命題可能想讓考生降階展開。但注意，右邊行列式降階有一個負號

16.

(1) 若0 ₁ ₂ 2

  

    sin₁sin₂

(2) 1 sin 30

  ，2 2 sin 45

  2

（適用新課程）

根據參考公式 3

sin   5   37 依四捨五入法則

可令36.5   37.5  146 4150

 

^sin

f x  x在第二象限遞減

 sin146 sin 4 sin150

 sin34 sin 4 sin 30

 sin 30 sin 4sin 34 sin 45

 1 2

sin 4 2  2

（其中 2 2 2 8 9 3 2  4  4  4  ） 4

 1 3 sin 4 2  4 故選(C)

［另解］（適用舊課程）

0 2

 

  sin 3

  畫圖可輕易算出5 4 cos 5 sin 42sin 2 cos 2 

  

²



2 2sin cos  1 2sin 

 

3 4 3 2

2 2 1 2

5 5 5

   

         

   

 

48 18 25 1 25

 

    48 7 336 25 25 625

  



可比較得1 336 3 2625 4 故選(C)

(11)

17.

(1) 橢圓的定義：

設F 、F 為相異兩定點，且FF 2c 在平面上所有到F 、 F 的距離和為一定 值2a ，即PF PF 2a

且2a FF 的點P 所形成的圖形稱為橢 圓，其中F 、 F 為橢圓的焦點

(2) 橢圓的重要關係式：

設長軸長AA 2a，短軸長BB 2b 焦距FF 2c，則a 、 b 、 c 的關係式為

2 2 2

a b  ，c a b  ，0 a c  0 依題意及橢圓定義可知



^{2, 3}^{ 及}

 

  為橢圓兩焦點 ^{4, 3}



記F1



2, 3 、



F2



  及 4, 3



長軸長2a10  a 5

而2c F F 1 2  2

 

4   6 c 3 又a²b²  c² b 4

 短軸長 2 b 8 故選(D)

18.

依題目中的限制條件列出不等式組 600 萬元投資股票x 萬元及債券 y 萬元

 x y 600

股票x 萬元不會低於債券 y 萬元的 2 倍

 x2y

投資數量x 、 y 不會負數

 x ，0 y 0 故選(A)

19.

，能瞭解方位

依題畫圖如右並設立D 、 E 、 F 三點於圖

所以CFEF EC 120 40 80  

FA DA DF  240 180 60  因此AC 80²60² 100

故選(A)

20.

知道 ₁ ₂ ₃

1 n

i n

i

a a a a a



    



^

前五項之和

 

5

1

n 2 n n







       

1 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1

2 2 2 2

   

   

^{5 5 1}

 

2

 

1 3 6 10 15 35

      故選(A)

21.

(1) 能利用列舉，規律寫出可能排列情形 (2) 等差級數和 ² ₁



¹



n 2

a n d n S    

十位數為1的有12,13,14,15,16,17 總和為 87 十位數為2 的有 21, 23, 24,25, 26,27 總和為 146 十位數為3 的有 31,32,34,35,36,37 總和為 205 十位數為4 的有 41,42,43,45,46,47 總和為 264 十位數為5 的有 51,52,53,54,56,57 總和為 323 十位數為6 的有 61,62,63,64,65,67 總和為 382 十位數為7 的有 71,72,73,74,75,76 總和為 441

 全部和為

87 146 205 264 323 382 441      1848

故選(C)

(12)

［備註］

十位數為2 的總和比十位數為1的總和多 6 10 1 59   ，有其規律，故此題和可想成首項87，項數為7 ，公差為 59 之等差級數和

 

2 87 7 1 59 7 2 1848

      

 

  ，便可省略

許多列舉之計算

［另解］（偏普通高中）

1～ 7 挑選相異二數形成兩位數共有P⁷₂42 個二位數

但每個數字在個位數及十位數出現次數均等故1～ 7 等七個數在個位數及十位數各出現

42 6 7  次

將所有二位數加總分成十位數加總及個位數加總再求和

 

6 1 2 3 7 10

            ^{6 1 2 3}



 ⁷



6 28 10 6 28 1848

      故選(C)

22.     

