普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽 數學科口試參考解答

110 學年度新北市(新店高中)

普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽 數學科口試試題

編號：___________（學生自填）

注意事項：

1. 本口試卷共兩題，思考時間 15 分鐘；參賽者可先在計算紙上 作答，口試答辯時間 15 分鐘，並繳回計算紙。

2. 本項測驗著重解題技巧、表達能力與邏輯思維，參賽者不需 要太專注於計算的細節。

問題一：已知 𝑎𝑎₁, 𝑎𝑎₂, ⋯ , 𝑎𝑎₁₁₀ 均為正實數且滿足 1

2 + 𝑎𝑎₁ + 1

2 + 𝑎𝑎₂ + ⋯ + 1

2 + 𝑎𝑎₁₁₀ = 1 2 試求 𝑎𝑎₁𝑎𝑎₂⋯ 𝑎𝑎₁₁₀ 的最小值。

問題二：定義數列 𝑎𝑎_𝑛𝑛 = 2.1 × 3.05^𝑛𝑛− 0.94 × 1.42^𝑛𝑛，求 ^𝑎𝑎2021

𝑎𝑎₂₀₂₀ = ? (無條件捨去至小數點後第四位，log 2 = 0.301, log 3 = 0.477, log 7 = 0.845)計算機只當輔助使用，還需要詳細說明原因。

<試題結束>

110 學年度新北市(新店高中)

普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽 數學科口試參考解答

問題一：已知 𝑎𝑎₁, 𝑎𝑎₂, ⋯ , 𝑎𝑎₁₁₀ 均為正實數且滿足 _2+𝑎𝑎¹

1 +_2+𝑎𝑎¹

2 + ⋯ +

1

2+𝑎𝑎₁₁₀ = ¹₂，試求 𝑎𝑎₁𝑎𝑎₂⋯ 𝑎𝑎₁₁₀ 的最小值。

【參考解答】

設𝑥𝑥_𝑖𝑖 = _2+𝑎𝑎²

𝑖𝑖 ≥ 0，則有𝑎𝑎_𝑖𝑖 = 2 ⋅^1−𝑥𝑥_𝑥𝑥 ^𝑖𝑖

𝑖𝑖 ，𝑛𝑛 = 1,2, ⋯ ,110. 由條件可得

∑¹¹⁰_𝑖𝑖=1𝑥𝑥_𝑖𝑖 = 1。 𝑎𝑎₁𝑎𝑎₂⋯ 𝑎𝑎₁₁₀

= 2¹¹⁰ 1

𝑥𝑥₁𝑥𝑥₂⋯ 𝑥𝑥₁₁₀(1 − 𝑥𝑥₁)(1 − 𝑥𝑥₂) ⋯ (1 − 𝑥𝑥₁₁₀)

= 2¹¹⁰ 1

𝑥𝑥₁𝑥𝑥₂⋯ 𝑥𝑥₁₁₀(𝑥𝑥₂+ 𝑥𝑥₃+ ⋯ + 𝑥𝑥₁₁₀)(𝑥𝑥₁+ 𝑥𝑥₃ + ⋯ + 𝑥𝑥₁₁₀) ⋯ (𝑥𝑥₁ + 𝑥𝑥₂+ ⋯ + 𝑥𝑥₁₀₉)

≥ 2¹¹⁰ 1

𝑥𝑥₁𝑥𝑥₂⋯ 𝑥𝑥₁₁₀ ⋅ 109 �𝑥𝑥¹⁰⁹ 2𝑥𝑥₃⋯ 𝑥𝑥₁₁₀⋅ 109 �𝑥𝑥¹⁰⁹ 1𝑥𝑥₃⋯ 𝑥𝑥₁₁₀⋅ ⋯

⋅ 109 �𝑥𝑥¹⁰⁹ 1𝑥𝑥₂⋯ 𝑥𝑥₁₀₉

= 2¹¹⁰ ⋅ 109¹¹⁰

= 218¹¹⁰

問題二：定義數列 𝑎𝑎_𝑛𝑛 = 2.1 × 3.05^𝑛𝑛− 0.94 × 1.42^𝑛𝑛，求 ^𝑎𝑎2021

𝑎𝑎₂₀₂₀

= ?(準確至小數點後第四位，log 2 = 0.301, log 3 = 0.477, log 7 = 0.845)

【參考解答】

答案為 3.0499。為了簡化計算，我們令 2.1 0.94

3.05 1.42

a

b λ µ

=

=

=

= 因此，

a

n n

a

a λ

b µ

1 1

1

( )( ) 1 ( )( )

n n

n

n n

n

n

n

a a b

a a b

b a b a

λ µ

λ µ λ µ µ

µ λ λ

+ +

+ = −

−

= −

−

再經由計算我們得到

1

( )( )( ) 1 ( )( )

n n

n n

b

a a

a b

a λ µ µ

λ µ λ

λ

+ +

− =

− 以下我們考慮

n = 2000

5

( )( )( ) 10 1 ( )( )

n

n

b a b a λ µ µ

µ λ λ

<

− (*)

如果不等式(*)是對的，那麼這個題目就完成了。我們先證明 1 ( )( ) 1

10

b

a µ

−

λ

因為 1

, 2

b

a µ

λ

2

n n

b a

µ

λ

log 2

= 0.301

2021 ( 0.301) 600

( )( )

b

a

µ

λ

λ µ