^|



P A B P A P B A

生日無2 月 29 日

 僅考量 365 天之情況選擇 P（第 1 位生日) 365

365

P（第 2 位生日與前 1 位不同) 364

365

P（第 3 位生日與前 2 位不同生日皆不同) 363

365 依此類推

P（第 30 位生日與前 29 位不同生日皆不同) 336

365

∴ P（全部 30 位不同生日) 365 364 363 336 365 365 365 365

    

365 30 30 365 30 30

1

365 365

P P  

    故選(D)

23.

(1)



^b_a^{f x dx}

 

^



^c_b^{f x dx}

 

^



^c_a^{f x dx}

 

(2)



^b_a^{f x dx}

 

^{ }



^a_b^{f x dx}

 

(3) 1 ¹

1

n n

x dx x c

n

  



 ^，其中ⁿ^{ }¹

     

1 3 0

02x f x dx  1f x dx 3f x dx

  

     

1 1 3 0

02xdx 0f x dx 1f x dx 3f x dx

















   

1 3 0

02xdx 0f x dx 3f x dx















^x² ^c



¹₀ ³₀^{f x dx}

^{ }

³₀^{f x dx}

^{ }

  









¹² ^c

 

⁰² ^c



^{0 1}

 

      故選(B)

24.

(1) 多項式直式除法

(2) 若 ^{f x 有}

  

^{x a}^{ 的因式}



（或稱被



^{x a}^{ 整除）}



 ^{f a}

 

^⁰

依題意計算

   

2 2

2

1 2 1

2 1

x x x bx c

x x

b x c

   

 

  

又^{ }_



^b ²

 

^x^{  }^c ¹



_{ 被}



^x^{ 整除}¹







^b     ^{2 1}

 

^c ¹



⁰

 b c   …… 3 0 依題意計算

   

2 2

2

1 2 1

2 1

x x x bx c

x x

b x c

   

 

  

又^{ }_



^b ²

 

^x^{  }^c ¹



_{ 被}



^x^{ 整除}¹







^b^²

  

^{   }¹ ^c ¹



⁰

     …… b c 3 0

解聯立得 2c   6 0 c 3 故選(D)

(13)

25.

1. tan對邊鄰邊 2. ^{cot 90}



^{ }^



^^tan^

3. 1

cot tan

 

設佛像高為y 公尺

在△ABC中， 3

tan 37

31 4 y

  x 

 

在△BCD中，tan 53 y

   x

又 1 4

tan 53 cot 37

tan 37 3

    

 代入得 4

3 y

x   3

x4y代入得 3

3 4 31 4

y y





 9 4 93

y 4y

 16y372 9 y

 7y372

 372 7 53 y 

故佛像高約為53 公尺

(14)

(15)

統測數學 C 考情趨勢與考題剖析

110 統測數學 C 考情趨勢

一、試題分析

110 年統測數學 C 是一份難易適中的試卷。這次的題目有別於 108、109 年的偏難試卷（註：108、109 年統測數學 C 滿分各僅有 17、26 位），試題的難易分配平均，中等偏易的題目置於卷首，偏難或繁瑣的題目置於卷末，而大都是中等上下的題目，整體考生的分數應會提高不少。其他特色如下：

1. 生活素養：

「108 數學新課綱」強調生活素養，統測已經連續三年加入生活素養題，而敘述也更加精簡流暢。如：第 4、7、12、21、24 題。

2. 圖形試題：

這次統測有圓錐曲線的圖形描繪，有向量的描繪，有要找三角函數圖形的交點，

這些都需要把圖形描繪出來以輔助求解，平時宜培養畫圖解題的習慣。如：第 8、

9、16、18、25 題。

3. 參考公式的提示：

統測已經連續五年提供參考公式，這些公式已不再是聊備一格，在解題時都可以提供關鍵的提示，考生應善用「參考公式」去思考解題策略。

如：第 2 題以參考公式提供的「三角函數的平方和關係式」來處理，輔以平方差公式，可以迅速解題。倘若以「正切（ tan  ）的商數關係和正割（ sec  ）的倒數關係」來解題，恐怕是化簡為繁，更耗費時間。

4. 特殊試題(1)：

第 5 題是取材自大學微積分習題，目的應是測驗考生以導數的定義來輔助求解，

但是此題將極限直接運算，反而更簡易。

5. 特殊試題(2)：

第 25 題乍看之下是要以定積分求面積，但是課綱內並無介紹對數函數的積分，因此本題似乎只是在估計面積。

綜合上述，110 年的考生得分將會回歸常態，各種程度的學生都會有適當的鑑別度。只不過這兩年，若當年數學學測的題目偏易（難），則當年統測數學Ｃ似乎就會因而偏難（易）。考生們也許可以參考來年數學學測的風向

110 年

(16)

二、配分比例表

單元名稱題數單元名稱題數

直線方程式 1 數列與級數 1

三角函數 1 指數與對數及其運算 2

三角函數的應用 3 排列組合 2

向量 1 機率與統計 2

式的運算 2 圓 1

聯立方程式 2 二次曲線 2

複數 1 微分 1

不等式及其應用 1 積分 2

(17)

數學 C 參考公式

1. 三角函數的平方和關係式： 1 tan 

²

  sec

²

 2. 三角函數的二倍角公式：sin 2   2sin cos  

3. 三角函數的和差角公式： ^sin  ^{ } ^  ^ ^{sin cos} ^ ^ ^ ^{cos sin} ^ ^

4.  ABC 的正弦定理：

sin sin sin

a b c

A  B  C 5. 算幾不等式：若 a  0, b  ，則 0

2 a b   ab

單選題（每題 4 分，共 100 分）

( ) 1. 若

 ^x ^ ³ ³ ^x  ^ ^x ¹ ^ ¹  ^ ^x ^A ^ ³ ^ ^x ^B ^ ¹ ^，其中 A、 B 為實數，則下列何者正確？

(A) A  (B) 2 B  (C) 1 A   (D) 2 B   。 1 ( ) 2. 若 tan   sec   ，則 tan 5   sec   ？

(A) 3

 (B) 5 1

 (C) 5 1

5 (D) 3 5 。

( ) 3. sin10 cos10 cos50     sin 25 cos 25 cos 20     ？ (A) 1

2 (B) 1

4 (C) 1

 (D) 4 1

 。 2 ( ) 4. 某實驗室將 108 個不同樣本在常溫

常壓下依固體、液體、氣體及金屬、

半金屬、非金屬分類如表(一)。若從固體及液體類中取出一個樣本，

則其為半金屬的機率為何？

(A) 5

32 (B) 3

32 (C) 1

16 (D) 1 18 。

總分

固體液體氣體總計金屬 79 2 0 81

半金屬 9 0 0 9

非金屬 5 1 12 18 總計 93 3 12 108

表(一)

110 統測數學 C 考題剖析

(18)

( ) 5.  

0

1 1

3 2 3 2 lim

h

h h



   

 ？ (A) 1

 25 (B) 1

 (C) 9 1

9 (D) 1 25 。 ( ) 6. 若

⁷

1

2 2 1

m

a m



m

 

  ^、

⁶

0

1 2 1

k

b k



k

 

  ^、

⁸

3

4 2 5

i

c i



i

 

  ，則下列敘述何者正確？

(A)b a c   (B)c a b   (C) c a b   (D) a b c   。 ( ) 7. 設 ( ) I t 為 A 城市某種傳染病在時間t 的感染率，且  

3

1 , 0 1 49 7

I t 

_t

t 

 

  

 

。

若 a 、 b 、 c 分別表示 t  、 0 t  、 3 t  時的感染率，則下列何者正確？ 6 (A) b  6 a (B) c  20 a (C) c  4 b (D) b  7 a 。

( ) 8. 若圓 C 與 y 軸相切，且圓心為拋物線 y x 

²

 4 x  5 之頂點，則下列何者為圓C 的方程式？

(A) x

²

 y

²

 4 x  2 y   (B) 4 0 x

²

 y

²

 4 x  2 y  1 0  (C) x

²

 y

²

 4 x  2 y  4 0  (D) x

²

 y

²

 4 x  2 y  1 0  。

( ) 9. 若有兩個二次曲線方程式，分別為 x

²

 4 y

²

 4 x  16 y   4 0 與

  

²



²

5 1 2

4

1 x y 

 

 ，則下列何者為此兩曲線的圖形組合？

(A) (B)

(C) (D)

( ) 10.若 k 為實數，且二元一次聯立方程組

 

²

3 1 0

4 1 8 1 0 k x y k

x k y k

 



   

  有無限多組解，

則 k 可為下列何值？

(A) 3

 (B) 2 1

 (C) 2 1

2 (D) 3

2 。

(19)

( ) 11. 若 x 、 y 、 z 為相異實數，則三階行列式

x y x y x y z y z y z x z x z

 

  

 

？

(A) 0 (B)  x y y z z x      (C)   ^x

²

^ ^y

²

 ^y

²

^ ^z

²

 ^z

²

^ ^x

²



(D)  ^{x y} ^  

²

^{y z} ^  

²

^{z x} ^ 

²

^。

( ) 12. 跆拳道隊有 8 個隊員，教練安排所有隊員每 2 人一組分別在 A、B、C 、D 四個不同場地練習，則共有幾種安排的方式？

(A)105 (B)2520 (C)5040 (D)40320。

( ) 13. 已知 a 、 b 為實數。若直線 L

₁

: y a x b   與 L

₂

: y bx a   相互垂直，且

2 2

50 a  b  ，則 L 與

₁

L 的交點與原點的距離為多少？

₂

(A) 4 3 (B)7 (C)5 2 (D) 2 13 。

( ) 14. 已知 ABC  中， a 、 b 、 c 分別為  、 B A  、 C  之對邊長。若 : : 3 : 4 : 6

ab bc ca  ，則 sin A : sin B : sin C  ？ (A)4：3：2 (B)4：2：3 (C)2：3：4 (D)3：2：4。

( ) 15. 已知三次多項式 ^{f x}   ^ ^{a x}

³

^ ^bx

²

^ ^{cx d} ^ ^滿足 ^f   ¹ ^ ^f   ² ^ ^f   ^{  ，且} ² ²

  ¹ ⁸

f   ，則下列何者正確？

(A) a   1 (B) b  (C) 1 c   4 (D) d  。 4 ( ) 16.已知    a b c , ,

為平面上的三向量，且   a  c  0

，   b  c  0

，  a  5

，  b  12

， 13

c 

 。若   a  b  0

，則   a  b 

？ (A) 30  (B) 60  (C) 65  (D) 156  。 ( ) 17. 

³₁

 ³ ^x ^ ² 

¹¹⁰

^dx ^ ^？

(A)

7

111

1 333

 (B)

3

111

1 333

 (C)

7

110

1 330

 (D)

7

111

1 111

 。 ( ) 18. 下列敘述何者正確？

(A) tan y _  3

的週期為 3

 (B) tan

²

  sec

²

  1 (C)  2 sin    cos   2 (D)若 cos   sin  ，則 2

4 n

     ，其中 n 為整數。

(20)

( ) 19. 已知 i   ， 1

2 2

3 3

i i

i i a bi

     

  

   

 

    ，則 a b   ？ (A) 1 3

2   (B) 1  (C) 1 3 2

  (D)1。

( ) 20. 若 x 為實數，則

² ₂

9 2 2 x   x

 的最小值為何？

(A) 2 (B) 5

2 (C) 13

2 (D) 6 。

( ) 21. 一個空的書櫃有上、中、下共三層，若將國文、英文、數學三本課本放入書櫃的任一層，且當課本放在同一層左右順序不同時視為不同排列，則共有幾種不同的排法？

(A) 60 (B)36 (C) 27 (D)18 。

( ) 22. 若直線 y mx  與拋物線 ^{f x}   ^{  } ^x

²

⁴ ^x  相切，且切點在第一象限內，則 ¹ m ？

(A)1 (B) 2 (C) 4 (D) 6 。 ( ) 23.

⁴

1

1 1

x x dx

x x

       

  

 

 ^？

(A) 57

5 (B) 77

5 (C) 87

5 (D) 107 5 。 ( ) 24. 小明量測園藝店同一種盆栽 21 棵植

物的高度資料如表(二)，其中有一盆高度為 24 公分，可視為量測異常值。

若將此異常值從資料中移除，則下列哪一個統計量，在移除前後改變最多？

(A)平均數 (B)中位數 (C)眾數 (D)全距。

( ) 25. 假設 A表函數 y  log

₃

x 圖形與直線 y  、 0 x  所圍區 3 域面積，如圖(一)。若以幾何圖形的觀念來判斷 A的大小範圍，則下列何者正確？

(A) 1

0   (B) A 2 1

2   (C)1 A 1   A 2 (D) A  。 2

21 棵盆栽的高度（單位：公分）

8 9 9 9 10 10 11 11 12 12 12 12 13 13 13 14 14 15 15 16 24

表(二)

圖(一)

(21)

110 年統一入學測驗數學 (C)

本試題答案係依據統一入學測驗中心公布之標準答案

1.

［解1］

(1) 在處理部分分式時，先消去分母

(2) 當兩多項式相等時，任一實數代入兩多項式所得到的值也相等

［解2］

(1) 在處理部分分式時，先消去分母

(2) 當兩多項式相等時，其相對應的次數與係數均相等

［解1］



^x^³³^x



^^x¹^¹



^ ^x^A^³^^x^B^¹

上式等號的兩側同乘以



^x^³



^x^{ ，得}¹



   

3x 1 A x 1 B x  3 (1) 令x 代入： 3

   

3 3 1        A 3 1 B 3 3

 8 2 A  0 A 4 (2) 令x 代入： 1

   

3 1 1       A 1 1 B 1 3

 2 0 2B   B  1

由(1)和(2)可知，A ，4 B  ，故選(D) 1

［解2］



^x^³³^x



^^x¹^¹



^ ^x^A^³^^x^B^¹

上式等號的兩側同乘以



^x^³



^x^{ ，得}¹



   

3x 1 A x 1 B x 3



^{Ax A}

 

^Bx ³^B



   



^{A B x}

 

^A ³^B



    

由多項式相等，則 3

3 1

A B A B

  

   











  ： 2 B  2 B  1 1

B  代入：^A^{   }

 

¹ ³ ^A^⁴

因此A ，4 B  ，故選(D) 1

2.

(1) 三角函數的平方和關係式：

2 2

1 tan  sec 

 tan²sec²   1 (2) 平方差公式：

  

2 2

A B  A B A B 

三角函數平方和關係式：

2 2

1 tan sec 

 tan²sec²  1





^tan^^^sec^



^tan^^^sec^



^{ }¹

∵ tansec 5

∴ ⁵^



^tan^^^sec^



^{ }¹

 1

tan sec

    5

3.

(1) 三角函數的二倍角公式：

sin 22sin cos 

 1

sin cos sin 2

  2  (2) 三角函數的和差角公式：

 

sin   sin cos cos sin  (3) 三角函數的負角公式：

 

sin    sin

1.D 2.B 3.C 4.B 5.A 6.D 7.C 8.D 9.D 10.C

11.A 12.B 13.B 14.D 15.C 16.B 17.A 18.C 19.B 20.A

21.A 22.B 23.A 24.D 25.C

(22)

觀察

sin10 cos10  cos50  sin 25 cos25  cos 20

(1) 由正弦的二倍角公式 sin cos 1sin 2

  2 

  

 

 

 

1 1

sin10 cos10 sin 2 10 sin 20

2 2

      

 

1 1

sin 25 cos 25 sin 2 25 sin 50

2 2

       (2) sin10 cos10  cos50  sin 25 cos25  cos 20

 1 sin 20

2  cos50  1 sin 50

2  cos 20

 

1 sin 20 cos50 cos 20 sin 50

2     

 

1 sin 20 cos50 cos 20 sin 50

2     

   

1 1

sin 20 50 sin 30

2 2

      

 

1 1 1 1

sin 30

2 2 2 4

 

        

4.

機率的定義：

設樣本空間S 之中，每個樣本發生的機會均 等，若A ，則事件 A 發生的機率為 S

   

 

n A A

P A  n S  事件的元素個數S 樣本空間的元素個數

(1) 設樣本空間 S 為固體及液體類

而固體類有93 個樣本，液體類有 3 個樣本，則^{n S}

 

^^{93 3 96}^{ }

(2) 設從固體及液體類中取出一個樣本為半金屬的事件為A，而固體類的半金屬有9 個樣本，液體類的半金屬有0 個樣本，則

 

^{9 0 9}

n A    由(1)和(2)可知所求

   

 

⁹⁶⁹ ³²³

P A n A

 n S  

5.

［解1］

極限運算的化簡

［解2］

(1) 導數的定義：

     

lim0 h

f a h f a

f a ^ h

 

  (2) 除法的微分：

若

   

 

f x A x

B x ，其中^{B x}

 

^⁰

則

         

 

²

A x B x B x A x

f x B x

  

 

 

 

［解1］

∵



³^¹^h



^^{2 3 2}^ ^¹ ^⁵^¹^h^¹⁵

^



⁵^{ }⁵^h



⁵^



⁵⁵^{ }^^h



^h ⁵^



⁵^{ }^^h^h



⁵

∴

   

0 0

1 1

3 2 3 2 5 5

lim lim

h h

h

h h

 

 

    



^^lim^h^⁰



⁵^{ }^^h¹



⁵^



^{5 0}^{ }^¹



⁵^{ }²⁵¹

［解2］

觀察

 

0

1 1

3 2 3 2 limh

h h



   

令

 

¹

f x 2

 x



則

     

0

3 3

3 lim

h

f h f

f ^ h

 

 

 

0

1 1

3 2 3 2 limh

h h



   



而

     

 

²

1 2 2 1

2

x x

f x x

    

 



 

²

 

²

0 2 1 1 1

2 2

x

x x

    

 

 

則

 

²

1 1

3 3 2 25 f    



因此

 

0

1 1

3 2 3 2 1

lim^h 25

h h



   

 

數學統測最前線

統測數學 B 考情趨勢與考題剖析

110 年統測數學 B 考情趨勢

一、試題分析

本次考題難易度分析如下表：

易 3、5、7、8、11、17、18

中 1、2、4、6、9、10、12、13、14、15、19、20、23 難 16、21、22、24、25

自 106 年統測數 B 附參考公式以來皆為課本公式之提醒，然而今年卻出現必須使 用參考公式方能解題之參考（

或

1. 簡易題皆為知悉其數學符號或定義，都能輕易直接計算求解。

2. 中等難度題型分析：

第 1 題： 考指數基本定義與圖形的遞增遞減觀念。

第 2 題： 雖簡單，但易粗心誤認為是國中所學「兩個聯立組有相同解」之題型，

導致解題方向錯誤。

第 4 題： 由於選項的角度表示法不同，利用常使用的同界角差量為 360 的整數 倍數會提高計算量。